Функция напряжений напряжений в телах вращения

Обратили на себя внимание и некоторые задачи осесимметричного распределения напряжений в теле вращения. Дж. Мичелл ) и А. Ляв ) показали, что все компоненты напряжения в подобных случаях могут быть выражены через одну функцию напряжений. Связь между этой функцией и соответствующей функцией двумерных задач была исследована К. Вебером ). А. П. Коробов ), приняв для функции напряжений при осесимметричном распределении форму полинома, получил строгое решение изгиба круглой пластинки при различных симметричных типах загружения. [c.483]

Осесимметричная задача разработана наиболее полно по сравнению с другими задачами пространственной термоупругости. Характерные математические трудности, связанные с решением этой задачи, можно установить при исследовании тепловых напряжений в толстостенной сферической оболочке и в коротком сплошном цилиндре. Задача о тепловых напряжениях в толстостенной сферической оболочке является типичной задачей, решаемой с помощью классических методов разложения переменных и представления величин, входящих в граничные условия, в виде рядов по полной ортогональной системе функций. Задача о тепловых напряжениях в коротком цилиндре вводит читателя в круг идей, реализуемых при исследовании тела вращения, для которого невозможно представить граничные значения искомых величин в рядах по полной ортогональной системе функций на всей его поверхности. Применяются в основном два метода решения такой задачи метод однородных решений, разработанный А. И. Лурье (1947) и В. К. Прокоповым, и метод суперпозиции решений для более простых граничных задач, истоки которого содержатся в работах Л яме (1861) и Матье (1890). Использование второго метода в нашей книге позволило изучить термоупругое напряженное состояние тела вращения конечных размеров во всей его области, включая и особые точки. [c.9]

Исследование распределения напряжений в телах вращения (осесимметричных телах) при осесимметричном нагружении представляет большой практический интерес. Поскольку эти задачи тоже двумерные [I, 2], с математической точки зрения они аналогичны задачам о плоском напряженном и плоском деформированном состояниях. Вследствие симметрии деформированное, а следовательно, и напряженное состояния в любом сеченни по оси симметрии тела полностью определяются двумя компонентами перемещении. Такое сечение показано на фиг. 5.1. Если г и г — радиальная и осевая, координаты точки, а и о — соответствующие перемещения, легко заметить, что перемещения внутри показанного на рисунке треугольного элемента могут быть описаны с помощью тех же самых функций перемещения, которые использовались в гл. 4. [c.87]

В рассматриваемой постановке, как видим, задача определения напряжений и перемещений в теле вращения решается в функции только одного независимого переменного — радиуса г. [c.277]

В цилиндрической системе координат r,u,z) рассматривается тело враш,ения (рис. 3), ограниченное поверхностями z = О, z = h, г = R(z) R(z) — гладкая функция. В области контакта z = h,r а задано вертикальное смещение штампа, вне штампа отсутствуют напряжения. Упругое тело вращения опирается на гладкое жесткое основание, боковая поверхность свободна от напряжений [50]. [c.165]

А. Н. Динник (1909) и Н. М. Беляев (1924) провели вычисление напряжений в телах, соприкасающихся по круговой или эллиптической площадке (см. также М. С. Кролевец, 1966). Значительное количество важных работ по контактным задачам было выполнено в тридцатых и сороковых годах. В. А. Абрамов (1939 и А. И. Лурье (1940) дали решение контактных задач о нецентрально нагруженном круглом и эллиптическом штампе. Существенные результаты в этом направлении получены И. Я. Штаерманом (1939, 1941, 1943), рассмотревшим различные случаи контакта тел вращения без предположения о малости поверхности их соприкосновения, а также впервые исследовавшим задачу о плотном прилегании штампа. В 1941 г. А. И. Лурье с помощью функций Ламе детально рассмотрел некоторые контактные задачи, причем разработал естественный и единообразный подход к задаче Герца и задаче о плотном прилегании. В работах М. Я. Леонова (1939, 1940) и Л. А. Галина (1946, 1947) дано дальнейшее обобщение ряда контактных задач для полупространства. Большой материал оригинального и обзорного характера, относящийся к рассматриваемым проблемам, содержится в монографиях И. Я. Штаермана (1949), Л. А. Галина (1953), А. И. Лурье (1955), а также в обзорных статьях Д. И. Шермана (1950) и Г. С. Шапиро (1950), в которых имеются ссылки на многие работы, не вошедшие в настоящий обзор. [c.34]

