Разностная схема корректная

Таким образом, доказана сходимость как процесса простой итерации, так и процесса Зейделя. Отметим, что в процессе доказательства сходимости шаг сетки не вошел в оценку. Из этого можно сделать вывод о том, что доказательство верно в одинаковой степени для всех h, т. е. разностная схема корректна, и, следовательно, нет необходимости проверять устойчивость по граничным условиям [18]. [c.86]

Заметим, что использование для построения разностной схемы характеристических соотношений на границе особенно существенно. Дело в том, что при построении разностного аналога уравнений (4.12) для граничных точек получается переопределенная задача — соотношений больше, чем неизвестных. Каноническая по отношению к границе характеристическая форма уравнений позволяет единственным образом получить корректную разностную схему расчета граничных точек. Для ее построения следует записать все характеристические уравнения (4.8 ) — (4.1 Г) с нормалью п, совпадающей с нормалью у к границе. При этом получаем четыре соотношения, по одному для каждой из формул (4.8 ) — (4.1 Г), и к ним добавляются два граничных условия. Всего получаются шесть условий. [c.653]

Полученная таким способом линейная сеточная краевая задача с постоянными коэффициентами обычно не допускает еще строгого исследования, поэтому производят дальнейшие упрощения, которые приводят к редуцированным краевым задачам, учитывающим лишь некоторые из краевых условий. Далее будем рассматривать простейшую из них — задачу Коши. Таким образом, в вопросе исследования корректности разностной схемы мы ограничимся изучением устойчивости ее относительно возмущений начальных данных. Исследование, проведенное на уровне задачи Коши, позволяет отсеивать многие неустойчивые схемы. Окончательный вывод об устойчивости схемы можно сделать только после ее испытания. [c.85]

Поясним еще раз понятие устойчивости. Ошибки при вычислении начальных и граничных условий и правых частей уравнений из-за погрешностей округления и других причин можно рассматривать как возмуш,ения начальных и граничных условий и правых частей уравнений. Очевидно, что разностная краевая задача (или задача с начальными данными) корректна и устойчива, если решение разностной краевой задачи незначительно изменяется при малом изменении начальных и граничных условий и правых частей, связанном со случайными погрешностями. В противном случае разностная краевая задача неустойчива. Важно отметить, что для неустойчивых разностных схем измельчение сетки не приводит к устойчивости, поскольку любые малые возмущения решения со временем неограниченно возрастают. [c.92]

Сходимость алгоритма (3.3) следует из теоремы эквивалентности [67], утверждающей, что, если линейная однородная дифференциальная задача корректна и разностная схема аппроксимирует эту задачу, то устойчивость разностной схемы является [c.111]

При численном решении задачи Коши возникают определенные трудности. В эллиптической области в обш,ем случае задача некорректна в смысле Адамара, хотя, если рассматривается класс аналитических функций, то в ограниченной области задача становится, как показано М. М. Лаврентьевым, корректной. Тем не менее даже при аналитических начальных данных в дозвуковой области, где уравнения газовой динамики являются эллиптическими, при неудачно выбранной разностной схеме при решении задачи Коши чрезвычайно быстро возрастают ошибки округления. Поэтому для получения устойчивого решения необходимо выбрать такую разностную схему, при применении которой ошибки округления не превосходили бы существенно ошибок аппроксимации. [c.99]

Корректность и устойчивость схемы. Принятым методом проверки сходимости разностной схемы является теоретическое исследование ее свойств аппроксимации и устойчивости, наличие которых оказывается необходимым и достаточным условием сходимости. [c.154]

Основной интерес и основную трудность представляет исследование устойчивости схем. Понятие устойчивости разностной схемы является составной частью определения корректности разностной схемы. Напомним содержание определения корректности применительно 1с задачам математической физики для непрерывного случая. [c.154]

Понятие устойчивости разностной схемы связано с понятием корректности разностной схемы. Будем говорить, что разностная задача поставлена корректно, если решение существует и единственно при всех начальных и граничных условиях допустимого вида, причем решение разностной задачи непрерывно зависит от начальных данных и равномерно относительно величины шага сетки. Вторая часть условия корректности является как раз устойчивостью схемы по начальным данным. Для линейных задач условие устойчивости по начальным данным и устойчивость по правой части эквивалентны. Условие устойчивости связано с реакцией разностной схемы на ошибки, которые вносятся в правую часть Zu = f) в начальные и граничные условия. Рост возмущений приводит к неустойчивости численных расчетов. Если ошибки не накапливаются в процессе вычислений, то разностная схема устойчива. [c.128]

Заметим, что здесь неустойчивость связана с методом решения разностного уравнения, хотя сама разностная система являлась устойчивой. Следовательно, если в результате счета замечено пвление неустойчивости (например, возникло переполнение ячеек, авост), а программа составлена правильно, то это явление может быть связано как с неустойчивостью разностной схемы, так и с неустойчивостью алгоритма ее реализации. Поэтому прежде, чем считать, нужно быть уверенным в корректности выбранной разностной схемы. [c.181]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...