Статистический анализ нелинейных систем

СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ [c.107]

Для иллюстрации применения метод статистического анализа нелинейных систем с использованием полиномов Вольтерра определим математическое ожидание и спектральную плотность мощности сигнала на выходе фотоприемника, когда на его входе действует случайный стационарный гауссовский сигнал. Считаем, что полезная информация о сигнале содержится в амплитуде лучистого потока, к оторый попадает на чувствительную площадку фотоприемника. Тогда в соответствии с изложенным в п. 2 гл. 3 модель фотоприемника представим последовательным соединением нелинейного и линейного звеньев. Спектр сигнала на выходе такой системы, как следует из формул (106) и (107), определяется выражением [c.115]

ЗАДАЧИ И МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ [c.141]

В теории нелинейных динамических систем центральное место занимает проблема, связанная с анализом и синтезом систем с учетом воздействия случайных возмущений. Эта область исследований получила название статистическая динамика нелинейных систем. [c.141]

К задачам статистической динамики нелинейных систем относятся такие, как анализ движения по его вероятностным характеристикам, исследование надежности, экономической эффективности, вопросы синтеза оптимальных систем на основе исследования статистических критериев эффективности и вероятностных ограничений и др. [c.141]

Рассмотрим подробнее задачу статистического анализа нелинейных статистических систем типа уравнения (3.1). [c.141]

Существующие различные методы решения задач статистического анализа нелинейных динамических систем можно разделить в общем случае на точные и приближенные. К точным методам относятся такие, которые в принципе позволяют отыскать вероятностные характеристики исследуемых случайных процессов, определяющие их полностью в статистическом смысле п-мерные функции плотности распределения вероятностей или характеристики моментов высших порядков. Приближенное решение характеристических уравнений для соответствующих вероятностных распределений или моментов обусловливает множество приближенных методов анализа. [c.144]

Аналитические методы статистического анализа нелинейных динамических систем условно можно подразделить на следующие 1) исследование на основе уравнений Фоккера—Планка—Колмогорова (ФПК) [42 и др. 1 2) характеристические функции на основе уравнений В. С. Пугачева [25, 68, 69] 3) статистическая линеаризация многомерных нелинейных функций И. Е. Казакова [33, 34, 54] 4) метод моментов [33, 74, 69] 5) семиинварианты (кумулянты) [251 6) метод малого параметра, усреднения и асимптотический метод [27, 50] 7) канонические разложения [85] 8) метод Винера [85 ] с использованием рядов Вольтерра и ортогональных спектров [85] и др. [c.144]

Приведем краткие характеристики наиболее распространенных в практике методов статистического анализа нелинейных динамических систем. [c.144]

Отметим теперь особенности аналогичных методов статистического анализа нелинейных динамических систем. [c.147]

При статистическом анализе нелинейных динамических систем обычно возникает задача приближенной замены нелинейных функций, входящих в систему дифференциальных уравнений, более простыми. Так, например, статистическая линеаризация позволяет во многих практиче ских случаях находить линейные эквиваленты для нелинейных преобразований и применять для нелинейных систем хорошо разработанные методы, которые подробно рассмотрены в I главе и в [33, 69, 85]. Если нелинейные функции не могут быть описаны математически, то задача сводится к выбору подходящей аппроксимации совместно с методами статистической линеаризации [29]. Таким образом, может быть решена задача идентификации нелинейных систем. Отличительная черта рассматриваемых приближенных методов состоит в том, что анализируются соотношения между статистическими характеристиками процессов, а не между самими процессами. Это приводит к тому, что 10 147 [c.147]

В ряде случаев более целесообразным может оказаться применение метода, основанного на предположении, что закон распределения вероятностей известен лишь для части вектора фазовых координат, а предположение о нормальном законе совместного распределения вероятностей вводится только для тех координат, которые поступают на входы нелинейностей,. а не всего фазового вектора выходных координат системы. Ряд других приближенных способов статистического анализа нелинейных динамических систем, в основе которых лежит модификация метода статистической линеаризации, можно найти в работах [ 13, 25, 65, 74, 85, 103]. [c.151]

В практике статистического анализа нелинейных динамических систем большое распространение нашли методы статистической линеаризации [33, 69, 85], позволяющие в ряде случаев существенно упростить задачу исследования. Рассмотрим применение такого подхода к исследуемому классу динамических систем. Предположим, что в уравнении (6.2) s = 0 ц, = 0 -ую = 0 Q = N = = М = Q, что соответствует последнему из рассмотренных выше частных случаев [c.244]

