Эйлера тензор деформаций

Лагранжев и эйлеров тензоры деформаций являются симметричными декартовыми тензорами второго ранга и поэтому для них можно в каждой точке тела найти три главных направления (главные оси) и три главных значения. С физической точки зрения материальная частица, у которой направления ребер (мы условились, что материальная частица имеет форму параллелепипеда) совпадают с главными направлениями деформации, не меняет своей ориентации. Так как направляющие косинусы осей х,- и X,- удовлетворяют условиям [c.67]

Лагранжев и эйлеров тензоры деформаций можно разложить на шаровые тензоры и девиаторы [c.69]

Таким образом, лагранжев либо эйлеров тензор деформаций е// определяется заданием трех главных удлинений е и трех направлений главных осей тензора. Вместо трех инвариантов е можно задать три других инварианта ео, Э, г() (либо це). [c.71]

Тензоры Гц и ец — (антисимметричный) тензор бесконечно малого поворота и линеаризованный эйлеров тензор деформации соответственно. Последний — симметричный тензор деформации из классической линейной теории упругости. [c.87]

Таким образом, удлинения Л,- или относительные удлинения Ец выражаются в конечном счете через компоненты efy тензора деформаций Лагранжа либо через компоненты тензора деформаций Эйлера. [c.66]

Следовательно, направляющий тензор деформации определяется заданием четырех величин —трех углов Эйлера, определяющих направление главных осей тензора, и угла вида деформированного состояния (фазы) if. [c.72]

Если тело линейно-упругое, то согласно (4.6) величины — линейны и однородны относительно компонентов тензора деформаций ekr. Поэтому А будет однородным многочленом второй степени относительно ekr- Следовательно, по теореме Эйлера об однородных [c.64]

Поскольку упругий потенциал VI (eij) для линейно-упругого тела является однородной функцией второго порядка относительно компонент Eij тензора деформации, то на основании теоремы Эйлеру [c.66]

При анализе движения окрестности частицы удобно вместо тензора (1.2.46) использовать эйлеров тензор конечных деформаций [c.34]

Лагранжа, а С — Коши—Эйлера. Отметим также, что нет установившихся названий тензоров деформации по-разному называют одни и те же тензоры и, наоборот, одинаково разные тензоры. Помочь здесь может лишь визитная карточка (2.15). [c.22]

В гидромеханике Эйлер, а затем Лагранж ( Аналитическая механика ) дали выражение для всех шести составляющих тензора деформаций через составляющие перемещения. Однако этот результат не нашел отражения в теории упругости. [c.189]

Для широкого класса задач механики сплошной среды — задач механики деформируемого твердого тела — характерна малость не только градиентов перемеш,ения, но и модуля и (или U ) по сравнению с характерным размером тела h, т.е. и //г <С 1 (или U /h <С 1). В этом случае различие между пространственными и материальными координатами мало, а лагранжев и эйлеров тензоры малой деформации можно полагать равными, т. е. [c.45]

С помош ью компонент (6) могут быть образованы тензоры деформации Лагранжа 7 и Эйлера е [c.637]

Таким же образом, если 5Х,/5л у из (3.25) подставить в (3.39), в результате получим эйлеров тензор конечных деформаций в виде [c.120]

Первый член в квадратных скобках в (3.54) является эйлеровым тензором линейной деформации е,ц. Второй член есть эйлеров тензор линейного поворота [c.122]

Лагранжев и эйлеров тензоры линейных деформаций являются симметричными декартовыми тензорами второго ранга, и поэтому определение их главных направлений (главных осей) и главных значений (главных деформаций) ведется стандартным методом, изложенном в 1.19. С физической точки зрения главное направ- [c.129]

Лагранжев и эйлеров тензоры линейных деформаций можно разложить на шаровые тензоры и девиаторы тем же самым способом, как в гл. 2 было выполнено разложение тензора напряжений. Если компоненты лагранжева и эйлерова девиаторов обозначить через йц и соответственно, то нужные выражения имеют вид [c.131]

X1 + 2X2- Найти лагранжев и эйлеров тензоры конечных деформаций Lg и Ел- [c.155]

Переходя теперь к вычислению работы деформации черев составляющие тензора напряжения, заметим, что А, как однородная квадратичная форма составляющих тензора деформации, может быть по теореме Эйлера представлена в виде [c.39]

В дальнейшем прежде всего будут определены тензоры деформаций Лагранжа и Эйлера. Несколько отклоняясь от намеченной схемы изложения, пока никакого ограничения на малость деформаций вводить не будем, так что поэтому все положения могут быть справедливы в качестве исходных для геометрически нелинейной теории. [c.35]

Величины Етп и втп В ЭТИХ формулах называют соответственно тензорами деформаций Лагранжа и Эйлера. [c.37]

