Система дифференциальных уравнений с частными производными

Предполагая соотношения (ЯО) независимыми, мы найдем только что указанным для m = О способом условие, необходимое и достаточное для того, чтобы система (50) была инвариантной оно заключается В том, что функции /,, рассматриваемые как функции от независимых переменных х, t, должны удовлетворять системе дифференциальных уравнений с частными производными вида [c.280]

Итак, задача устойчивости цилиндрической оболочки сформулирована как краевая задача на собственные значения для системы дифференциальных уравнений с частными производными (6.4.1) — (6.4.5) при краевых условиях (6.4.6) и условии 2л -периодичности решения по угловой координате. Наименьшее из собственных значений этой задачи определяет критическую интенсивность внешней нагрузки, а соответствующая ему собственная вектор-функция — форму потери устойчивости. Параметрические члены уравнений нейтрального равновесия (6.4.1) в общем случае переменны и определяются путем интегрирования линейной системы уравнений осесимметричного изгиба (6.2.14) при краевых условиях (6.2.9). В выражениях для элементов матриц А, В коэффициентов этой системы (см. параграф 6.2) следует выполнить упрощения, соответствующие принятым допущениям о тонкостенности и пологости оболочки, а вектор-столбец / для рассматриваемого ниже случая нагружения оболочки равномерно распределенным внешним давлением интенсивности Р следует взять в виде [c.185]

В результате возникает линейная краевая задача на собственные значения для системы дифференциальных уравнений с частными производными, к интегрированию которой сводится определение спектра свободных колебаний слоистой тонкостенной оболочки. Эта система включает в себя следующие группы зависимостей (считаем оболочку достаточно тонкой и пренебрегаем во всех уравнениях величинами порядка h/R по сравнению с 1) [c.244]

И В 2л -периодичности решения по угловой координате (р. Спектр бифуркационных нагрузок и соответствующих им форм потери устойчивости определяется путем интегрирования линейной однородной краевой задачи на собственные значения для данной системы дифференциальных уравнений с частными производными. Коэффициенты Т, Т, Т, dw/ds, dw/d

[c.257]

В предшествующем параграфе данной главы рассматривались такие случаи движений, для которых дифференциальные уравнения установившегося движения вязкой несжимаемой жидкости решались точно благодаря упрощающим предположениям о характере траекторий частиц жидкости. Но к использованию полных дифференциальных уравнений движения вязкой жидкости можно подойти и с другой стороны, а именно делать заранее предпол жения не о характере траекторий частиц, а о характере тех функций, через которые представляются проекции вектора скорости и давление. Этим путём при удачном выборе характера функций для скоростей и давлений можно в отдельных случаях от системы дифференциальных уравнений с частными производными перейти к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, которые можно решить, по крайней. мере, численным способом. [c.146]

Несмотря на существенное упрощение задачи при переходе от системы дифференциальных уравнений с частными производными к бесконечному числу систем обыкновенных дифференциальных уравнений (разумеется, удерживается конечное число членов в используемых рядах), задача остается все же сложной. Степень сложности неодинакова при различных к. у [c.213]

Чтобы зафиксировать обозначения, напомню известные определения световой гиперповерхности и гиперболической системы дифференциальных уравнений с частными производными. [c.275]

Решение задачи оценки НДС сводится к необходимости интегрирования нелинейной системы дифференциальных уравнений с частными производными, которую можно получить путем подстановки в систему уравнений движения участка с учетом его квазистационарности закона движения в виде, определяемом (1) с [c.239]

Эта проблема рассматривает частицу, вынужденную двигаться в ограниченной области пространства, определенного прямоугольным ящиком с размерами ребер а, Ь и с. Волновое уравнение для этой системы дано уравнением (2-12). Решение этого дифференциального уравнения с частными производными с тремя неизвестными переменными можно получить, если принять, что [c.77]

Математической моделью технического объекта на микроуровне является система дифференциальных уравнений в частных производных, описывающая процессы в сплошной среде с заданными краевыми условиями. Система уравнений, как правило, известна (уравнения Ламе для механики упругих сред уравнения Навье— [c.5]

Использование ММ объекта в виде системы дифференциальных уравнений в частных производных возможно только для очень простых технических систем, и даже в этом случае порядок аппроксимирующей алгебраической системы уравнений при моделировании в трехмерном пространстве может достигать 10 и более. Поэтому при моделировании на макроуровне в технической системе выделяются достаточно крупные элементы, которые в дальнейшем рассматриваются в виде неделимой единицы. Непрерывной независимой переменной остается (в сравнении с моделированием на микроуровне) только время. Математической моделью технической системы на макроуровне будет система ОДУ. [c.66]

