Уравнение Гамильтона кинетической энергии

Рассмотренные примеры убеждают, что случаи, когда эффективно работает метод разделения переменных, встречаются достаточно часто. Полезно иметь критерий, устанавливающий факт разделимости переменных на основе анализа структуры уравнения Гамильтона-Якоби. Для систем, кинетическая энергия которых зависит только от квадратов обобщенных скоростей, такой критерий доставляет теорема Штеккеля. [c.654]

Для окончательного вычисления гамильтониана заметим, что четвертая составляющая 4-импульса [см. уравнение (6.58)] равна здесь —, а релятивистская кинетическая энергия может [c.248]

Особое преимущество принципа Гамильтона обнаруживается в механике сплошных сред, поскольку этот принцип приводит не только к дифференциальным уравнениям задачи, но также и к краевым условиям, которым должны удовлетворять решения этих дифференциальных уравнений в частных производных. Во многих случаях необходимо вначале искать функцию Лагранжа L (входящую в выражение вариационного принципа) в зависимости от характера задачи. Это имеет место, например, при движении электрона в магнитном поле, когда действующая сила не имеет потенциала У далее — в теории относительности, когда L нельзя выразить с помощью выведенного нами выражения (4.10) для кинетической энергии. Здесь роль кинетической части принципа наименьшего действия играет выражение [c.277]

Применение принципа Гамильтона к выводу уравнений движения. Возьмем снова принцип Гамильтона в его общей форме (15) и применим его к такой материальной системе, для которой элементарная работа L активных сил и вариация кинетической энергии 8Г при переходе от любого естественного движения к какому-нибудь синхронно-варьированному движению между одними и теми же конфигурациями в начале и конце промежутка времени выразятся в виде [c.404]

В случае классической механики консервативной системы можно сформулировать нашу вариационную задачу изящнее, чем это было здесь сделано, без непосредственной связи с уравнением Гамильтона, следующим образом [ 2 ]. Пусть Т( , р) — кинетическая энергия, зависящая от координат и импульсов, Г — потенциальная энергия, т — рационально измеренный элемент объема конфигурационного пространства, т. е. произведение ( д ,..., (1дп, умноженное еще на корень квадратный из дискриминанта квадратичной формы Т(д, р) (ср. Гиббс, Статистическая механика). Тогда значение функции у> должно придавать интегралу Гамильтона [c.678]

Использование обобщенных координат — одно из преимуществ формализма Гамильтона—Якоби. Что же касается уравнений Лагранжа, то их особенное преимущество состоит в том, что все вычисления сводятся к составлению выражения для кинетической энергии, выраженной в функции /, д,д, а к простым дифференцированиям. При рассмотрении принципа Гамильтона надо допустить, что систему можно заставить перейти от того же начального к тому же конечному положению, что и в действительном движении, с помощью некоторого фиктивного движения (бесконечно мало отличающегося от действительного), не заботясь о том, чтобы удовлетворялись уравнения динамики, но сохраняя связи. Интеграл Гамильтона может обратиться в нуль для всех вариаций, совместимых со связями, лишь в том случае, если сумма под знаком интеграла постоянно равна нулю. В противном случае, изменяя знаки всех 3 одновременно, можно выбрать их так, чтобы сумма под знаком интеграла была все время положительна, а следовательно, интеграл не был бы равен нулю. При 17 = 0 из принципа Г амильтона получим [c.868]

П2.2 посвящен релятивистской динамике. Обосновывается основной закон движения, а затем с релятивистских позиций в псевдо-евклидовой метрике пространства-времени Минковского проводится обобщение закона Ньютона. Даются релятивистские трактовки теоремы об изменении кинетической энергии, уравнений Лагранжа и Гамильтона. [c.425]

Движения обратимой системы описываются уравнениями Гамильтона в кокасательном расслоении Т М, которое является ее фазовым пространством. Расслоение Т М имеет естественную структуру четырехмерного аналитического многообразия. Будем считать, что функция Гамильтона Н Т М —> К всюду аналитична. Так как Я = Т р,д) + У д) и Т р,д) при всех д Е М является квадратичной формой от р е Т А1, то функции Т (кинетическая энергия) и V (потенциальная энергия) аналитичны соответственно [c.133]

