Силы массовые нелинейные

Уравнения (III.40) и (III.41) представляют собой замкнутую систему с четырьмя неизвестными и, и, w и р. Величины р и v, а также проекции массовых сил X, Y и Z должны быть заданы. Аналогично уравнению (И.2) уравнения (III.41) представляют собой нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка. В векторной форме эти уравнения имеют вид [c.73]

Рассмотрим применение метода Ньютона-Канторовича к решению задач о концентрации напряжений около отверстий в нелинейно-упругом теле (постановка этих задач приведена в 1.5). Для краткости изложения ограничимся постановкой задачи в координатах начального состояния для материала, механические свойства которого описываются определяющими соотношениями (1.4.5) для потенциала Мурнагана в базисе начального состояния. Будем считать, что константы (7з, С4 и С5 в соотношениях (1.4.5) равны нулю, массовые силы отсутствуют и контуры отверстий свободны от напряжений, а на бесконечности заданы истинные напряжения сг . [c.239]

Линеаризированное уравнение. Если известно частное решение какого-либо нелинейного уравнения, то можно линеаризировать задачу, исследуя решения, близкие к имеющемуся частному решению. Для уравнения Больцмана известно (см. 4.1) лишь небольшое число весьма специальных частных решений. Поэтому наиболее универсальной представляется линеаризация от абсолютного максвелловского распределения, являющегося решением уравнения Больцмана для газа, находящегося в равновесии в отсутствие массовых сил ( =0) (см. 2.5). [c.70]

Система (1.5) —система шести уравнений для отыскания шести искомых функций у, Vy, Vz, р, р, Т. Пять уравнений — нелинейные уравнения в частных производных первого порядка, одно уравнение — конечное соотношение. Вид зависимости В = = Е р,Т) обычно известен. Массовые силы F считаются заданными функциями координат и времени. Объемное поглощение энергии е обычно задается как функция р и Т, хотя иногда может зависеть и явным образом от координат и времени. [c.82]

Установлено (В. Д. Бондарь, 1963), что всякое состояние равновесия тела с отличными от нуля напряжениями и деформациями может быть принято за начальное при специальном определении массовых сил. Довольно часто использовались при построении нелинейной теории упругости термодинамические соображения (И. И. Гольденблат, 1950, 1955 [c.73]

До сих пор при рассмотрении упругого тела, присутствовали две конфигурации отсчетная с радиус-векторами г и актуальная с R, Теперь представим себе малое изменение актуальной конфигурации с бесконечно малыми приращениями радиус-вектора Л, массовых сил /, тензора Пиола 8 и тензора деформации С. Варьируя установленные выше уравнения нелинейной упругости, получим [c.62]

Вышеизложенная безмоментная теория допускает простое и корректное нелинейное обобщение. Материальная поверхность состоит из частиц с радиус-векторами i (g ,/), в отсчетной конфигурации J (g ,0) = г( ). Внешняя нагрузка в области определяется массовой силой q, а на единицу длины контура действует сила v (Г + Qn) (л — орт нормали к поверхности в актуальной конфигурации, наличие перерезывающей силы Q пока не исключаем). [c.233]

В линейной теории упругости, напомним, распространен вариант полуобратного метода, в котором исходным этапом служит задание статически возможного, иначе говоря, удовлетворяющего уравнениям статики в объеме и на поверхности, напряженного состояния. Далее проверяется, что это состояние согласуется с уравнениями Бельтрами — Мичелла этим гарантируется, что линейный тензор деформации, вычисляемый по принятому тензору напряжений, допускает определение вектора перемещения и. Перенесение этого приема в нелинейную теорию затруднено тем, что обращение уравнения состояния — разыскание меры деформации по тензору напряжений из нелинейного уравнения состояния практически неосуществимо (И, 8) и неоднозначно. Аналог уравнений Бельтрами —Мичелла в нелинейной теории может быть использован лишь в исключительных случаях ( 17). Поэтому вторым вариантом полуобратного метода здесь может служить исходное задание меры деформации, удовлетворяющее условиям обращения в нуль тензора Риччи (П1.10.21). По этой мере и по уравнению состояния составляется тензор напряжений. Он должен быть статически возможным его дивергенция должна быть нулем, если не учитываются массовые силы, а по его произведению на вектор нормали определяются поверхностные силы. Конечно, нет оснований ожидать, что такая процедура не потребует при выполнении уравнений статики в объеме конкретизации задания коэффициентов определяющего уравнения, как функций инвариантов меры деформаций (скажем, коэффициентов фг(/1, 2, /з) в (4.3.4)). Значит и формы представления поверхностных сил зависят от выражений этих коэффициентов, иначе говоря, их нельзя представить в единой записи, независящей от того, какой принят закон зависимости удельной потенциальной энергии э(/,, /2, /3) от ее аргументов. [c.135]

Нелинейные массовые силы, например магнитные или электрические. [c.17]

Рис. 2.2. Нелинейные задачи с несколькими положениями равновесия а — продольный изгиб тонкого упругого стержня под действием осевой нагрузки на торце 6 — продольный изгиб упругого стержня нелинейными магнитными массовыми силами.

