Дифференцирование — Формулы численное

Уравнения (8.53) образуют замкнутую систему относительно функций Q и 1>. В численном методе сеток эту систему записывают в конечно-разностной форме, заменяя производные их разностными аналогами по формулам численного дифференцирования. Для этого область течения покрывают сеткой со сторонами Ах и Ау по координатным направлениям. Расчетный интервал времени делят на отрезки At. Каждой узловой точке сетки приписывают пару индексов i, k, определяющих ее координаты Xi = = iAx, r/ft = kAy. Момент времени характеризуется временной координатой nAt. [c.319]

При уменьшении шага h уменьшается погрешность метода (первый член), но растет влияние погрешности в задании функции (второй член). Говорят, что формулы численного дифференцирования неустойчивы. [c.14]

Регулятор в канонических переменных (8.13) замечателен тем, что для его реализации достаточно использовать только один прецизионный датчик — лазерный интерферометр (разрешающая способность 0,2 мкм), остальные компоненты вектора состояния легко вычислить с помощью формул численного дифференцирования. Однако, если измеряются все компоненты вектора z, то целесообразно синтезировать регулятор в физических переменных. Для этого нужно в формуле (8.13) сделать замену переменных [c.297]

Несмотря на внешнюю простоту формул численного дифференцирования, их применение требует особой осторожности. Дело в том, что при реальных вычислениях к погрешности формул добавляется неустранимая погрешность, связанная с погрешностями вычисления функции / При малых [c.137]

Пусть сетка со — равномерная, т.е. шаг сетки h = Xj - Xj [ не зависит от i. Формула численного дифференцирования (5.30) позволяет заменить [c.146]

Кп, вычисленными по формуле (6.1). Для вычисления /С (0), (0) и (0) можно воспользоваться либо аналитическими аппроксимациями К (т), либо формулами численного дифференцирования. При использовании первого варианта следует иметь в виду, что если для К (х) применять наиболее изученные и ши- [c.228]

При использовании формул численного дифференцирования этих трудностей не возникает. Для К (0), (0) и (0) можно записать [6, 50] [c.229]

Это соотношение может быть рассмотрено как нелинейная неявная разностная схема, которая включает новое неизвестное Р, и поэтому дол) (на решаться совместно с исходным уравнением (В.1.2), что делает ее прямую реализацию нерациональной. На основе приближенного представления выражения (В.1.13) можно получить самые различные-разностные схемы. Так, при P=Pf получаем явную разностную схему Эйлера (В.1.11). Методы построения других явных разностных схем на базе различных формул численного интегрирования соотношения (В.1.12) рассмотрены, например, в книге Н.С. Бахвалова [35]. Положим в выражении (В.1.13) J(X P),P) -/(АГ(,), P/+i) и используем следующую формулу численного дифференцирования [c.16]

Соотношения (10.34)—(10.36) совместно с начальными условиями дают процедуру пошагового интегрирования уравнения (10.32), известную под названием метода центральных разностей [11. Равенства (10,34) можно рассматривать как формулы численного дифференцирования, симметричные относительно центральной точки / = ti это объясняет название метода. [c.376]

С ПОМОЩЬЮ метода разрывных смещений можно также вычислить тангенциальные напряжения Gqq вдоль границы отверстия. В следующем параграфе устанавливается, что для этого приходится использовать коэффициенты влияния, содержащие касательные производные смещений вдоль границы. Если граничные смещения уже найдены, то для вычисления их производных можно воспользоваться формулами численного дифференцирования и найти, таким образом, тангенциальное напряжение (Т( = (Tge. Результаты подобного расчета для рассматриваемой задачи даны на рис. 5.10. [c.103]

Формулы (4.75) и (4.76) дают альтернативные алгоритмы вычисления напряжений на границе. Формула (4,75) привлекает своим локальным характером и связанным с ним малым объемом вычислений. Однако необходимость численного дифференцирования перемещений при численной реализации формулы (4.75) приводит к понижению точности вычисления напряжений по сравнению с перемещениями. Формула (4.76) требует значительно большего объема вычислений, чем формула (4.75), однако при наличии эффективных алгоритмов вычисления сингулярных интегралов может обеспечить более высокую точность вычисления граничных напряжений. [c.61]

