Метод Бубнова элементов

Опишем кратко алгоритм решения задачи (5.1) —(5.2) с использованием метода конечных элементов. (Заметим, что этот способ был известен до изобретения метода конечных элементов под названием метода Бубнова — Галеркина метод конечных элементов дал лишь способ построения базисных функций, удобных для реализации метода на ЭВМ.) Итак, пусть xpi, фд —базис, построенный одним из описанных выше способов функции фь. ... .., Флг зависят только от пространственных координат. Будем искать приближенное решение задачи (5.1) —(5.2) в виде линейной комбинации функций pi,. .., фд. с коэффициентами, являющимися функциями времени [c.213]

Чаще всего метод Бубнова — Галеркина используется как вспомогательный прием, который позволяет достаточно просто получить в аналитической форме приближенное описание деформации отдельного элемента конструкции при одном или нескольких первых членах ряда (8.35). Эти выражения затем могут использоваться в других исследованиях. Хотя описание метода велось на примере двумерной области интегрирования А, но он, естественно, применим и для одномерных, и для трехмерных задач. Он применим также и к системам дифференциальных уравнений. [c.254]

При решении задач изгиба и кручения неоднократно отмечались работы, в которых использованы различные приближенные методы (конечных элементов, малого параметра, Бубнова—Галеркина). Легко видеть, что если в задачах изгиба подобрать функцию F y) так, что на контуре ф = 0, то уравнение (19.4) совпадает с уравнением кручения (15.4), что позволяет решать их одними и теми же методами. На это обстоятельство, в частности, было уже указано при использовании метода разделения переменных. [c.102]

В 1913 г. Бубнов разработал новый метод решения уравнений [44, с. 136—139], известный в литературе как метод Бубнова — Галеркина [46, с. 58—61], использованный им для решения ряда задач строительной механики и прежде всего для определения напряжений и прогибов для гибкой прямоугольной пластинки, имеющей удлиненную форму и изгибающейся по цилиндрической поверхности, т. е. для элемента, характерного для набора днища надводных военных судов и корпусов подводных лодок. Служащие для практических расчетов таких пластин вспомогательные функции были Бубновым табулированы [46, с. 388]. [c.414]

Методу Бубнова—Галеркина можно дать и другое толкование. Функция DV Wn — q представляет собой проекцию на ось г всех внешних и внутренних сил, действующих на бесконечно малый элемент пластинки. Функция прогибов ау есть перемещение в направлении той же оси. Значит, функции ф ,тоже являются перемещениями в направлении оси 2 и их можно считать возможными перемещениями. Следовательно, уравнения Бубнова—Галеркина (9.7) приближенно выражают равенство нулю работы всех внешних и внутренних сил в пластинке на возможных перемещениях ф(,2. [c.158]

Система уравнений (30) разрешима, когда частота о) не совпадает ни с одним из корней уравнения det [сд. — (л а,/,] = О, которое служит для определения собственных частот колебаний по методу Бубнова—Галеркина. Если базисные элементы в (28) совпадают с формами собственных колебаний системы, т. е. if =(pk, матрицы С и А становятся диагональными. Для случая, когда система ifi, ifj,. ..—полная, решение системы (30) переходит в точное решение (27). [c.237]

Успех метода Галеркина и его вариантов связан с удачным выбором полной систе мы функций ifk и применением достаточно точного (при больших N) способа решения уравнений (11). Широкое применение метода Бубнова — Галеркина еще в начале нашего века без использования каких-либо счетных машин при небольших N 2 3 для решения задач в относительно простых областях, в частности на основе уравнения Пуассона, было обусловлено как раз хорошим выбором базисных функций (fi и явным аналитическим способом решения (11). Дальнейшее развитие этих методов сдерживалось как трудностя ми построения полных систем базисных функций для сложных областей, так и большими трудностями решения систем (11) уже при N Б из-за очень плохой обусловленности матриц этих систем, которые усугубляются при приближенном расчете интегралов в (11), являющихся элементами этих матриц. Если первую трудность можно снять, используя, например, аппарат 1 функций [17], с помощью которого достаточно легко можно строить полные системы базисных функций (хотя и достаточно сложных) для многомерных обла стей с кусочно-гладкими аналитическими границами, то преодолеть вторую трудность значительно сложнее. Ряд рекомендаций по этому поводу дан в [18]. [c.21]

Получение достаточно строгих решений для динамического нагружения упруго-пластических балок встречает серьезные трудности, которые удается преодолеть только в отдельных случаях нагружения и опирания балок. В работе И. Л. Диковича (1962) описано решение для движения свободно опертой балки под действием внезапно приложенной равномерной нагрузки, постоянной во времени и не превышаюш ей. по величине предельную статическую нагрузку. В некоторый момент времени в середине балки образуется пластический шарнир, после чего рассматривается движение двух половинок балки, из анализа которого получается выражение для перемеш ений, которое остается справедливым до тех пор, пока угловая деформация в пластическом шарнире не изменит знака. Для упро-щ ения И. Л. Диковичем предложены приближенные методы, например метод Бубнова — Галеркина. Как это часто делается в нелинейных задачах, удерживайся один член аппроксимирующего ряда. При этом приходилось вводить допущение о стационарности пластических шарниров, которое, как известно, с ростом интенсивности внезапной нагрузки перестает оправдываться и может привести к серьезным погрешностям. Весьма перспективно применение ЭВМ к расчету балок. Так, В. К. Кабулов (1963) для представления изгибных колебаний консольной балки переменной жесткости воспользовался системой неравных сосредоточенных масс, подвешенных к невесомому упруго-пластическому элементу. [c.317]

