Расслоение кокасательное

Пример 1 (градиентное отображение), д р — дЗ/дд. Лагранжево подмногообразие Ь является графиком этого отображения здесь лагранжево расслоение — кокасательное расслоение (д, р) q. [c.25]

Примером симплектического многообразия является кокасательное расслоенное пространство. Пусть М — конфигурационное пространство механической системы. Кокасательное расслоенное пространство Т М — фазовое пространство с системой локальных координат [c.54]

Предложение 5° показывает, что для ПДО зФ порядка у определен главный символ а как функция на так называемом кокасательном расслоении (см., например, [1], гл. 8), состоящем из кокасательных векторов ). Поясним эти термины и заодно рассмотрим касательное расслоение ГЭ, которое понадобится в 40 (см. [1], гл. 4). Последнее состоит из всевозможных касательных векторов, выходящих из точек на и касающихся . (При л = 1, 2 можно представлять себе их [c.324]

Пусть N — пространство положений натуральной системы, XI,..., Хп — локальные координаты на Л , а у I,..., — импульсы. Координаты х,у являются каноническими на Т М, и в этих переменных симплектическая структура П имеет стандартный вид П = с1у А х,. Рассмотрим дополнительно некоторую замкнутую 2-форму на Л Г = Гу х)(1х Л (формой гироскопических сил. Сумма двух форм П-ьГ определяет новую симплектическую структуру на пространстве кокасательного расслоения многообразия N. Если Я — некоторая функция на Т М, то пара (П -Ь Г, Я) задает некоторую гамильтонову систему с гамильтонианом Я эту систему назовем системой с гироскопическими силами. Ясно, что наличие гироскопических сил не изменяет полной энергии Я. К форме П -Ь Г можно применить теорему Дарбу и представить ее в каноническом виде. Для этого, пользуясь замкнутостью формы Г, запишем локально Г = Г, Г = Гк х)(1хк. Тогда в переменных х,у имеем П -Ь Г = 2<1у Л (1х -Ь 2 Л Х = (1 у -Ь Г ) Л Х . Следовательно, переменные х, у, определяемые равенствами = х , У к — Ук + Рк х, ..., х ) 1 к п) будут каноническими координатами для новой симплектической структуры. В новых переменных уравнения Гамильтона имеют канонический вид с функцией Гамильтона Я(х, г/ - Г) = Н х,у). [c.24]

Координаты Ql, .. участвующие в понижении порядка гамильтоновой системы, определены конечно неоднозначно к ним можно добавить произвольные первые интегралы уравнения (3.9). Гамильтониан пониженной системы в общем случае зависит от выбора решения Qn уравнения (3.9). Если же постоянная линейного интеграла Г равна нулю, то функция Г амильтона приведенной системы однозначно определена на кокасательном расслоении локального приведенного пространства положений, точки которого являются орбитами действия группы д. Иногда такое приведение при = О можно осуществить не только локально, но и в целом. [c.37]

Как уже говорилось в гл. I, обычно в задачах динамики фазовое пространство совпадает с пространством кокасательного расслоения конфигурационного многообразия М , а функция Гамильтона квадратично зависит от канонических импульсов. [c.65]

Оказывается, теорему Ли, в свою очередь, можно вывести из теоремы 1. Для этого воспользуемся конструкцией Лиувилля, позволяющей включить фазовый поток динамической системы (3.1) в фазовый поток гамильтоновой системы удвоенной размерности. Пусть и — поле на г-мерном многообразии N = ж . Поставим ему в соответствие функцию F = у и х) [у е T N), определенную на кокасательном расслоении М = T N, снабженном естественной симплектической структурой. Координаты У, ...,Уп — частные интегралы гамильтоновой системы [c.83]

Движения обратимой системы описываются уравнениями Гамильтона в кокасательном расслоении Т М, которое является ее фазовым пространством. Расслоение Т М имеет естественную структуру четырехмерного аналитического многообразия. Будем считать, что функция Гамильтона Н Т М —> К всюду аналитична. Так как Я = Т р,д) + У д) и Т р,д) при всех д Е М является квадратичной формой от р е Т А1, то функции Т (кинетическая энергия) и V (потенциальная энергия) аналитичны соответственно [c.133]