Чтобы найти общее решение системы канонических, уравнений динамики, достаточно найти функцию V как полный интеграл дифференциального уравнения с частными производными первого порядка уравнения Остроградского — Гамильтона — Якоби) и продифференцировать этот интеграл по обобщенным координатам и постоянным интегрирования а . Приравнивая частные производные от V по обобщенным координатам обобщенным импульсам р , получим первую группу интегралов канонической системы, а приравнивая постоянным интегрирования производные от V по а , найдем вторую группу интегралов. [c.358]

Операторы, задаваемые системами уравнений в частных производных. Операторы такого вида встречаются во всех сложных технологических системах, математические модели которых включают дифференциальные уравнения в частных производных. Внутренние параметры таких объектов изменяются не только во времени, но и распределены по пространственным координатам. В общем случае каждый внутренний параметр 2 зависит от трех пространственных координат z = z(Xi, Х2, Хз, t) и дифференциальные уравнения математической модели содержат частные производные по каждой пространственной переменной. Такие математические модели, однако, сложны для исследования и редко применяются для описания химико-технологических объектов. Значительная часть моделей основных процессов химической технологии представляет собой системы дифференциальных уравнений, содержащих частную производную только по одной пространственной переменной. Соответственно, и все внутренние параметры объекта меняются только по одной пространственной координате. При этом координатная ось совпадает, как правило, с осью аппарата, а в каждом сечении, перпендикулярном этой оси, параметры процесса не зависят от пространственных координат. Значения внутреннего параметра z(x,t) в точках, соответствующих входу и выходу, представляют собой входные и выходные параметры системы, например г х, 2 (х, t) lx=i вых (0> где I — [c.45]

Интегрирование расчетных уравнений моментной теории оболочек (6.24), (6.38), (6.40) представляет собой сложную математическую задачу, связанную с решением системы дифференциальных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами. [c.163]

Система уравнений (I) и (II) является системой нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными гиперболического типа. Решение этой системы уравнений представляет значительные математические трудности. [c.372]

Задача об определении НДС замкнутой оболочки вращения описывается системой дифференциальных уравнений в частных производных восьмого порядка с коэффициентами, зависящими от одной независимой переменной s [c.76]

Одной из центральных задач при расчете автоматических линий со СЛОЖНОЙ структурой (под сложной структурой будем понимать совокупность следующих характеристик число самостоятельных участков количество бункерных емкостей количество параллельных потоков в каждом участке порядок расположения этих участков по ходу движения объекта обработки количество наладчиков на каждом участке) является определение коэффициента технического использования (к.т.и.). Для точного определения к.т.и. автоматической линии требуется учет всех возможных состояний, количество которых зависит от сложности структуры и определяет порядок системы дифференциальных уравнений в частных производных. Существующие ныне аналитические расчеты к.т.и. автоматических линий построены на ряде допущений, которые позволяют снизить порядок системы дифференциальных уравнений, но вносят расхождения с реальными к.т.и. [c.123]

Сущность перечисленных выше методов решения задач о напряженном состоянии заготовки в процессе ее деформирования, применяемых в последние годы, заключаются в следующем. Как известно, наиболее распространенным методом решения задач по определению напряжений является метод совместного решения уравнений равновесия элемента, выделенного в очаге деформаций, и уравнений пластичности. Однако решения этих задач с использованием точных способов механики пластического деформирования сопряжено с решением системы дифференциальных уравнений в частных производных, что вызывает большие трудности и во многих случаях не обеспечивает решений в замкнутом виде. Поэтому большинство задач решается при дополнительных упрощающих допущениях, правомочность которых не всегда обосновывалась анализом влияния их на точность результатов. [c.202]

С сосредоточенными параметрами Оператор преобразования может быть представлен в виде одного или системы обыкновенных дифференциальных уравнений i С распре-1 деленными параметрами Оператор преобразования может быть представлен в виде одного или системы дифференциальных уравнений в частных производных [c.442]

Далее необходимо подчеркнуть, что теоретические методы анализа с использованием исходной системы дифференциальных уравнений в частных производных, хотя бы и с некоторыми упрощениями, позволяют подходить к оценке влияния отдельных параметров на протекание нестационарного процесса. [c.11]

Переходя к методу прямых, отметим, что он занимает как бы промежуточное место между аналитическими и численными методами. При его использовании производные по одним независимым переменным (в задачах теплопроводности чаще всего — по времени) остаются неизменными, в то время как производные по другим переменным аппроксимируются конечными разностями, и дифференциальное уравнение с частными производными заменяется системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Так, уравнение (VI.3) может быть заменено системой уравнений [c.72]

Для пограничного слоя рассматривается нелинейная система дифференциальных уравнений в частных производных (названных системой 1) с двумя функциональными граничными условиями (задача с двумя функциональными граничными условиями) при Y = 0 и У= q или аэ [c.81]

