Вырожденные семейства

Вырожденные семейства. Здесь ищутся те значения Р и Q, при которых в семействе (10) с параметром 66С 0 (при фиксированных Р и Q) происходят нетипичные бифуркации. [c.62]

Вырожденные семейства, найденные аналитически. Названные семейства описаны в таблице ниже (см. табл. 1). В первом столбце указана компонента множества вырожденных значений Л, во втором — вырождение коразмерности выше 1, [c.63]

Вырожденные семейства, найденные численно. Названные семейства соответствуют объединению трех линий, показанных пунктиром на рис. 26. Если А принадлежит линии 1 или 2, то одно из уравнений семейства (11а) имеет сложный цикл (сепаратрисный многоугольник) с четырьмя особыми точками типа седло-узел, причем центральное многообразие одной особой точки является устойчивым (или неустойчивым) многообразием другой (рис. 27а,б). Если А принадлежит кривой 3, то одно из уравнений семейства (Па) имеет сложный цикл с че- [c.64]

Вырожденное семейство и его окрестность в функциональном пространстве. Здесь доказана теорема пункта 7.4. [c.154]

Построим теперь описанное в теореме вырожденное семейство d на многообразии М. Для этого возьмем произвольное векторное поле w на М, задающее систему Морса—Смейла, и рассмотрим ее трубку траекторий В, диффеоморфную произведению диска на отрезок, все фазовые кривые которой пробегаются за время 4. Изменим поле w в этой трубке следующим образом. Пусть Я — диффеоморфизм B IXD, выпрямляющий [c.155]

О различных возможных формах инвариантного конуса можно судить по его пересечению со сферой единичного радиуса, описанной около центра вращения О. При рассматривании из точки оси X, находящейся на далеком расстоянии, все эти кривые имеют вид системы подобных эллипсов. При рассматривании из удаленной точки оси Oz они представляются в таком же виде. Если же смотреть на них из удаленной точки средней оси Оу, то они представятся в виде двух семейств сопряженных- гипербол с асимптотами, изображающими те две плоскости, на которые конус распадается при вырождении. Семейство кривых, видимое при рассматривании из удаленной точки оси Оу, представлено на фиг. 42 для случая, когда [c.116]

Вырожденные случаи неустранимы малым шевелением, если рассматривается не индивидуальное уравнение, а семейство уравнений. Поэтому при исследовании вырожденного случая основную ценность представляет не изучение индивидуального вырожденного уравнения, а анализ бифуркаций в семействах общего положения, в которых подобное вырождение встречается неустранимым образом. Технически это исследование проводится с помощью построения специальных — так называемых нереальных — деформаций, в некотором смысле содержащих все остальные. [c.13]

Бифуркационные диаграммы главных семейств (3= ).. Множество особых точек полей любого из семейства (3= ) образует гладкое подмногообразие в произведении фазового-пространства на пространство параметров. Бифуркационная диаграмма для главного семейства (3 ) (множество значений параметра, при которых особые точки семейства сливаются) — это множество коэффициентов многочленов степени р+1, имеющих кратные корни. При р=1 это множество — одна точка, при j, = 2 — полукубическая парабола, при ц = 3 — ласточкин хвост (рис. 5). Деформации векторных полей на прямой с вырожденной особой точкой возникают в теории релаксационных колебаний, как уравнения медленных движений в окрестности точки на складке медленной поверхности ( 2, гл. 4). В п. З.Г указаны только топологические нормальные формы таких деформаций. Для приложений существенны также гладкие нормальные формы они исследуются в 5 главы 2 и оказываются очень похожими на главные семейства (3= ). [c.24]

