Метод Эйлера —Коши

Метод Эйлера — Коши с итерациями состоит в том, что приближенное решение 1+1 вычисляется по формулам [c.121]

Метод Эйлера—Коши с итерациями является методом второго порядка. Методы Рунге — Кутта — наиболее распространенные среди одношаговых методов численного интегрирования и строятся по формуле [c.121]

Для численного интегрирования полученной системы уравнений разобьем выделенный объем среды точками г = г,- (t = l, 2,. ... .п) пап материальных частиц значения всех искомых функций будем определять в точках г = г, (t = l, 2,. .., п). Тогда четыре последних дифференциальных уравнения в частных производных по времени от переменных ссг, а, w, рг перейдут в 4п обыкновенных дифференциальных уравнения но времени, для численного интегрирования которых удобно использовать модифицированный метод Эйлера — Коши. Для определения значений давления Pi в точках f = r, в каждый фиксированный момент времени необходимо решать линейную (для pi ) краевую задачу для первого дифференциального (по г) уравнения второго порядка с краевыми условиями (6.7.17). [c.85]

Расчет нагрева частиц SiO , движущихся с ускорением и без него, проводился с коэффициентом теплоотдачи, полученным в [27] для стационарного пограничного слоя (14). Уравнения решались методом Эйлера—Коши. Расчет проводили до достижения частицей на определенном пути х температуры плавления и полного ее проплавления. Для оценки проплавления использовалось следующее уравнение [c.78]

Метод Эйлера — Коши. Переписав диференциальное уравнение в виде [c.258]

Метод Эйлера —Коши. Переписав уравнения в виде [c.260]

Как и в методе Эйлера—Коши,последовательные вычисления значений и г производятся обязательно одновременно для обеих искомых функций. [c.260]

Раздельное по фрагментам интегрирование дифференциальных уравнений довольно просто организуется лишь при использовании явных методов. Покажем это на примере решения методом Эйлера системы ОДУ, представленной в нормальной форме Коши и разделенной на две подсистемы [c.244]

Метод Эйлера. Приближенное решение у (t) задачи Коши вычисляется с временным шагом по формулам [c.182]

Метод Эйлера. На отрезке [а, Ь] требуется найти решение у=у(х) задачи Коши [c.123]

Метод Эйлера — простейший одношаговый метод решения задачи Коши (188) — (189) — сводится к вычислительному процессу [c.121]

Эйлера - Коши 210 Методы возмущений 213 [c.609]

Простейшим методом интегрирования задачи Коши (1.1.28) является метод Эйлера. Он основан на замене движения по кривой К движением [c.32]

Уточненная схема последовательных нагружений, аналогичная схеме интегрирования задачи Коши по параметру модифицированным методом Эйлера, использована в статье [20]. [c.187]

Простейшая явная схема интегрирования задачи Коши (I.S.2) методом Эйлера соответствует методу последовательных нагружений [c.191]

Если ориентироваться на техническую реализацию импульсной позиционной процедуры оптимального управления ОТМ, описанной в разделе 1 главы V, то следует на каждом шаге алгоритма выбирать численный метод из соображений требуемой точности и возможности его реализации в режиме реального времени. Вычислительный эксперимент показал, что уже приемлемую точность на нервом шаге алгоритма обеспечивает формула трапеций, а на втором — метод Эйлера решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Это естественно объясняется тем, что в оптимальном режиме переориентации манипулятор ОТМ испытывает довольно маленькие перегрузки. [c.161]

Как и любой другой раздел математики, механика сплошной среды имеет свои характерные методы и концепции. В основном онй были созданы Даниилом Бернулли Эйлером, Коши, Стоксом, Максвеллом и Гюгонио, но лишь в последние годы они подверглись общему и тщательному анализу во всей своей совокупности и выковались в некое единое учение. [c.151]