При таких размерах дисков напряжения в них уже нельзя считать равномерно распределенными по толщине, поэтому необходимо решать осесимметричную пространственную задачу теории упругости, которая сводится к решению системы дифференциальных уравнений в частных производных со сложными граничными условиями. Решение такой задачи практически осуществимо лишь с использованием ЭЦВМ. [c.207]

Методика расчета скоростей массопереноса, изложенная в книге, довольно несложна для использования на практике, так как она опирается только на самые простые математические выкладки. Но далеко не так просто убедительно доказать ее обоснованность и надежность. Здесь вряд ли можно обойтись без рассмотрения дифференциальных уравнений с частными производными и привлечения довольно громоздкой системы символов. [c.32]

Процесс конвективного теплообмена описывается системой дифференциальных уравнений в частных производных. Для однородной несжимаемой вязкой жидкости с постоянными физическими свойствами (исключая плотность) эти уравнения имеют следующий вид [c.157]

Решение связанных задач динамической термоупругости для пластин сопряжено с большими математическими трудностями, ибо используются системы дифференциальных уравнений в частных производных. Поэтому полученные аналитические решения относятся к простейшим задачам с рядом упрощающих предпосылок. Численные результаты, оценивающие термоупругий эффект при колебаниях пластин в тепловом поле с условиями конвективного теплообмена на поверхностях z= hj2 отсутствуют. [c.133]

В разд. 3 определяющее уравнение объединяется с уравнением сохранения количества движения при плоской деформации, и в результате получается квазилинейная система дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. Переход от этой системы уравнений к уравнениям в конечных разностях вкратце обсуждается в разд, 4, где вво- [c.150]

Все эти разложения, будучи оборванными, удовлетворяют уравнению Больцмана с ошибкой (х, е), которая формально имеет порядок Для разложения Гильберта Rn не зависит от 8, но растет алгебраически как в задачах, зависящих от времени (из-за вековых членов). Следовательно, разложение Гильберта является асимптотическим только на ограниченном интервале времени о < / < t. Оценок остаточных членов разложения Чепмена — Энскога в приближениях, следующих за приближением Навье — Стокса, конечно, не существует. Методика, определяемая соотношениями (4.6) — (4.8), дает остаточный член, который убывает при больших t для любого п> поэтому соответствующее разложение превосходит ряд Гильберта по области применимости, а ряд Чепмена — Энскога — по отсутствию лишних решений и приводит к известной системе дифференциальных уравнений в частных производных. [c.278]

С математической точки зрения общая задача гидродинамики вязкой несжимаемой жидкости сводится к решению следующей совместной системы четырёх дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка [c.97]

Рассмотрим задачу об устойчивости равновесия упругой слоистой анизотропной оболочки вращения, нагруженной осесимметричной системой внешних сил, интенсивности которых пропорциональны одному параметру. Докритическое равновесное состояние оболочки определяем на основе линеаризованных уравнений статики, а его устойчивость исследуем в рамках статической концепции Эйлера о разветвлении фop равновесия, позволяющей трактовать (см. параграф 3.3) задачу устойчивости как линейную краевую задачу на собственные значения для системы дифференциальных уравнений с частными производными. Решение этой задачи строим в форме тригонометрических рядов Фурье по угловой координате (см. параграф 3.6) с коэффициентами, зависящими от меридиональной координаты. Отделяя угловую координату и вводя 2х-мерный вектор j>(x) вариаций безразмерных кинематических и силовых характеристик напряженно-деформированного состояния оболочки (см. параграф 3.6), приходим к линейной краеюй задаче на собственные значения для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, которую запишем в векторной форме [c.205]

Определение 5. Система дифференциальных уравнений с частными производными называется гиперболической (по отношению к временноподобному направлению), если её гиперповерхность Френеля гиперболична (по.отношению к соответствующей временноподобной точке). [c.277]

Симплектическая структура 6 Симплектическая триада 234 Симплектическая форма 6 Симплектоморфизм 8 Система дифференциальных уравнений с частными производными, гиперболическая в точке 278 Складка, особенность 28 След многочлена 11 Сложенный зонтик 154 Спектр особенности 33 Список лагранжевых особенностей 27 Стгъбильная Л" -зквивалентность 29 Стабильная эквивалентность проектирований 169 [c.333]