Несколько задач о телах вращения, деформируемых нагрузками, симметричными относительно оси, встречались в предыдущих главах. Простейшими примерами являются круглый цилиндр под действием равномерного внешнего давления ( 28) и вращающийся круглый диск ( 32). Это примеры осесимметричных задач, в которых отсутствует кручение. В противоположность им мы рассматривали также кручение кругового цилиндра (см. задачу 2, стр. 354), в которой касательные напряжения зависят только от одной цилиндрической координаты г. В задаче о кручении круглых валов переменного диаметра ( 119) не равные нулю компоненты напряжения т е и также являются функциями только г и 2 и не зависят от 0. [c.383]

Предполагая, что тело вращения представляет собой полый круговой цилиндр длиной /, внутренним радиусом а, наружным Ь, и приняв для такого цилиндра одну из функций напряжений, приведенных в предыдущей задаче, выяснить контурные условия. [c.102]

В задаче о равновесии тел вращения (п. III. 9) при наличии аксиальной симметрии нагружения (независимости объемных и поверхностных сил от азимутального угла ф) тензор напряжения и вектор перемещения не зависят от ф, а являются функциями координат q , — напряженное состояние одинаково во всех меридиональных плоскостях. [c.139]

Рассмотрим многослойные анизотропные оболочки вращения осесимметричные относительно оси вращения с точки зрения их механических и геометрических свойств. Пусть замкнутая оболочка вращения, осесимметрично закрепленная по торцам, подвержена действию осесимметрично распределенной поверхностной нагрузки. В этом случае оболочка будет деформироваться осесимметрично, оставаясь всегда телом вращения, а все величины, характеризующие ее напряженно-деформированное состояние, будут функциями лишь одной переменной ti. [c.22]

Рассмотрим замкнутую оболочку вращения, осесимметрично закрепленную по торцам и подверженную действию осесимметрично распределенной поверхностной нагрузки. В этом случае оболочка будет деформироваться осесимметрично, оставаясь всегда телом вращения, а все характеристики оболочки, ответственные за ее напряженно-деформированное состояние, являются функциями лишь одной переменной а, (см. рис. 1.4). [c.174]

Решение задачи для упругой области состоит в нахождении выражений для компонент напряжений, удовлетворяющих условиям равновесия [уравнения (28)] и совместности [(уравнения (31)], а также граничным условиям, соответствующим рассматриваемой задаче. Аналогично простому интегрированию по одной переменной, дающему при последующем дифференцировании исходную формулу, решение упругой задачи должно удовлетворять исходным уравнениями. Что касается многих стандартных интегральных решений, то математикам известны типы функций, которые, будучи продифференцированы, удовлетворяют этим уравнениям. Любое аналитическое выражение представляется чрезвычайно сложным, если только геометрическая форма тела не описывается простыми математическими функциями. Даже если она и проста, то общие решения для трехмерного случая получить трудно, не сделав соответствующих упрощений, например рассматривая только тела вращения и выполнив основные расчеты для идеализированного состояния, или плоского напряжения (Од = 0), или плоской деформации (Sg = 0). [c.30]

Задача N4. В цилиндрической системе координат (г, (р, z) рассматривается тело вращения (см. рис. 5.15 на стр. 212), ограниченное поверхностями г = 0, z = h и г = R z), R z) — гладкая функция. В области контакта z — h,r а) задано вертикальное смещение штампа, вне штампа отсутствуют напряжения. Тело вращения опирается на гладкое жесткое основание, боковая поверхность г = R z) свободна от напряжений. [c.27]

В основу разработанного способа положен полуобратный метод Сен-Венана, согласно которому перемещения в направлении координатных осей нами представлены в виде явных функций координатного угла 0 (задача рассматривается в цилиндрических координатах г, 0, z ось 2 совмещена с осью модели). Принятое допущение находится в соответствии с известным решением Нейбера для случая изгиба гиперболоида вращения 161. Благодаря такому представлению переменные в выражениях для функций напряжений Папковича — Нейбера разделились, и, тем самым, объемная задача теории упругости об изгибе тела вращения свелась к двумерной. Вследствие этого напряжения выражаются через частные производные этих функций по независимым переменным гили далее — через величины порядков полос пг и пг и параметров изоклин "ф, полученные при просвечивании оптически чувствительного слоя модели в направлении нормали (прямое просвечивание) к его лицевой поверхности и под углом а (наклонное просвечивание) к нормали N — направление (рис. 1). [c.54]