Рассмотрим теперь точные нелинейные уравнения для одномерного течения в случае, когда массовыми силами можно пренебречь. Поскольку сейчас мы интересуемся большими изменениями давления, во многих приложениях можно полностью пренебречь влиянием силы тяжести. [c.162]

Система (7.1) называется системой дифференциальных уравнений Эйлера для гидродинамики, она связывает давления и скорости в движущейся жидкости. Следует помнить, что выражения в правой части уравнений системы являются полными либо субстанциональными производными. Наличие конвективных членов ускорения приводит к тому, что система является нелинейной, содержащей четыре неизвестных три проекции скорости и давление. Проекции единичных массовых сил обычно известны из постановки задачи. [c.64]

Необходимость дальнейшего изучения осредненного вибрационного воздействия на форму границы раздела сред объясняется отсутствием количественного сравнения экспериментальных и теоретических результатов. Нетривиальное влияние вибраций на двухфазные системы связано с нелинейными эффектами и происходит за счет генерации осредненных массовых сил. Высокочастотные поступательные вибрации стремятся установить границу раздела отличающихся плотностью жидкостей перпендикулярно оси колебаний, стабилизируя границу, если она расположена нормально к оси колебаний, и вызывая ее деформацию, если ось вибраций ориентирована вдоль границы. В последнем случае на границе образуется квазистационарный рельеф. В [4] при заданном отношении плотностей р = Р1/Р2 и постоянной относительной толщине слоев жидкостей в предельном случае высоких частот осредненный вибрационный эффект определяется двумя безразмерными комплексами капиллярным параметром [c.28]

Общими для всех рассмотренных случаев являются следующие свойства движе ний завихренность, неизоэнергетичность, невырожденность в общем случае годографа скоростей. Неясна пока групповая природа таких решений. Структура получающихся систем определенных уравнений, описывающих классы движений I и II, схожа со струк турой исходных уравнений движения жидкости или газа при уменьшении на единицу размерности пространства независимых переменных, но в правые части полученных систем входят массовые силы, зависящие нелинейно от неизвестных функций. Заметим, что в наиболее общем случае течений вязкого сжимаемого газа не удалось пока полу чить достаточные условия совместности, приводящие к нетривиальным определенным системам, описывающим содержательные классы движений. [c.198]

В течение последних 20 лет известные успехи были достигнуты в численном моделировании волн конечной амплитуды (нелинейная теория). Линейная теория способна ответить только на вопрос о границе устойчивого и неустойчивого состояний и не может предсказать реальную форму волн и их эволюцию во времени. Экспоненциальный рост амплитуды волн при возникновении неустойчивости, предсказываемый линейной теорией, сам по себе предполагает, что эта теория выходит за пределы своих возможностей, как только такой рост начинается. В реальном процессе восстанавливающие силы (поверхностного натяжения, инерции, массовые) быстро нарастают с увеличением амплитуды волн, которая всегда остается конечной в гравитационных пленках. На основании численных исследований в рамках нелинейной теории были получены некоторые практически полезные результаты [43], однако они, как правило, не могут быть представлены в виде прость(х аналитических соотношений основные тенденции, следующие из численных решений, описываются обычно качественно. В частности, важный качественный вывод делается Холпановым и Шкадовым [43] в отношении влияния трения со стороны газового потока (т " ) на форму волновой поверхности жидкой пленки. Оказывается, начиная с некоторого значения т" (при заданном расходе жидкости Fq), увеличение касательного напряжения приводит к уменьшению амплитуды волн, чего никак нельзя было бы предположить на основе анализа в рамках линейной теории Кельвина—Гельмгольца. [c.171]

