Световая гиперповерхность

Гиперболические системы и их световые гиперповерхности 275 [c.275]

Чтобы зафиксировать обозначения, напомню известные определения световой гиперповерхности и гиперболической системы дифференциальных уравнений с частными производными. [c.275]

Главные результаты зтой главы приведены в 8.3-8.4, в которых мы приводим нормальные формы особенности световых гиперповерхностей, систем лучей и лежандровых многообразий ). Для простоты обсуждается только случай линейных гиперболических по Петровскому систем дифференциальных уравнений с частными производными) выводящихся из вариационных принципов. [c.276]

Определение 8. Система линейных дифференциальных уравнений с частными производными с переменными коэффициентами называется гиперболической по отношению к функции времени, определённой на базовом многообразии, если её световая гиперповерхность гиперболична по отношению к дифференциалу этой функции во всех точках базового многообразия. [c.280]

Особенности световых гиперповерхностей вариационных систем 281 [c.281]

Гиперповерхности Френеля типичных гиперболических вариационных принципов являются особыми в некоторых точках базового многообразия (в которых гиперболичность не строгал). Сейчас мы будем изучать особенности гиперповерхностей Френеля и световых гиперповерхностей, встречающихся при рассмотрении типичных гиперболических вариационных принципов. [c.282]

Если эти задачи имеют нетривиальные ответы, то подобные проблемы интересны для расслоений над В. Можно предположить, что наличие точек нестрогой гиперболичности необходимо для реализации некоторых классов, и что можно использовать особенности световой гиперповерхности для определения характеристических классов гиперболических вариационных принципов. [c.284]

Световая гиперповерхность есть прообраз в РТ В многообразия вырожденных матриц относительно отображения, заданного главным матричным символом. [c.284]

Теорема. Типичные особенности световых гиперповерхностей гиперболических вариационных принципов с одномерным физическим пространством диффеоморфны квадратичным конусам [с локальной нормальной формой х + = 2 , где (х,у,г) — локальные координаты на многообразии контактных элементов пространственно-временной плоскости). [c.286]

Здесь мы применяем полученную выше нормальную форму особенностей световых гиперповерхностей к изучению распространений волн, задаваемых гиперболическими вариационными принципами. [c.289]

Рассмотрим теперь случай 0 = 2 (двумерное физическое пространство). Мне не известно, возможен ли эллиптический случай ( -1- в нормальной форме особенности световой гиперповерхности) для типичных гиперболических вариационных систем ). Мы рассмотрим гиперболический случай ( — в нормальной форме), который, очевидно, возможен. [c.291]

Рассмотрим теперь какую-нибудь гиперболическую особенность световой гиперповерхности, в которой проектирование самой поверхности Я на пространство-время имеет полный ранг. В окрестности такой особенности локально определено многообразие N, состоящее из слоёв проектирования тг, проходящих череэ Я . Точнее, для построения N на таких слоях берутся лишь достаточно малые окрестности лежащих на них гиперболических особенностей световой гиперповерхности. Заметим, что в изотропных средах гиперболические особенности, удовлетворяющие приведённому выше условию полноты ранга, не встречаются. [c.307]

Определение. Гиперболическая особенность световой гиперповерхности, удовлетворяющая приведённому выше условию полноты ранга, называется [c.307]

Математическое объяснение возникновения внутреннего отражения и внутреннего преломления волн состоит в наличии у каждой гиперболической особенности световой гиперповерхности пары проходящих через неё характеристик, отсутствующих у эллиптических точек. [c.308]

Пусть Е — световая гиперповерхность (верхний индекс — размерность многообразия), Н — многообразие её гиперболических особенностей, а — продолжение этого многообразия с помощью проходящих через него характеристик световой гиперповерхности. Точнее, для построения на таких характеристиках берутся лишь достаточно малые окрестности лежащих на них гиперболических особенностей [c.308]

С течением времени мгновенный фронт может испытывать перестройки, которые полностью исследованы в случае, когда световая гиперповерхность — гладкая, начальное условие — общего положения, г, D < 5. Если же световая гиперповерхность негладкая, то появляются новые типичные перестройки мгновенных фронтов, вызванные прохождением характеристик через её особые точки. [c.309]