На каждом из рисунков 15, 16 изображены бифуркационные диаграммы, под ними — фазовые портреты внизу—разбиение полуплоскости параметров (Ь, с), Ь с, на классы топологической эквивалентности легких семейств (12 ). Области, соответствующие трудным семействам, заштрихованы. Номер открытой области на бифуркационной диаграмме — это номер соответствующего фазового портрета из нижней части 2, 3. ., обозначают фазовые портреты, получаемые из 2, 3,... симметрией (х, у) (у, х). При переходе через оси ei и ег без нуля на положительных полуосях х та у рождаются из нуля особые точки или происходит обратный процесс при переходе через луч Б1 (Пг) от особой точки на оси у (на оси х) отделяется или в ней исчезает особая точка, расположенная строго внутри первого квадранта. Легкие семейства (12 ) типа 2 и 2а, а также типа 3 и За отличаются друг от друга только при нулевом значении параметра множества 0-кривых соответствующие вырожденных систем неэквивалентны (рис. 16, г, 5) [c.35]

Бифуркации циклов в типичных двупараметрических семействах при однократном дополнительном вырождении [c.52]

Этот параграф начинается с перечня вырождений, встречающихся в типичных двупараметрических семействах ростков диффеоморфизмов в неподвижной точке и соответствующих изолированным значениям параметров. Бифуркации неподвижных точек с мультипликатором 1 или—1 с дополнительным вырождением в нелинейных членах во многом напоминают бифуркации особых точек с собственным значением 0. Напротив, бифуркации в случае пары комплексно сопряженных мультипликаторов при дополнительном вырождении в нелинейных членах, наряду с появлением замкнутых инвариантных кривых, приводят к совершенно новым эффектам. [c.52]

Значения А, для которых в однопараметрическом семействе (11а) встречаются вырождения коразмерности 2 или выше, будем называть вырожденными. Найденные в настоящее время вырожденные значения А изображены на рис. 26 сплошные линии найдены аналитически, пунктирные — численно. [c.63]

Теорема. Типичное [ -параметрическое семейство векторных полей на прямой в окрестности каждой вырожденной особой точки заменой переменных и параметров приводится к одному из главных семейств (20) при v+l jx или к семейству [c.74]

Теорема ([109]). Пусть в однопараметрическом семействе общего положения нулевому (критическому) значению параметра соответствует векторное поле Vq с вырожденной особой точкой О, имеющей одно собственное значение О, узел по гиперболическим переменным и гомоклиническую траекторию Г точки [c.111]

Требования общности положения. 1. На росток семейства в точке (О, 0) произведения фазового пространства на пространство параметров налагаются те же требования общности положения, что и в п. 2.1, гл. 1.2. На поле Vq налагается следующее нелокальное требование rnW =0. Другими словами, гомоклиническая траектория входит внутрь, а не в. край устойчивого множества. 3. Локальное семейство трансверсально пересекает гиперповерхность векторных полей с вырожденной особой точкой. [c.111]

Замечание. Все теоремы о бифуркациях вырождений коразмерности 1 имеют двойственные формулировки на языке однопараметрических семейств и на языке гиперповерхностей в функциональном пространстве. Ниже теоремы формулируются в основном на языке семейств. [c.112]

Теорема ( [ПО]). Пусть в однопараметрическом семействе общего положения нулевому критическому значению параметра соответствует векторное поле Vo с вырожденной особой точкой О типа седло по гиперболическим переменным, имеющей одно собственное значение О и одну гомоклиническую траекторию. Тогда для этого семейства справедливо заключение первой теоремы п. 3.1, только рождающийся грубый цикл будет седловым (то есть гиперболическим, но ни устойчивым, ни вполне неустойчивым). [c.112]

Теорема ([ИЗ]). В типичном однопараметрическом семействе векторных полей встречаются векторные поля с вырожденной особой точкой О, имеющей одно собственное значение О, седло по гиперболическим переменным и р гомоклинических траекторий Г,- точки О, р>1. Тогда для всех полей v , соответствующих достаточно близким к критическому значениям параметра, лежащим по одну сторону от критического значения, справедливо следующее утверждение. Для некоторой окрестности и объединения ОиГ,- ограничение потока поля на множество неблуждающих траекторий топологически эквивалентно надстройке над топологической схемой Бернулли из р символов. [c.113]