В выражение для полной потенциальной энергии, представленное с учетом приведенных выше постулатов 1) и 2) членами в скобках в (137 ), не входят приращения второго порядка от массовых н поверхностных сил. Приращения первого порядка обращаются в нуль, так как действительные перемещения а, v, W в этом виде возмущения можно принять за виртуальные. Поскольку приращение второго порядка должно быть положительным, состояние является устойчивым в определенном здесь смысле. Мы увидим, что этот вывод связан с использовг.нием закона Гука, а также постулатов 1) и 2) ). Для нелинейных зависимостей между напряжениями и деформациями возможны приращения порядка выше двух. [c.263]

Тогда компоненты тензоров деформаций, напряжений и вектора перемещений (г, ) в упругоползучем теле в рассматриваемом случае геометрической нелинейности должны удовлетворять уравнениям равновесия (для простоты записи в уравнениях аргументы г и t опущены), которые при отсутствии массовых сил и пренебрежении инерционными членами имеют вид [290, 349] [c.297]

В пятой главе исследуются работа и мощность, развиваемые машинными агрегатами на предельных режимах движения. Здесь пр1тводятся новые формы уравнения энергетического баланса машинного агрегата, в основе которых лежит циркуляция приведенного момента всех действующих сил вдоль контура, образованного участками графика периодического режима и инерциальной кривой, соответствующими любому полному циклу. Устанавливается свойство устойчивости уравнения энергетического баланса при смещении на режим движения, отличный от периодического. Предложена методика вычисления избыточных работ и работ, развиваемых приведенными моментами движущих сил, сил сопротивлений и массовых сил в периодическом режиме движения машинного агрегата в нелинейном случае, когда обычные графоаналитические методы оказываются принципиально неприменимыми. [c.10]

Если изотермическое течение происходит в отсутствие массовой силы [F = 0), то при Л1 = О имеем для завихренности 2 ) = <т,2 /Это означает, что вихрь скорости прямо пропорционален вязкому касательному напряжению, если жидкость либо ньютоновская либо вязкоупругая с оператором субстанциональной производной в реологическом уравнении состояния. Линейная связь со и г,, для некоторых изотермических и неизотермнче-ских течений ньютоновских и вязкоупругих жидкостей была отмечена ранее в п. 1.2.3 (рис. 1.1), и. 1.5.1 (рис. 1.14), п. 1.5.2 (рис. 1.18), п. 2.1.1 (рис. 2.1). Если релаксация вязких напряжений отсутствует у - 0), и жидкость нелинейно-вязкопластичная (1.8), то в классе движений (2.57)-(2.59) зависимость т,2 =т,2((у) - дробно-степенная функция [c.76]

Здесь и - критерий Фруда. Диссипативная функция нелинейным образом зависит от вязкоупругого числа Маха. Эффект отрицательного диссипативного тепловыделения имеется как в сверхзвуковом, так и в дозвуковом режимах течения. Если >1, то Фу <0 в двух случаях 1) число Фруда отрицательное, < О, т. е. направления массовой силы и скорости скольжения противоположны 2) число Фруда положительное и такое, что ц,/М >1. Если М <1, то Фу<0 при 0массовой силы и скорости скольжения одинаковы, то появление трицательной диссипации в дозвуковом либо в сверхзвуковом течении зависит от величины дроби Ug / = Ujy K/F). [c.81]

В инженерной практике широко распространены конструкции, элементы которых имеют полости или отсеки, содержащие жидкость, иапример, объекты авиационной и ракетно-космической техники, танкеры и плавучие топливозаправочные станции, суда для перевозки сжиженных газов и стационарные резервуары, предназначенные для хранения нефтепродуктов и сжиженных газов, ректификационные колонны и т. д. В большинстве случаев жидкость-заполняет соответствующие полостн или отсеки лишь частично, так что имеется свободная поверхность, являющаяся границей раздела между жидкостью и находящимся над ней газом (в частности, воздухом). Обычно можно считать (за исключением особых случаев движения тела с жидкостью в условиях, близких к невесомости, которые здесь не рассматриваются), что колебания жидкости происходят в поле массовых сил, гравитационных и инерционных, связанных с некоторым невозмущенным движением. Как правило, это поле можно в первом приближении считать потенциальным, а само возмущенное движение отсека и жидкости — носящим характер малых колебаний, что Оправдывает линеаризацию уравнений возмущенного движения. Ряд актуальных для практики случаев возмущенного движения жидкости характеризуется большими числами Рейнольдса, что позволяет использовать при описании этого движения концепцию пограничного слоя, считая, кроме того, жидкость несжимаемой. Эти гипотезы лежат в основе теории, излагаемой ниже [23, 28, 32, 34, 45, 54J. Учету нелинейности немалых колебаний жидкости посвящены, например, работы [15, 26, 29, 30]. Взаимное влияние колебаний отсека и жидкости при ее волновых движениях может сильно изменять устойчивость системы, а иногда порождать неустойчивость, невозможную при отсутствии подвижности жидкости. В качестве примера можно привести резкое ухудшение остойчивости корабля при наличии жидких грузов и Динамическую неустойчивость автоматически управляемых ракет-носителей и космических аппаратов с жидкостными ракетными двигателями при неправильном выборе структуры или параметров автомата стабилизации. Поэтому одной из основных Задач при проектировании всех этих объектов является обеспечение их динамической устойчивости [9, 10, 39, 43]. Для гражданских и промышленных сооружений с отсеками, содержащими жидкость, центр тяжести при исследовании их динамики смещается в область определения дополнительных гидродинамических нагрузок, например при сейсмических колебаниях сооружения [31]. [c.61]