Упруго-пластическое кручение вала переменного поперечного сечения. В теории упругости для исследования задачи о кручении тела вращения или вала с диаметром, изменяющимся по координате (цилиндрической системы) z, принятой за ось вращения, вводятся две функции напряжений ). Пусть г ж z будут цилиндрическими координатами точки тела в радиальном и осевом направлениях. Легко видеть, что в вале переменного диаметра, подвергнутом действию крутящего момента, имеются только две [c.572]

Для тела вращения при осесимметричном деформировании справедливо представление компонент перемещений и напряжений в цилиндрических координатах г, ф, г [см. (5.31) и (5.34)1 с помощью функции перемещений Лява 1 г,г) [c.299]

Пространственные задачи для анизотропных тел. В трансверсально-изотропном теле вращения при осесимметричных нагрузках возникает осесимметричное напряженное состояние. Функция напряжений Ф удовлетворяет дифферен-циально.му уравнению [c.47]

Когда тело вращения имеет конечные размеры, аналитические функции содержат составляющие, не влияющие ни на напряжения, ни на перемещения. Для устранения произвола эти функции следует подчинить некоторым дополнительным условиям. Как будет показано в 21, без ущерба для общности можно положить [c.175]

Характерным примером подобного типа задач служит жесткий штамп, действующий на дуге кругового отверстия [170]. Штамп неподвижно сцеплен с упругим телом и вдавливается в него нормальной силой Р, приложенной симметрично. Предполагается, что напряжения и вращение на бесконечности равны нулю. Функция напряжения Ф(г), [c.136]

Для повышения экономичности и эффективности вычислительного процесса при расчетном определении температурного поля конструкции целесообразно использовать сетку элементов, в которой решается упругая задача и определяется функция источников теплообразования. Например, при действии переменных напряжений в резиновых упругих элементах муфт в виде тел вращения температурное поле, обусловленное диссипативным саморазогревом, является осесимметричным, что позволяет при решении тепловой задачи использовать те же кольцевые конечные элементы. [c.33]

Если допустить, что вращение на бесконечности не исчезает, то произвольная постоянная, влияющая на вращение тела как жесткого целого, входит в саму функцию Ф (2) и через нее — в функцию ф (г), фигурирующую в правой части формулы (18). При принятом же нами условии, что вращение исчезает на бесконечности, функция Ф (г) при заданном напряженном состоянии вполне определена. [c.406]

В этих соотношениях функции фо, 11)0 являются голоморфными функциями, допускающими непрерывное продолжение на границу V- Постоянные В, В, С связаны с напряжениями аар(оо) в окрестности бесконечно удаленной точки, С — с вращением й(оо) тела на бесконечности. Значение С примем равным нулю. Если подставить формулы (21) и (22) в уравнение (1) для второй краевой задачи [а = 1, Я (а) = -Р(а) щее граничное условие [c.390]

Компоненты напряжения и перемещения вспомогательных двумерных состояний выражаются через функции комплексных переменных также и в случае трансверсаль-но-изотропных тел, что позволяет получить соответствующие представления компонентов пространственного состояния. Эти представления приведены в 20 и используются в дальнейшем при решении задач для сферы, эллипсоида, параболоида и двухполостного гиперболоида вращения. [c.169]

В рассматриваемой псютановке, как видим, задача определения напряжений г перемещений в теле вращения решается в функции тол )-ко одного независимого п. > ременного — радиуса г. [c.335]

ТЕРМОУПРУГОСТЬ — область мате-матич. теории упругости, в к-рой изучается возникповепио, распределение и величина температурных напряжений в телах, подчиняющихся закону Гука. При выводе основных уравнений Т. обыч1Ю предполагается независимость упругих и тепловых характеристик от темп-ры. Если темп-ра тела постоянна или представляет собой линейную функцию координат, то препятствий тепловому расширению нет и температурные напряжения (в однородном материале) не возникают. В др. случаях теория Т. показывает, что возникают термоупругие напряжения, тем большие, чем выше модуль Юнга, коэффициент линейного расширения и температурный градиент. Последний обычно растет с увеличением толщины сечения, что приводит к росту термоупругих напряжений. В зонах тела, подвергающихся быстрому нагреву, обычно возникают сжимающие, а быстрому охлаждению — растягивающие термоупругие напряжения. В теории Т. изучены напряжения в стержнях, фермах, пластинках, толстостенных трубах, кольцах, изгибаемых пластинках, оболочках вращения и др. При местной пластич. деформации уравнения Т. необходимо дополнять уравнениями термопластичности. Поэтому величины напряжений, согласно Т., оказываются завышенными по сравнению с действительными. Однако и в этих случаях теория Т, остается очень важной, с ее помощью определяют напряжения до начала пластич. деформации. [c.319]

