Тензор Пиолы

Используя определение (1.81) тензора Пиола — Кирхгоффа и вытекающую из этого определения связь между и Го [c.23]

Заметим, что, как вытекает из (1.118), (1.119), тензор напряжений Лагранжа несимметричен, тензор Пиола — Кирхгоффа симметричен. [c.25]

ИЛИ через компоненты тензора Пиола — Кирхгоффа [c.32]

Заметим, что в большинстве практически важных задач Р можно задать лишь в виде функций пространственных координат, следовательно, при использовании переменных Лагранжа для решения таких задач в правой части условия (1.160) будут содержаться производные от вектора перемещений, заранее неизвестных вид этой зависимости можно конкретизировать, если задать форму начальной границы (в момент времени t = tn) So, очевидно, что динамическое граничное условие можно записать и через компоненты тензора Пиола — Кирхгоффа [c.34]

Уравнение состояния для тензора Пиола по (2.7,5), (2.8.3) и (3.2.6) гл. II записывается в виде [c.645]

Дополнительная работа деформации. Будем исходить из уравнений статики в объеме и на поверхности (2.8.4), (2.8.5), выраженных через тензор Пиола — Кирхгоффа [c.679]

Применение тензора Пиола, задаваемого в векторном базисе начального состояния среды, позволило в случае мертвого нагружения выразить принцип стационарности дополнительной работы только через статические величины здесь преодолена Трудность исключения из формулировки принципа градиентов вектора перемещения. Изложение в пп. 5.3—5.5 основано на работе Л. М. Зубова ). [c.685]

Итак, уравнения статики в объеме и на поверхности представлены в базисах начального состояния этим обусловлено упрощение, вносимое применением тензора Пиола — Кирхгоффа в рассмотрение задач нелинейной теории упругости. Однако оно затруднено тем, что в выражение этого тензора входят тензор поворота А и инвариант Sj. Их представление требует знания тензоров [c.771]

Величины a образуют тензор, называемый вторым тензором Пиолы — Кирхгофа (рис. 3.3). Пренебрегая членами высшего порядка малости, запишем условие равенства нулю суммы моментов внешних сил, действующих на параллелепипед )i [c.84]

См. приложение Е, где обсуждаются тензоры Пиола. [c.368]

С использованием тензора Пиолы уравнения (3.22) запишутся в виде [c.475]

Итак, при использовании тензора Пиолы уравнения равновесия и граничные условия в напряжениях на Si выражаются только через a , причем линейно. [c.475]

С помощью тензора Пиолы (несимметричный тензор Лагранжа) можно переписать уравнение равновесия в [c.28]

Однако тензор Пиолы несимметричен, что приводит к неудобствам при его употреблении. [c.29]

Воспользовавшись связью между тензором Пиолы и тензором обобщенных напряжений (см. (1.3.15)), можно преобразовать (1.4.3) к виду [c.31]

Обозначим в этом параграфе компоненты тензора обобщенных напряжений через Gij, а компоненты тензора Пиолы —через dij. Имеем (см. (1.4.6), (1.4.7)) [c.72]

Здесь rii — компоненты внешней нормали к контуру 5Q. Компоненты тензора Пиолы dij связаны с компонентами тензора обобщенных напряжений по формулам (см. гл. I, [c.72]

В последних двух формулах выбор знака перед корнем осуществлен с учетом указанных выше условий. Подставим выражения (2.5.47) в уравнения равновесия для компонент тензора Пиолы и получим систему двух [c.81]

Симметричный тензор F JS F , энергетически сопряженный с тензором Грина-Лагранжа, называют тензором Пиолы-Кирхгофа. (Сопряженные пары с использованием тензоров деформации (2.17) приведены в работе [73]. Еще одна, видимо, последняя, сопряженная пара получена в работе [77] из равенства [c.58]

Поскольку J x a) II — тензор, то эта зависимость может иметь место в любой системе координат. Итак, первое слагаемое в (3.25) равно нулю. Умножая уравнение (3.25) на У с учетом правила дифференцирования (1.13) и соотношения (2.14), получаем в итоге уравнение движения, выраженное через тензор Пиолы — Кирхгофа, [c.30]

Тензор напряжений Пиола. Проблема определения напряженного состояния среды существенно упрощается введением тензора Пиола П [54, 61, 75], определенного в отсчетной конфигурации и связанного с тензором Коши соотношением [c.19]

Каждый раз, решив задачу и определив тензор И, для восстановления истинной картины напряженного состояния тела необходимо, используя связь между тензорами Пиола и Коши, вернуться к тензору Коши. [c.19]

В отличие от тензора Пиола, тензор напряжений Кирхгофа является симметричным и связан с тензором Коши соотношением [c.20]