Лагранжева механика включается в гамильтонову как частный случай (фазовое пространство в зтом случае есть кокасательное расслоение конфигурационного, а функция Гамильтона — преобразование Лежандра функции Лагранжа). [c.142]

Здесь определены симплектические многообразия, гамильтоновы векторные поля на них и стандартная симплектическая структура в кокасательном расслоении. [c.175]

Следующий пример объясняет появление симплектических многообразий в динамике. Наряду с касательным расслоением дифференцируемого многообразия часто полезно рассматривать двойственное ему кокасательное. [c.175]

Симплектические многообразия классической механики — это чаще всего фазовые пространства лагранжевых механических систем, т. е. кокасательные расслоения конфигурационных пространств. [c.308]

ЗИЯ, или с 2п — 1-мерным многообразием уровня энергии материальной точки, движущейся по риманову многообразию по инерции. Контактные структуры в этих 2п — 1-мерных многообразиях тесно связаны с симплектической структурой в 2п-мерном фазовом пространстве точки (т. е. в кокасательном расслоении исходного риманова п-мерного многообразия). [c.315]

Доказательство проводится с помощью симплектической структуры кокасательного расслоения. [c.321]

Пример. Пусть V — гладкое многообразие, G — какая-либо группа Ли его диффеоморфизмов. Каждый диффеоморфизм переводит 1-формы на V в 1-формы. Поэтому группа G действует на кокасательном расслоении М = = T V. [c.338]

Напомню, что на кокасательном расслоении всегда имеется каноническая [c.338]

Пример. Пусть V — гладкое многообразие, С — некоторая группа Ли, действующая на V как группа диффеоморфизмов. Пусть М = Т У — кокасательное расслоение многообразия V с обычной симплектической структурой 0 = йа. Функции Гамильтона однопараметрических групп определим как указано выше [c.339]

Пример. Пусть V — гладкое многообразие, С — группа Ли, действующая на V как группа диффеоморфизмов, М = Т У — кокасательное расслоение, На — функция Гамильтона пуассоновского действия С на М, построенная выше (см. (1)). [c.340]

Пример 3. Пусть группа С = 8 — окружность, и пусть она действует без неподвижных точек на многообразии У. Тогда возникает пуассоновское действие окружности на кокасательном расслоении М = Т У. Мы можем определить многообразия уровня момента Мр (коразмерности 1 в Л1) и фактор-многообразия Рр (размерность которых на 2 меньше размерности М). [c.344]

Приведенная функция Гамильтона на кокасательном расслоении сферы представляет собой сумму квадратичной относительно кокасательных векторов кинетической энергии приведенного движения и эффективного потенциала (включающего потенциальную энергию и кинетическую энергию вращения относительно вертикали). [c.346]

Рассмотрим систему координат. . ., в окрестности проекции этой точки на конфигурационное пространство. Пусть Р1,. . ., Рп — соответствующие координаты в слоях кокасательного расслоения. В окрестности нашей особой точки лагранжево многообразие можно рассматривать как график вектор-функции (9и Рг > р ) от переменных (р , д ,. . ., (или вектор-функции аналогичного вида, в которой роль вьщеленной координаты исполняет не первая, а какая-либо из остальных). [c.412]

Таким образом, производная невырожденного отображения периодов изоморфно отображает касательное расслоение базы на расслоение когомологий. Двойственный изоморфизм отображает расслоение гомологий на кокасательное расслоение базы. Этот изоморфизм и переносит имеющиеся в группе гомологий дополнительные структуры на базу. [c.433]

Примеры. 1. Слои кокасательного расслоения лагранжевы. 2. Многообразие всех ориентированных нормалей к гладкому подмногообразию (любой размерности) в евклидовом пространстве — лагранжево подмногообразие пространства прямых. 3. Многообразие всех многочленов делящихся на ж , лагранжево. [c.448]

Примеры. 1) Фазовое пространство. Пусть X — конфигурац. пространство мехэнич. системы, М = Т Х — его кокасательное расслоение. Локальные координаты в М — это обобщённые координаты (дх,. .., д ] точки д на X и обобщённые импульсы ( >х,. .., рп) (координаты ковектора р из кокасательного пространства в точке д). Дифференциальная 1-форма [c.521]