Полученными частными решениями можно воспользоваться при определении напряжений, возникаюш Е при вращении около неподвижной оси тела любой формы. При определении напряжений в круглом диске мы к частным решениям (121) присоединим решения типа (112) и (113). Соответствуюлщя функция напряжений имеет форму полинома пятой степени. Положим ф = аэ (8 — -Ь iЪr z) + — Зт г). Формулы (106) дадут нам [c.163]

В циливдрической системе координат (г, < , z) рассмотрим тело вращения (рис. 2.12), ограниченное поверхностями z = 0, z = h и r = Ji(z), Ji(z) — гладкая функция. В области контакта (г = /г, г а) задано вертикальное смещение круглого плоского штампа, вне штампа отсутствуют напряжения. Тело вращения опирается на гладкое жесткое основание, боковая поверхность свободна от напряжений (излагаемый ниже метод без труда переносится и на случай жесткой заделки боковой поверхности). Предполагается, что трение в области контакта отсутствует. [c.141]

При построении приближенного решения удобно воспользоваться функциями напряжений Тренина С. И. [13], [14], который показал, что напряжения, возникающие в теле вращения при осесимметричной нагрузке, можно выразить через две функции напряжений и фз-Запишем эти зависимости в следующей форме (здесь для сокращения последующих выводов функции ф1 и фз Тренина С. И. замены функциями ф1 = ф19 и Фз = ФгС ) [c.84]

В общем случае в найденные зависимости входят значения компонентов напряжений и смещений не только на границах, но и во внутренних точках тела, и такой простой переход не удается осуществить. В зтом случае найденные зависимости используются для того, чтобы получить представления компонентов пространственного состояния через аналитические функции, так как через эти функции при помощи известных формул выражаются компоненты вспомогательных двумерных сосгояпий. Показывается, что для тел вращения использование различных наложений приводит к совпадающим выражениям представлений, обладающим достаточной общностью. [c.7]

Те же рассуждения, что и в предыдущей главе, позволяют получить представления неосесимыетричных перемещений и напряжений тела вращения через интегралы от аналитических функций. [c.116]

Описанный в 2, 3 метод интегральных наложений возможность для случая тел вращения представить ком4 поненты напряжения и перемещения через аналитические-функции комплексного переменного. Связанные с этим, вопросы были подробно рассмотрены выше в гл. III. 1 Полученные представления будут справедливы и для пеосесимметричных тел, если неосесимметричное тело рассматривать как часть некоторого объемлющего тела" вращения. Однако такой подход налагает серьезные огра- ничения на характер условий на поверхности неосесий-- метричного тела, так как не всякое поле перемещений мож-i но продолжить за пределы тела, удовлетворяя при этом дифференциальным уравнениям теории упругости. [c.202]

Задачу о кручении тела вращения можно решить при помощи функции напряжений Ф(г, г) Митчела. Эта функция в области осевого сечения тела вращения удовлетворяет уравнению [c.246]

Введение деформации, имеющей особые точки. Мы можем иссле> вать такие решения уравнений плоской деформации, которые в определенных точках принимают бесконечные значения. Хзкие точки не могут находиться в области, занятой материальной средой, а должны лежать в полостях внутри тела. В этих случаях необходимо соблюсти условие однозначности смещения, вращения и деформации. Когда такие точки лежат вне тела или на его границе, то эти условия, вообще, не требуют ника-J кого особого исследования. Смещение выражается некоторой функцией переменной дс-j-iy, так что особые точки смещения тождественны с o oi быми точками этой функции. Не вдаваясь в исчерпывающее исследования возможных особенностей и их значения для теории упругости, мы рассмот] рим напряженные состояния, которые соответствуют некоторым особым точкам простого типа. [c.219]

Схема напряженного состояния. Поковки, получаемые в ре зультате выдавливания — обратного и прямого, радиального и редуцирования, в большинстве представляют собой тела вращения с осевой симметрией. Заготовки, предназначенные для получения этих поковок, также обладают осевой симметрией. Приложение внешней нагрузки и течение металла при этих операциях также сохраняют осевую симметрию. Следовательно, схема напряженного состояния в произвольной точке заготовки на стадии свободного истечения является осесимметричной, рассматриваемой в цилиндрической или сферической системе координат. При этом касательные напряжения в меридиональных площадках в условиях осесимметричного напряженного состояния равны нулю, т. е. Гp0=t20—toг="0 а все остальные напряжения не должны зависеть от координаты 0, т. е. Зр=Ср(р, г) 0 = (рэ-2 ) а =а (р, z) и Грг Грг(ру г). Для вьшол 1ення условий осесимметричного течения необходимо, чтобы скорость течения г7е=0, а скорости течения г7р и были функциями координат Р, г, т. е. Ур=г7р(р, 2) и г7г = г г(р, г). [c.15]

