Эйлера —Коши уравнения

Видное место в истории механики сплошной среды занимает Дж. Г. Стокс, давший в 1845 г. вывод уравнений теории упругости, опирающийся на строго континуальный подход (Эйлера — Коши) и естественную гипотезу о линейной зависимости компонент напряжения от компонент деформации. В результате для изотропного тела он получил две упругие постоянные и привел ряд веских соображений в пользу того, что они не могут быть сведены к од- [c.52]

В настоящий момент, после этого предварительного замечания, мы начнем с подготовительной работы, напомнив некоторые классические результаты, относящиеся к разрывам в несжимаемой жидкости это нам позволит, между прочим, доказать общим способом теорему относительно непрерывности давления при переходе через поверхность (S, ограничивающую вихревую область мы встречали эти результаты в различных частных примерах, рассмотренных в предыдущих главах, и теперь важно доказать теорему в общем виде. Давление исключено из уравнении Коши и Гельмгольца, которые мы напомнили в виде (2) и (3). Но нам следует полностью определить давление, т. е. вернуться к уравнениям Эйлера или уравнениям, им эквивалентным, и непрерывность входящего туда давления представит физически необходимое условие. [c.204]

TO динамическое уравнение Эйлера—Коши и уравнение сохранения массы принимают простой вид [c.120]

Для численного интегрирования полученной системы уравнений разобьем выделенный объем среды точками г = г,- (t = l, 2,. ... .п) пап материальных частиц значения всех искомых функций будем определять в точках г = г, (t = l, 2,. .., п). Тогда четыре последних дифференциальных уравнения в частных производных по времени от переменных ссг, а, w, рг перейдут в 4п обыкновенных дифференциальных уравнения но времени, для численного интегрирования которых удобно использовать модифицированный метод Эйлера — Коши. Для определения значений давления Pi в точках f = r, в каждый фиксированный момент времени необходимо решать линейную (для pi ) краевую задачу для первого дифференциального (по г) уравнения второго порядка с краевыми условиями (6.7.17). [c.85]

Расчет нагрева частиц SiO , движущихся с ускорением и без него, проводился с коэффициентом теплоотдачи, полученным в [27] для стационарного пограничного слоя (14). Уравнения решались методом Эйлера—Коши. Расчет проводили до достижения частицей на определенном пути х температуры плавления и полного ее проплавления. Для оценки проплавления использовалось следующее уравнение [c.78]

Метод Эйлера — Коши. Переписав диференциальное уравнение в виде [c.258]

Метод Эйлера —Коши. Переписав уравнения в виде [c.260]

Основные уравнения механики сплошных сред — это так называемые первое и второе уравнения движения Эйлера — Коши. Первое уравнение выражает баланс импульса, а второе — момент импульса. Поля Ф, и О, соответствующие этим уравнениям, приведены в следующей таблице. [c.102]

ИЛИ р- . Даже когда тензор 1 симметричен, т. е. когда справедливо соотношение (2.4.28), тензор Т не имеет определенной симметрии, так что должен учитываться порядок его индексов. Подставляя выражение (2.7.2) в уравнение (2.4.21), принимая во внимание первое тождество (2.2.53), применяя правило дифференцирования (вторая формула (2.2.53)), умножая полученное уравнение на / и, наконец, учитывая уравнение неразрывности в форме (2.4.5), находим, что первое уравнение движения Эйлера— Коши имеет вид [c.112]

Первое уравнение движения Эйлера — Коши [c.444]

Первое уравнение движения Эйлера — Коши ру = (11у 1 + 1 по оси г [c.547]

Раздельное по фрагментам интегрирование дифференциальных уравнений довольно просто организуется лишь при использовании явных методов. Покажем это на примере решения методом Эйлера системы ОДУ, представленной в нормальной форме Коши и разделенной на две подсистемы [c.244]