Допустим, что девиатор деформации е — стационарная случайная функция времени. Положим для простоты, что математическое ожидание равно нулю. Пусть требуется выяснить поведение материала при таком законе деформирования. Прямое использование уравнений (5) — (Ю) для этой цели наталкивается на значительные трудности в силу нелинейности этих уравнений. Поэтому целесообразно применить приближенные методы. Одним из наиболее простых и эффективных методов анализа нелинейных систем является метод статистической линеаризации [192]. Ниже этот метод используется в задаче анализа поведения упругопластического материала при случайном законе деформирования. [c.152]

Рассмотрим другие приближенные методы статистической динамики нелинейных систем. Благодаря своей простоте значительное распространение в практических расчетах получил метод статистической линеаризации. Применим его для анализа нелинейного уравнения типа (4.122). [c.124]

При статистическом анализе заданного класса (моделей) нелинейных динамических, систем сущность метода статистических испытаний заключается в нахождении способа формирования и ввода случайных реализаций входных функций fj или параметров Vj с заданными вероятностными характеристиками на соот- [c.144]

Рассмотрим еще один из методов использования уравнений ФПК в задачах статистического анализа многомерных нелинейных систем [54]. Предположим, что динамическая система описывается системой дифференциальных уравнений первого порядка [c.161]

В предьщущих разделах бьши рассмотрены только первые два момента теории случайных функций — математическое ожидание и корреляционная функция. К сожалению, далеко не все прикладные задачи могут быть решены методами корреляционной теории - например, часто возникающая при анализе динамических систем задача об определении вероятности превышения ординаты случайной функции заданных значений. Эти задачи можно решить, если ограничиться процессами, обладающими некоторыми специальными свойствами, но представляющими практический интерес. В предьщущих параграфах методы корреляционной теории использовались для анализа систем с линейной связью между входом и выходом. В этом случае корреляционная теория дает возможность получить вероятностные характеристики решения дифференциальных уравнений, если известны вероятностные характеристики возмущений. Получить решение нелинейных уравнений методами корреляционной теории нельзя. Однако, если ограничиться процессами, обладающими специальными свойствами, можно получить решение и для нелинейных задач статистической динамики. К таким процессам относят марковские процессы, для полной характеристики которых достаточно знать только двумерные законы распределения. [c.123]

Изложенный выше метод статистической линеаризации дает приближенное решение простейших задач динамики нелинейных систем, справедливое при ряде ограничений на входное воздействие и механическую систему. К таким ограничениям относят следующие малость нелинейных членов в левой части уравнения (5.180) и предположение, что закон распределения решения близок к нормальному. Эти ограничения существенно уменьшают информацию о случайном процессе, позволяя получить только приближенные значения вероятностных характеристик решения. Для случая, когда нелинейности нельзя рассматривать как малые, а также при анализе нестационарных процессов метод статистической линеаризации не применяют. [c.226]

Точных методов исследования любых нелинейных систем даже при детерминированных воздействиях з настоящее время нет, но зато разработано много приближенных методов [39, 40, 90, 91, 111, 116], которые позволяют с достаточной для практики точностью провести статистический анализ, а иногда и синтез нелинейных систем, встречающихся в конкретных инженерных задачах. [c.24]

При анализе и синтезе подобных систем возникает необходимость учета влияния внешнего воздействия, носящего характер стационарной случайной функции. В частном случае, когда последняя представляет собой, например, медленно изменяющуюся функцию, нелинейные характеристики могут быть сглажены при помощи автоколебаний, а затем подвергнуты обычной линеаризации [1]. Поэтому при исследовании подобных систем может быть использована линейная теория случайных функций. В более общем случае решение рассматриваемой задачи целесообразно провести, основываясь на статистической линеаризации существенных нелинейностей [2]. В работах [1, 2] предполагается, что параметры нелинейных звеньев системы автоматического регулирования являются детерминированными величинами. [c.135]

