Лагранжевы решения

XI = 1/2 - ц, Х2 = /3/2, у = У2 = О, которые называются лагранжевыми решениями или треугольными точками либрации (см. гл. I). При О < 27/х(1 -ц) < 1 собственные числа линеаризованной системы чисто мнимы и различны их отношение — отличная от константы с )ункция параметра ц. В случаях соизмеримостей [c.323]

Например, при решении задачи об устойчивости точек либрации (лагранжевых решений) в круговой ограниченной задаче трех тел уже в первом приближении (т. е. в линеаризованной задаче) обнаруживается неустойчивость в смысле Ляпунова всех трех прямолинейных точек либрации, а также обоих треугольных — в случае, когда произведение конечных масс больше чем 1/27. Если же это произведение меньше 1/27, то вопрос об устойчивости треугольных точек остается открытым многочисленные попытки советских и зарубежных ученых решить эту интересную и важную для практических приложений задачу до самого последнего времени оставались безрезультатными. [c.344]

Сюда относятся, например, изыскание периодических решений вблизи известных лагранжевых решений ограниченной (круговой или эллиптической) и общей задачи трех тел, исследование периодических решений в задаче Фату, т. е. задачи о движении материальной точки в осесимметричном гравитационном поле, нахождение периодических решений некоторых специальных случаев задачи многих тел и, наконец, применение общих методов теории периодических решений Ляпунова — Пуанкаре к задачам о вращательном и о поступательно-вращательном движении взаимно притягивающихся твердых тел (не заменяемых материальными точками ). [c.355]

R стремится к некоторой величине R, а U стремится к 2К в этом случае предельное движение будет специального типа, как, например, в лагранжевом решении, когда три тела находятся в вершинах равностороннего треугольника. [c.287]

Эти лагранжевы решения существуют, как это можно видеть нз формул (5.32), только при выполнении следующих условий [c.229]

Условия (5.35) являются необходимыми и достаточными для существования лагранжевых решений и выполняются, например, всегда, если в рассматриваемой механической системе царствует один единственный закон, т. е. если [c.229]

Если условие (5.35) не выполняется, то уравнения (5.25) не допускают лагранжева решения в форме равностороннего треугольника, но это не значит, что не существуют решения другого типа. [c.229]

Если в случае равных масс взять т1о= -. то мы получим равносторонний треугольник, т. е. лагранжево решение. Но тогда будем иметь [c.230]

Мы видели во второй части этой книги, что общая ограниченная задача трех тел может допускать простые частные решения, называемые либрационными, в которых пассивная точка образует с активными точками равносторонний треугольник [лагранжевы решения ( 4) и ( 5)) или лежит на одной прямой, проходящей через активные точки (эйлеровы решения ( 1), (Ь2), (1з)). [c.357]

Если хотя бы одно из условий (8.45) не выполняется, то задача не допускает лагранжева решения. Такой случай представляется, например, в задаче двух неподвижных центров, характеризуемой условиями [c.359]

В этом случае уравнение (8.46") удовлетворяется при всяком значении i, если р = а, и задача имеет круговое лагранжево решение, в котором точки М, и Мг описывают во- [c.360]

Таким образом, если все силы, управляющие движением системы трех тел-точек, являются силами отталкивания, то задача заведомо не допускает кругового лагранжева решения. [c.361]

Покажем, что такие решения могут существовать и притом не только при выполнении условий (8.45), которые необходимы для существования лагранжевых решений, но и тогда, когда все шесть функций Fij совершенно различны. [c.364]

Задача об устойчивости лагранжевых решений [c.372]

Задача об устойчивости постоянного лагранжева решения для случая притяжения, пропорционального какой-либо степени расстояния, была рассмотрена в первом приближении Раусом еще в 1875 г. [c.372]

Если притяжение пропорционально произведению масс двух точек и обратно пропорционально N-u степени взаимного расстояния, то лагранжево решение задачи трех тел-точек при N > 3 всегда неустойчиво. Если же N <. 3, то это движение устойчиво, если выполнено неравенство [c.372]

Для случая, когда взаимодействие определяется единым законом, зависящим только от расстояния, задачу об устойчивости лагранжева решения рассмотрел в 1889 г. А. М. Ляпунов, причем не только для случая постоянного движения, в котором точки М и AI2 описывают окружности с центром в Мо, но и для более общего случая, когда невозмущенное движение оказывается непостоянным, а именно периодическим, как это имеет, например, место в случае закона Ньютона, когда точки Mi и Мг описывают эллипсы с фокусом в точке Mq. [c.372]

ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ЛАГРАНЖЕВЫХ РЕШЕНИИ 373 [c.373]

ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ЛАГРАНЖЕВЫХ РЕШЕНИЙ 375 [c.375]

Переходим к рассмотрению вопроса об устойчивости лагранжева решения в том частном случае, который был предметом исследования А. М. Ляпунова. При этом согласно Ляпунову будем считать невозмущенное движение устойчивым, если во всяком возмущенном движении, начальные возмущения которого сколь угодно малы, треугольник во все время движения сколь угодно мало отличается от равностороннего. [c.375]

Таким образом, треугольное лагранжево решение оказывается устойчивым относительно величин Ш и сог (по крайней мере в первом приближении ) и плоскость треугольника, образованного тремя точками Mi, всегда остается близкой к плоскости, образованной этими точками в начальный момент времени. [c.379]

Поэтому необходимым условием для устойчивости этого нулевого решения, а вместе с тем и периодического лагранжева решения в указанном смысле является условие, чтобы модули всех корней уравнения (8.98) были равны единице. [c.388]

Равенства (9.71) представляют собой необ.ходимые п достаточные условия существования лагранжева решения в задаче трех твердых тел, обладающих плоско-осевой симметрией и вполне подобны условиям (8.45) в задаче тре.х материальных [c.433]

Теперь, как видно из (9.80), условия существования лагранжевых решений для трех тел указанного вида приводятся к бесчисленному множеству условий вида (п = О, 1, 2,. ..) [c.439]

Условия (9.82 ) являются необходимыми условиями существования лагранжевых решений для тре.х тел, обладаюш 1х каждое плоско-осевой симметрией, плоскости симметрии которых совпадают. [c.439]

Тогда посгоянное лагранжево решение уравнений (9.84) определится следующими значениями координат точки Сг [c.445]

Подробное исследование см. С о г Ь е п and S t е h 1 е [3], стр. 258—264 см. также Аппель [2], I, стр. 349—352 G г а т-m е 1 [8], стр. 321 Peres [20], стр. 243, 244. Лагранжево решение задачи двух центров см. Уиттекер [28], стр. 112—114. [c.259]

Подробно рассмотрена устойчивость треугольных лагранжевых решений ограниченной задачи трех тел в наиболее важных для приложений в космодинамике случаях в плоской круговой задаче, в пространственной круговой, в плоской эллиптической и в пространственной эллиптической в плоской круговой задаче получены [c.124]

Если теперь перейти обратно от координат Нехвила к координатам X, у, г во вращающейся системе координат, то мы получим лагранжево решение системы (5.11) в виде [c.230]

Заметим, что всякому решению системы (8.46) соответствует два треугольных лагранжевых решения, соответствующие двум равносторонним треугольникам с общим основанием AioAii. [c.360]

Пусть V и 02 — углы, образуемые радиусами-векторами г и Г2 с каким-либо неизменным направлением в плоскости треугольника М0М1М2), например, с-линией узлов этой неизменной плоскости на плоскости ху). Тогда в каждом из двух лагранжевых решений, которые обозначим символами (L4) и (L5), углы t)i и V2 определятся формулами [c.360]

Примечание. Мы рассматривали движение двух точек Ml и Мг относительно точки Mq. В лагранжевом решении треугольник (MoMiMz) (переменный или постоянный) вращается вокруг вершины Mq. [c.361]

Примечание. Для того чтобы лагранжево или эйлерово движения были возможны, очевидно, необходимо, чтобы начальное значение величины р удовлетворяло следующим условиям для лагранжевых решений р(/о) должно быть больше наибольшей из величин [c.371]

Так как в лагранжевом решении должно быть р, = Р2 == А = р, то условия (9.71) напишутся следующим образом [c.438]

Теперь заметим, что независимо от существования (или несуществования) лагранжева решения (I) уравнения (9.84) могут допускать также эйлерово решение, в котором точка Сг будет лежать на прямой (С0С1), т. е. на оси абсцисс вращающейся системы координат. Положение точки (Сг) в этом решении определяется следующими координатами [c.445]

Формулы (9.102) для коэффициентов являются общими для всякой точки либрации. Ни так как условия существования лагранжевых и эйлеровых решений различны, то придется выписать формулы (9.102) отдельно для каждой из двух групп ре-П1ений. Для лагранжевых решений должны выполняться равенства (9.92), а поэтому для точек ( 4) и (Ц) формулы (9.102) напип1утся следующим образом [c.449]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...