Симплектическая форма

Определение 5.5.1. Пусть Е — линейное пространство. 2-тензор а Е X Е Ш называется невырожденным, если а v>-+ а(v, ) — изоморфизм Е на двойственное пространство Е. Этот тензор называется антисимметричным, если a v, w) = —a w, v). Невырожденная антисимметричная 2-форма называется симплектической формой. Линейное пространство с фиксированной симплектической формой называется симплектическим векторным пространством. Если (Е, а) и (F, ) — симплектические векторные пространства, то линейное отображение Т Е F называется симплектическим, если Т /3 = а [c.226]

Предложение 5.5.2. Пусть Е —линейное пространство. Если а —симплектическая форма на Е, то dim Е = 2п для некоторого neN и существует такой базис. .., в2 пространства Е, что (е , J = = 1, если г = 1,..., п, и а(е,., е ) =0, если i-j ф п. Следовательно, если скалярное произведение в Е, относительно которого векторы е,,..., в2 [c.226]

Теперь мы можем перейти к обсуждению симплектических форм на многообразиях. [c.228]

Докажите, что существует такое симплектическое линейное отображение Т (R ", ш)->, ы), где ы — стандартная симплектическая форма, что Л — множество собственных значений Т (с кратностями). [c.236]

Предложение 5.6.4. Предположим, что (М, 9) — контактное многообразие. Тогда М может быть вложено в симплектическое многообразие (N, ш) таким образом, что сужение симплектической формы ш на М равно 9. [c.239]

Предложение 5.6.5. Пусть ш — стандартная симплектическая форма на и М=/" (с) СК " — множество уровня гладкой функции / 2" с регулярным значением с. Тогда М является подмногообразием контактного типа в том и только том случае, когда в окрестности и многообразия М имеется векторное поле трансверсальное к М, для которого С ш = ш. [c.239]

Локально контактные формы, подобно симплектическим формам, могут быть приведены к каноническому виду. Приведенный ниже результат представляет собой простое следствие теоремы Дарбу 5.5.9 для симплектических форм. [c.239]

Доказательство. Начнем с доказательства того факта, что асимптотический индекс пересечения (см, замечания после теоремы П 5.2) любых двух плотных орбит такого векторного поля равен нулю. Для этого возьмем некоторую трансверсаль и для любых двух орбит рассмотрим отрезки, начинающиеся и оканчивающиеся на трансверсали и пересекающие трансверсаль п раз. Используем конструкцию асимптотического цикла, замыкая орбиты трансверсальными отрезками, и замкнем эти два отрезка орбит отрезками трансверсалей, соединяющих их концы. Порядок длин возникающих в ре льтате кривых равен п. Они могут пересекать друг друга не более чем йп раз, а именно на трансверсали, так что порядок числа их пересечений после нормализации по длине равен 2п/п , откуда следует, что предел на самом деле равен нулю. Таким образом, все плотные орбиты содержатся в -мерном лагранжевом подпространстве (симплектической) формы пересечения (см. замечания после теоремы П 5.2). [c.491]

Теперь мы покажем, что если матрица А симплектическая, то и матрицу X тоже можно представить в симплектической форме путем умножения ее столбцов на определенные константы Си. Рассмотрим антисимметричную матрицу. [c.211]

Мнимая часть (5.1) задает симплектическую форму, соответствующую скобке Пуассона (1.3) Оказывается, что в переменных М, А [c.108]

Если по тем или иным причинам нам необходимо иметь на ё с скалярное произведение, то его, очевидно, можно выбрать многими неэквивалентными способами, причем все будут соответствовать одной и той же симплектической форме о (/, д) — = ИтЦ, д)/2. Пусть, например, f — фурье-образ элемента а функции а (й) и р (к) — такие, что удовлетворяют (почти при всех значениях к) соотношениям [c.312]

Подмножество е/,// /е/ в Ж называется симплектическим базисом, если при заданной симплектической форме а [c.331]

Л1 есть 2/тг-мерное симплектическое многообразие, а векторное поле а задается не зависящей от времени функцией Гамильтона Н. В локальной системе координат ( 1,. .., Р1,...,Рт), в которой симплектическая форма (о имеет вид [c.10]

Симплектическая структура на многообразии есть замкнутая невырожденная 2-форма (называемая также симплектической формой). [c.6]

Действительно, симплектическая структура пространства характеристик определена следующим условием значение исходной симплектической формы на двух произвольных векторах, приложенных в одной точке и касающихся гиперповерхности, равно значению искомой структуры на проекциях этих векторов в пространстве характеристик (рис. 8). [c.9]

Лемма 1. Единственными симплектическими инвариантами подпространства линейного симплектического пространства (снабжённого невырожденной кососимметрической билинейной формой) являются его размерность и ранг ограничения на него симплектической формы. [c.13]