Уравнения двумерных течений (164.15) описывают кинематическую картину течений. Динамическая картина при тех условиях, которые сформулированы в начале пункта, будет описываться при нестационарных течениях интегралом Коши и при стационарных течениях интегралом Бернулли — Эйлера. [c.258]

Таким образом, для вариационного уравнения бУ = О уравнениями Эйлера—Остроградского являются дифференциальные зависимости Коши (5.76) и дифференциальные уравнения равновесия (5//7), а естественными граничными условиями — условия (5.78) и (5.79). [c.106]

Следовательно, выражение в скобках зависит только от времени, а от координат не зависит. Интеграл этого уравнения будет - + = где / t) определяется из граничных условий. Этот интеграл уравнения. Эйлера называется интегралом Коши—Лагранжа для потенциального движения идеальной несжимаемой жидкости. [c.90]

Для потенциальных течений идеальной жидкости как установившихся, так и неустановившихся, может быть получен первый интеграл уравнений Эйлера. Этот интеграл носит название интеграла Коши — Лагранжа. [c.149]

В работе [370] рассмотрены осесимметричные деформации пологой конической оболочки. Задача Коши по параметру интегрировалась по простой схеме Эйлера. Пошаговые линейные краевые задачи решались методом прогонки. Аналогичная комбинация методов использована в работах [428, 490] для оболочек вращения. В основу положены уравнения Рейсснера [491]. [c.187]

Уравнения движения Эйлера будут выполнены, если имеет место интеграл Коши и необходимо удовлетворить лишь уравнению неразрывности. Используя формулы [c.33]

Построены классы точных решений уравнений Эйлера.-Остроградского, соответствующие нелинейному комбинированному функционалу, с помощью которого строятся регулярные криволинейные сетки, близкие к равномерным и ортогональным. В общем случае упомянутые классы описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений восьмого порядка, для которых ставится задача Коши. В симметричном частном случае система сводится к одному нелинейному уравнению четвертого порядка, которое проинтегрировано до конца в квадратурах. Исследовано влияние веса при слагаемом в функционале, отвечающем за ортогональность, на качество сеток. Приведены результаты численных расчетов. Построенные решения могут, в частности, служить тестами при исследовании различных численных методик построения сеток. [c.506]

Как явствует из краткого сообщения, опубликованного в начале 1823 г. , Коши развил в этом мемуаре общий континуальный подход в механике сплошной среды. Он ввел понятие напряжения на площадке, представил его через три составляющие, параллельные осям декартовых координат, и изучил напряженное состояние в точке упругого тела. Далее с помощью предложенного Л. Эйлером метода выделения элементарного объема и рассмотрения действующих на него сил Коши получил общие уравнения равновесия сплош- [c.49]

Непрерывные жидкости, удовлетворяющие гипотезе Эйлера, называются невязкими ). Как показал Коши, напряжение в невязкой жидкости должно быть одинаковым во всех направлениях (изотропным) получающаяся скалярная функция р , t) может быть названа давлением. Далее, закон сохранения количества движения эквивалентен следующему векторному уравнению в частных производных [c.19]

Уравнения движения. Мы переходим теперь к рассмотрению динамики движения жидкости и ставим перед собой задачу получить те уравнения, которые описывают действия на жидкость внешних и внутренних сил. В этом пункте мы дадим, вероятно, наиболее прямое и обоснованное исследование этого вопроса, намеченное в основных чертах еще в работах Эйлера и Коши. [c.19]

При рассматриваемых условиях уравнение движения Эйлера приводится к интегралу Коши (см. гл. 4, 5) вида [c.217]

Если ориентироваться на техническую реализацию импульсной позиционной процедуры оптимального управления ОТМ, описанной в разделе 1 главы V, то следует на каждом шаге алгоритма выбирать численный метод из соображений требуемой точности и возможности его реализации в режиме реального времени. Вычислительный эксперимент показал, что уже приемлемую точность на нервом шаге алгоритма обеспечивает формула трапеций, а на втором — метод Эйлера решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Это естественно объясняется тем, что в оптимальном режиме переориентации манипулятор ОТМ испытывает довольно маленькие перегрузки. [c.161]

