Интеграл инвариантный относительно системы уравнений

Функция F(p, q) есть первый интеграл канонических уравнений с функцией Н(р, д) тогда и только тогда, когда функция Н р, q) инвариантна относительно фазового потока системы кинетических уравнений с гамильтонианом F. [c.136]

Пусть Г — интеграл уравнений (5.1), голоморфный в окрестности комплексной кривой Г. Разложим эту функцию в ряд по степеням переменных 1,..., -1 его коэффициенты — голоморфные функции от I е X. Ясно, что первая нетривиальная однородная форма этого ряда является интегралом приведенной линейной системы уравнений в вариациях. Следовательно, найдется однородная форма от 71 — 1 переменных, инвариантная относительно действия приведенной группы монодромии. [c.361]

Пользуясь предложением 1, укажем метрики на двумерной сфере, для которых уравнения геодезических допускают неприводимые интегралы 3-й и 4-й степени. С этой целью рассмотрим задачу о вращении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой. Эта система с тремя степенями свободы инвариантна относительно группы вращений вокруг вертикали. Фиксируя нулевую постоянную соответствующего интеграла Нётер (интеграл площадей) и проводя факторизгщию по орбитам действия группы симметрий, сведем эту задачу к системе с двумя степенями свободы на фазовом пространстве 7 S . Гамильтониан имеет вид (6.1), где Г — гамильтониан приведенной задачи Эйлера, а V К — потенциальная энергия силы тяжести. Если выполнены условия Горячева — Чаплыгина или Ковалевской (см. 5 гл. П), то уравнения с гамильтонианом T+V допускают дополнительный интеграл соответственно третьей и четвертой степени по скоростям. Предложение 1 дает метрики на двумерной сфере с интегралами степени 3 и 4. При V = О эти интегралы приводимы. А. В. Болсинов и А. Т. Фоменко дали доказательство неприводимости интегралов Горячева — Чаплыгина и Ковалевской, основанное на глубоких идеях теории топологической эквивалентности интегрируемых гамильтоновых систем. [c.404]

Полная система (восьми уравнений) (5.3), (2.1), очевидно, инвариантна относительно трансляций вдоль неподвижных осей, этому соответствует наличие двух инволютивных интегралов — проекции импульса системы на неподвижные оси Рх,Ру. В соответствии с общей теорией [1, 2], в данном случае возможна редукция на две степени свободы, этому соответствует тот факт, что отделяется (замкнутая) система уравнений для переменных Мг, М2, Мз, М4,8, которая обладает интегралом (помимо интеграла энергии Н) [c.334]

Поскольку движение точечных вихрей на сфере является обобщением случая плоского вихревого течения, приведем кратко известные результаты для задачи о взаимодействии вихрей на плоскости. Простейший пример движения двух вихрей рассмотрен Гельмгольцем [23]. Г. Кирхгоф [27] установил гамильтоновость уравнений движения N точечных вихрей, а также нашел четыре первых интеграла этой системы, которые связаны с независимостью гамильтониана от времени и его инвариантностью относительно параллельного переноса и поворота системы координат. Интегрируемость задачи трех вихрей отметил А. Пуанкаре [32] (существуют три первых интеграла, находящихся в инволюции). В работе [18] система точечных вихрей рассматривалась в качестве модели двумерной турбулентности. Там же получено решение задачи о взаимодействии трех одинаковых вихрей. Авторы работы [19] на основе численных расчетов устанавливают стохастические свойства системы четырех вихрей и тем самым показывают, что двумерное течение идеальной жидкости в общем случае не является вполне интегрируемой системой. Как уже было отмечено, аналитическое доказательство неинтегрируемости системы четырех точечных вихрей на плоскости дано в работах Зиглина [9, 33]. Отметим также работы [20] и [22]. В [20] проинтегрирована в эллиптических функциях система трех одинаковых вихрей и показана хаотизация движения четырех вихрей равной интенсивности. В [22] рассматриваются интегрируемые случаи движения четырех вихрей. [c.376]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...