Ур-ние Эйлера (для твёрдого тела). Если действие группы Ли G на С. м. М сохраняет симплектич. структуру, то алгебра М G-иввариантных ф-ций ва М замкнута относительно скобки Пуассона. Рассматривая М как алгебру ф-цнй на многообразия А, получаем разбиение А на симплектич. слои, а также проекцию М -> А, сохраняющую скобки Пуассона. На этой конструкции основано понижение порядка симметричных гамильтоновых систем траектории на М б-инвариант-ного поля Проектируются в траектории гамильтонова потока на слоях в. 4 с гамильтонианом И . Таким способом возникает, напр., ур-ние Эйлера, т = [тш], описывающее эволюцию вектора момента импульса во внутр. координатах твёрдого тела при его свободном вращении. Здесь G — группа вращений М = T G — её кокасательное расслоение, действие G на М зада-ётся сдвигами на группе, а проекция М А = MiG совпадает с отображением момента T G —> ф в двой- [c.522]

Идеи современной дифференциальной геометрии все шире проникают в аналитическую механику. В работах А. В. Арнольда [1], Абрахама 2], К. Годбийона [3] показано, что дифференциальная геометрия может рассматриваться как естественный фундамент классической механики. При этом четко разграничиваются два аспекта механики гамильтонов и лагранжев. Гамильтонова динамика связана с существованием симплектической структуры на кокасательном расслоении конфигурационного пространства механической системы. Введение Клейном [4 специального дифференциального исчисления на касательном расслоении позволяет связать лагранжеву динамику с симплектической структурой касательного расслоения конфигурационного пространства. [c.51]

Касательное и кокасательное расслоения. 2п-мерное дифференцируемое многообразие ТМ, являющееся объединением всех касательных пространств в точках многообразия TM = UTpM, называется касательным расслоенным пространством. Касательное расслоение представляет важный пример дифференцируемого векторного расслоения [5. [c.52]

Другим примером векторного расслоения является кокасательное расслоение — ассоциированное расслоение внешних форм на х[М). Это двойственное к х расслоение т =(7 Л1, q, М). T" M = UTpM — кокасательное расслоенное пространство. [c.52]

Объединение кокасательных пространств к многообразию во всех его точках называется кокасателъным расслоением V и обо-значается через Т У. Множество Т У име- У ет естественную структуру дифференцируе- [c.176]

Доказательство. Вначале мы определим на Т У замечательную 1-форму. Пусть % Т (Г У)р — вектор, касательный к кокасательному расслоению в точке ре Т Уж (рис. 166). Производная Д Т (Т У) —> ТУ естественной проекхщи / Т У —> V переводит в вектор касательный к У в точке ас. Определим [c.176]

Замечание. Рассмотрим лагранжеву механическую систему с конфигурационным многообразием V и функцией Лагранжа Ь. Легко сообразить, что лагранжева обобщенная скорость д — касательный к конфигурационному многообразию V вектор, а обобщенный импульс р = дидд — кока-сательный. Позтому фазовое р, -пространство лагранжевой задачи — зто кокасательное расслоение конфигурационного многообразия. Итак, предыдущая теорема показывает, что фазовое пространство механической задачи имеет естественную структуру симплектического многообразия. [c.176]

Источником симплектических структур в механике являются фазовые пространства (т. е. кокасательные расслоения к конфигурационным многообразиям), на которых всегда есть каноническая симплектическая структура. Источником контактных структур являются многообразия контактных элементов конфихурацион-ных пространств. [c.314]

Теорема. Расслоение контактных элементов является проективизацией кокасательного расслоения его можно получить иа кокасательного расслоения, заменив каждое кокасательное линейное п-мерное пространство и — -мерным проективным пространством точка которого — прямая, проходящая через начало координат в кокасательном пространстве). [c.320]

Дело в том, что многообразие контактных элементов связано простой конструкцией с пространством кокасательного расслоения (проективизацией которого является многообразие контактных элементов). Причем невырожденность поля контактных плоскостей проективизированного расслоения тесно связана с невырожденностью 2-формы, задающей сиьшлектическую структуру кокасательного расслоения. [c.321]

В результате сиьшлектизации получается 2и-мерное многообразие. Это многообразие есть пространство кокасательного расслоения исходного и-мерного многообразия без нулевых векторов. При этом действие мультипликативной группы вещественных чисел на слое сводится к уьшожению на числа векторов кокасательного пространства. [c.323]

