Простая особая точка

Точки 0" , . .., — седловые неподвижные точки. Точка O " — неустойчивая неподвижная точка. Поведение фазовых точек в их окрестностях совершенно такое же, как и в соответствующих случаях особых точек дифференциальных уравнений. Полная аналогия качественных видов малых окрестностей простых особых точек дифференциальных уравнений и простых неподвижных точек точечного отображения может быть объяснена возможностью аппроксимации в этой окрестности точечного отображения Г-отображением сдвига некоторого дифференциального уравнения [41]. При этой аппроксимации в линейном приближении точечные отображения Т иТ. в окрестности их общей неподвижной точки совпадают и между корнями X/ и 2/ характеристических уравнений особой и неподвижной точек при соответствующей их нумерации имеют место соотношения [c.249]

Для обоих вариантов бифуркационное значение / = / , рис. 3.7, 3.8, соответствует экстремуму кривой F (/ ). Состояния равновесия по обе стороны точки бифуркации седло и устойчивый узел. При слиянии этих двух простых особых точек получаем сложное состояние равновесия особую точку седло-узел. [c.103]

Остановимся на изучении простейших особых точек или особых точек первого порядка, когда через особую точку либо не проходит ни одной, либо проходит больше чем одна интегральная кривая. При этом будем исходить из дифференциального уравнения более общего вида [c.106]

Особые точки. И в теории, и в приложениях весьма важную роль играют точки, в которых нарушается аналитичность (или /г-аналитичность) функций такие точки называются особыми. Приведем примеры изолированных особых точек аналитических функций —это простейшие особые точки, которые обладают окрестностями, свободными от других особенностей функции. Такие точки бывают двух родов однозначного и многозначного характера. [c.60]

Характер поведения фазовых траекторий вблизи простых особых точек, т. е. точек, для которых оба корня характеристического [c.516]

Оказывается, вообще говоря, множество особых точек само имеет размерность п — и состоит из объединения гладкого многообразия размерности п — 1 простейших особых точек, в которых ранг падает на 1, и из конечного набора многообразий, размерность которых п — 3 ы меньше. [c.412]

Существенно отметить, что среди частей разных рангов, на которые разбивается множество особых точек, нет части размерности п — 2. За простейшими особыми точками, образующими многообразие размерности п — 1, следуют точки, где ранг падает на две единицы, и они образуют многообразие размерности и — 3. Проекция множества особых точек на конфигурационное пространство (каустика) состоит, вообще говоря, из частей всех размерностей от О до п — 1 без пропусков. [c.412]

Далее, оказывается, что п — 1-мерное многообразие простейших особых точек расположено на лагранжевом многообразии двусторонне, а именно можно следующим образом согласовать ориентации нормалей во всех его точках. [c.412]

Рассмотрим какую-либо простейшую особую точку на лагранжевом многообразии. [c.412]

Особые точки вблизи данной определяются тогда из условия дд др = 0. Для лагранжевых многообразий общего положения эта производная меняет знак при переходе с одной стороны многообразия особых точек на другую в рассматриваемой окрестности простейшей особой точки. Мы выбираем за положительную сторону ту, где эта производная положительна. [c.412]

Всякая простая особая точка на экваторе есть либо узел, либо седло. [c.109]

Критерий Пуанкаре. Если Q и Р одинаковой степени, то простая особая точка (z = О, и = uq) будет седлом, если при изменении и от uq — г до uq + г выражение [c.109]

Если внутри замкнутой фазовой траектории находятся несколько простых особых точек, то число их всегда нечетно, а число седел на единицу меньше числа остальных особых точек. [c.316]

Простые особые точки [c.192]

Ясно, что это определение не зависит от системы координат. Седлом называется простая особая точка, в окрестности которой орбиты выглядят так, как показано на рис. П23.1. Такой особой точкой служит начало координат системы [c.192]

