Эйлера метод модифицированный

В работе [382] на примере вантовых систем проведено сравнение различных схем продолжения, в том числе явная схема Эйлера (метод последовательных нагружений), неявная схема типа последовательных приближений (метод упругих решений) и неявные схемы с использованием различных вариантов метода Ньютона. Показано, чго наиболее эффективна неявная схема с использованием модифицированного метода Ньютона. Для вантовых же систем показано преимущество последней схемы по сравнению с явной схемой типа модифицированного метода Эйлера и неявной схемой, использующей для итераций метод Ньютона — Рафсона. [c.195]

Метод интегрирования дифференциальных уравнений по формуле (72) называют модифицированным методом Эйлера метод, [c.118]

Метод Эйлера .Модифицированный метод Эйлера .Метод Рунге —Кутта Точное решение [c.79]

Дифференциальные уравнения решались модифицированным методом Эйлера. Модификация численного метода заключается в том, что в некоторых случаях, напри- мер при решении уравнений (4.73), (4.74), в качестве нулевого приближения выбиралось аналитическое решение приближенных уравнений. [c.154]

Из всех известных алгоритмов рассмотрим и будем исследовать в дальнейшем только метод Эйлера, модифицированный метод Эйлера и метод Рунге — Кутта 4-го порядка. Для удобства введем следующие обозначения [c.32]

Более точное приближение множества решений К (с погрешностью на каждом шаге порядка О (АХ ) обеспечивает модифицированный метод Эйлера (см., например, [35]). Его алгоритм в нашем случае принимает вид [c.33]

Хотя модифицированный метод Эйлера приводит к накоплению меньшей ошибки, чем метод Эйлера, но при достаточно большом числе шагов по X ошибка все же может оказаться существенной. [c.102]

Так же, как и для арок ( 43), для интегрирования уравнений непрерывного продолжения (4.6.9) при проведении конкретных расчетов применялся алгоритм модифицированного метода Эйлера (3.4.14)—(3.4.26). [c.141]

Модифицированный метод Эйлера 0,025 21,30 22.9 36,79 неустой- чивость [c.157]

Уточненная схема последовательных нагружений, аналогичная схеме интегрирования задачи Коши по параметру модифицированным методом Эйлера, использована в статье [20]. [c.187]

Считаем, что Л = 1. В определяющих уравнениях (1.9), (1.10) полагаем /3 = 2, п = 2. Интегрирование основной системы уравнений осуществлялось с помощью модифицированного метода Эйлера и метода стрельб . [c.135]

Группа методов, которые формируются на основе уравнения (70), получила название методов Рунге—Кутта. Метод Эйлера является методом Рунге—Кутта первого порядка точности модифицированный и исправленный методы Эйлера являются методами Рунге—-Кутта второго порядка точности. Можно построить методы Рунге—Кутта более высокого порядка точности. Из них наиболее широкое распространение получил метод Рунге— Кутта для четырех членов уравнения (70) [c.119]

Для численного интегрирования полученной системы уравнений разобьем выделенный объем среды точками г = г,- (t = l, 2,. ... .п) пап материальных частиц значения всех искомых функций будем определять в точках г = г, (t = l, 2,. .., п). Тогда четыре последних дифференциальных уравнения в частных производных по времени от переменных ссг, а, w, рг перейдут в 4п обыкновенных дифференциальных уравнения но времени, для численного интегрирования которых удобно использовать модифицированный метод Эйлера — Коши. Для определения значений давления Pi в точках f = r, в каждый фиксированный момент времени необходимо решать линейную (для pi ) краевую задачу для первого дифференциального (по г) уравнения второго порядка с краевыми условиями (6.7.17). [c.85]

Модифицированный метод Эйлера [c.76]

Рис. 4.2. Модифицированный метод Эйлера.

Этот прием иллюстрируется на рис. 4.2. Принцип, на котором основан модифицированный метод Эйлера, можно пояснить и иначе. Для этого вернемся к разложению функции в ряд Тейлора [c.77]

Чтобы удержать в ряде Тейлора член п-го порядка, необходимо каким-то образом вычислить п-ю производную зависимой переменной. При использовании модифицированного метода Эйлера для получения второй производной в конечно-раз-ностной форме достаточно было знать наклоны кривой на кон- [c.77]

Таким образом, существенным недостатком классического вариационного исчисления является практическая невозможность учета в сложных задачах ограничений в форме неравенств. В современной математике разработан ряд методов учета таких ограничений—метод штрафных функций, методы возможных направлений (проекционные методы), метод модифицированных множителей Лагранжа, принцип максимума Понтрягина. Первые два метода, используемые в данной работе, будут рассмотрены ниже более подробно. Анализ метода модифицированных множителей Лагранжа применительно к энергетическим задачам проведен в работах [Л. 47, 48]. Исследования по применению принципа максимума Понтрягина к задаче оптимизации долгосрочных режимов ГЭС только еще начаты в работах Л. С. Беляева, Далина, Шена, Нариты [Л. 48, 95, 96]. Авторы отмечают большую перспективность этого метода решения задачи. Исследования но применению принципа максимума Понтрягина, по-видимому, позволят дать объективную оценку этому методу. В настоящей работе этот метод не рассматривается. Р ешение задачи на основе интегрирования дифференциальных уравнений Эйлера не получило в настоящее время распространения, хотя и не доказано, что оно бесперспективно. [c.37]