Покажем на простом примере, как можно получить формулы численного дифференцирования, исходя из формул интерполяции по Лагранжу. Пусть аппроксимирующий многочлен второй степени [c.217]

Формулы численного дифференцирования можно вывести, дифференцируя формулу Лагранжа (в случае равноотстоящих узлов). Тогда получаем выражения для производных, содержащие остаточный член. Значения производных выражаются в этом случае через значения функции Y[t) в узлах. [c.657]

Другие формулы численного дифференцирования [c.657]

Для определения вторых производных от функции прогибов вначале получают по формулам интерполирования поле прогибов в узлах ортогональной сетки линий, фрагмент которой показан на рис. 20.8. Тогда производные в точке К можно вычислить по формулам численного дифференцирования [c.528]

Решая на каждом временном слое основной схемы уравнение (0.13) до установления, найдем значения координаты л , соответствующие этому временному слою. Затем, используя формулы численного дифференцирования, определим производные дx/дq, входящие в преобразованную систему. Некоторые примеры применения (0.13) приведены в [8]. [c.9]

На основе известных схем (например, двухшаговых) можно сконструировать и другие алгоритмы, обладающие погрешностью Для этого достаточно вместо традиционных формул численного дифференцирования применять оператор Л Д. [c.29]

Для дискретизации уравнения Пуассона с четвертым порядком достаточно применить формулы компактного численного дифференцирования типа формул (2.11), приведенных в гл. 1, т.е. формул [c.189]

При численном дифференцировании эта формула заменяется приближенным отношением, в котором Ьх конечная величина. Пусть /о — значение функции в точке х , полученное пробой в этой [c.133]

Основная трудность применения метода Ньютона связана с вычислением частных производных от параметров ЛП (в частности, от волновых сопротивлений р, р++, р+ ) по варьируемым геометрическим размерам. Наиболее просто необходимые частные производные можно вычислить с помощью какой-либо конечноразностной формулы численного дифференцирования [202]. Однако вследствие плохой обусловленности операции численного дифференцирования найденные значения частных производных в принципе будут приближенными [202]. Помимо этого, такой подход требует нескольких вычислений параметров ЛП при различных ее геометрических размерах. Это приводит к значительным затратам машинного времени. [c.127]

В большинстве случаев анализ чувствительности выполняют на основе численного дифференцирования, при котором поочередно задают приращения Ал , элементам вектора X и определяют получающиеся при этом изменения At// выходных параметров. Тогда абсолютный коэффициент влияния (коэффициент чувствительности) i-ro элемента Xi вектора X на /-Й выходной параметр у, определяется по формуле [c.255]

Определение производных методами численного дифференцирования является одной из наименее употребительных операций, выполняемых с помощью ЭВМ. Причина этого в первую очередь кроется в необходимости вычитания близких значений дифференцируемой функции, что при ограниченности разрядной сетки и необоснованном выборе шага дифференцирования может привести к значительной потере точности. Для увеличения точности при численном определении производных будем применять формулы, использующие значения функции в нескольких точках. В настоящей работе определение производных осуществляется с помощью формул для центральных производных , использующих значение функции в двух или четырех точках [12]. [c.69]

Из формулы (5.9) следует, что значение производной функции вычисляется для середины участка значений аргумента. Значение производной функции для других точек в пределах данного промежутка определяется интерполяцией. При численном дифференцировании производная функция определяется с горазда меньшей точностью, чем заданная первообразная. При этом, в отличие от численного интегрирования, уменьшение шага дифференцирования ведет к увеличению погрешности. Поэтому для сложной функции более целесообразно определять производную, подбирая аппроксимирующий многочлен п применяя аналитические методы. [c.46]

Неустойчивость дифференцирования. В заключение сделаем несколько замечаний, касающихся погрешности численного дифференцирования. Пусть, например, производная f x ) вычисляется по формуле (1.23) [c.13]