В работе [370] рассмотрены осесимметричные деформации пологой конической оболочки. Задача Коши по параметру интегрировалась по простой схеме Эйлера. Пошаговые линейные краевые задачи решались методом прогонки. Аналогичная комбинация методов использована в работах [428, 490] для оболочек вращения. В основу положены уравнения Рейсснера [491]. [c.187]

Как явствует из краткого сообщения, опубликованного в начале 1823 г. , Коши развил в этом мемуаре общий континуальный подход в механике сплошной среды. Он ввел понятие напряжения на площадке, представил его через три составляющие, параллельные осям декартовых координат, и изучил напряженное состояние в точке упругого тела. Далее с помощью предложенного Л. Эйлером метода выделения элементарного объема и рассмотрения действующих на него сил Коши получил общие уравнения равновесия сплош- [c.49]

Блестяще разрешающий ряд задач устойчивости стержней и пластинок метод вариации упругой энергии требует предварительного задания возможной формы отклонения стержня. Таково в главнейшем значение вопроса об определении У. к. Поэтому как сопротивление материалов, так и статика сооружений уделяют большое внимание У. к. и теории перемещений. Галилей, Бернулли, Эйлер, Навье, Коши, Клапейрон, Винклер, Мор, Тимошенко много работали над проблемой теории перемещений. [c.283]

Существенные результаты получил Леонид Николаевич по теории волн конечной амплитуды путем разработанного им метода совместного применения переменных Эйлера и Лагранжа (1953, 1954, 1955 гг.). Он впервые указал алгоритм, позволяющий решать в любом приближении задачу о динамике трехмерных установившихся волн конечной амплитуды, и внес важное усовершенствование в известный второй метод Стокса, показав, что определение волн возможно путем решения бесконечной системы кубических уравнений ( Об одном методе определения волн конечной амплитуды , 1952 г.). Им рассмотрены задачи Коши — Пуассона для волн конечной амплитуды (1960, 1961 гг.) и образование волн конечной амплитуды источником жидкости (1965 г.). [c.12]

В уравнении теплопроводности можно аппроксимировать конечными разностями производные не по всем независимым переменным. В итоге получится система дифференциальных уравнений (обыкновенных или в частных производных). Если удается получить аналитическое решение такой системы, то оно будет приближенным решением задачи, так как при конечноразностной аппроксимации внесена погрешность в математическое описание процесса тегглопро-водности. Однако обычно такой прием частичной замеггы производных конечными разностями, известный как метод прямых [27], используют для решения полученной системы уравнений одним из эффективных численных методов. Например, для задачи нестационарной теплопроводности- аппроксимация производных по пространственным координатам переводит уравнение в частных производных в систему обыкновенных дифференциальных уравнений (в общем случае нелинейных), которая может быть решена методами численного интегрирования Эйлера-Коши, Рунге-Кутта, Адамса и т.п. [4, 104]. Такую же систему обыкновенных диф -ренггиальных уравнений получают из условия баланса тепловых потоков в дискретной модели тела, состоящей из теплоемких масс и теплопроводящих стержней [27]. [c.210]

На рис. 1.12 точками представлен результат интегрирования задачи Коши для уравнения (13.19) методом Эйлера с шагом ЛХ = 4. Крестикам соответствует результат, полученный модифицированным методом Эйлера с тем же шагом. Кружками обозначены точки, полученные методом Рунге — Кутта 4-го порядка с шагом ДХ = 4 и ДХ = 2. Здесь мы уже имеем практическое совпадение с точным решением. С целью сохранения накопившейся погрешности переход через точку фуркации Б осуществлялся также по условию симметртш, как и при построении лемнискаты Бернулли. [c.48]

В рамках метода конечных элементов метод продолжения решения впервые был применен, по-видимому, в работе [529]. На основе идеи последовательных нагружений предложено для определения приращений обобщенных координат строить касательную матрщу жесткости с использованием полученных на предыдущем шаге значений координат и усилий. Этот подход, по существу, равносилен интегрированию задачи Коши по параметру нагрузки методом Эйлера. [c.184]