К этому алгоритму, по существу, сводится известный метод последовательных нагружений, предложенный В.З. Власовым и В.В. Петровым в 1959 г. [276]. Без труда можно построить и алгоритмы других схем, имеющих более высокий порядок точности, таких как модифицированный метод Эйлера, методы 1 нге — Кутта, Адамса — Штермера и дф. Эти схемы использовались и исследовались в рамках метода продолжения по параметру в статьях [136—138,389,437,438] и в целом ряде других работ. [c.15]

В третьем разделе разработаны теоретические основы моделирования идеализированного ЦН. С помощью метода электрогидравлической аналогии и основных понятой теории цепей получено модифицированное уравнение Эйлера и синтезирована на его основе гидравлическая схема замещения ЦН. Исследованы приведенные (нормализованные) теоретические характеристики гидромашины. Установлен изоморфизм математических выражений, описывающих идеализированный ЦН и электрическую машину постоянного тока независимого возбуждения. Предложены формулы эквивалентирования многопоточного и многоступенчатого ЦН с одинаковыми колесами. [c.32]

На рис. 1.12 точками представлен результат интегрирования задачи Коши для уравнения (13.19) методом Эйлера с шагом ЛХ = 4. Крестикам соответствует результат, полученный модифицированным методом Эйлера с тем же шагом. Кружками обозначены точки, полученные методом Рунге — Кутта 4-го порядка с шагом ДХ = 4 и ДХ = 2. Здесь мы уже имеем практическое совпадение с точным решением. С целью сохранения накопившейся погрешности переход через точку фуркации Б осуществлялся также по условию симметртш, как и при построении лемнискаты Бернулли. [c.48]

Модифицированный метод Эйл Моди цированный метод Эйлера дает погрешность на казедом шаге по X порядка 0(АХ ). Мы остановимся на том варианте этого метода, который уже использовался в 1.1 [c.100]

Штриховая кривая 1 на жс. 4.6 соответствует интегрированию уравнений продолжения модифицированным методом Эйлера с шагом АХ по параметру X, который на начальном участке деформирования при малых Р соответствовал приращению относительного прогиба w(0)/i = 0,005. Штрихпунктирная кривая 2 совтветствует тому же методу, но с шагом w(0)/R = 0/)( 5. Сплошная кривая 3 получена прт комбинировании двух шагов w 0)fR = 0,005 модифицированного метода Эйлера с одним шагом по неявной схеме дискретного продолжения, описанной в ЗА. Эта кривая практически соответствует точному решению задачи (4.3.2), (4.3.3) (конечно, в пределах принятой дискретизации). Как видно из жс. 4.6, модифицированный метод Эйлера дает накопление ошибки, особенно существенное в тех областях параметра, где решение претерпевает значительные изменения. В то же время расход машинного времени при получении кривых 2 и 3 практически одинаков (даже для кривой 5 он был несколько меньшим). Поэтому для всех дальнейших расчетов бьша использована именно такая комбинация непрерывного и дискретного продолжения. [c.120]

В [319, 144] на оснсше схемы Эйлера построен шаговый процесс продолжения решения по параметру прогиба. Явные схемы более высжого порядка точности типа модифицированного метода Эйлера и метода 1 нге - [c.193]

В статье [61] q)aвнивaют я различные формы метода продолжения решения явная схема метода Эйлера, схема типа предиктор-кОрректор, дискретное продолжение с использованием для итерационного уточнения решения, модифицированного метода Ньютона. На простом примере оценена их погрешность. [c.195]

В работе Као [429] явная схема продолжения типа Эйлера сравнивается с неявными, использующими для итерации метод Ньютона — Рафсона и модифицированный метод Ньютона, а также с явной схемой самокорректирующегося метода первого псфядка [515]. Показано, чго схема Эйлера дает при вдвое меньшем шаге по параметру ту же точность, что и самокорректирующийся метод. Сравнение проведено на примере пологой сферы и круговой пластины. [c.195]

Прогресс в развитии вычислительной техники и создание многопроцессорных вьиислительных систем позволяют в приемлемые сроки получить решение рассмотренных задач с помощью алгоритмов интегрирования уравнений Эйлера модифицированным методом С. К. Годунова на подвижных сетках. Координаты узлов вычислительной сетки на нижней границе (поверхности обтекаемого тела) изменяются в соответствии с законом его движения, а положение верхней границы в абсолютной системе координат определяется размером возмущенной области. Вследствие подвижности расчетной области вычислительная сетка перестраивается на каждом шаге интегрирования системы уравнений движения газа. [c.99]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...