Пусть D W — W — невырожденный линейный оператор, а D W — W —оператор, сопряженный с D. Отображение W х xW —у W xW, задаваемое формулами х = Dx, xj = D ) y, является каноническим. В частности, в новых переменных х[,.. , у[.....уравнения Гамильтона (4.3) будут снова иметь канонический вид с тем же гамильтонианом. Подходящим выбором оператора D кинетическую энергию можно привести к сумме квадратов Т = (у +. .. + у1)/2. [c.386]

При исследовании движения механических систем методом канонических уравнений Гамильтона полезно придерживаться следующего порядка вычислений. Как и в методе уравнений Лагранжа 2-го рода, прежде всего устанавливаем число степеней свободы рассматриваемой механической системы точек. Затем выбираем независимые обобщенные координаты и составляем выражения для кинетической и потенциальной энергии в функции обобщенных координат и обобщенных скоростей. Составив функцию L = T+U T—V, по формулам (62) находим обобщенные импульсы pi, р2,. .Ps. Разрешая полученную систему линейных уравнений относительно обобщенных скоростей, мы можем по формуле (64) найти И в функции канонических переменных qu 2,. , qs, pu р2,. .., Ps H времени t Зная функцию H = H qu Ръ Ps, 0. можно написать канонические уравнения (67) и затем интегрировать полученную систему уравнений. [c.515]

Применение методов аналитической механики к решению нетривиальных задач требует уже при составлении уравнений подробных сведений по вопросам, на которых, как правило, останавливаются весьма кратко. В связи с этим в книге значительное внимание уделено способам введения обобщенных координат, теории конечных поворотов, методам вычисления кинетической энергии и энергии ускорений, потенциальной энергии сил различной природы, рассмотрению сил сопротивления. После этих вводных глав, имеющих в известной степени и самостоятельное значение, рассмотрены методы составления дифференциальных уравнений движения голономных и неголономных систем в различных формах, причем обсуждаются вопросы их взаимной связи подробно рассмотрены вопросы определения реакций связей и некоторые задачи аналитической статики. Мы считали полезным привести геометрическое рассмотрение движения материальной системы, как движение изображающей точки в римановом пространстве этот материал нашел, далее, применение в задачах теории возмущений. Специальная глава отведена динамике относительного движения, к которому приводятся многочисленные прикладные задачи. Далее рассмотрены канонические уравнения, канонические преобразования и вопросы интегрирования. Значительное место уделено теории возмущений и ее разнообразным применениям. Последняя глава посвящена принципу Гамильтона—Остроградского, принципу наименьшего действия Лагранжа и теории возмущений траекторий. [c.9]

Начнем с вычисления функции Гамильтона /С, определяемой соотношением (10.11.9) по ней будут составлены канонические уравнения движения (10.11.10). Надо записать в форме (10.11.4) выражение кинетической энергии точки единичной массы. Замечая, что в нашем случае [c.565]

Для количественного рассмотрения свойств твердого тела исходным пунктом является уравнение Шредингера для кристалла. Мы начнем с определения функции Гамильтона для всей системы. Она складывается из кинетической энергии всех частиц, заключенных в кристалле, и их взаимодействия. [c.17]

После того как мы пренебрегли всеми взаимодействиями, оператор Гамильтона (2.7) превращается в оператор только кинетической энергии и уравнение Шредингера будет [c.29]

Мы получили новое уравнение Шредингера, которое отличается от (21.10) тем, что в него уже не входит в явном виде периодический потенциал V (г). Для этого введен новый эквивалентный оператор Гамильтона вместо оператора кинетической энергии для свободных электронов. Это уравнение точно указывает на свойства квазичастицы —электрона в кристалле. Периодический потенциал включен в свойства электрона. Волновой пакет электрона ведет себя в электрическом поле как свободная частица с зарядом —е и с дисперсионным соотношением Е (к) между энергией и волновым вектором. Соотношение Е к) заменило теперь выражение Е=й к /2т для свободных электронов, а вторая производная функции Е к) (см. (20.11)) заменила обратную массу свободного электрона. [c.94]