Применительно к расчету вантовых систем на основе непрерывной модели уравнения в приращениях и интегриров е задачи Коши по параметру в форме последовательных нагружений (простой метод Эйлера) использовались в работах [247, 230]. М.Н. Скуратовский [309, 310] показал, что в областа эллиптичноста уравнений вантовой сета (тл. когда все усилия в сета растягивающие) ломаная Эйлера сходится к интегральной кривой задачи Коши при уменьшении шага последовательных нагружений. Метод продолжения решения в форме Давиденко применен в работах [440,274,275] к расчету вантовоч тержневых систем. [c.186]

Так, явная схема типа метода Эйлера для интегр1ф0вания задачи Коши по параметру нагрузки в форме метода последовательных нагружений ис-полиована в работах [485,316,545,426,373,380]. [c.193]

Формулы Коши. Обобщение. Теорему Лагранжа можно также до-кавать методом, принадлежащим Коши, исходя ив непреобравованных уравнений Эйлера [c.8]

Нормализованные уравнения приводятся к форме Коши и интегрируются тем или иным численным методом на интервале безразмерного вре.мени ti = (ot. Один из возможных вариантов программы, использующий конечно-разностную схему Эйлера с шагом, равным шагу печати Д< =Т /24, приведен в рассмотренном ниже примере. Студентам, имеющим практические навыки программирования, рекомендуется интегрировать уравнения методом Рунге — Кутта, используя стандартные подпрограммы. [c.71]

Большое разнообразие встречающихся в физике Н, у. м. ф. затрудняет развитие общих матем. методов их исследования. Лишь для сравнительно немногих Н. у. м. ф. доказаны теоремы существования и единственности, к таким относятся ур-ния Янга — Миллса, ур-ния Навье — Стокса в двумерном случае, ур-ния газовой динамики. Для ур-ний Навье — Стокса в трёхмерном случае теорема единственности решения задачи Коши до сих пор не доказана. Затруднена даже проблема классификации Н. у. м. ф. Часть их попадает под классич. разделение на эллиптич., гиперболич. и параболич. ур-ния, но значит, число важных Н. у. м. ф. (среди них Кортевега — де Фриса ур-ыие, Кадомцева — Петвиашвили ур-ние) не могут быть отнесены ни к одному из этих типов. Нек-рую классификацию Н. у. м. ф. можно осуществить на основе физ. соображений. Прежде всего это разделение на стационарные и ЭВО.ТЮЦ. ур-ния. Большинство стационарных ур-ний относится к эллиптич. типу. Среди эволюц. ур-ний, явно содержащих производные по времени, можно выделить консервативные Н. у. м. ф., сохраняющие интеграл энергии, и диссипативные Н. у. м. ф., описывающие открытые системы , обменивающиеся энергией с внешним миром . Одним из интересных достижений теории Н. у. м. ф. было обнаружение того факта, что консервативные Н. у. м. ф., как правило, являются гамильтоновыми системами, хотя явное введение кано-иич. переменных зачастую оказывается трудной задачей. Установлена гамильтонова природа большинства консервативных обобщений ур-ний Эйлера и даже системы ур-ний Власова, описывающих плазму без столкновений. Для гамильтоновых систем, близких к линейным, развиты методы теории возмущений, позволяющие учитывать нелинейные эффекты и производить статистич. описание решений. Все перечисленные выше универсальные Н. у. м. ф., за исключением Бюргерса ур-ния и Хохлова — Заболотской ур-ния, являются гамильтоновыми. [c.315]

