Решение Онсагера

Согласно точному решению Онсагера, теплоемкость двумерной модели Изинга в нулевом поле имеет логарифмическую особенность, если приближаться к критической температуре Т как сверху, так и снизу. Спонтанная намагниченность стремится к нулю как Т — 7 ) - а восприимчивость расходится как Т — Отметим, что эти показатели степени довольно сильно отличаются [c.327]

Предлагаемая вниманию читателей книга является монографией, посвященной описанию двумерных решеточных моделей в статистической физике, допускающих аналитическое решение. Анализ свойств решений таких моделей оказался чрезвычайно полезным для понимания поведения сложных реальных систем. Прежде всего следует напомнить о той важнейшей роли, которую исторически сыграло решение Онсагером модели Изинга. Эта модель, которая в пятидесятых годах рассматривалась как некоторая модель ферромагнетизма и интересный объект для математических упражнений, в шестидесятых годах после работ Янга и Ли стала важнейшим источником информации о свойствах фазовых переходов. Начиная с семидесятых годов представления и результаты теории модели Изинга и других двумерных решеточных систем, такие, как скейлинг, универсальность и т. д., стали плодотворно использоваться в теории поля. В самое последнее время указанные представления стали активно использоваться в теории нелинейных динамических систем при описании хаоса. [c.5]

Почти во всех современных книгах по статистической механике принято излагать решение Онсагера в том или ином варианте, однако, чаще всего оно только намечено или, во всяком случае, в изложении содержатся большие пропуски в вычислениях, для восстановления которых необходимо читателю затратить значительные усилия или использовать специальную литературу. Мы пытаемся [c.137]

Критические индексы теплоемкости, намагниченности и восприимчивости. Замечательным результатом, вытекаюш им из точного решения Онсагера, является получение критических индексов термодинамических величин, имеющих особенности в точке перехода. Эти особенности вытекают из особенности в свободной энергии. Последнюю можно выявить, рассматривая точное выражение для свободной энергии анизотропной модели (13.57). Это выражение удобно переписать в другой, часто используемой форме 1[44] [c.153]

Квазиодномерный предел. Точное решение Онсагера найдено для анизотропной модели с двумя параметрами, Л и /2, и допускает [c.158]

Перейдем теперь к рассмотрению квазиодномерной системы, рассматривая сильно анизотропный предел в точном решении Онсагера [14]. Пусть Л > Л. Уравнение зЬ 2/ 1 зЬ 2/ 2 = 1 для температуры перехода в этом случае можно записать в виде [c.160]

Рис. 156. График удельной теплоемкости одномерной изинговской цепочки с взаимодействием ближайших соседей (с = 2) в случае Л = 0. Для сравнения пунктиром приведен график точного решения Онсагера для квадратной (с = 4) изотропной (7 =

Крупным достижением статистической механики явилось опубликование в 1944 г. работы Онсагера, содержащей точное решение двумерной d = 2) проблемы Изинга для квадратной решетки с взаимодействием ближайших соседей в отсутствие магнитного поля. Впервые в истории Онсагеру удалось дать точно решаемую модель, в которой в термодинамическом пределе N <х> действительно происходит фазовый переход. Оригинальная работа Онсагера очень трудна для восприятия, поскольку в ней использованы весьма сложные математические методы. С тех пор были найдены гораздо более простые методы решения задачи, но их результаты все еще достаточно сложны и не будут приводиться здесь. Интересующимся читателям мы рекомендуем обратиться к книгам Ландау и Лифшица или Стенли, где изложено простое решение двумерной проблемы Изинга, полученное Вдовиченко. [c.360]

Третья часть посвящена приложениям результатов общей теории к некоторым специальным проблемам. В ней рассмотрены модель Изинга и предложенное Онсагером решение задачи Изинга для двумерного случая, а также вопросы, касающиеся жидкого гелия и неидеального бозе-газа. Подробное рассмотрение этих задач не только [c.5]

В частности, двумерные точно решаемые модели представляют большую ценность для проверки общих теорий и предположений, таких, как гипотезы подобия и универсальности. Например, первое доказательство универсальности было получено Онсагером в 1944 г. [184] в результате решения модели Изинга на квадратной решетке. Онсагер предположил, что константы взаимодействия У и У в горизонтальном и вертикальном направлениях различны, но его решение показало, что для температур Г, близких к [c.78]

Помимо соотношения дуальности (6.3.7), между статистическими суммами моделей Изинга на треугольной и шестиугольной решетках существует еще одно соотношение между ними, известное как соотношение звезда — треугольник . Онсагер [184] ссылается на него мимоходом во введении к своей статье, посвященной решению модели Изинга для квадратной решетки. Ванье [246] выписал его в явном виде, и с тех пор оно было представлено во многих работах (см., например, [114]). [c.85]

Прежде чем перейти к следующей главе, следует упомянуть о плоской задаче димера. Это полезно сделать, с одной стороны, потому, что ее решение [139, 230] было следующим большим достижением точной статистической механики после решения модели Изинга Онсагером, а с другой — потому, что статистическая сумма модели Изинга в отсутствие внешнего поля сама может быть выражена через решение задачи димера. [c.128]

