Численное решение задачи Коши

Следовательно, полное решение представляется формулами (23.10) и (23.13) при Фо (I), определенной из численного решения задачи Коши (23.14). [c.261]

Численное решение задачи Коши [c.455]

Для численного решения задачи Коши в окне команд набираются следуюш,ие операторы [c.269]

При численном решении задачи Коши (188) — (189) приближенное решение находят в дискретные моменты времени [c.121]

Поскольку численное решение задачи Коши широко применяется в различных областях науки и техники, то оно в течение многих лет было объектом пристального внимания и число разработанных для него методов очень велико. Остановимся здесь на следующих двух группах методов решения задачи Коши. [c.73]

Численное решение задачи Коши. Задачей Коши называется задача об определении решения обыкновенного дифференциального уравнения при заданных начальных условиях. [c.13]

При численном решении задачи Коши возникают определенные трудности. В эллиптической области в обш,ем случае задача некорректна в смысле Адамара, хотя, если рассматривается класс аналитических функций, то в ограниченной области задача становится, как показано М. М. Лаврентьевым, корректной. Тем не менее даже при аналитических начальных данных в дозвуковой области, где уравнения газовой динамики являются эллиптическими, при неудачно выбранной разностной схеме при решении задачи Коши чрезвычайно быстро возрастают ошибки округления. Поэтому для получения устойчивого решения необходимо выбрать такую разностную схему, при применении которой ошибки округления не превосходили бы существенно ошибок аппроксимации. [c.99]

Таким образом, при расчете течения в эллиптической области целесообразно использовать разностную сетку с переменным шагом. Использование больших шагов разностной сетки в областях с малыми градиентами приводит к тому, что рост ошибок округления при численном решении задачи Коши для эллиптических уравнений оказывается практически незаметным и не сказывается иа устойчивости счета. [c.101]

В этом случае, например, на оси симметрии необходимо задать распределения давления и температуры, которые позволяют с помощью асимптотических разложений (см. 2 4) определить при численном решении задачи Коши от некоторого начального сечения вдоль оси остальные параметры течения. [c.189]

Численное решение задачи Коши разыскивалось методом Рунге—Кутта 4-го порядка с автоматическим изменением шага на отрезке [0,тг]. В случае, когда полученное численное решение удовлетворяло условию [c.395]

Алгоритм численного решения задачи сводится к следующему. Задавая т+1 параметров г/ , / = 0, 1,. .., т, согласно (7.14), определяем приближенно уравнение ударной волны, а с помощью соотношения (7.13)—и все газодинамические параметры за ударной волной. Решая затем задачу Коши для основной системы (7.16)—(7.18), определяем значения параметров в узлах на поверхности тела, которые, вообще говоря, не удовлетворяют граничному условию непротекания. Подбирая с помощью итераций значения г,° таким образом, чтобы во всех узлах на поверхности тела было выполнено граничное условие непротекания, получаем с заданной точностью искомое решение аппроксимирующей системы в т-м приближении. [c.187]

Решение можно строить следующим образом. Решаем численным методом задачу Коши в интервале от X = 1 до [c.270]

I.S. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КОШИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [c.27]

Существует несколько приближенных численных методов решения задачи Коши. [c.182]

Численные методы решения задачи Коши [c.104]

Вопрос о разрешимости краевой задачи исследуется всякий раз отдельно (даже в линейном случае). Численные методы решения задачи Коши и краевой задачи (4.21)—(4.23) для линейного уравнения приведены в п. 5.1.12. [c.102]

Численный метод решения задачи Коши имеет р-й порядок точности, если для его погрешности [c.144]

Математическое обеспечение метода ортогональной прогонки. Рассмотренный метод решения краевых задач и вычисления матриц жесткости для систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка основан на последовательном решении задач Коши, т. е. связан с численным интегрированием системы п обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка [c.155]