Расхождение в результатах объясняется различием критериев устойчивости решений стохастических дифференциальных уравнений и выбором методики исследования. Отметим, что данная методика дает возможность исследовать приближенными методами движение систем в переходных режимах как при стационарных, так и нестационарных возмущениях, а в сочетании с методом статистической линеаризации перенести изложенные выше результаты на случай существенно нелинейных параметрических систем. В работе [54] исследование подобных систем приведено с использованием асимптотического метода и нестационарных уравнений ФПК. Из у.равнений (6.58), (6.59) следует, что наличие флюктуаций при линейных членах f н f приводит к увеличению дисперсии движения системы. Из рис. 70 видно, что наличие флюктуаций в нелинейных членах также приводит к изменению дисперсии системы по сравнению с системой с постоянными параметрами. Однако, как нетрудно показать из анализа выражения (6.54), увеличение дисперсии флюктуаций в нелинейных членах приводит к уменьшению дисперсии. В работе [27 ] рассмотрена проблема снижения резонансных амплитуд за счет введения флюктуаций при линейном члене /. При этом введение флюктуаций предполагалось кратковременным. Выражение (6.54) показывает новые возможности при решении подобных проблем в сочетании с принципом управления по возмущению (компенсация возмущений). [c.249]

В тех случаях, когда степень нелинейности Пу , t, s) значительна и при анализе технологического процесса путем применения линейной модели требуемая точность не может быть достигнута, используется метод линеаризации, который дает возможность применить приведенные выше методы линейных преобразований случайных функций для нелинейных объектов. Таким образом, линеаризация дает возможность применить хорошо разработанные методы анализа точности линейных систем к исследованию нелинейных объектов. Ниже рассматривается один из методов линеаризации — метод статистической линеаризации, который применяется при статистическом исследовании технологических процессов. [c.359]

Все динамические системы в соответствии с их свойствами можно разделить на три типа линейные, нелинейные и параметрические . Наиболее хорошо развиты статистические методы исследования линейных систем и если заданы статистические параметры внешнего воздействия, анализ и синтез таких систем не представляет принципиальных трудностей. Линейные системы могут быть как с постоянными, так и с переменными во времени параметрами. Ясно, что наиболее просто поддаются анализу линейные системы с постоянными параметрами, но и для линейных систем с переменными параметрами также имеются достаточно надежные приближенные методы расчета [91, 104, 110], правда, процесс вычислений здесь значительно сложнее. [c.24]

Как уже отмечалось, применение ПЭВМ предопределяется разработанным для них программным обеспечением. В соответствии, с назначением тех или иных моделей на передний план выходят то игровые программы, то автоматизированные учебные курсы. Персональные ЭВМ, предназначенные для инженеров, наряду со средствами мащинной графики, обработки текстов, сервисными программами должны содержать программы решения повседневных научных и технических задач. В этот набор, как правило, входят программы решения систем линейных, нелинейных, дифференциальных уравнений, вычисления определенных интегралов, интерполяции функций, нахождения корней многочленов, определения экстремумов функций одной и нескольких переменных, спектрального анализа, статистической обработки данных и т. п. Обычно такие программы оформляются в виде библиотек или пакетов и размещаются на внешних носителях. Напомним, что основное различие между пакетом и библиотекой программ заключается в следующем пакеты построены по модульному принципу (одни и те же фрагменты используются в различных программах), в то время как программы библиотек работают независимо друг от друга. Применение пакетов позволяет более экономно использовать машинные ресурсы с библиотеками в ряде случаев проще ра тать, особенно неподготовленному пользователю. На русском языке тексты прикладных программ публикуются довольно давно - в 60-е, 70-е годы в основном на Алголе и Фортране, в последнее время все чаще на Бейсике и некоторых других языках. [c.91]

Для иллюстрации современного состояния теории нелинейных колебаний и волн остановимся здесь кратко лишь на двух ее направлениях — исследовании когерентных состояний и сложных детерминированных структур и анализе случайного (стохастического) поведения детерминированных систем. Взаимосвязь динамики и статистики волнует физиков уже на протяжении столетия, и, конечно, главным всегда был вопрос можно ли строго получить статистическое описание из динамического До недавнего времени ответ был отрицательным. Возникновение случайности в классической (неквантовой) динамической системе (не подверженной действию шумов) связывалось исключительно с ее сложностью — чрезвычайно большим числом степеней свободы (например, газ в сосуде), когда детерминированное описание просто теряет смысл, хотя в принципе и возможно. При этом переход к вероятностному описанию основывался на какой-либо гипотезе (например, эргодической). Появившаяся сейчас строгая теория позволяет утверждать, что нелинейные динамические системы могут в прямом смысле [c.14]