Малые деформации. Если ограничиться малыми деформациями и считать производные от перемещений малыми по сравнению с единицей, то тензоры конечных деформаций могут быть линеаризованы. Тензоры деформаций Лагранжа и Эйлера принимают вид [c.40]

Величина ри би — скаляр. Чтобы выяснить физический смысл этого абсолютного скаляра, перейдем к контравариантным компонентам вектора скорости в эйлеровых переменных, так как в лагранжевых переменных метрический тензор зависит от компонент тензора деформаций и подлежит варьированию. При переходе к новым переменным скаляр не изменится. Обозначив контравариантные компоненты вектора скорости в переменных Эйлера найдем [c.29]

Далее, сравнение с (5.34) показывает, что для малых градиентов смещения тензоры в (5.37) можно истолковывать как эйлеров тензор напряжений и материальное приращение упрощенного тензора деформаций (5.28). [c.88]

Если теперь предположить градиент смещения малым, то получатся определяющие уравнения классической линейной теории упругости. В этом случае тензор деформации 8у определяется соотношением (5.28), и из (5.33) следует, что Ту можно истолковывать как эйлеров тензор напряжений. [c.94]

Если использовать "скорость деформации Уд и эйлеров тензор напряжений и если О (Уу ,) обозначает диссипативную функцию, приходящуюся на единицу массы, то принцип наименьшей необратимой силы приводит к соотношению (5.44), т. е. [c.97]

Е числить лагранжев и эйлеров <5 тензоры деформации и найти в обоих случаях главные направления и удлинения. [c.61]

Это означает, что в теории бесконечно малых деформаций лаг-ранжев и эйлеров тензоры деформаций совпадают. В частности, можно использовать только одну систему координат (например, хи). Тогда уравнения (2.2.44) и (2.2.45) принимают вид [c.87]

Эйлера тензор деформаций 84 Эйлера —Коши уравнения 102 Эйлерова вариация 378, 484 Эйнштейна — де-Хааса эффект 40 Эластооптика 476 [c.555]

Приведем еще полезную форму выражения для свободной энергии деформированного тела, получающуюся непосредственно из квадрэтичности F по тензору деформации. Согласно теореме Эйлера имеем [c.24]

Термины прашый и левый условны, так как, например, если вместо F базовым несимметричным тензором деформаций был бы принят тензор градиента места то термины правый и левый пришлось бы поменять местами. Для тензоров деформаций, являющихся функциями правого тензора кратностей удлинений U, часто используются термины материальный или лагранжев , а для тензоров деформаций, являющихся функциями левого тензора кратностей удлинений V, — пространственный или эйлеров . Эти термины искажают механический смысл тензоров деформаций, так как все они по своей сути материальные [63]. [c.35]

Tl, Те - лагранжет и эйлеров тензоры конечных деформаций с компонентами Lft и Elk соответственно Jl, Je - якобианы взанмнообратного преобразования лагранжевых и эйлеровых координат [c.10]

Замечание. Выше установлена связь между напряжениями и деформащтями упругой среды при подходе Лагранжа. Можно доказать (см., например, [1, 2, 8]), что при подходе Эйлера связь меяеду тензором истинных напряжений и тензором деформаций Альманси в упругой среде определяется формулой Мурнагана [c.32]

Для более четкого различения тензоров каждой пары будем добавлять к названию первых имя Лагранжа, а к названшо вторых — Эйлера. Например, С —тензор деформации Коши-Лагранжа, а С — тензор деформахщи Коши-Эйлера. [c.50]

В (5.5) а, у5, 7 углы, определяющие направления главных осей тензоров деформации (например, углы Эйлера). Такая форма записи отражает то обстоятельство, что накапливаемая телом энергия деформации зависит не только от величины деформации (определяемой главными кратностями удлинений Ai, Аг, Аз), но и от направления деформации материальных частиц. Тажую зависимость [c.59]

Соотношениями (1) в качестве меры деформаций вводится тензор деформаций Альманси aij, через обозначены начальные (материальные) координаты точек среды, а через ж — текуш,ие (пространственные) координаты fi, а, 6, %, г , с, d, к — упругие постоянные. Когда только диа отличны от нуля в зависимости W II, I2, /3)5 то получаем эйлеров аналог потенциала Муни. Если к тому же а = = О, то данная зависимость переходит в упругий потенциал Трелоара. [c.147]

Эйлеров тензор конечных деформаций (Альманси) 61, 66 Энергообмен 263 Энергия [c.509]

Тензоры деформаций Лагранжа и Эйлера. Лагранжево и эйлерово описания деформаций приводят к двум различным тензорам деформаций. Выражение (1.41) с учетом (1.45) [c.36]

Подобный анализ может быть проведен и для тензора деформаций Эйлера (при эйлеровом описании). [c.39]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...