Можно было бы возразить, что классическая статистическая механика, следствием которой является теорема о равномерном распределении кинетической энергии по степеням свободы, неприменима к системам с бесконечным числом степеней свободы. Но такое возражение неубедительно. В основе классической статистической механики лежат уравнения классической механики в форме Гамильтона (1805—1865). Хотя они и были установлены для механических систем с конечным числом степеней свободы, но можно показать, что излучение в полости можно описывать бесконечным, но счетным числом обобщенных координат, также подчиняющихся уравнениям Гамильтона. Следовательно, и вся система, состоящая из-вещества и излучения, будет описываться уравнениями Гамильтона. [c.697]

Как было показано в предыдущих параграфах, применение метода разделения переменных позволяет получить полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби. Однако этот метод не всегда применим. Поэтому естественно заранее выяснить, при каком виде гамильтоновой функции (или отдельна кинетическое и потенциальной энергий) возможно применение метода разде- [c.166]

Покажем, что принцип Гамильтона равносилен рассмотренным выше уравнениям Лагранжа. Поскольку Кинетическая энергия зависит от фг и фг, имеем [c.63]

Оба эти уравнения у Гамильтона носят более определенный характер, ибо он рассматривает обе составные части кинетического потенциала как заранее данные и притом в старой, более узкой форме, тогда как мы здесь разыскиваем лишь самый вид тех движений, которые соответствуют одновременно и принципу сохранения энергии, и принципу наименьшего действия. [c.454]

Наконец, необходимо указать, что вне классической механики, особенно там, где отыскиваются уравнения поля, а не уравнения движения в точном смысле слова, теряет смысл характерное для классического принципа Гамильтона разделение на кинетическую и потенциальную энергию. Здесь речь может идти о лагранжевой функции, зависящей от некоторых координат , их первых производных и времени. Возможность разделения лагранжевой функции на две функции Т = Т(д, ( ) и V = У(д, I) отнюдь не является существенной и не имеет общего значения в физике. [c.867]

Как инструмент для изучения произвольных голономных систем материальных точек получены уравнения Лагранжа второго рода и канонические уравнения Гамильтона [66]. Дается понятие о лагран-жевом формализме [1, 36]. Изучается поведение полной энергии системы в зависимости от структуры обобщенных сил и кинетической энергии. Дается метод циклических координат [5, 58]. Устанавливается, что для голономных систем интегргипы количества движения, кинетического момента и обобщенный интегргия энергии Якоби [70] всегда могут быть представлены как следствие существования соответствующих циклических координат. Указывается на возможность использования аппарата теории групп для поиска интегралов движения [5]. Изложение вариационных принципов Гамильтона и Мопертюи-Лагранжа-Якоби [17, 38, 70] выполнено в соответствии с современной теорией оптимальных процессов [2, 5, 13]. Геометрически наглядная трактовка придана теории малых колеба- [c.12]

Имея разложения (38) — (39), вычисляем энергию деформации и кинетическую энергию для каждой отдельной ячейки. Последующее осреднение по ячейке дает среднюю энергию, полностью определяемую своим значением в центре волокна. После этого осуществляется завершающий этап перехода от системы дискретных ячеек к однородной континуальной модели, который состоит во введении полей кинематических и динамических переменных, непрерывных по всем координатам. Значения этих переменных на средних линиях волокон совпадают со значениями соответствующих параметров, вычисленными для системы дискретных ячеек. Следовательно, кинетическую энергию и энергию деформации, подсчитываемые так, как это описано выше, можно интерпретировать как плотности энергий для вновь введенной непрерывной и однородной среды. Плотность энергии деформации содержит не только члены, зависящие от эффективных модулей, но и члены, зависящие от некоторых констант, включающих характеристики как физических, так и геометрических свойств компонентов композита (т. е. от эффективных жесткостей ). Этим и объясняется название теории — теория эффективных жесткостей . Определяющие уравнения этой теории были получены при помощи принципа Гамильтона в совокупности с условиями непрерывности и с использованием множителей Лагранжа. Аналогичная теория для композитов, армированных упорядоченной системой прямоугольных волокон, была разработана Бартоломью и Торвиком [11]. [c.377]