Расчет Л Фр. проводят по формуле (7) при номинальных значениях основных свойств МТМ, взятых из ГОСТ 17809—72. Учитывая достаточную сложность математической модели системы со стабилизированным магни-то.м из литых МТМ, для определения относительных коэффициентов влияния первичных магнитных параметров на Ф был использован метод численного дифференцирования [14] [c.232]

Для приближенного (численного) дифференцирования /(а) последняя заменяется одной из интерполяционных формул [c.304]

В случаях, когда указанные зависимости заданы посредством аналитических формул, которые можно явно продифференцировать, вычисление градиента часто лишь немногим более трудоемко, чем вычисление значения функции. Для определения же градиента, если мы умеем вычислять лишь значения функции в точке, требуется (s -j- 1) таких вычислений. В этом случае пользуемся операцией численного дифференцирования. Опишем ее. [c.23]

Уравнения (8-52) и (8-53) образуют замкнутую систему для оире-деления функций О и В численном методе сеток эту систему записывают в конечно-разностной форме, заменяя ироизводные согласно формулам численного дифференцирования. Для этого область течения покрывают сеткой с шагами Ал и А / по координатным направлениям (рис. 174). [c.355]

Производные этих функций в соответствии с трехточечным вариантом формул численного дифференцирования можно иредста-вить в виде [c.355]

Метод неопределенных коэффициентов. Часто при получении формул численного дифференцирования используют другой подход — метод неопределенных коэффициентов. Он, в частности, удобен в случае неравноотстоящих узлов. Представим производную в узле Xi, / = 0, 1,. .., п, в виде [c.12]

Ошибку представления прбйзводной можно уменьшить, если воспользоваться более точными формулами численного дифференцирования. [c.88]

Часто возникает необходимость в минимизации функций, обладающих достаточным числом производных, которые тем не менее недоступны для прямого вычисления. В этих случаях проводят модификацию одного из алгоритмов спуска, заменяя входящие в него производные их аппроксимациями в соответствии с формулами численного дифференцирования. В связи с высокой чувствительностью формул численного дифференцирования к поп ешностям в вычислении функции (см. [c.143]

Разности более высоких порядков в табл. вида 7.1 связаны с производными соответствующих порядков X по / формулами, при помощи которых можно выполнять численное дифференци-ровапие. Так, формула численного дифференцирования Бесселя имеет вид [c.254]

Если в обычных формулах численного дифференцирования на трех узлах достигается максимальная точность 0(h ), то при определеши f из системы (0.17), распоряжаясь двумя дополнительными коэффициентами в левой части этого равенства, можно, очевидно, повысить максимальный no- [c.11]

Кроме указанного графического способа для определения производной дУх/ду)у=о может быть использован метод численного дифференцирования. Для этого необходимо составить таблицу измеренных значений Ух= (у) с постоянным шагом и вычислить конечные разности АУжо, А Ухо и А Ужо. По значениям этих разностей (дУх ду)у=о может быть определена по следующей формуле численного дифференцирования (для последовательных элементов горизонтальной строки) [c.334]

При численном дифференцировании используют интерполяционные формулы, которые сопоставляют заданные значения какой-либо величины с функцией известного класса, зависящей от нескольких параметров, выбранную так, чтобы при заданных значениях аргумента (в узлах интерполяции) значения функции совпадали с заданными значениями величины, т. е. чтобы график функции проходил через заданные точки. Численное дифференцирование чувствительно к ошибкам, вызванным неточностью исходных данных. Для функции у х), заданной таблицей разностей для равно-0ТСТ0ЯШ.ИХ значений аргумента с шагом Аг, используют следующие соотношения для вычисления аргумента и производных [c.111]

При разработке прикладных программ для численного дифференцирования на ЭВМ используют интерполяционные формулы Стирлинга, Бессе ля, Ньютона и др. [c.111]

Для квадратичной аппроксимации прочих характеристик ГЭС на основе разложения в ряд Тейлора требуется вычислять частные производные t Xo), f" Xo), К(Хо, Уо), f yiXo, Уо) и др. На ЦВМ эти частные производные удобно определять по конечным разностям методом численного дифференцирования. Формулы для подсчета частных производных этим методом следующие [c.34]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...