Первый интеграл в последнем равенстве (23) равен Jt. Нетрудно убедиться в том, что второе слагаемое (объемный интеграл) в последнем из равенств (23) равно нулю только тогда, когда 1) материал является нелинейно-упругим и однородным по направлению оси xi, так что dW/dXi = aij deii/dxi)-, 2) массовые силы (определяемые температурными деформациями, силами электромагнитного взаимодействия и т. д.) равны нулю [c.69]

Итак, если при решении задачи нелинейной упругости (V.10), (V.11), (V.14)-(V.16) модифицированным методом Ньютона-Канторовича в качестве начального приближения выбран нулевой вектор перемещений, то задача, которую требуется решить на каждом шаге метода, представляет собой задачу линеаризованной упругости для однородного изотропного материала с массовыми и поверхностными силами, которые определяются из предыдущего приближения. Эта задача значительно проще, чем та, которую требуется решить на каждом шаге немодифициро-ванного метода Ньютона-Канторовича, и в ряде случаев может быть решена аналитически. Например, если рассматриваются плоские задачи, для ее решения может быть применен метод Колосова-Мусхелишвили [65. [c.245]

Квазистатический вргализ напряжений в несвязанной теории термопластачности сводится по существу к решению задач для неоднородных тел с фиктивными массовыми силами. Определяющие соотношения приводят к системе нелинейных дифференциальных уравнений, поэтому ниже уделяется внимание технике вычислений. Хотя соответствующие процедуры обычно разрабатываются для решения отдельных частных задач, тем не менее можно наметить некоторые общие схемы вычислений. [c.135]

Линейные гармонические колебания полости вместе с жидкостью приводят к модуляции ускорения массовой (конвективной) силы. Если жидкость находится в неоднородном температурном поле, то возникающее при этом конвективное течение состоит из двух компонент - конвективных колебаний с частотой вибрации и осредненного течения. Параметрический характер вибрационного воздействия, а также нелинейность уравнений конвекции служат причиной того, что осредненное течение, вообще говоря, отличается от соответствующего течения без вибрации. Это отличие особенно отчетливо проявляется в предельном случае отсутствия статического поля тяжести (невесомость), когда одна лищь вибрация вызьшает регулярное осредненное течение (так называемая вибрационная конвекция, см. [21]), Конвекция, состоящая из осредненной и колебательной компонент, может условно рассматриваться как комбинированное течение, в котором колебательная компонента играет роль вынужденного течения. [c.109]

Поскольку в настоящей работе использовались потенциалы [20, 21] с параметрами, подобранными под свойства конкретных материалов, т. е. при фиксированном параметре нелинейности а, то для получения 7 необходимой величины, при которой возникают уединенные волны, следует повышать значение величины Пр наложением соответствующих граничных условий. Значения граничных параметров и и из (7.17) и (7.18), полученные для потенциалов Морзе и Джонсона, существенно различны в силу того, что параметры нелинейности для этих потенциалов отличаются в несколько раз (аморзе/осджовс 4). При этом выполнялось требование равенства массовой скорости Пр при переходе от граничного условия (7.17) к (7.18) для каждого потенциала. Определенные таким образом величины приведены ниже [c.213]

Основное состояние, описываемое зависимостями линейной теории упругости, представлено в ней через тензор Грина, и задача сведена к исследованию систем линейных интегральных уравненйй (последние нри соответствующих предположениях переходят в уравнения устойчивости тонкостенных элементов конструкций). Изучено влияние на устойчивость-изменения поверхностных и массовых сил, а также деформаций, предшествующих потере устойчивости. Общие уравнения нелинейной упругости используются В. В. Болотиным (1958) при обсуждении проблемы устойчивости как в малом , так и в большом . При этом принимается предположение о малости удлинений и сдвигов, анализируются собственные значения общей краевой задачи устойчивости в малом , формулируются соотношения устойчивости в большом . [c.78]

