Функция Гамильтона системы

В такой системе обычно есть дополнительные малые параметры, связанные с количественным различием параметров (размеров, массы, скорости и др.) брауновской частицы и молекул. Для данной функции Гамильтона системы, исходя из уравнения Лиу-вилля, записывают уравнение для функции распределения объединенной системы, которое затем формально решается путем разложения по малому параметру (например, методом теории [c.39]

Функция Гамильтона системы имеет вид [c.200]

Равновесные термодинамические параметры представляют собой, как известно, средние значения соответствующих динамических величин, зависящих от координат и импульсов всех частиц системы. Так, внутренняя энергия есть среднее значение функции Гамильтона системы и т. д. [c.291]

Пусть Н = H q,p) — функция Гамильтона системы с одной степе- [c.371]

При этом предполагается, что система п уравнений (1.5) разрешена относительно ди и эти выражения подставлены в функцию Лагранжа и первую сумму формулы (1.6). В случае декартовых координат построение функции Гамильтона системы является элементарным. Криволинейные координаты часто более удобны для анализа динамики систем. [c.10]

При построении функции Гамильтона Н переменные р1 принимаются за новые независимые между собой искомые функции времени (2п функций от /). По определению Н (р, д, 1) и свойству однородных квадратичных форм с учетом (1.9) получим функцию Гамильтона системы, выраженную через обобщенные координаты, импульсы и время [c.11]

Итак, основная задача сводится к определению свободной энергии я )(ц, Т) по заданной функции Гамильтона системы Я(/ , д, ]ы). Для конкретных физических сред это почти всегда трудная задача. Выражение через Я в виде функции интеграла состояний 2( д, 7), определяемого интегралом по всей фазовой области Г формулой [c.43]

Гамильтонова форма системы (6.18) может быть получена при помощи преобразования Лежандра (4.14). При этом функция Гамильтона системы в общем случае слишком громоздка, приведем ее вид при условии, что тело динамически симметрично относительно оси Ь (Д = /2) [c.69]

Выражения для волновой аберрации. легко получить с помоп ью точечной характеристической функции Гамильтона системы. [c.199]

Пусть Н р, о) — функция Гамильтона системы с п степенями свободы (следовательно, размерность фазового пространства р, д равна 2п). Пусть Н = к — 2п — 1)-мерная поверхность уровня энергии, а Т, Н = к, 1 = 0 — сечение поверхности постоянной энергии размерности 2п — 2. Пусть О в некоторой области Ео поверхности Е, и Р = (р2, Рп) Я = ( 2г п) образуют систему локальных координат (см. рис. П31.1). [c.228]

В работах [86, 87] показано, что в рассматриваемом случае существует вещественная линейная каноническая замена переменных, приводящая функцию Гамильтона системы (1.1) к такому виду (обозначения для переменных оставляем прежними) [c.82]

Функция Гамильтона системы. Динамические уравнения механики, основанные на законах Ньютона, приводят к первым интегралам движения или к законам сохранения энергии, импульса, момента импульса системы материальных точек (глава IV). Также обстоит дело и с уравнениями Лагранжа, описывающими движение системы в обобщенных координатах они приводят к сохранению некоторых величин, носящих название обобщенной энергии и обобщенных импульсов. [c.193]

При этом предполагается, что система п уравнений (1.11) разрешена относительно и эти выражения подставлены в функцию Лагранжа и первую сумму формулы (1.12). В случае декартовых координат построение функции Гамильтона системы является элементарным. [c.11]

Предположение о том, что тензор деформаций вц всегда относится к внешним параметрам состояния, вообще говоря, ошибочно. Этот тензор в каждый предшествующий момент toграничные условия, определяющие средние по ансамблю, т. е. макроскопические функции состояния. Например, внутренняя энергия и энтропия единицы объема, определяемые ( 2, 3) через функцию Гамильтона системы И и функцию / распределения системы S v по ансамблю [c.124]

Обобщенные координаты, которые не входят явно в функцию Лагранжа I, называются циклическими координатами ( 127). Очевидно, что циклические координаты не войдут явно и в функцию Гамильтона Н. Пусть, например, первые k обобщенных координат 9[, 9а,. -ч Як механической системы с s степенями свободы циклические. Тогда функция Гамильтона примет вид [c.375]

В том случае, если все обобщенные координаты механической системы являются циклическими, то функция Гамильтона зависит лишь от обобщенных импульсов и времени, т. е. [c.376]

Обратим теперь внимание на выражение, стоящее в левой части этого равенства под знаком полного дифференциала. Выражение, союзное к этому, является функцией гамильтоновых переменных, обозначается буквой Н и называется функцией Гамильтона или гамильтонианом системы [c.262]

Предположим, что рассматриваемая механическая система подчинена стационарным связям. В этом случае функция Гамильтона от времени явно не зависит и уравнение (6.12) имеет вид [c.156]

Уу (/ = 1,. .., л), приводящее систему (2. 92) к нормальной форме. Нормальной формой системы уравнений (2.92) будем называть такую систему дифференциальных уравнений, которой соответствует функция Гамильтона, равная алгебраической сумме гамильтонианов п линейных, не связанных между собой осцилляторов [c.125]