ТЕОРЕМА (Ирншоу система неподвижных точечных зарядов электрических, находящихся на конечных расстояниях друг от друга, не может быть устойчивой Карно термический КПД обратимого цикла Карно не зависит от природы рабочего тела и являегся функцией абсолютных температур нагревателя и холодильника Кастильяно частная производная от потенциальной энергии системы по силе равна перемещению точки приложения силы по направлению этой силы Кельвина сила (или градиент) будет больше в тех точках поля, где расстояние между соседними поверхностями уровня меньше Кенига кинетическая энергия системы равна сумме двух слагаемых — кинетической энергии поступательного движения центра инерции системы и кинетической энергии системы в ее движении относительно центра инерции Клеро с уменьшением радиуса параллели поверхности вращения увеличивается отклонение геодезической линии от меридиана Кориолнса абсолютное ускорение материальной точки рав1Ю векторной сумме переносного, относительного и кориолисова ускорений Лармора единственным результатом влияния магнитного поля на орбиту электрона в атоме является прецессия орбиты и вектора орбитального магнитного момента электрона с некоторой угловой скоростью, зависящей от внешнего магнитного поля, вокруг оси, проходящей через ядро атома и параллельной вектору индукции магнитного поля Остроградского — Гаусса [для магнитного поля магнитный поток сквозь произвольную замкнутую поверхность равен нулю для электростатического поля <в вакууме поток напряженности его сквозь произвольную [c.283]

Величины 4 — — И4,. .. представляют компоненты смещения, получающегося к теле под влиянием двух нротивоположных по знаку центров вращения относительно оси X, расположенных в точке А и точке г—О, причем поверхность свободна от напряжения. Это смещение представляет аналог второй функции Грнна. [c.248]

Н. А. Koenig и N. Davids [2.115] (1968) исследовали не-установившиеся волновые процессы в балках и пластинах конечной протяженности с учетом инерции вращения и сдвига. Записаны уравнения метода конечных элементов для балки и круговой пластины. Затем приведены численные результаты для консольной балки и круг0В(0Г0 кольца, защемленного по внешнему контуру. На свободном конце или контуре прикладывается изгибающий момент или сдвигающая сила, изменяющаяся во времени как функция Хевисайда или имеющая наклонный начальный участок. В каждом случае построены графики изгибающего момента и сдвигающей силы для фиксированной координаты в зависимости от времени при различных длинах. Интервал времени достаточно велик, чтобы учесть многократные от)ражения. Показано, что учет отраженных волн приводит к значительному увеличению нормальных и сдвигающих напряжений по сравнению с полу-бесконечным телом (например, в два раза). Причем, максимальные напряжения имеют место после нескольких отражений, что объясняется наличием дисперсии волн. Уменьшение длины балки и переход от постепенного нагружения к ступенчатому приводит к обострению экстремумов. моментов и сил. На основании сравнения метода конечных элементов и метода характеристик утверждается, что первый более эф-, фективен. Отмечается также эффективность метода конечных элементов по сравнению с любым численным методом в случае конечных областей. [c.158]

Последнее из этих уравнений означает, что тензор напряжений Коши /юлжен быть объективным. Как далее будет видно, это накладывает ограничения на его функциональную зависимость. Легко показать, что требование форминвариантности по отношению к сдвигу в пространстве, зависящему от времени и представленному функцией ( ), и сдвигу во времени, описываемому а, приводит к тому, что определяющие уравнения не зависят явным образом от координат события (х, t). Это будет справедливо для всех определяющих уравнений, которые нам встретятся в дальнейшем. Физически принцип объективности означает если два наблюдателя рассматривают одно и то же перемещение материального тела, то они регистрируют один и тот же отклик на него, т. е. одинаковое напряженное состояние . Хотя этот принцип бессознательно используется в повседневной жизни, он несет в себе глубокое операционное значение (подумайте об определении коэффициента упругости пружины в двух системах отсчета, вращающихся относительно друг друга с переменной угловой скоростью внутренние силы в пружине зависят только от деформации пружины относительно самой себя и не зависят от параметров вращения). [c.107]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...