Дифференциальное уравнение может иметь, вообще говоря, много особых точек. В нашем случае имеется единственная особая точка х = 0, >> = 0. Существуют разные типы особых точек, различаемые по характеру поведения интегральных кривых вблизи данной особой точки. В рассматриваемом нами случае через особую точку не проходит ни одна интегральная кривая. Такая изолированная особая точка, вблизи которой интегральные кривые представляют собой замкнутые кривые, не имеющие особенностей, в частности, например, эллипсы, вложенные друг в друга и охватывающие особую точку, называется центром. С другими типами простейших особых точек мы познакомимся при рассмотрении дальнейших примеров. Пока же ограничимся только указанием, что поскольку разным типам [c.41]

Можно показать, что в этом случае траектория, проходящая через точку Q, будет кончаться в особой точке, не пересекая больше Ь. В том случае, когда мы имеем лишь простые особые точки, эта точка может быть только седлом ). [c.330]

Следствие 2. Если внутри замкнутой фазовой траектории находится одна особая точка, то это не может быть седло, не может быть также никакая особая точка с индексом, отличным от -[ Следствие 3. Если внутри замкнутой фазовой траектории находятся только простые особые точки (для них Д 0), то число таких особых точек всегда нечетное, причем число седел на единицу меньше числа остальных особых точек. [c.344]

Если система допускает, например, только простые особые точки, причем через все точки с индексами - -1 проходят интегральные кривые, уходящие в бесконечность, то такая система не допускает замкнутых фазовых траекторий. [c.346]

Отсюда вытекает, что одно состояние равновесия с индексом, не равным нулю, не может ни появиться, ни исчезнуть при изменении параметра. Если мы имеем простую особую точку — узел, то она может, например, исчезнуть лишь после предварительного слияния с седлом, при котором образуется сложная особая точка с индексом, равным нулю. Обратно, седло или узел могут, например, появиться следующим образом сначала появляется сложная особая точка с индексом, равным нулю, которая затем разделяется на две седло и узел ) [c.467]

Для системы (2.4.17) особые точки (О, 0) и (й, Р7 ) являются уже простыми особыми точками. Их анализ показал [c.78]

ПРИЛОЖЕНИЕ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНДЕКСОВ ПРОСТЫХ ОСОБЫХ ТОЧЕК [c.331]

Что можно сказать о виде области притяжения, кроме того, что она полностью исчерпывается областью б (j) при t -> — оо В некоторых случаях она довольно проста и могут быть указаны и приближенно вычислены поверхности, из которых составлена ее граница. Но возможны случаи, когда она необычайно сложна. Соответствующие примеры будут приведены ниже в связи с рассмотрением так называемых гомоклинических структур. А сейчас вернемся к рассмотрению особых точек 0 [c.246]

На границе таких областей происходит либо исчезновение одного из этих движений, либо нарушение устойчивости. Поэтому задача выделения областей существования и устойчивости простейших установившихся движений (состояний равновесия и периодических движений) является частью более обш,ей задачи изучения бифуркаций особых точек и замкнутых фазовых кривых. Однако значимость теории бифуркации состоит не только в этом, но и в том, что она открывает путь к более полному изучению динамических систем и оказывается полезной даже при изучении конкретной динамической системы, которая ни от каких параметров не зависит. Последнее означает, что в ряде случаев изучение конкретной динамической системы существенно облегчается путем искусственного введения параметров и последующего использования теории бифуркаций. [c.251]