Свойства одноволновых моделей. В диапазоне СВЧ основой для построения математических моделей устройств являются уравнения Максвелла. При непосредственном использовании их задача построения модели сводится к интегрированию системы дифференциальных уравнений с частными производными в сложных областях с магнитодиэлектрическими и металлическими включениями. Такой подход позволяет получать модели, точность которых ограничена лишь вычислительными погрешностями. Однако реализация этого подхода сопряжена со значительными математическими сложностями и требует использования вычислительной техники высокой и очень высокой производительности. В результате строгие электродинамические модели отличаются высокой стоимостью разработки и эксплуатации, что существенно затрудняет, а в ряде случаев делает практически невозможным [34] использование их для решения задач оптимизации устройства СВЧ. Вследствие указанных причин получили распространение различные приближенные модели, характеризующиеся значительно меньшей стоимостью разработки и эксплуатации. [c.12]

Решение прямой задачи как в перемещениях, так и в напряжениях требует интегрирования довольно сложной системы дифференциальных уравнений в частных производных и, как правило, сопряжено со значительными математическими трудностями. Поэтому при решении прямой задачи часто используют приближенные методы,например метод сеток, прямые методы вариационных задач (методы Ритца, Бубнова—Галеркина, Канторовича и др.), а также получивший за последнее время широкое применение метод конечных элементов. В некоторых же случаях решение можно эффективно получить с помощью так называемого полуобратного метода Сен-Венана. [c.81]

Основной задачей теории гидротрансформаторов является исследование процесса энергообмена и сил взаимодействия между лопастной системой рабочего колеса и потоком жидкости. Эти вопросы относятся к зада,чам гидромеханики. При этом рассматриваются две задачи. Первая —определение внешнего результирующего эффекта лопастнор системы без учета внутренних явлений (внутренние связи, исключаются из рассмотрения вследствие равенства действия противодействию) она решается на основе закона количества движения. Вторая — Определение распределения скоростей и давлений в проточной части гидротрансформатора с рассмотрением внутренних связей. Последнее связано с решением системы дифференциальных уравнений в частных производных, что даже в сравнительно простых случаях связано с большими трудностями, поэтому при исследовании поля скоростей и давлений в основном используются опытные данные. [c.87]

Численное решение на ЭВМ всей системы дифференциальных уравнений в частных производных для газовой и жидкостной фаз включает пошаговое интегрирование в направлении г от начальных значений, заданных в плоскости 2о вычислительной программой L1SP. В каждой последующей плоскости 2 вычисляется совместное решение для всех переменных во всех узловых точках расчетной сетки (г, 0) с использованием комбинированной схемы прогноза с коррекцией. Для большинства уравнений применяется конечно-разностный метод переменных направлений с использованием центральных разностей по г и 9. На этапе прогноза используются линеаризованные конечно-разностные аналоги этих уравнений — явные по г и неявные по 9. Отдельные подпрограммы решают каждое из конечно-разностных уравнений, а также вычисляют связи уравнений и физические свойства газа в зависимости от соотношения компонентов. Использование отдельных подпрограмм обеспечивает удобство при введении требуемых изменений в модели различных физических процессов. Из-за практических ограничений в отношении объема памяти ЭВМ и времени счета программа 3-D OMBUST содержит не более 15 круговых и 7 радиальных линий расчетной сетки и не более 12 диаметров капель. [c.158]

Метод внешних и внутренних разложений широко применяют в аналитических исследованиях краевых задач математической физики, описываемых эллиптическими системами дифференциальных уравнений в частных производных. Рассмотрим применение этого метода для вывода общих уравнений деформирования диск-ретно-армированного континуума (пространство, армированное оболочками или стержнями, оболочка, армированная стержнями) размерность армирующего тела предполагается меньшей размерности связующего материала. Строгая теория таких объектов представляет интерес в связи с изучением композиционных материалов. [c.95]

Для расчета оболочек вращения, а также оболочек с прямоугольным параметрическим планом широко используется аппроксимация системы дифференциальных уравнений в частных производных системой в обыкновенных производных и метод Ньютона. Линеаризованная краевая задача решается сведением ее к ряду задач Коши с дискретной ортогонализа-цней по Годунову [90, 91, 134, 186, 187]. Такой подход позволяет построить эффективные алгоритмы числеииого изучения прочности, устойчивости, собственных и вынужденных колебаний оболочек с учетом геометрической и физической нелинейностей задачи. Развитая в последующих главах методика [c.24]

Анализ процессов переноса тепла конвекцией и излучением в пограничном слое излучающей, поглощающей и рассеивающей-жидкости приводит к системе дифференциальных уравнений в частных производных и интегродифференциальных уравнений, которые должны решаться совместно. Математические трудности, возникающие при решении этой системы сложных уравнений, побудили м-ногих исследователей к поискам приближенных методов решения той части задачи, которая связана с излучением. Некоторые авторы использовали приближение оптически толстого слоя, так как оно позволяет решать задачу с помощью обычных методов, использующих автомодельность течения. Приближение оптически тонкого слоя и экспоненциальная,аппроксимация ядра также приводят к значительному упрощению задачи. [c.524]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...