С уравнениями Лагранжа. В лагранжевой механике существенной является функция L, представляющая собой разность между кинетической и потенциальной энергией. При попытке упростить выражение для потенциальной энергии кинетическая энергия может приобрести слишком сложный вид, и наоборот. Одновременное упрощение выражений и для потенциальной и для кинетической энергий является довольно трудной задачей. В гамильтоновой механике положение более благоприятное, потому что основная функция, функция Гамильтона Н, зависит лишь от самих переменных и не содержит каких бы то ни было производных. Поэтому ее можно сравнить с потенциальной энергией в лагранжевой задаче. Кинетическая же энергия приводится к нормальному виду piqi и не участвует в задаче преобразования. Ею определяется общий класс преобразовании, которые могут применяться. Оставаясь внутри этого класса, мы можем полностью сконцентрировать свое внимание на функции Гамильтона Н. [c.226]

ХХХП1. СОЮЗНОЕ ВЫРАЖЕНИЕ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ. УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА [c.339]

Вывод уравнений движения системы при помои и принципа Гамильтона, Воспользовавшись найденными аппроксимирующими зависимостями для перемещений (1а), (4) и (5), можно на основании принципа Гамильтона составить систему дифференциальных уравнений относительно четырех переменных о, i, Ь и gs. Для этого необходимо определить потенциальную и кинетическую энергии оболочки. Выражения для энергий, используемые в данном исследовании, согласуются с допущениями, заложенными при выводе уравнений Доннелла. Однако единственный учтенный при этом выводе член, представляющий продольные силы инерции, связан с переменной io (t), а окружные силы инерции не учитываются совсем. В работе [9] показано, что при использовании линейной теорий это допущение справедливо в пределах того диапазона чисел волн i, k п I, который представляет интерес с точки зрения настоящего исследования. Применение принципа Гамильтона [c.13]

Завершает вторую главу 2.3, посвяш енный важнейшим законам динамики точки переменной массы. В первом разделе представлены теоремы об изменении количества движения, кинетического момента и кинетической энергии, а во втором дается беглое описание вариационного принципа Гамильтона в связи с его исходной, основополагаюш ей ролью для составления уравнений движения Лагранжа в обобш енных криволинейных координатах. [c.47]

Однако, если для голономных систем теорема Гамильтона — Якоби в неголономных координатах доказывается совершенно гладко, то в применении к системам с неголономными связями встречается затруднение, состоящее в том, что в канонических уравнениях движения в неголономных координатах число членов с коэффициентами Риччи — Гамеля уменьшается. Вследствие такой неполноты доказательство теоремы Гамильтона непосредственно не проходит. Мы попытались обойти данное затруднение, применяя все исследование к системам типа Чаплыгина с циклическими координатами для независимости же результатов от порядка преобразований, о чем говорилось выше, кинетическая энергия пересчитывалась в нормальных координатах. При всех перечисленных условиях теорема Гамильтона — Якоби доказывается. Однако следует помнить, что даже классическая теорема Гамильтона — Якоби в голономных координатах для голономных же систем далеко не всегда приводит к решению задачи о нахождении всех интегралов уравнений движения, в силу затруднительности интегрирования самого уравнения в частных производных Г амильто а — Якоби. [c.8]

В приведённую выше схему (в несколько более сложном варианте для физико-математических моделей, когда речь идёт как о физических свойствах, так и об их математическом описании) укладывается и развитие отдельных понятий. Уточнение смысла основных применяемых понятий дано в заметках первой главы работы. Дано обобщение понятия материальной точки (заметка 1), рассмотрены понятия скорости и ускорения (заметка 2), обсуждается соотношение виртуальных перемещений и вариаций, используемых в дифференциальных и интегральных принципах (заметка 3). Закон Ньютона о действии и противодействии получен как следствие принципа равновесия Даламбера и второго закона Ньютона. Прослеживается логическая цепь, соединяющая принцип равновесия Даламбера с уравнениями даламберова равновесия , использующими понятие о силе инерции. Предложено описание взаимодействия в форме интегрального равенства (заметка 4). Обсуждаются аналоги теоремы об изменении кинетической энергии для реономных систем и место функции Гамильтона в уравнении энергии [c.12]

Кинетическая энергия натуральной системы представляет собой однородную квадратичную форму импульсов. Используя нринцин Даламбера, составить нолуканоническне уравнения Гамильтона. [c.279]