Выше предполагалось, что состояние равновесия, появляющееся на периодическом движении, простое. Рассмотрим теперь случай, когда это состояние равновесия сложное. Придерживаясь нашего принципа общности, оно должно быть таким, чтобы этой возможности в пространстве параметров отвечала бифуркационная поверхность размерности на единицу меньше, чем размерность пространства параметров, т. е. бифуркационная поверхность, отвечающая бифуркации общего типа. Из этого следует, что сложная особая точка должна быть простейшей и ей должна отвечать в пространстве параметров некоторая поверхность. В сколь угодно малой близости от нее эта сложная точка должна превратиться в простую или исчезнуть. Общие случаи превращения простых точек в сложные нам известны. Эти превращения происходят на поверхностях и /V,,-Поверхность не подходит, так как наличие у соответствующего ее точкам сложного состояния равновесия двоякоасимптотической траектории может быть лишь при выполнении некоторых дополнительных условий, поскольку для ->того требуется пересечение интегральных многообразий Sp и S.,, таких же, как и в ранее рассмотренном случае. На поверхности yv происходит слияние состояний равновесия О"" и Этот случай нас устроит, если наличие двоякоасимптотической фазовой кривой возможно в общем случае. Рассмотрим этот вопрос. Через точку О"" проходят интегральные многообразия Sp и S, и через точку 0/>+1, -I — интегральные многообразия Sp i и S i. Пересечение многообразий Sq и Sp,.i является общим. В силу того, что на поверхности /V,, состояния равновесия О -" и сливаются, до момента этого слияния поверхности Sg и Sp+i в окрестности этих точек в общем случае пересекаются по некоторой двоякоасимптотической фазо- [c.264]

Рассмотрим частный случай, когда особые точки р изображения F (р) простые полюсы. В окрестности простого полюса F (р) представима в виде [c.211]

Таким образом, исследованное положение равновесия (минимум потенциальной функции) соответствует на фазовой плоскости особой точке, называемой особой точкой типа центр, и отвечает положению равновесия, относительно которого система может совершать колебания, близкие к гармоническим или точно гармонические. Для представления на фазовой плоскости таких движений характерно наличие семейства замкнутых фазовых траекторий, окружающих центр, причем они (за исключением специальных случаев зависимости потенциальной функции от координаты в окрестностях данной особой точки) всегда стремятся к эллипсам при уменьшении амплитуды колебаний. Для рассматриваемого случая можно из уравнения (1.1.6) получить после ряда простых выкладок выражение для периода колебаний [c.19]

В соответствии со способом особых точек внешнее течение на физической плоскости преобразуется на некоторую простую область вспомогательной плоскости L В качестве такой области примем полукруг единичного радиуса (рис. II.8, б), причем, следуя [331, пластинку расположим на горизонтальном диаметре, а границы каверны — на дуге полукруга. Расположение характерных точек течения показано на рис. II.8, а и б. [c.73]

В малой окрестности каждой своей точки л разбиение фазового пространства Ф в двумер юм случае, как уже говорилось, имеет один из видов, представленных на рис. 7.1. В трехмерном случае — один из видов, представленных на рис. 7.4 а, б, в, г, д. В случае произвольной размерности п топологически рА, лнч 1ЫХ картинок, которые, к сожало-нию, не могут быть представлены рисунками, будет п 4- 2. Одна соответствует обыкиовешюй точке и /г + 1 различным типам простых особых точек О " (р = О, 1,. .., п, [c.241]

Особые точки. Центр. Уравнение (1.11) непосредственно определяет в каждой точке плоскости единственную касательную к соответствующей интегральной кривой, за исключением точки х = = 0, у = 0, где направление касательной становится неопределенным. Как известно из обычной теории дифференциальных уравнений, через те точки, для которых соблюдаются условия теоремы Коши ) (в числе последних имеется условие, что дифференциальное уравнение даег определенное направление касательной к интегральной кривой), проходит одна и только одна интегральная кривая относительно точек же, в которых направление касательной становится неопределенным и в которых, следовательно, условия теоремы Коши не соблюдаются, уже нельзя утверждать (на основании этой теоремы), что через них проходит одна и только одна интегральная кривая. Такие точки, в которых направление касательной неопределенно, носят название особых точек данного дифференциального уравнения. Однако теорема Коши не дает права утверждать, что через особую точку проходит больше или меньше одной интегральной кривой (т. е. либо ни одной кривой, либо много). Но для тех простейших особых точек (особых точек первого порядка), с которыми нам придется главным образом сталкиваться, это обратное утверждение оказывается правильным. Именно, как мы убедимся при рассмотрении этих особых точек, через особую точку первого порядка либо не проходит ни одной, либо проходит больше чем одна интегральная кривая. [c.41]