Однако, В некоторых точках 3-поверхности вырождения ядро может касаться этой 3-поверхности. Для типичного 4-многообразия это возможно на некоторой кривой на 3-поверхности. Точки этой кривой являются особыми точками характеристического поля. Ограничение симплектической формы на 3-поверхность вырождения в точках этой кривой равно нулю. [c.18]

Нормальные формы вырождений симплектических форм на типичных подмногообразиях размерности 6 (или выше) образуют более длинный список. Однако, приведённые вьпие особенности устойчивы (не исчезают после малой деформации подмногообразия после возмущения в близлежащей точке образуется эквивалентная особенность) и просты (все близлежащие особенности образуют конечный набор классов эквивалентности). [c.20]

Теорема 8. Обратная форма пересечений инфинитезимально невырожденного к-го ассоциированного отображения периодов голоморфной формы допускает голоморфное продолжение на дискриминант, определяя симплектическую форму на базе версальной деформации, при условии п = 2А + 1. [c.103]

На уровне струй, плохое множество в этой проблеме имеет коразмерность 7, следовательно, кажется убедительным предположение о том, что типичное лагранжево вложение размерности 2 не пересекает его. Однако, доказательство не может быть сведено к обычным аргументам трансверсальности, так как уравнение, определяющее изотропное вложение f uJ = О, где / — вложение, а,ш — симплектическая форма), квадратично по отношению к /. [c.151]

Раскрытый ласточкин хвост размерности к есть образ в пространстве характеристик проекции многообразия многочленов степени га-1-1, имеющих нулевой корень кратности к- -2. Симплектическая форма объемлющего (2А - -2)-мерного симплектического пространства равна нулю на этом гладком -многообразии (так как это многообразие есть координатная 9-плоскость в координатах Дарбу, введённых в 1.1). Следовательно, его проекция в 2А Мерное пространство характеристик является лагранжевым подмногообразием (в общем случае особым). [c.229]

Можно отметить ряд новых направлений в современной математике, обладающих потенциальными возможностями применения к исследованию проблем механики. Данные направления в известной мере примыкают к тензорным дифференциально-геометрическим методам и теории римановых пространств, но в то же время связаны и с развивающимися за последние десятилетия новыми областями. Из них можно назвать теорию дифференцируемых многообразий, теорию расслоенных пространств, теорию внешних форм Картана и связанные с ней симплектические методы (например в гамильтоновой механике). [c.15]

Пусть (М, со)—симплектическое многообразие, а— форма Пфаффа на Тогда векторным полем X, соответствующим данной форме Пфаффа, называется поле на определяемое из условия [c.54]

Фундаментальная форма. Введение дифференциальных.операций на касательных пространствах позволяет задать симплектическую структуру на касательном расслоенном пространстве и рассмотреть в дальнейшем лагранжевы динамические системы как векторные поля на ТМ или дифференциальные уравнения второго порядка на М. [c.57]

Эта форма степени 2 и класса 2п определяет симплектическую структуру на касательном расслоенном пространстве ТМ. [c.57]

В статье рассматривается применение теории дифференцируемых многообразий к лагранжевой динамике. В статье [8] автора рассмотрены необходимые математические понятия и операции. Введение фундаментальной формы на касательном расслоенном пространстве задает на нем симплектическую структуру и позволяет задать лагранжеву динамическую систему, соответствующую голономной склерономной механической системе, как векторное поле на касательном расслоенном пространстве. [c.69]

По поводу вопроса 1.4 Система (1.1) естественным образом связана с гамильтонианом Н п с симплектической формой dp А dx + + dq А dy. Система (1.4) — это характеристическая система дифференциальной формы pdx + qdy — Н dt = f dr + С dO — Н dt. Эти важные замечания объясняются в книге Арнольда [1], где также используется формализм Лагранжа. Роль этих структур в процессе редукции такова сопоставить с действием какой-нибудь хорошей группы симметрии первых интегралов. Так, враш,ение связано с С, перенос по времени — с Н. Почему нам не понадобились эти структуры при редукции Попросту потому, что в задаче о радиальном потенциале мы уже знали первые интегралы Н п С. Закончим эту лекцию, приведя пример редукции с помош,ью плохой группы симметрии, которая также хорошо подходит к процессу редукци. [c.16]

По предложению 5.5.2 мы можем найти таюие координаты в некоторой окрестности любой данной точки х, что в индуцированных координатах в касательном пространстве Т М симплектическая форма имеет канонический вид. Это можно сделать, начиная с произвольной системы координат и применяя соответствующую линейную замену координат. Однако, в отличие от случая римановой метрики, возможно найти такую локальную систему координат, что симплектическая форма приводится к каноническому виду в каждой точке нашей окрестности. Мы приведем доказательство этого факта, предложенное Мозером, которое демонстрирует еще одно применение метода, впервые использованного нами в п. 5.1 д. [c.229]