Систематическое исследование уравнений движения тяжелого гироскопа твердого тела в параметрах Родрига-Гамильтона (а также Кэли-Клейна) развивается в замечательной книге Ф. Клейна, А. Зоммерфельда Теория волчка [238] (разумеется, что основные результаты в этом вопросе принадлежат Ф. Клейну, см. также [237]). В то время еще не была известна гамильтонова структура этих уравнений (как уравнений на алгебре Ли), тем не менее эти параметры оказались удобными как для явного интегрирования в эллиптических функциях, так и для анализа различных частных решений. Близкую к кватернионам систему избыточных переменных (типа плюккеровых координат) в своей книге Геометрия динамы исследовал Э. Штуди. Он также вычислил в этих координатах кинетическую энергию твердого тела. [c.47]

Вариационное уравнение движения ). Во всех случаях, когда су-ществует упругий потенщ ал W, мы можем вывести уравнения движения из принципа Гамильтона. Чтобы выразить этот принцип, мы обозначим через Т общую кинетическую энергию тела и через V потенциальную эн"ер-гию деформаций , так что V равно объемному интегралу от W. Далее, мы образуем по правилам вариационного исчисления вариацию интеграла (Г—V)dt, который будем брать между постоянным, начальным и конечным значениями (/ и /,) переменной t. При варьировании интеграла мы принимаем, что вариации подвергаются только смещения и что значения последних в начальном и конечном состояниях заданы. Такого рода вариа-цию мы обозначим через [c.177]

Это уравнение можно представить в гамильтоновом виде / = = , Я , где Н=<к, (1)>/2 — кинетическая энергия твердого тела, а скобка I, определяется с помощью равенств ки кг =—кг, к , Лз) = — з, к )=—кг. Эта скобка, правда, вырождена функция Р=<к, к> коммутирует со всеми функциями,, заданными на к = к . Мы получим невырожденную скобку Пуассона, если ограничим скобку , на поверхность уровня днффеоморфную двумерной сфере 5. На симплектическом многообразии 5 возникает искомая гамильтонова система ее функция Гамильтона является полной энергией <к, (1)>/2, ограниченной на 5. [c.111]

Первое слагаемое есть кинетическая энергия системы (ка1 обычно /г 1 = /г. =0 — фиктивные интервалы (см. гл. 1, 4)). второе — ее тепловая энергия. В прпицппе, для построения уравиений, описывающих эволюцию рассматриваемой снстемы, нужно определить разностный апалог действия по Гамильтону 8,.. вычислить его первую вариацию, приравнять ее пулю и т. д. Однако можпо непосредственно воспользоваться общими формулами, нолученпымн в п. 1, и в частности, уравнениями Лаграпжа (4.6 ) [c.388]

Для вывода уравнений движения локальные перемещения, определяемые равенством (28), подставляются в соотношения упругости для волокон и связующего. Плотность энергии деформации в каждом элементе интегрируется по локальным координатам (при фиксированном х) и для того, чтобы получить плотность энергии деформации V (и, Ф) в точке х, делится на объем элемента. Аналогично получается плотность кинетической эхтергии Т (и, Ф) в точке X. Уравнения движения и граничные условия записываются с помощью принципа Гамильтона в виде [c.294]

Ван Хов использовал набор собственных состояний а) невозмущенного гамильтониана для бесконечной системы, т. е. термодинамический предел был совершен с самого начала. В методе ван Хова уравнение Наули выводится для плотности вероятности P a,t) с начальным условием при = 0. Исходным уравнением является немарковское основное кинетическое уравнение для зависящей от энергии Е вероятности перехода ,t). Ван Хов показал, что его основное кинетическое урав- [c.142]

Разобранный нами пример показывает, что при выходе за рамки марковского приближения в кинетическом уравнении нужно, вообще говоря, учитывать динамику долгоживущих корреляций, связанных с сохранением энергии. Иначе кинетическое уравнение не будет описывать релаксацию системы к тепловому равновесию. Интересно, что влияние корреляций на немарковские кинетические процессы проявляется уже во втором порядке теории возмущений по взаимодействию, т. е. в борновском приближении. Важно подчеркнуть, что этот вывод не зависит от конкретного вида гамильтониана взаимодействия, поскольку причина возникновения корреляций — сохранение [c.326]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...