Получающаяся краевая задача (дифференциальное уравнение (5.123) и граничное условие (5.127)) имеет единственное решение, которое легко построить в виде ряда (5.125) или же численно, используя стандартные методы решения задачи Коши (задача Коши ставится так при 0 = А0 Ф = 1, = О, где Д9 достаточно мало). Дифференциальное неравенство в (5.123) играет роль фазового ограничения. [c.267]

В седьмой главе рассмотрены вопросы численного интегрирования линейных и нелинейных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, возникающих при исследовании прочности, устойчивости, свободных колебаний анизотропных слоистых композитных оболочек вращения после разделения угловой и меридиональной переменных. Разработан и апробирован алгоритм численного решения таких задач, основанный на идее инвариантного погружения, в котором проблема интегрирования первоначальной краевой задачи редуцируется к решению задачи Коши для жестких матричных дифференциальных уравнений. Приведенные тестовые примеры позволяют сделать вывод об эффективности метода. Показано, что сочетание метода Бубнова — Галеркина с обобщенной формой метода инвариантного погружения дает эффективный инструмент численного исследования устойчивости и свободных колебаний слоистых композитных оболочек вращения. Разработан метод численного определения матрицы Грина краевой задачи и на примере проблемы выпучивания длинной панели по цилиндрической поверхности показана его эффективность в задачах устойчивости оболочек вращения. Метод решения нелинейных краевых задач, объединяющий в себе итерационный процесс Ньютона с методом инвариантного погружения, рассмотрен в параграфах 7.4, 7.5. [c.14]

Из табл. 7.1.1 видно, что спектральные радиусы R , Rp, R матриц Е, F, G соизмеримы с длиной промежутка интегрирования, тогда как спектральные радиусы Лр, Лд матриц С, D на два порядка превышают ее. Из этих данных с/тедует, что краевая задача для классической системы дифференциальных уравнений (и близких к ней систем с матрицами коэффициентов F, G) может быть эффективно решена, например, методом С.К. Годунова [97] — проявления неустойчивости вычислительного процесса, наблюдаемые при пошаговом интегрировании возникающих в этом методе задач Коши, лишь умеренны и успешно подавляются дискретными ортогонализациями. Иначе обстоит дело при интегрировании дифференциальных уравнений (7.1.1), (7.1.2) — с появлением новых быстропеременных решений экспоненциального типа, проявления неустойчивости приобретают взрывной характер, приводя к стремительному росту погрешности вычислений и исключая всякую возможность успешного завершения процесса численного решения задач [c.197]

Таким образом, при расчете течения в эллиптической области целесообразно применять разностную сетку с переменным шагом. Использование больших шагов разностной сетки в областях с малыми градиентами приводит к тому, что рост погрешностей округления при численном решении задачи Коши для эллиптических уравнений оказывается практически незаметным и не влияет на устойчивость счета. Для проверки этих соображений были проведены специальные расчеты, в которых рассматривалось различное расположение точек на слое. При использовании разностной сетки с постоянным, но мелким шагом рост погрешностей округления в области / приводил к тому, что после небольшого числа шагов в направлении по нормали к линии тока счет становился неустойчивым. При использовании разностной сетки с постоянным, но большим шагом, таким, что рост погрешностей округления в области / был практически неощутим, погрешности аппроксимации в областях II и IV становились настолько значительными, что по-прежнему счет быстро становил- [c.189]

Программное обеспечение решения систем уравнений. Для численного решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений и систем таких уравнений имеется достаточно большое число стандартных подпрограмм, реализующих различные одношаговые и многошаговые методы [15]. При применении этих подпрограмм гюльзователь должен составить подпрограмму, в которой производится вычисление правых частей конкретной системы уравнений, а также организовать вывод результатов — значений искомых функций u i при интересующих значениях аргумента Xj. Особенности использования стандартных подпрограмм разберем на примере подпрограммы R KGS из математического обеспечения ЕС ЭВМ, которая реализует схему Рунге—Кутта четвертого порядка для системы N обыкновенных дифференциальных уравнений с автоматическим выбором шага интегрирования. Пример применения этой подпрограммы приведен в следующем параграфе для решения задачи расчета нестационарного теплового режима системы тел. [c.41]