Доказательство. Для х М выберем окрестность нуля в кег9 , и пусть У= X (-е, е), 17 = ехр V, Ц, = ехр(1 х t ) с М. Дифференциал (19, ограниченный на С//, является симплектической формой, так что по теореме Дарбу 5.5.9 для каждого у Щ существует окрестность Ц", с С/,, на [c.240]

Существуют также аналоги теоремы Купки — Смейла для случая диффеоморфизмов и потоков, сохраняющих дополнительную структуру. Наиболее важные и часто используемые примеры таких структур — гладкие положительные меры (см. определение 5.1.1) и симплектические формы (определение 5.5.7). Из-за наличия встроенных резонансов (6.6.4), (6.6.5) и (6.6.6) соотношение между гиперболичностью и массивностью изменяется. [c.302]

В случае размерности два симплектическая форма представляет собой просто элемент объема. Следовательно, случаи сохраняющего площадь и ориентацию отображения и симплектический случай совпадают. В этой ситуации имеются два собственных значения, Л и А , и если точка трансверсальна, то Л 1. Следоватадьно, либо число А 1 вещественно, либо Л комплексно, А = 1 и Л- = Л. Исключая случай, когда А = -1, мы получаем две возможности гиперболическую (Л вещественно) либо эллиптическую ( А = 1, X Ф 1), обе из которых открыты. В случае обращающих ориентацию отображений собственные значения вещественны и любая трансверсальная точка гиперболична. Для сохраняющих объем отображений в случае размерности три или больше из резонансных условий (6.6.4). или (6.6.5) не следует неустранимого отсутствия гиперболичности. В этом случае можно возмутить любую трансверсальную неподвижную точку так, чтобы она стала гиперболической. [c.302]

Два вектора, приложенных в одной точке симплектического многообразия, называются косоортогональными, если значение симплектической формы на этих векторах равно нулю. Например, все р-оси координат Дарбу косоортогональны. [c.6]

Теорема (А.Вейнстейн [15]). Подмногообразие симплектического пространства определено, с точностью до симплектоморфизма некоторой своей окрестности, ограничением симплектической формы на касательные векторы к объемлющему пространству в точках этого подмногообразия. [c.13]

Теорема Вейнстейна глобальна в том смысле, что она даёт заключение о всём многообразии. Теорема Гивенталя локальна, однако в ней требуется только внутренняя информация, в то время как для применения теоремы Вейнстейна необходимо знать некоторую внешнюю информацию (значения симплектической формы на векторах, не касающихся исследуемого многообразия). [c.13]

Симплектическая структура 6 Симплектическая триада 234 Симплектическая форма 6 Симплектоморфизм 8 Система дифференциальных уравнений с частными производными, гиперболическая в точке 278 Складка, особенность 28 След многочлена 11 Сложенный зонтик 154 Спектр особенности 33 Список лагранжевых особенностей 27 Стгъбильная Л" -зквивалентность 29 Стабильная эквивалентность проектирований 169 [c.333]

Другие доказательства теоремы Якоби. В 25.1 мы привели дока.зательство теоремы Якоби об инвариантности формы уравнений движения по отношению к контактным преобразованиям. Это доказательство основывалось на теореме эквивалентности и, возможно, является простейшим. Тем не менее ввиду важности теоремы Якоби мы приведем еще два доказательства ее, каждое из которых представляет самостоятельный интерес. Одно из них связано с рассмотрением производящих функций контактных преобразований ( 24.2 и 24.3) и включает в себя некоторые приемы, которые окажутся по-пезными впоследствии. Другое доказательство основано на использовании симплектического свойства матрицы М ( 24.13) оно показывает, между прочим, что контактное преобразование не является самым общим преобразованием, при котором уравнения Гамильтона сохраняют свою форму. [c.513]

Левая часть равенства (37) часто называется [91, 158] фазовым потоком гамильтоновой системы. Таким образом, теорема Лиувилля утверждает, что поток гамильтоновой системы постоя-пещ. Введение симплектической матрицы Якоби, а также матриц Пуассона и Лагранжа позволяет в удобной и компактной форме написать основные свойства канонических систем и преоб-разоваиий. [c.200]

Симплектические многообразия. Пусть — многообразие четной размерности 2 п. Симплектическая структура на определяется заданием невырожденной замкнутой дифференциальной формы (оеЛ (Л1) степени 2 и класса 2 п. Пара со) называется симплектн- [c.54]

Как было показано [8], замкнутая форма (D = ddvT образует симплектическую структуру на ТМ, Пусть а=ё Т—У7)+я — форма Пфаффа на ТМ, V — поле Лиувилля. Тогда на ТМ существует, и притом единственное, векторное поле X, соответствующее форме Пфаффа а, определяемое из условия [c.70]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...