В 1822 и 1823 гг. великими Навье и Коши были представлены в Парижскую академию научные трактаты, или, как их тогда называли, мемуары, положившие начало двум подходам к рассмотрению механических свойств твердых тел. Первый, основанный на рассмотрении тела как системы взаимодействующих между собой молекул, привел к довольно строгим физическим теориям механических свойств кристаллов различного строения. Второй же, так называемый континуальный подход, заключался в замене реального тела воображаемой сплошной средой, непрерывно заполняющей пространство. Уравнения равновесия ее были получены Коши с помощью предложенного Эйлером метода выделения элементарного объема и рассмотрения действующих на него сил. Для описания поведения сплошной среды постулируются определяющие уравнения. Полученная модель такой среды считается пригодной для расчета процессов в некоторых реальных телах, если результаты этого расчета с достаточной точностью соответствуют результатал макроскопического эксперимента, в ходе которого измеряются механические величины, входящие в уравнения. Такие модели называются феноменологическими, они составляют основу механики сплошных сред. [c.34]

Принцип напряжений Эйлера и Коши. В каждом поперечном сечении, мысленно проведенном внутри тела, имеет место взаимодействие сил по типу распределенных по поверхности нагрузок. То есть, применяя метод сечений, мы можем действие одной части тела на другую заменять поверхностными усилиями, действуюгцими в сечепии. [c.16]

До открытия общих уравнений существовала теория кручения и изгиба балок, ведущая свое начало от исследований Галилея и соображений Кулона. Проблемы, являющиеся предметом этих теорий, принадлежат к числу наиболее важных по своему практическому значению, так как многие проблемы, с которыми приходится иметь дело инженерам, в грубом приближении сводятся к вопросам сопротивления балок. Коши был первым исследователем, который пытался применить общие уравнения к проблемам этого рода и, хотя его исследование о кручении прямоугольной призмы 85] оказалось ошибочным, оно все же имело большое сторическое значение, так как он установил, что поперечные сечения не остаются Плоскими, Значение его исследований для практических приложений было невелико. Практические руководства первой половины прошлого столетня содержат теорию кручения, которая приводит к выводам, принадлежащим, как мы уже указывали. Кулону этот вывод состоял в том, что сопротивление кручению равно произведению упругой постоянной на величину угла закручивания, отнесенного к единице длины (степень кручения), и на момент инерции поперечного сечеиия. В отношении изгиба практические руководства этого времени следовали теории Бернулли-Эйлера (в действительности принадлежащей Кулону), согласно которой сопротивление изгибу связано только с растяжением и сжатием продольных волокон. Сен-Венану принадлежит заслуга приведения проблемы кручения и изгиба балок в связь с общей теорией. Он учитывал трудность нахождения общих решений и настоятельную необходимость получения в практических целях какой-либо теории, которая могла бы служить для определения деформаций в сооружениях ему было вполне ясно также, что только в очень редких случаях можно знать точное распределение нагрузки, приложенной к части какой-либо конструкции это привело его к размышлениям о методах, применявшихся к решению частных задач до того, как были получены общие уравнения. Таким образом о пришел к изобретению полу-обратного метода, который носит его имя. Многие из обычных допущений и выводов, оказываются верными, по крайней мере, в большинстве случаев следовательно, сохраняя некоторые из этих допущений и выюдов, можно упростить уравнения и получить их решения правда, пользуясь этими решениями, мы не можем удовлетворить любым наперед заданным граничным условиям однако же граничные условия практически наиболее важного типа могут быть удовлетворены. [c.32]

Имеются два метода изучения возмущений а) вариации координат различных тел и Ь) вариации элементов их орбит. Эти две концепции были объяснены в начале предыдущей главы. Аналитическое развитие их было начато Эйлером и Клеро и доведено до высокой степени совершенства Лапласом и Лагранжем. Однако имелись места, в которых были сделаны чистые предположения, и лишь в течение последней половины XIX столетия благодаря работам Коши ( au hy), Вейерштрасса (Weier-slrass) и Пуанкаре оказалось возможным при соответствующих ограничениях полностью установить законность выводов. [c.320]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...