Предлагаемая вниманию читателей книга является монографией, посвященной описанию двумерных решеточных моделей в статистической физике, допускающих аналитическое решение. Анализ свойств решений таких моделей оказался чрезвычайно полезным для понимания поведения сложных реальных систем. Прежде всего следует напомнить о той важнейшей роли, которую исторически сыграло решение Онсагером модели Изинга. Эта модель, которая в пятидесятых годах рассматривалась как некоторая модель ферромагнетизма и интересный объект для математических упражнений, в шестидесятых годах после работ Янга и Ли стала важнейшим источником информации о свойствах фазовых переходов. Начиная с семидесятых годов представления и результаты теории модели Изинга и других двумерных решеточных систем, такие, как скейлинг, универсальность и т. д., стали плодотворно использоваться в теории поля. В самое последнее время указанные представления стали активно использоваться в теории нелинейных динамических систем при описании хаоса. [c.5]

В книге даны основы механики сплошной среды (МСС) физическая трактовка основных понятий и статистическое обоснование законов МСС аксиоматика МСС кинематика и теория внутренних напряжений в средах физические законы — сохранения массы, импульса, энергии и баланса энтропии методы получения замкнутых систем уравнений, основные типы граничных условий и постановки краевых задач МСС. Даны замкнутые системы уравнений для классических сред (газов, жидкостей, упругих тел) и для сред со сложными свойствами (вязко-упругих, нелинейно вязких, упруго- и вязко-пластических, плазмы и др.) при действии электромагнитного поля. Дана теория размерностей и подобия с ревизионным анализом уравнений МСС, критериями подобия и моделирования, с примерами автомодельных решений. [c.3]

Отметим еще одно важное свойство i ауссовских процессов, которое можно использовать при статистическом анализе нелинейных систем. Плотность распределения вероятности случайного сигнала на выходе любого нелинейного элемента изменяется. Поэтому, если на входе такого элемента действует случайный сигнал с гауссовским законом шютности распределения вероятности, то на выходе сигнал уже не будет гауссовским. Если после нелинейного элемента сигнал поступает в линейное частотно-зависимое звено, у которого полоса пропускания меньше, чем полоса частот сигнала, то сигнал по своим свойствам приблизится к гауссовскому сигналу. Такое приближение тем точнее, 1ем е полоса пропускания линейного звена по отношению к спектру сигнала на выходе нелинейного звена [ 16]. Это свойство случайных сигн шов позволяет упростить анализ и синтез тракта ОЭП при воздействии случайных сигналов. [c.115]

Здесь следует отметить следующее. В зависимости от способа задания или информации входных случайных возмущеций и формы представления выходных координат динамической системы возможны различные варианты постановки задач анализа в статистической динамике нелинейных систем [85]. Мы ограничимся лишь наиболее распространенными и важными в практическом использовании вариантами. [c.142]

Другой разновидностью методов статистического анализа нелинейных динамических систем являются методы статистических испытаний (метод Монте-Карло) [26, 851 и эквивалентных возмущений [85]. Эта группа методов принадлежит к классу экспериментальных и реализуется непосредственно на АЦВМ (ГВМ). [c.144]

Рассмотренные в данном параграфе примеры показывают, что для расчета нелинейных систем амортизации при случайных воздействиях применимы хорошо разработанные методы теории выбросов в сочетании с корреляционным анализом нелинейных задач статистической динамики. Основные соотношения теории выбросов легко обобщаются на случай негауссовских распределений фазовых переменных и параметров, характеризующих качество работы амортизации. Благодаря этому открываются возможности обоснованной оценки надежности и проектирования оптимальных систем амортизации и виброзащиты с целенаправленным использованием нелинейных эффектов в соответствующих устройствах. [c.133]