Особенности лежандровых подмногообразий. Гладкое начальное условие называется регулярным, если оно не содержит особенностей световой гиперповерхности. [c.309]

Если световая гиперповерхность имеет конические особенности, то продолжение даже регулярного начального условия вдоль её характеристик может оказаться негладким. В интересующем нас случае D = 2 попадание отдельных характеристик, начинающихся на одномерном начальном условии, в гиперболические особенности световой гиперповерхности — явление общего положения. В самом деле, такие характеристики начинаются на пересечении L П двух подмногообразий световой гиперповерхности дополнительных размерностей — начального условия и объединения всех характеристик, проходящих через гиперболические особенности. [c.309]

Пусть ) = 2, а регулярное начальное условие трансверсально многообразию, составленному из всех характеристик, проходящих через гиперболические особые точки световой гиперповерхности. Рассмотрим какую-нибудь характеристику, начинающуюся на нашем начальном условии и заканчивающуюся в гиперболической особенности световой гиперповерхности. Продолжение начального условия вдоль характеристик, достаточно близких к рассматриваемой, является лежандровым подмногообразием, которое в окрестности её конца приводится, как показано в 8.4, к параметрической нормальной форме [c.309]

Все эти случаи взаимного расположения следов световой гиперповерхности Е и многообразий N, Яр и Яд на трансверсали к поверхности показаны на рис. 132. [c.310]

Строго говоря, однородные среды соответствуют нетипичным контактным стр5тст5фам, а типичные неоднородные среды соответствуют типичным контактным структурам на пространствах, содержащих ту же самую квадратичную коническую особенность световой гиперповерхности. [c.273]

Геометрическая оптика лучей и фронтов, задаваемых системой гиперболических дифференциальных уравнений с частными производными, является геометрией гиперповерхности в контактном пространстве проективизованного кокасательного расслоения пространства-времени. Эта гиперповерхность, называемая световой гиперповерхностью, есть множество нулей (главного) символа. В теории дифференциальных уравнений с частными производными характеристики зтой гиперповерхности в контактном многообразии контактных элементов странным образом называются бихарактеристиками . [c.275]

Эти кривые (и их проекции на пространство-время и физическое пространство) называются физическими лучами. Лежандровы подмногообразия световой гиперповерхности, спроектированные в пространство-время, определяют в пространстве-времени гиперповерхность большого фронта . Эта гиперповерхность описывает распространение волн его сечения изохронами являются мгновенными фронтами. [c.275]

Световая гиперповерхность есть объединение алгебраических проективных гиперповерхностей, принадлежащих различным слоям расслоения контактных элементов базового пространства. Для системы и точки общего положения эти алгебраические гиперповерхности неособы (в зтом случае они строго гиперболичны). Но в некоторых точках базового многообразия эти гиперповерхности могут становиться особыми. Изучение этих особенностей для типичных вариационных гиперболических систем и есть главная цель настоящей главы. [c.279]

Определение 7. Световым конусом (системы с переменными коэффициентами) называется объединение конусов Френеля главных частей замороженных систем во всех точках базового многообразия он определяется уравнением сг(р, д) = 0. Это же уравнение задаёт световую гиперповерхность в пространстве проективизованного кокасательного расслоения базового многообразия эта гиперповерхность есть объединение гиперповерхностей Френеля главных частей замороженных систем. [c.280]

Для иэучения особенностей световых гиперповерхностей мы, во-первых, опишем особенности соответствующего универсального объекта многообразия вырожденных симметрических матриц. [c.284]

При С = 3 (три пространственные переменные) размерность световой гиперповерхности равна 6, следовательно размерность многообразия вершин типичного вариационного принципа равна 4. Кроме зтих простых особенностей (типа квадратичного конуса вдоль многообразия вершин), может существовать кривая особенностей типа N3. Проекция многообразия вершин на четырёхмерное пространство-время может его накрывать. Таким образом, рассеяние возможно в любой точке и в любой момент времени (при зтом, разумеется, направление особой волны специально, так же, как это было в меньших размерностях). [c.285]