III. 10. Вырожденные эллиптические координаты. Одним из семейств координатных поверхностей служат эллипсоиды вращения вокруг оси Оха , по отдельности рассматриваются два случая первый, когда ось вращения эллипсоида является его меньшей осью (сжатые эллипсоиды, сфероиды), второй — его большей осью. [c.863]

Степень расталкивания кривых в окрестности точек трехкратного вырождения существенно зависит от величины коэффициента Пуассона. Количественно его влияние можно оценить по рис. 91, где показано изменение структуры спектра в окрестности частоты Q/ с ростом V Здесь четко прослеживается тенденция к увеличению длины горизонтального участка кривой третьего семейства [c.222]

Образующие направляющего конуса по-лукаеательных составляют с осью постоянный угол д. Образующие направляющего конуса бинормалей составляют с осью постоянный угол (90°—5). Эта ось представляет собой вырожденный направляющий конус семейства спрямляющих (ректифицирующих) плоскостей. [c.347]

Клзсс (описание вырождения) V Типичный рос1 Нормализованная струя ГОК требования типичности Нормализованный росток . Главные семейства Бифуркационные диаграммы н Фазовые портреты [c.21]

Классы и встречаются неустранимьш малый шевелением образом в семействах, зависящих от не мейее чём ц параметров. Типичное семейство, содержащее росток класса Л , стабильно (с точностью до надстройки седла) локально топологически эквивалентно (указанному в таблице 1) главному семейству и является, как и оно, версальной деформацией сво- его самого вырожденного поля. Аналогичное утверждение справедливо для семейств, содержащих росток Кл зсса только эквивалентность следует заменить слабой эквивалент-ностью .А [c.23]

Список вырождений. В. типичных двупараметрических семействах общего положения встречаются ростки векторных полей в особой точке, имеющие двукратное вырождения линейной части только одного из следующих Tjlex типов [c.26]

В таблице 3 v — коразмерность вырождения, и+ — максимальный показатель мягкой, и- — жесткой потери устойчивости. Прочерк означает, что в рассматриваемом классе нет устойчивых ростков (встречаемых в трехпараметрических семействах общего положения). Перечисленные в таблице 3 классы определены в [26, 5, гл. 3]. Напомним расшифровку некоторых обозначений. Нижний индекс в обозначении класса W " указывает размерность центрального многообразия верхние символы до точки с запятой обозначают вырождения линейной части О — нулевое собственное значение, I — пара чисто мнимых, / — нильпотентная жорданова клетка, порядок которой устанавливается по размерности центрального многообразия. Знак после точки с запятой символизирует отсутствие вырождений в нелинейных членах число нулей после точки с запятой равно числу вырождений в нелинейных членах. [c.41]

Рис. 26. Множество значений А, соответствующих вырожденным главным 24-эквиварнантиым семействам (показано жирными и пунктирными линиями). Заштрихована область значений параметра А, для которой исследованы предельные циклы в семействах (Па)

Бифуркации в невырожденных семействах. Связные компоненты, на которые линии вырожденных значений А делят третий квадрант, занумерованы на рис. 26. На рис. 28 показана последовательность бифуркаций в семействе (Па), если Л принадлежит области VIII. Последовательность заведомо происходящих перестроек для остальных областей указана в [20], [41]. [c.66]

В областях, номера которых отличаются только буквой а,. последовательность перестроек, по-виднмому, одна и та же, за единственным исключением в семействах (II.4), соответствующих одной из двух таких областей, сначала исчезают ненулевые особые точки, а затем предельный цикл, обходящий О, исчезает в нуле в семействах, соответствуюп1их другой области,, эти события происходят в обратном порядке. Линии 1, 2, 3 и связанные с ними вырождения были предсказаны в [20], [21] и исследованы в [41], [42]. [c.66]

Седло по гиперболическим переменным одна гомоклини- ческая траектория. Векторное поле с вырожденной особой точкой типа седло по гиперболическим переменным может иметь любое конечное число гомоклинических траекторий особой точки такие поля встречаются неустранимым образом в однопараметрических семействах общего положения. Обозначим через р число гомоклинических траекторий вырожденной особой точки [c.112]