Формулировка вариационного принципа стационарности действия для нелинейно упругого тела в переменных Эйлера и вывод уравнения баланса импульса из него на основе канонического определения тензора напряжений Коши приводятся в [11, с. 190-195]. [c.679]

Эйлера тензор деформаций 84 Эйлера —Коши уравнения 102 Эйлерова вариация 378, 484 Эйнштейна — де-Хааса эффект 40 Эластооптика 476 [c.555]

В уравнении теплопроводности можно аппроксимировать конечными разностями производные не по всем независимым переменным. В итоге получится система дифференциальных уравнений (обыкновенных или в частных производных). Если удается получить аналитическое решение такой системы, то оно будет приближенным решением задачи, так как при конечноразностной аппроксимации внесена погрешность в математическое описание процесса тегглопро-водности. Однако обычно такой прием частичной замеггы производных конечными разностями, известный как метод прямых [27], используют для решения полученной системы уравнений одним из эффективных численных методов. Например, для задачи нестационарной теплопроводности- аппроксимация производных по пространственным координатам переводит уравнение в частных производных в систему обыкновенных дифференциальных уравнений (в общем случае нелинейных), которая может быть решена методами численного интегрирования Эйлера-Коши, Рунге-Кутта, Адамса и т.п. [4, 104]. Такую же систему обыкновенных диф -ренггиальных уравнений получают из условия баланса тепловых потоков в дискретной модели тела, состоящей из теплоемких масс и теплопроводящих стержней [27]. [c.210]

Уравнение (2.4.25) или (2.4.26)—общая локальная форма второго уравнения Эйлера — Коши. Внутренний спин может появиться из квантовомеханических рассмотрений (как в случае ферромагнитных тел см. гл. 6). Что касается объемных моментов сил, то они наиболее часто возникают из-за действия электромагнитных полей в намагничивающихся или поляризующихся средах (см. гл. 3). Если все эти эффекты несущественны и не имеют значения моментные напряжения (последний может также иметь квантовомеханическую природу, см. гл. 6), то Sij = О, Сц = О, mkii = О и уравнение (2.4.26) сводится к хорошо известному уравнению [c.103]

Нормализованные уравнения приводятся к форме Коши и интегрируются тем или иным численным методом на интервале безразмерного вре.мени ti = (ot. Один из возможных вариантов программы, использующий конечно-разностную схему Эйлера с шагом, равным шагу печати Д< =Т /24, приведен в рассмотренном ниже примере. Студентам, имеющим практические навыки программирования, рекомендуется интегрировать уравнения методом Рунге — Кутта, используя стандартные подпрограммы. [c.71]

Уравнение Эйлера (1.2.2) в дальнейшем рассматривается Б форме Громеко, а первый интеграл берется в форме Коши— Лагранжа массовыми силами пренебрегают [c.20]