Особенность световой гиперповерхности говорит о том, что с распространением волн творится что-то необычное. Чтобы понять особенности соответствующих систем лучей и фронтов, нам необходима информация об особенности световой гиперповерхности как поверхности в контактном пространстве. Таким образом, мы пришли к следующей задаче в контактном пространстве контактоморфизмами привести к локальной нормальной форме особую поверхность, диффеоморфную квадратичному конусу. [c.285]

Световая гиперповерхность является прообразом многообразия N1 вырожденных форм под действием (проективизированного) отображения, задаваемого главным матричным символом. Таким образом, следствие доставляет информацию об особенностях световых гиперповерхностей, задаваемых типичными вариационными принципами. [c.286]

При 0 = 2 (две пространственные переменные) эти особые точки образуют двумерное многообразие вершин на четырёхмерной световой гиперповерхности в пятимерном пространстве контактных злементов. В этой размерности других особенностей нет. Проекция многообразия вершин на трёхмерное пространство-время есть двумерное многообразие. Следовательно, рассеяние возможно в любой момент в точках зависящей от времени кривой в физическом 2-пространстве [c.286]

Доказательство. Световая гиперповерхность находится в пространстве проективизованного кокасательного расслоения РТ К — над плоскостью пространства-времени. Слои этого расслоения являются лежандровыми подмногообразиями. Касательная прямая к слою в вершине конуса принадлежит контактной плоскости. В эллиптическом случае эта контактная плоскость ( 2 = 0) пересекается с вещественным конусом только в вершине. Следовательно, некоторые из близлежащих слоёв не пересекают световую гиперповерхность в некоторой окрестности особой точки, тогда как другие слои пересекают её дважды. Таким образом, характеристическое уравнение должно иметь комплексные корни в некоторых точках пространства-времени, то есть система не гиперболична. [c.289]

Мгновенный волновой фронт на физической плоскости представляется в контактном 5-многообразии некоторой интегральной кривой контактной структуры, принадлежашей световой гиперповерхности Я = 0. Коразмерность входящей сепаратрисы дх = О в световой гиперповерхности равна 1. Следовательно, типичный волновой фронт проходит через особенность в изолированные моменты времени в изолированных точках. [c.294]

Предположим, что интегральная кривая, представляющая мгновенный фронт, трансверсально пересекает входящую сепаратрису в точке с координатами рх = 1, р2 = 91 = 92 = - = О (общий случай может быть сведён к этому очевидной заменой переменных). Рассмотрим характеристики световой гиперповерхности, выходящие из точек нашей кривой. Эти характеристики образуют двумерное лежандрово подмногообразие в световой гиперповерхности (эта лежандровд поверхность образована контактными элементами, касающимися большого фронта, порождённого нашим мгновенным фронтом в пространстве-времени большой фронт есть поверхность в трёхмерном пространстве-времени, заметённая мгновенными фронтами). [c.294]

Замечание. Характеристики световой гиперповерхности, принадлежащие нашей лежандровой поверхности, на А, В)-плоскости представлены кривыми АВ = onst. [c.298]

Известно, что распространение коротких волн на уровне геометрической оптики описывается световой гиперповерхностью — множеством точек, в которых вырождается главный символ системы линейных уравнений Эйлера-Лагранжа. На такой гиперповерхности встречаются конические особые точки, среди которых выделены гиперболические особенности, которые и оказываются ответственными за внутреннее преломление и внутреннее отражение волн. В п. 8.5.2 обсуждается деление общих гиперболических особенностей световой гиперповерхности на точки преломления, отражения и псевдоотражения характеристик. [c.304]

Световая гиперповерхность Т, и многообразия М, Нр и Нд все содержат поверхность Я . Однако, их взаимное расположение может быть различным. А именно, поверхность Я делит световую гиперповерхность Е и каждое из многообразий Нр и Нд на две ветви. Рассмотрим какие-нибудь полуветви многообразий Я , и Я , лежащие на одной и той же полуветви световой гиперповерхности Е . Многообрэг зие же М может касаться световой гиперповерхности Е", а может пе-ресёкать её либо по трёхмерному многообразию, локально состоящему из двух ветвей, либо лишь по Я . [c.307]

Если пространство-время трёхмерно П = 2), то по отношению к проектированию ж типичные гиперболические особенности общей световой гиперповерхности делятся на точки преломления, отражения и псевдоотражения характеристик, которые определяются следующим образом. [c.308]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...