Тензоры напряжений Пиола и Кирхгофа, с одной стороны, являются удобными вспомогательными тензорами, непосредственно не определяю-ш,ими реальное напряженное состояние. Определение последнего всегда требует возвращения к истинному тензору напряжений Коши. С другой стороны, тензоры Пиола и Кирхгофа играют важную роль в нелинейной теории упругости при построении определяющих соотношений, в частности, в представлении уравнений состояния для гиперупругих, т. е. имеющих упругий потенциал, сред, поскольку тензор Пиола сопряжен тензору градиента места, а тензор Кирхгофа — тензору деформации Коши-Грина. [c.20]

Представление упругого потенциала как скалярной функции градиента места частицы в деформированном состоянии = х(С) является наиболее простым, так как позволяет определить тензор Пиола П как производную функции X по тензорному аргументу С и записать закон состояния материала среды в виде [c.20]

Представление упругого потенциала в виде скалярной функции меры деформации Коши-Грина X = x(G ) дает возможность представить тензор Пиола в виде производной функции х по мере деформации. В этом случае закон состояния материала среды имеет вид [c.20]

В этом случае закон состояния представляется либо в виде (1.4.3) с использованием тензора Пиола, либо в виде (1.4.4) с использованием тензора Кирхгофа. И в том и в другом случае при вычислении производной скалярной функции по тензору деформации используется переход от дифференцирования по тензору деформации к дифференцированию по первым инвариантам степеней тензора деформации [75] [c.22]

Представление (1.5.1) потенциальной энергии деформации как функции инвариантов меры деформации Коши-Грина (или Фингера, что одно и то же) и использование связи (1.3.4) между тензорами Пиола и Кирхгофа позволяет задать закон состояния выраженный через тензор Кирхгофа [c.24]

Теперь запишем представление тензора Пиола в возмущенном состоянии [c.35]

Таким образом, роль тензора Пиола в системе уравнений (2.1.13) играет его конвективная производная П, в инерционном слагаемом вместо радиус-вектора места стоит вектор перемещения. [c.36]

Конвективная производная тензора Пиола. 1 вариант. Для [c.36]

Конвективная производная тензора Пиола. II вариант. В литературе иногда используется иное по форме представление конвективной производной тензора Пиола [17]. Для его построения вернемся к выражению (2.1.15), но производную тензора Пиола будем вычислять не по градиенту места, а по мере деформации [c.37]

Замечание 2.1.2. В литературе можно встретить несколько отличающиеся от представлений (2.1.21) или (2.1.25) выражения для конвективной производной тензора Пиола. Это разнообразие форм основано на свойствах многократного произведения тензоров, для которого имеют место формулы [c.38]

В это неравенство входит величина pQ, зависящая от источника теплоты Q, ее можно исключить, если воспользоваться уравнением пменоса энергии. Обозначим несимметричный тензор Пиола —Кирхгофа через [c.75]

Уравнение равновесия (2.8.4) гл. VIII для тензора Пиола, записываемое в векторном базисе начального объема, представляется в виде ) [c.771]

Величины введенные соотношениями (3.23), называются компоиеи-тами тензора напряжений Кирхгофа, но в дальнейшем эти величины будут называться просто напряжениями.Относительно первого и второго тензоров Пиолы—Кирхгофа см. приложение Е, где также введен и тензор Эйлера (или Коши). [c.84]

Уравнение локального баланса моментов (2.4) накладывает следующее ограничение на неси1йметричный тензор Пиола [c.41]

На основе физических соображений В. В. Новожиловым введены в научную литературу тензоры Пиолы и тензор обобщенных напряженш [9], а также доказана 18] идентичность этих тензоров с приведенными выше соответственно несимметричным и симметричным тензорами Лагранжа. В дальнейшем мы будем пользоваться обоз-начениями В. В. Новожилова. [c.28]

Тензор Пиола П, именуемый иногда квазитензором механических напряжений , в отличие от тензора Коши является не симметричным тензором. Механический смысл тензора Пиола состоит в том, что в исходном соотношении (1.3.1), определяющем напряжение на ориентированной площадке в актуальной конфигурации, ориентированная площадка N dO заменяется ее представлением ndo в отсчетной конфигурации [c.19]

Тензор Пиола, являясь квазитензором механических напряжений , лишь опосредованно определяет напряженное состояние среды. [c.19]

Начальное напряженное состояние Будем предполагать, что существует некоторая равновесная начально-деформированная конфигурация (НДК) упругого тела, заданная радиус-вектором Ri = [Х1, Х2, Х ), которая в векторном базисе естественной конфигурации определяется градиентом места l = VqRi. Напряженно—деформированное состояние среды в НДК задается тензором Пиола IIi = II( i). [c.34]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...