Методы последовательных приближений. Естественным приемом решения нелинейных задач механики твердого тела является способ последовательных приближений, когда на каждом этапе решается линейная задача. В методе упругих решений А. А. Ильюпшна в каждом приближении решается задача теории упругости с фиктивными массовыми силами и видоизмененными граничными условиями. [c.134]

Гироскопический расходомер состоит из У-образной измерительной трубки, совершающей 1футильные колебания с частотой 50 - 60 Гц относительно оси вращения. Кори-олисова сила, воздействующая на тело, движущееся с нелинейным ускорением, стфучива-ет трубку пропорционально произведению массы на скорость. Угол скручивания определяется оптоэлектронным датчиком, по сигаалу которого вычисляется массовый расход. Свойства, протекающей через прибор среды (температура, плотность или вязкость), не влияют на его показания, поэтому гироскопические расходомеры применимы для измерений двухфазных потоков (например, воды и водяного пара) и успешно используются для измерений массового расхода угольной пыли. [c.111]

Следует вспомнить, что для пространственных задач линейной теории упругости (исключая случаи полупространства и шара) неизвестен способ эффективного представления решения второй краевой задачи при произвольном задании массовых и поверхностных сил. Это исключает возможность разыскания напряженного состояния уже для эффектов второго порядка, определимы лишь некоторые его интегральные характеристики. Доступнее плоские задачи, так как применимость приемов решения задачи линейной теории упругости методами теории функций комплексного переменного не ограничена спецификой задания массовых и поверхностных сил для обширного класса областей. Это позволило получить решения нелинейных задач не только для эффектов второго порядка, но довести их для ряда примеров до величин четвертого порядка (в многочисленных работах Ю. И. Койфмана и др.). Здесь же следует отметить исследование в рамках нелинейной плоской задачи поведения материала в окрестности конца прямолинейной трещины (J. К. Knowles, Е. Sternberg, 1975). [c.134]

Накопление опыта решения нелинейных задач при больших деформациях обязано применению полуобратного метода — метода, которым были достигнуты первые выдающиеся успехи и в линейной теории. На первом этапе процесса задаются предполагаемой формой осуществляемого преобразования R (г ( отсчетной неискаженной коифигурации в актуальную, содержащей подлежащие определению функции материальных координат, на втором —по этому заданию составляется выражение меры деформации, а по ней (из уравнения состояния материала) тензор напряжений (Коши Т или Пиола Р). Третий этап — по уравнениям равновесия в объеме и на поверхности находят распределения массовых н поверхностных сил, допускаемые предположенным заданием вектора места R. Требуется, чтобы так определяемые массовые силы соответствовали их заданиям, например, были постоянны (сила веса) или пропорциональны расстоянию от некоторой оси (центробежная сила). Чаще всего принимают к = 0, наперед предполагая, что напряженное состояние создается [c.134]

Автором этой книги и его сотрудниками было проведено много экспериментов с хаотическими колебаниями упругих стержней (см., н шрнмер, [136, 137, 141, 142, 145]). Исследованы проблемы двух типов. В задачах одного класса уравнение в частных производных, описывающее движение стержня, линейно, но нелинейны массовые силы или граничные условия. В других задачах движения достаточно сильны, чтобы в уравнениях движения стали существенными нелинейные члены. [c.102]

В этих уравнениях (/ , f ) — компоненты массовой силы, а Т — осевая сила, создающая напряжения в стержне. Нелинейные члены отличаются от характерных для механики жидкостей тем, что сюда не входят переносные, или кинематические, нелинейности. Кроме того, локальная зависимость напряжений от деформации линейна. Нелинейные члены возникают из-за изменения геометрической формы и называются геометрическими нелинейностями. (См. обсуждение нелинейной теории стержней в [117J.) [c.103]

Уточненная геометрически нелинейная теория динамики пластин построена А. С. Eringen oM [2.91] (19i55). При этом принимаются во внимание конечные поперечные отклонения деформация сдвига инерция вращения внутреннее демпфирование массовые силы и моменты. Предполагается, что компоненты вектора перемещений (Xi, Хг, Хд, t) (а= 1,2,3) можно разложить в ряды по x lh [c.165]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...