Это обстоятельство позволяет наложить на прогоночную матрицу Н дополнительные требования, с тем чтобы численное решение задачи Коши для уравнений (11.68) было устойчивым. [c.469]

Асимптотическую устойчивость тривиального решения линейной системы дифференциальных уравнений можно установить путем прямого численного решения задачи Коши для этих уравнений. Для линейных систем независимо от начальных усаювий в области асимптотической устойчивости происходит затухание отклонений. Поэтому вычислительный процесс можно прекратить, если с некоторого 5 будут удовлетворяться неравенства [c.494]

Система уравнений ( ) с граничными условиями ( )-( ) представляет собой задачу Коши и может быть проиптегрировапа численно нри любом значении Л. Численное решение задачи Коши для Л е [—1,0] с номогцью стандартной процедуры метода Рунге—Кутта показало, что пи одно из значений Л не приводит к выполнению условия ( ) на верхнем берегу трегцпны. Более того, начиная с некоторого значения (р = (ра, функция д, входягцая в асимптотическое разложение параметра сплошности, становилась отрицательной, что противоречит ее физическому смыслу. Для устранения этого парадокса была предложена модифицированная постановка задачи на собственные значения. [c.389]

Численное решение задачи Коши с помощью метода Рупге—Кутта показало, что пи одно из значений а не приводит к выполнению условия на берегах трещины. Более того, установлено, что, начиная с некоторого в = ва, функция д в), входящая в асимптотическое разложение для параметра сплошности принимает отрицательные значения, что противоречит физическому смыслу данной величины. Для устранения этого противоречия была введена модифицированная постановка задачи, согласно которой на отрезке [ва тг] решение нулевое, а на отрезке [0,0 ] необходимо искать ненулевое решение системы уравнений ( ) с граничными условиями [c.412]

Численные алгоритмы, основанные на методе характеристик имеют ярко выраженную модульную структуру. Они заключаются в последовательном выполнении более простых алгоритмо (модулей), предназначенных для вычисления решения во внутренних и различного рода граничных узлах характеристической сетки. В предыдущем параграфе были приведены такие алгоритмы для некоторого класса гиперболических уравнений газовой динамики. Зная, как с помощью метода характеристик определить решение в точке, можно решать некоторые типичные для гиперболических уравнений задачи. К таким задачам относятся задача Коши, задача Гурса и смешанная задача. Схемы решения их методом характеристик и алгоритм решения описаны в 2.2. Алгоритмы решения задачи Коши, Гурса и смешанной задачи можно рассматривать как модули более высокого уровня (макромодули). [c.125]

Расчет нестационарного теплового режима по моделям с сосредо-ш киными параметрами сводится к решению систем уравнений теплового баланса вида (1.2), (1.3) с начальными условиями (1.6), 7, е. к решению задачи Коши для систем обыкновенных дифференци-a.ibiu.ix уравнений первого порядка. В случае линейных уравнений решение удается представить в аналитическом виде при числе уравнений /V < 4. Для нелинейных задач и в случае /V > 4 точное решение в аналитическом виде получить не удается, за исключением некоторых частных случаев. Поэтому при расчетах нестационарных тепловых режимов систем тел широко применяют численные методы, которые мы сначала рассмотрим применительно к одному уравнению вида [c.27]

При расчете методом начальных параметров двухточечная краевая задача для элемента или конструкции из последовательно сопряженных элементов сводится к задаче Коши [2]. Начальные данные для нее определяются из системы алгебраических уравнений, порядок которой совпадает с порядком исходной системы дифференциальных уравнений и не зависит от числа элементов в конструкции. Хотя при относительно большой длине оболочек здесь также накапливается погрешность, однако структура метода начальных параметров позволяет, во-первых, анализировать скорость ее накопления и, во-вторых, указать удобный способ снижения этой погрешности до требуемой величины. Анализ численной процедуры метода показьшает, что начальный вектор для задачи Коши всегда получается с машинной точностью. Решение задачи Коши проводится путем последовательного перемножения матриц перехода для элементов конструкции на начальный вектор с получением нового начального вектора. Накопление погрешности происходит на этом этапе расчета конструкции при большой ее длине. Для сохранения требуемой точности расчет конструкции проводится последовательными участками, частично налегающими друг на друга. Длина каждого участка должна не более чем вдвое превышать длину, при которой в мантиссе машинного числа сохраняется достаточное число верных значащих цифр. Расчеты, выполненные на ЭВМ с различной разрядностью чисел, показьшают, что эта длина более чем на порядок превышает интервал которым оценивается качественное различие между короткой и длинной оболочками. При расчете каждого последующего участка используются начальные данные, полученные в расчете предьщущего участка. [c.46]