Теорема. В пространстве гладких векторных полей на области евклидова пространства R" (и на любом п-мерном многообразии) для любого mсистемы Морса—Смейла, а при-закритических — принадлежат Я. [c.152]

Исследование систем первого приближения. Фазовая кривая у системы первого приближения называется приближающей, если она обладает следующим свсйстбом. Пусть / — семейство сжатий, обратных растяжениям, с помощью которых из быстро медленной системы получилась система первого приближения. Тогда существует такая окрестнссть нуля, пересечение которой с кривой при стремится к дуге регулярной фазовой кривей соответствующей вырожденной системы. [c.188]

Все функции А (е), соответствующие уткам, имеют одно и то же асимптотическое разложение по степеням г. Существует алгоритм вычисления коэффициентов этого разложения через производные функций / и g в критической точке. Аналогичное утверждение справедливо для самих решений-уток на участке медленного движения они экспоненциально близки. Более того, пусть имеются две простые вырожденные утки, две (возможно совпадающие) функции i(e) и Лг(е) и два семейства решений системы (12е.д е)), i = l,2, фазовые кривые которйх сходятся к соответствующим вырожденным уткам. Возьмем отрезки этих фазовых кривых, сходящиеся к дуге медленной кривой, которая образована пересечением медленных дуг двух вырожденных уток, с последующим удалением фиксированных окрестностей концов этого пересечения. Тогда найдется такое с>0, что один из отрезков фазовой кривой лежит в — окрестности другого для всех достаточно малых е. Все медленные участки всех решений-уток имеют одно и то же асимптотическое разложение по степеням е. Существует алгоритм вычисления коэффициентов этого разложения через функции / и g и их производные. [c.203]

В качестве ведуш ей идеи классификации И. И. Артоболевский обосновывает принцип последовательного вырождения цепей путем наложения на них некоторых общих связей. Принцип этот в равной степени распространим и на методы кинематического анализа. В соответствии с этим цепи нулевого семейства исследуются наиболее общими методами, частными случаями которых являются методы анализа механизмов всех прочих се-мейств. [c.198]

Далее из рассмотрения табл. 1 следует, что жесткие замкнутые контуры с w = О (фиг. 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 13, 15) могут входить в группы первых четырех семейств (с нулевого до третьего включительно). В четвертом семействе замкнутый жесткий контур образован быть не может, так как при числе звеньев га = 3 контур получает относительую подвижность. Весь первый столбец таблицы, относящийся ко II классу, можно рассматривать как предел, к которому стремятся контуры в процессе своего вырождения. [c.209]

Б отличие от группы инвариантности действие операторов динамич. группы (группы неинвариаптности, или динамич. алгебры Ли) на одно выбранное стационарное состояние квантовой системы порождает все остальные стационарные состояния системы, связывая таким образом псе стационарные состояния системы, в т. ч. принадлежащие различным уровням, в одно семейство — мультиплет. При атом группа симметрии (группа инвариантности) системы является подгруппой группы Д. с. Так, для атомов водорода группой Д. с. является конформная 0(4, 2) динамич. группа, одно неприводимое вырожденное представление к-роп содержит все его связанные состояния, а для трёхмерного квантового гармонич. осциллятора — группа V (3,1), Среди генераторов группы Д. с. обязательно есть па коммутирующие с гамильтонианом, действие к-рых переводит волновые ф-ции состояний с одним уровнем энергии квантовой системы в волновые ф-ции состояний с др. энергиями (т. е. соответствует квантовым переходам между уровнями системы). [c.625]

При ЭТОМ возможна следующая трактовка картины. В результате взаимодействия планарных движений с тол-щинными происходит расталкивание соответствующих кривых (на рис. 90 кривые 5 и 7), как и в случае двукратного вырождения. Однако в отличие от последнего случая в образовавшейся зоне между указанными кривыми проходит линия, в определенной мере наследующая свойство соответствующей кривой третьего семейства в случае v = О (кривая б). [c.222]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...