В последующем задаче об изгибе балки уделяли много внимания крупные ученые, в числе которых были Мариотт, Лейбниц, Варньон, Яков Бернулли, Кулон и др.. Пишь в 1826 г. с выходом в свет лекций по строительной механике Навье был завершен сложный путь исканий решения задачи об изгибе балки, затянувшийся во времени почти на двести лет. Навье дал правильное решение этой задачи, им впервые введено понятие напряжения. Им же сделан существенный шаг в направлении упрощения составления уравнений равновесия, состоявший в том, что Навье отметил малость перемещений и возможность относить уравнения равновесия к начальному недеформированному состоянию. Это очень широко используемое положение иногда называют принципом неиз жнности начальных размеров. В истории развития механики деформируемого твердого тела важную роль сыграли такие крупные ученые, как Лагранж, Коши, Пуассон, Сен-Венан. Особо следует отметить заслуги Эйлера, впервые определившего критическое значение сжимающей продольной силы, приложенной к прямолинейному стержню (1744). Решение этой задачи во всей полноте тоже заняло по времени почти двести лет Дело в том, что решение Эйлера было ограничено предположением о линейно-упругом поведении материала, что накладывает ограничение на область применимости полученной Эйлером формулы. Применение эюй формулы за границами ее достоверности и естественное в этом случае несоответствие ее экспериментальным данным на долгое время отвлекло интерес инженеров от этой формулы и лишь в 1889 г. Энгессером была предпринята попытка получить теоретическое решение задачи об устойчивости за пределом пропорциональности. Он предложил 1аменить в формуле Эйлера модуль упругости касательным модулем i = da/di. Однако обоснования этому своему предложению не дал. В 1894 г. природу потери устойчивости при неизменной продольной силе правильно объяснил русский ученый Ясинский и лишь в 1910 г. к аналогичному выводу пришел Карман. Поэтому исторически более справедливо назвать его решением Ясинского —Кармана, предполагая, что Карман выполнил это исследование независимо от Ясинского. [c.7]

Полученные в настоящей главе уравнения неразрывности, Коши, Эйлера, Бернулли и количества движения являютсяЦ)р- --новным инструглентом для решения практических задач,- . [c.89]

На рис. 1.12 точками представлен результат интегрирования задачи Коши для уравнения (13.19) методом Эйлера с шагом ЛХ = 4. Крестикам соответствует результат, полученный модифицированным методом Эйлера с тем же шагом. Кружками обозначены точки, полученные методом Рунге — Кутта 4-го порядка с шагом ДХ = 4 и ДХ = 2. Здесь мы уже имеем практическое совпадение с точным решением. С целью сохранения накопившейся погрешности переход через точку фуркации Б осуществлялся также по условию симметртш, как и при построении лемнискаты Бернулли. [c.48]

Применительно к расчету вантовых систем на основе непрерывной модели уравнения в приращениях и интегриров е задачи Коши по параметру в форме последовательных нагружений (простой метод Эйлера) использовались в работах [247, 230]. М.Н. Скуратовский [309, 310] показал, что в областа эллиптичноста уравнений вантовой сета (тл. когда все усилия в сета растягивающие) ломаная Эйлера сходится к интегральной кривой задачи Коши при уменьшении шага последовательных нагружений. Метод продолжения решения в форме Давиденко применен в работах [440,274,275] к расчету вантовоч тержневых систем. [c.186]

В 1822 и 1823 гг. великими Навье и Коши были представлены в Парижскую академию научные трактаты, или, как их тогда называли, мемуары, положившие начало двум подходам к рассмотрению механических свойств твердых тел. Первый, основанный на рассмотрении тела как системы взаимодействующих между собой молекул, привел к довольно строгим физическим теориям механических свойств кристаллов различного строения. Второй же, так называемый континуальный подход, заключался в замене реального тела воображаемой сплошной средой, непрерывно заполняющей пространство. Уравнения равновесия ее были получены Коши с помощью предложенного Эйлером метода выделения элементарного объема и рассмотрения действующих на него сил. Для описания поведения сплошной среды постулируются определяющие уравнения. Полученная модель такой среды считается пригодной для расчета процессов в некоторых реальных телах, если результаты этого расчета с достаточной точностью соответствуют результатал макроскопического эксперимента, в ходе которого измеряются механические величины, входящие в уравнения. Такие модели называются феноменологическими, они составляют основу механики сплошных сред. [c.34]

Предполагаем все пятнадцать функциональных аргументов 1/1, W Охх,. .., а у,. .., е у в (V. ) вполне независимыми, так что они не являются, вообще говоря, перемещениями, напряжени" ями и компонентами деформации. Докажем теперь такую вариацион ную теорему [52]. Вариационное уравнение б/ = О содержит в ка честве (дифференциальных) уравнений Эйлера соотношения Коши закона Гука и условия равновесия, а в качестве естественных (эйле [c.76]