Как и в случае, когда в системе (2.92) матрица G t) постоянна, нормальной формой системы (2,92) будем называть такую систему уравнений с постоянными коэффициентами, которой соответствует функция Гамильтона вида (2.93). [c.129]

Когда в системе имеются циклические координаты, изменение позиционных координат описывается функцией Гамильтона, в которой циклические импульсы приняты за постоянные параметры. [c.634]

Чтобы найти функцию Гамильтона, достаточно учесть, что система склерономна. Поэтому Я = Т -Г П, где обобщенные скорости следует заменить их выражениями через обобщенные импульсы (следствие 9.2.2, свойство 3). Учтем, что по теореме Эйлера [c.635]

Следствие 9.3.4. Пусть Н не содержит явно t и f = а есть первый интеграл системы канонических уравнений с функцией Гамильтона Я. Тогда [c.639]

Действительно, для системы Лиувилля функция Гамильтона Н выражается равенством [c.653]

Необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости положения равновесия системы спутник — стабилизатор сравнительно легко получаются в общем виде построением функции Ляпунова, роль которой выполняет функция Гамильтона системы. Единственная трудность связана с. тем, что производная от функции Ляпунова в силу уравнений движения является лишь знакопостоянной, а не знакоопределенной функцией, поэтому, теоремы второго метода Ляпунова в этом случае нельзя применить без дополнительного исследования. [c.297]

Так как р = q — О есть положение равновесия, то разложения праьых частей в ряд Тейлора в нуле начинаются с линейных по р, q членов. Так как правые части — частные производные, то эти линейные члены определяются квадратичными членами разложения Н р, q). Но Н2 есть в точности функция Гамильтона системы с лагранжианом = T — Лг, так как, очевидно, Н2 — [c.92]

Слз ай Ь Ф О более сложен. Для доказательства устойчивости снова используем интеграл Н = h = onst и сведем систему с двумя степенями свободы к системе с одной степенью свободы, но с 2я-периодической зависимостью новой функции Гамильтона от новой независимой переменной. В отличие от задачи о неустойчивости, здесь недостаточно рассмотрения только одного уровня энергии Н = h (например, h = О, как было в рассмотренных выше случаях). В задаче об устойчивости необходимо рассматривать хотя и малый, но конечный интервал изменения постоянной h в окрестности нуля. Поэтому функция Гамильтона системы с одной степенью свободы, к которой редуцируется исходная система с двумя степенями свободы, будет зависеть от величины h как от параметра. Предполагая, что движение изучается в достаточно малой окрестности начала координат (гу — е, О е 1), будем считать h малой величиной, порядок которой не меньше, чем, например, е У ё. Тогда, разрешая уравнение ff=h относительно Г2, получим [c.76]

Якоби, в котором ищут такое каноническое преобразование, которое обращало бы функцию Гамильтона системы в нуль — такая функция Гамильтона не зависит от времени явно, сохраняется, но не имеет никакого отношения к энергии системы. Теперь мы видим, в чем тут дело — в классической механике из двух гамильтонианов Яр и Ящ остается аналог только гайзенбергова гамильтониана Яг — он-то и обращается в нуль в процедуре Гамильтона — Якоби, которая аналогична переходу к шредингеровой картине. В квантовой теории в этой картине возникает другой гамильтониан Яш, который управляет временной зависимостью векторов состояния, — но векторы состояния не имеют классического аналога, и поэтому в классическом рассмотрении этот новый объект исчезает из виду. Впрочем, это исчезновение не совсем бесследно в классическом описании сохраняется величина, связанная с квантомеханическим оператором эволюции U(t,to) (мы не будем сейчас устанавливать характер этой связи)—это производящая функция ф канонического преобразования Гамильтона — Якоби, которая удовлетворяла там уравнению Гамильтона — Якоби (1.77). Поэтому именно это уравнение оказывается классическим следом уравнения Шредингера и может быть получено из него соответствующим предельным переходом. [c.466]

Уравнение Лиувилля есть линейное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка относительно (р.Я) зависящее от 2п 6М переменных (/ ,, дг), причем коэффициенты его суть известные функции этих переменных, определяемые функцией Гамильтона системы Н р, д). Характеристики этого уравнения определяются системой 2п обыкновенных дифференниальных уравнений первого порядка [c.21]

Так как рассматриваемая система консервативная, то функция Гампльтопа равна полной энергии системы, т. е. Я = Л. Найдем такое каноническое преобразование, при котором бы новая функция Гамильтона пе содержала r.oBoi i координаты q, а новый импульо входил бы в первой стеиеин, т. е. [c.151]

Переменные V),, г = 1,..., т называются сопряженны.ми переменными, а определяющая их система дифференциальных уравнений — сопряженной системой. Функция 1-1 называется функцией Гамильтона или гамильтонианом задачи управления. Сопряженная система совместно с системой дифференциальных уравнений для переменных л.-,, г = образуют гамильтонову систему дифференци- [c.609]

Следствие 9.2.3. Система канонических уравнений Гамильтона имеет первый интеграл вида Н = к, где к — постоянная инте-грирования, тогда и только тогда, когда функция Гамильтона Н не зависит явно от времени дH/дt = 0. Для систем материальных точек этот интеграл эквивалентен обобщенному интегралу энергии Якоби, для склерономных систем с потенциальными силами — интегралу полной механической энергии. [c.634]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...