Таким образом показано, что при вычислении индекса Пуанкаре для простой особой точки (с Д 0) МОЖНО отбросить нблинейные члены. Чтобы вычислить /(0), удобно применить следующий прием. Перейдем снова к обычным координатам и запишем наще выражение опять в виде криволинейного интеграла [c.343]

Для системы уравнений (14) точки (О, 0) и м ) являются уже простыми особыми точками. Для их анализа достаточно [6] рассмотреть литейные члены разложения правых частей системы (14) вблизи этих точек. Характерисотчесное уравнение для опре-делашя типа особой точки (О, 0) имеет вид [c.71]

Теперь рассмотрим оставшиеся возможности для изменения периодического движения Г, т. е. те, при которых наруилается существование гладкого взаимно однозначного отображения секущей. Для таких изменений есть следующие возможности замкнутая кривая Г стягивается в точку, на ней появляется состояние равновесия, она уходит в бесконечность ). Замкнутая кривая может стянуться только к особой точке — состоянию равновесия — и поэтому этот случай уже был изучен при рассмотрении бифуркаций состояний равновесия. Он соответствует переходу через бифуркационную поверхность Л/, . Второй случай новый, хотя он тоже связан с бифуркацией состояния равновесия, но не был замечен, поскольку раньше рассмотрение относилось только к окрестности состояния равновесия и не выходило за ее пределы. Перейдем к его рассмотрению. Третий случай оставим без внимания ввиду очевидности связанных с ним изменений. В рассматриваемом случае при бифуркационном значении параметра имеется состояние равновесия О и фазовая кривая Г, выходящая и вновь входящая в него. Пусть это состояние равновесия простое, типа О ". Так как фазовая кривая Г выходит из О" , то она лежит на инвариантном многообразии S,,, а так как она в него еще и входит, то она принадлежит еще и многообразию S l,. Отсюда следует, что многообразия Sp и 5 пересекаются по кривой Г. Соответствующая картинка представлена на рис. 7.14. Как нетрудно понять, пересечение поверхностей S,, и не является общим случаем и при общих сколь угодно малых изменениях параметров динамической системы должйо исчезнуть. Это означае т, что в пространстве параметров этому случаю вообще не отвечают области, а, как можно обнаружить, в общем случае только некоторые поверхности на едирплцу меньшей размерности. Таким образом, исследование этой бифуркации периодического движения свелось к следующему вопросу когда фазовая кривая, идущая из простого седлового дви- [c.262]

Для решения трехмерных статических задач теории упругости мы не располагаем таким эффективным аналитическим аппаратом, как в плоской теории упругости. Здесь мы рассмотрим такие частные решения ура1внения равновесия в случае отсутствия массовых сил, для которых вблизи определенных точек перемещение неограниченно возрастает. Эти точки должны лежать вне тела или содержаться в особых полостях внутри него. Следует отметить, что наиболее простой тип изолированной особой точки представляет С0160Ю точка приложения сосредоточенной силы. [c.223]

Возьмем сколь угодно малую окрестность точки приложения силы (простейшей особой точш), ограниченную плоскостями хк = [c.227]

Таким образом, начало координат представляет собой простой тип изолированной особой точки, в которой приложена сосредоточенная сила, иаправленная вдоль оси 0x3 и имеющая величину Гз = = 2Рз= —8л цЛ. [c.229]

Расчет непрерывной структуры ударной волны. Аналогично исследованию более простой системы уравнений (6.3.13) рассмотрим асимптотическое поведе 1ие решения системы (6.4.8) в окрестностях ее особых точек сие, соответствующих равновесным состояниям перед х Ьоо) и за (х —< ) ударной волной. Для сокращения выкладо будем оба указанных равновесных состояния отмечать инД( ксом Ъ внизу, полагая, что Ъ = о или Ъ — е. [c.72]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...