На кокасательном расслоении есть замечательная 1-форма р ёд . Аналогичная 1-форма имеется и на любом многообразии, полученном симплектизацией из контактного многообразия. [c.323]

Доказательство. Сиьшлектизация 2п — 1-мерного многообразия всех контактных элементов на и-мерном гладком многообразии, построенная по полю 2п — 2-мерных контактных плоскостей, есть по построению пространство кокасательного расслоения исходного и-мерного многообразия без нулевых кокасательных векторов. Каноническая 1-форма а на симплектизации есть, согласно ее определению, та самая 1-форма на кокасательном расслоении, которую мы назвали р д и которая лежит в основе гаьшльтоновой механики (см. 37). Ее производная йа. есть, следовательно, форма айр Д йд , задающая обычную симплектическую структуру фазового пространства. Стало быть, форма йа не вырождена. Значит, по предыдущему замечанию, поле контактных гиперплоскостей не вырождено. Следствие доказано. [c.325]

Следовательно, многообразие Мр диффеоморфно самой группе и является правоинвариантным сечением кокасательного расслоения. Все значения р регулярны. [c.343]

Но это пространство орбит легко отождествляется с орбитой точки р в коприсоединенном представлении. Действительно, отобразим правоинвариантное сечение Мр кокасательного расслоения в кокасательное пространство к группе в единице левыми сдвигами. Получаем отображение [c.344]

Теорема. Приведенное фазовое пространство Р симплек-тически диффеоморфно кокасательному расслоению профакторизо-ванного конфигурационного пространства IV Рр диффеоморфно Pf . [c.344]

Приведенное фазовое пространство является в данном случае кокасательным расслоением профакторизованного конфигурационного пространства (см. пример 3, стр. 344). Факторизация конфигурационного пространства по действию вращений вокруг вертикальной оси была проведена Пуассоном следующим образом. [c.345]

Заметим, что определения фокальной к М точки и индекса Морса не зависят от уравнения Шредингера, а относятся просто к геометрии фазового потока в кокасательном расслоении к конфигурационному пространству (или, что то же, к вариационному исчислению). В частности, в качестве лагранжева многообразия М можно взять слой кокасательного расслоения, проходяпщй через точку (рд, 5о) (заданный условием д — д ). [c.411]

В этом случае фокальная к М точка на выходящей из (рд, фазовой кривой называется сопряженной к исходной точке (точнее, проекция этой фокальной точки на конфигурационное пространство называется сопряженной точкой к точке вдоль экстремали в конфигурационном пространстве, выходящей из точки с импульсом р ). В еще более частном случае движения по геодезическим на римановом многообразии фокальная точка к слою кокасательного расслоения называется сопряженной с начальной точкой геодезической вдоль этой геодезической. Например, Южный польос сферы — сопряженная точка Северного полюса вдоль любого меридиана. [c.411]

Индекс Морса является частным случаем так называемого индекса Маслова, который определяется независимо от какого бы то ни было фазового потока для любых кривых на лагранжевом многообразии кокасательного расслоения над конфигурахщонным пространством. [c.411]

Отображение проектирования лагранжева многообразия на конфигурационное пространство будем для краткости называть лагранжевым отображением. Пусть даны два лагранжевых отображения многообразий одинаковой размерности п (соответствующие тг-мерные лагранжевы многообразия лежат, вообще говоря, в разных фазовых пространствах, являющихся кокасательными расслоениями двух разных конфигурационных пространств). Мы скажем, что два таких лагранжевых отображения лагранжево эквивалентны, если существует симплектический диффеоморфизм первого фазового пространства на второе, переводящий слои первого кокасательного расслоения в слои второго и переводящий первое лагранжево лшогообразие во второе. Сам симплектический диффеоморфизм называется тогда лагранжевой эквивалентностью отображений. [c.420]

B. Пуассоновы структуры на плоекости. С точки зрения дифференциальной геометрии пуассонова структура задается гладким бивекторным полем на многообразии. Действительно, скобка Пуассона в каждой точке сопоставляет число паре кокасательных векторов. Поэтому она является сечением расслоения внешних квадратов касательных пространств, т. е. бивекторным полем. [c.425]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...