Численная реализация решения задачи Коши для уравнения Лапласа, как и для рассмотренной выше задачи для уравнения Ламэ, может быть осуществлена посредством применения альтернирующего итерационного процесса или метода последовательных приближений для соответствующего интегрального уравнения. Необходимо отметить, что непосредственное применение альтернирующего итерационного процесса представляет [c.82]

Коши (5.3), (5.4) суш ествует, единственно и является гладкой функцией, если правая часть F x,y) удовлетворяет некоторым условиям гладкости. Численное решение задачи Копш методом Рунге-Кутта 4-го порядка заключается в следуюш,ем. На заданном интервале выбираются [c.268]

Результаты решения. График решения задачи Коши (5.7) показан на рисунке 5.4. Численное решение представлено в таблице 5.9, где приведены только отдельные точки. В программе ode45 по умолчанию интервал разбивается на 40 точек с шагом /г = 1/40 = 0.025. [c.269]

Численные методы решения задачи Коши. Наиболее широко применяют одношаговые методы типа Рунге—Кутта, а также многошаговые явные и неявные разностные схемы. Последние особое распространение получили при решении так называемых жестких или сиигулярно-возмущенных систем дифференциальных уравнений, характеризуемых наличием малого параметра при старшей производной. Очевидно, на практике следует использовать такие численные схемы, которые обеспечивали бы требуемую точность решения задачи, гарантировали бы численную устойчивость счета при достаточно крупных шагах интегрирования, позволяли бы легко реализовать автоматический выбор шага дискретизации. [c.120]

Рассмотрим теперь конкретные алгорттмы построения решений системы уравнений (1.1.3) путем численного интегртрования задачи Коши [c.31]

Обобщение, систематизация и модификация шаговых процессов продолжения решения по параметру проведены в монографии Э. И. Грнголюка, В. И. Шалашилнна [85], дан обзор применения этих алгоритмов к решению нелинейных задач теории оболочек. Различают две формы продолжения решения дискретную и непрерывную. При дискретной форме для выбора начального приближения используют ин( юрмацию о решениях для ряда значений параметра, предшествующих данному нелинейная задача на каждом шаге решается одним из итеративных методов. Непрерывное продолжение решения получают численным решенгем задачи Коши, строяшейся дифференцированием по параметру исходной нелинейной системы уравнений. [c.25]

Использование определяющих соотношений гипоупругого материала (2.18) при численном решении задач проигрывает по сравнению с использованием определяющих соотношений гиперупругого и упругого материалов, так как для определения компонент тензора напряжений Коши надо интегрировать определяющие соотношения (2.18), что может внести дополнительные погрешности в решение задачи. [c.78]

Систему трех обыкновенных линейных дифференциальных уравнений (7.5) можно решить на ЭВМ с помощью численных методов. Для решения задачи реализуем стандартную подпрограмму DLBVP [184], которая сводит решение краевой задачи к решению задачи Коши, где модифицированным предиктор-корректор методом Хэмминга четвертого порядка решают дополнительные задачи Коши и определяют перемещения Uz, 0, Ч " завершающей задачи Коши. Интеграл вычисляется по интегральной формуле Эрмита четвертого порядка. Выбираем начальный шаг интегрирования Ды=0,01 м и задаемся допустимой погрешностью вычислений е=МО- [c.204]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...