Решение стохастических задач для распределенных нелинейных систем встречает серьезные математические трудности. Поэтому обычно распределенную систему заменяют эквивалентной в некотором смысле системой с конечным числом степеней свободы. Одна из задач состоит в отыскании распределения критических сил по заданному распределению пара-метроё начальных возмущений. Пусть известна детерминистическая связь между критическим параметром и параметрами возмущений щ, и ,. . ., UJn Тогда при некоторых ограничениях (В. В. Болотин, 1958) плотность распределения вероятности р (Р ) может быть выражена через совместную плотность р (щ, и ,. . ., Мт)- Этот метод был применен для анализа распределения критических сил пологой цилиндрической панели, нагруженной осевыми давлениями. Вычисленные значения математических ожиданий и дисперсий оказались близки к опытным значениям. Б. П. Макаров (1962, 1963) и В. М. Гончаренко (1962) рассмотрели ряд других случаев осевое и гидростатическое сжатие круговой цилиндрической оболочки, гидростатическое сжатие цилиндрической панели и др. Б. П. Макаров (1962) и А. С. Вольмир (1963) произвели статистическую обработку экспериментальных данных по испытаниям оболочек на устойчивость в частности, Б. П. Макаров (1962) исследовал экспериментальные данные с точки зрения высказанной им гипотезы о возможности бимодальных распределений критических сил. [c.358]

Существенной чертой уравнений в вариационных производных для характеристического функционала является их линейность. При этом задача вероятностного описания нелинейных распределенных динамических систем сводится к решению линейных, но на классе уравнений большей размерности. Аналогичная ситуация имеет место при анализе нелинейных динамических систем, описываемых обыкновенньти дифференциальными уравнениями. Их статистический анализ, как мы видели, может быть проведен в рамках стохастических уравнений Лиувилля, т. е. линейных уравнений в частных производных. Следует, однако, сказать, что математические средства (функциональный аппарат) решений уравнений в вариационных производных развиты цока недостаточно. [c.148]

Возможности программного рбеспечения моделирование линейных и нелинейных систем, моделирование линейных и нелинейных марковских процессов, оценка состояний в линейных и нелинейных системах (фильтры Калмана), линейная идентификация (метод наимёньйгих квадратов), линейная и нелинейная идентификация (расширенный фильтр Калмана), статистический анализ, вывод результатов на дисплей. [c.311]

Многие поразительные успехи, достигнутые в оптике за последние 10—20 лет, непосредственно связаны с прогрессом в радиоэлектронике, и в частности в таких ее разделах, как техника связи, СВЧ-электроника и радиоастрономия. Наиболее примечательное сходство оптики и радиоэлектроники обнаружилось благодаря успешному применению операционного метода Фурье для анализа процессов образования оптического изображения и в спектроскопии, а также благодаря использованию оптических резонансных систем и управления при помощи оптической обратной связи (например, в лазерах, волоконной оптике и в ин-терферометрическом управлении станками). Исключительная простота оптических вычислительных устройств и когерентных (гетеродинных) детекторов в технике связи подкрепляет эту аналогию. Общность оптики и радиоэлектроники проявляется и в эффективном использовании обеими этими дисциплинами статистических и когерентных свойств электромагнитных сигналов и излучения, в успешном развитии методов усиления яркости света и управления лазерным пучком и, наконец, в недавних новых успехах безлинзовой фотографии и техники автоматического распознавания образов. Нелинейная оптика представляет собой другой пример фундаментальной общности теории и техники эксперимента для всех диапазонов электромагнитных волн. Единство принципов и методов связывает астрономию, радиоастрономию, физику электромагнетизма и радиоэлектронику. Работы по установлению и использованию этих фундаментальных принципов в пределах всего электромагнитного спектра весьма эффективно содействовали появлению новых направлений в науке и технике и привели к созданию новой дисциплины, получившей название радиооптики. [c.15]

Если исключить краевые задачи и проблемы нелинейной оптики, в основе которых лежит электромагнитная теория, а также исследования по физике излучения, где используется квантовая теория и статистическая физика, то можно сказать, что главные разделы радиооптики базируются на операционном методе решения задач с помощью преобразования Фурье. Метод преобразования Фурье применяли уже Релей и Майкельсон на рубеже нашего века. Однако только современная теория распределений, или обобщенных функций, основанная на трудах Л. Шварца (1950—1951 гг.), может рассматриваться как универсальный инструмент, пригодный не только для анализа более или менее классических задач в теории образования изображения и в теории связи, но и для синтеза новых устройств и систем. Матричная формулировка образования изображения с помощью линз и зеркал существенно упростила математи еские методы расчета линз, особенно при использовании электронной вычислительной машины. Оптические аналоговые корреляторы и вычислительные устройства, созданные на основе новых математических обобщений, начинают дополнять превосходящие их нередко по сложности электронные вычислительные машины. В гл. 5 на нескольких примерах показано, как, пользуясь оптическими методами, можно осуществлять операции умножения и [c.16]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...