В механике жидкости и газа, напротив, был получен ряд важных общих результатов. Так, было введено четкое понятие давления в идеальной жидкости (И. Бернулли, Л. Эйлер), разработаны некоторые общие положения гидравлики идеальной жидкости, в том числе получены уравнение Бернулли (Д. и И. Бернулли, Л. Эйлер) и теорема Борда. Наконец, благодаря главным образом трудам JI. Эйлера были заложены основы гидродинамики идеальной (капельной и сжимаемой) жидкости. Замечательно, что уравнения гидродинамики были построены Эйлером при помощи вполне современного континуального подхода. Тут к его результатам трудно что-либо добавить ив 47 наши дни (конечно, если не касаться термодинамической стороны вопроса). Однако блестящая по стройности построения общая гидродинамика идеальной жидкости оказалась в XVIII в. лигпенной каких-либо приложений, если не считать акустики, опиравшейся в то время на представления И, Ньютона, эквивалентные предположению об изотермичности процесса распространения звука. Опередивйхие более чем на век требования времени, континуальные представления Эйлера в гидродинамике идеальной жидкости нуждались лишь, казалось бы, в небольшом обобщении — последовательном введении касательных напряжений,— для того чтобы обеспечить построение основ всей классической механики сплошной среды. Но, по-видимому, именно опережение Эйлером своей эпохи и практических запросов того времени повлекло за собой то, что толчок к дальнейшему развитию механики сплошной среды дали только через три четверти века феноменологические исследования, основанные на молекулярных представлениях. Чисто континуальный подход, основанный на идеях Эйлера и Коши, был последовательно развит англ [йской школой в 40-х годах и завоевал полное признание только в последней трети XIX в. [c.47]

Формулы Коши. Обобщение. Теорему Лагранжа можно также до-кавать методом, принадлежащим Коши, исходя ив непреобравованных уравнений Эйлера [c.8]

Простейшим и наиболее глубоко и всесторорше изученным случаем интегрирования уравнений Эйлера для несжимаемой жидкости является так называемое безвихревое движение с потенциалом скоростей. Понятие потенциала скоростей было введено самим Эйлером. Лагранж в 1781 г. первый нашел те динамические условия, при выполнении которых будет существовать безвихревое движение с потенциалом скоростей. Теорема Лагранжа, лежащая в основе всей теории безвихревого течения и оправдывающая практическое применение теории, Г>ыла в 1815 г. более строго доказана Коши (1789—1857), [c.24]

В общем случае изучение механических процессов в начально-деформированных телах необходимо проводить в рамках нелинейной теории упругости. Однако, множество процессов, происходящих в начально-деформированных телах, можно рассматривать в рамках линеаризованной теории наложения малых деформаций (возмущений) на конечные деформации (начальное состояние) в предположении, что возмущения малы. Традиционно [30, 41, 42] различают три состояния тела естественное (ненапряженное) состояние (ЕС), начально-деформированное состояние (НДС) и актуальное (возмущенное по отношению к НДС) состояние. При этом особое значение приобретает выбор системы координат, которая может быть связана либо с естественной конфигурацией (система координат Лагранжа или материальная система координат), либо с актуальной конфигурацией (система координат Эйлера) [30, 41, 42]. Линеаризованные уравнения движения существенным образом зависят как от выбора системы координат, так и от выбора определяющих соотношений, поскольку имеет место возможность определения напряженного состояния различными тензорами (Коши, Пиола, Кирхгофа и т.д.) и множественность их представления через меры деформации (Коши-Грина, Фингера, Альманзи) или градиент места. Более детально с особенностями постановки задач для преднапряженных тел можно ознакомиться в монографиях А. И. Лурье [41], А. Лява [42] и А. Н. Гузя [30]. [c.290]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...