За время, отделяющее решение модели Изинга Онсагером в 1944 г. от решения модели жестких шестиугольников Бакстером в 1980 г., статистическая механика двумерных систем обогатилась значительным числом точных результатов. Принято называть модель точно решаемой, когда для некоторой физической величины, такой как свободная энергия, параметр порядка или корреляционная функция, получено удобное математическое выражение или, по крайней мере, когда удалось свести их вычисление к задаче классического анализа. Такие решения, которые поначалу кажутся иногда каким-то курьезом, часто бы-виют интересны тем, что иллюстрируют общие принципы и теоремы, строго выведенные в рамках определенных теорий, а также позволяют контролировать приближенные методы, применимые к более реалистическим и сложным моделям. В теории фазовых переходов модель Изинга, результаты Онсагера и Янга успешно сыграли такую роль. Методы Либа и Бакстера для разнообразных вершинных моделей развили этот успех и расширили набор известных критических показателей, дав материал для сравнения с методами экстраполяции, и заставив уточнить концепцию универсальности. Тесно связанные с классическими двумерными моделями, хотя и не представляющие интереса для теории критических явлений, квантовые одномерные модели, такие, как магнитная цепочка, и знаменитое решение Бете, несомненно внесли вклад в понимание структуры возбуждений в системах с большим числом степеней свободы. Можно было бы также обратиться к физике одномерных проводников. Все эти вопросы теоретической физики, которые, несомненно, оправдывают исследования точно решаемых моделей, не являются предметом настоящей книги, поскольку их изложение потребовало бы обширных и в то же время глубоких познаний в теоретической физике. Речь будет идти в основном [c.8]

Вслед за решением этой плоской задачи димера Кастелейн [140] показал, что вычисление статистической суммы модели Изинга на квадратной решетке в отсутствие внешнего поля может быть представлено как задача димера, и поэтому получил снова решение Онсагера. Как уже упоминалось в разд. 7.1, метод пфаффиана оказался весьма полезным для вычисления характеристик модели Изинга [164, 170, 233]. [c.130]

Нам представляется с этой точки зрения наиболее эффективным в решении задачи о двумерной модели Изинга метод, использованный в работе Шульца, Маттиса и Либа [144], основанного на применении трансфер-матрицы и последующем переходе к фермионно-му представлению. Отметим, однако, что имеется много методов получения и анализа точного решения Онсагера [44, 134]. [c.138]

Рис. 259. График удельной теплоемкости одномерной изинговской цепочки с взаимодействием ближайших соседей (с = 2) в случае к = 0. Для сравнения пунктиром приведен график точного решения Онсагера для квадратной (с = 4) изотропной (1хх=1ху=1уу = 1) решетки, имеющего логарифмическую особенность в точке 0х=2//агс5Ь 1 2,27-/

Л У-модель J, = Jy=iiO, Л = 0) сводится к другой Т. р. м.— знаменитой двумерной модели Изинга, точное решение к-рой в 1944 нашёл Л. Онсагер (L. Onsager) (см. Изинга модель). [c.151]

В задаче 28.2 мы видели, что линейный закон Онсагера можно получить из некоторых вариационных принципов (например, минимизацией разности О — 2од по отношению к потокам Это дает метод нахоя дения приближенных решений уравне-нпя (28.2.2) для потоков (выраженных через заданные силы) в случае, когда значение N велико, и поэтому трудно найти матрицу, обратную матрице М. Будем считать, что решение уравнения (28.2.2) содержит набор неопределенных параметров (число которых меньше чем Н), и найдем оптимальные значения этих паралтетров путем минимизации разности о,- — 2о относительно изменений параметров. Удобно ввести эти параметры в виде неопределенных констант в линейную комбинацию заданных векторов. Поэтому будем искать решение для /р в виде [c.623]

Решение было найдено Онсагером [23]. Первый опубликованный расчет спонтанной намагниченности (Онсагер сообщил результат, но никогда не публиковал свои вычисления) принадлежит Янгу [24]. Сравнительно доступный вариант онсагеровского расчета для свободной энергии имеется в статье Шульца и др. [25]. [c.327]

За три года до того, как Онсагер получил решение для модели на квад-рятной решетке, Крамере и Ванье [152] определили ее критическую температуру. Их доказательство может быть сведено к следующим простым рассуждениям. [c.78]

По-видимому, метод коммутирующих трансфер-матриц нельзя использовать для решения модели Изинга и других моделей в присутствии внешнего поля или даже для решения некритической модели Поттса. Мне кажется, что единственная надежда решить восьмивершинную модель и модель Поттса состоит в том, чтобы найти подходящие алгебраические методы подобные тем, которые привели Онсагера [184] и Кауфман [143] к решению модели Изинга без внешнего поля. (Вера в существование таких методов основана на том, что диагонализованные угловые трансфер-матрицы бесконечной решетки имеют простой вид прямого произведения [c.451]

Кац выдвинул предположение о том, что решение трехмерной проблемы Онсагера (кубическая решетка) имеет такой же вид, как и (5.29), с той лишь разницей, что соз + os т) заменяется на OSS 4- OST) + os и йЫу 1 2лУ на й%йт (И 1 2пУ. Однако это предположение неверно. [c.173]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...