На стадии выбора конструктивных решений следует использовать имеющиеся результаты готовых решений если же их нет, то можно рекомендовать вариационный метод Бубнова-Галеркина и метод коллокаций. Для рабочего проектирования в настоящее время широко применяют метод конечного элемента с реализацией вычислений на ЭВМ. [c.98]

Настоящая глава посвящена изложению одного из наиболее перспективных способов дискретизации непрерывных задач — методу конечных элементов. Метод будет сформулирован как обобщение матричных методов сил н перемещений строительной механики на случай континуальных систем. Преимущества такой формулировки — в очевидных возможностях обобщения на случай нелинейных и неконсервативных систем, недостаток —в завуали-рованности связи с традиционными вариационными методами — Ритца и Бубнова — Галеркина, а также в трудностях перенесения на краевые задачи немеханического происхождения. [c.130]

В главе 4 будет дана другая формулировка метода конечных элементов, эквивалентная предыдущей, но использующая непосредственно идеологию методов Ритца и Бубнова — Галеркина. Преимущество этого подхода — в открыФнн возможностей для обоснования, усовершенствования и обобщения на широкие классы краевых задач математической физики, недостаток — в трудностях машинной реализации соответствующего алгоритма для проблем, содержащих в качестве неизвестных вектор-функции илн дифференциальные операторы порядка выше второго. [c.130]

Для решения системы (5.199) применим метод копечных элементов в обычной форме, описанной в главах 3 — 4 более эффективным оказывается метод конечных элементов, когда решение задачи разбивается на два этапа на первом строятся собственные формы колебаний соответствующего упругого тела, на втором построенные собственные формы применяются в качестве базисных функций метода Бубнова —Галеркина. [c.261]

Решение прямой задачи как в перемещениях, так и в напряжениях требует интегрирования довольно сложной системы дифференциальных уравнений в частных производных и, как правило, сопряжено со значительными математическими трудностями. Поэтому при решении прямой задачи часто используют приближенные методы,например метод сеток, прямые методы вариационных задач (методы Ритца, Бубнова—Галеркина, Канторовича и др.), а также получивший за последнее время широкое применение метод конечных элементов. В некоторых же случаях решение можно эффективно получить с помощью так называемого полуобратного метода Сен-Венана. [c.81]

Здесь представим только общие соображения по расчету нелинейных систем, поскольку эта тема выходит за рамки данной работы. Нелинейные задачи деформирования стержней, пластин и оболочек весьма разнообразны и каждая задача требует индивидуального подхода. Однако, если нелинейные модули образуют целостную систему, то для узловых точек (линий) всегда будут справедливы уравнения равновесия между статическими параметрами и уравнения совместности перемещений между кинематическими параметрами. Это значит, что топологическая матрица С в алгоритме МГЭ для нелинейных систем будет формироваться из анализа матриц X ж Y точно так же, как для упругих систем. Основные же трудности решения нелинейных задач заключаются в определении внутреннего содержания матриц А В, т.к. построить фундаментальные функции нелинейных дифференциальных уравнений за небольшим исключением не удается. В этой связи получили развитие различные подходы к решению нелинейных краевых задач [83]. К первому направлению относятся проекционные и вариационные методы типа методов Бубнова и Ритца, методы конечных разностей и конечных элементов. Этими методами нелинейные краевые задачи сводятся к системам нелинейных [c.512]

Вместо метода Бубнова—Галеркина можно использовать вариационный принцип Гамильтона—Остроградского для соответствующего квадратичного функционала. Это позволяет расплирить класс допустимых базисных функций, введя в рассмотрение функции, которые удовлетворяют всем кинематическим, но не обязательно всем динамическим граничным условиям. Уравнения относительно функций qi, (t) сохраняют вид (27), а элементы матриц А, С, F и G определяют по формулам (28) с заменой скалярного произведения на соответствующие энергетические произведения. [c.249]

Этот метод получил в последние годы исключительно широкое использование для приближенного решения краевых задач механики сгшошных сред. Из него как частный случай следуют многие другие известные приближенные методы метод Бубнова - Галеркина, обобщенный метод Бубнова - Галеркина, метод коллока-ций. Он служит основой для построения многих современных формулировок методов конечных и граничных элементов. Хотя метод и не относится к числу вариационных, но и он для рассматриваемого в механике твердого деформируемого тела класса задач формально дотгускает энергетическую трактовку сути производимых при его использовании операций. [c.49]

Характеристические показатели линейной системы с постоянными параметрами совпадают с собственными значениями линейного оператора этой системы. Если дискретизация системы выполнена на уровне выбора расчетной схемы или она оказалась результатом применении какого-либо метода к распределенной системе (например, метода конечных элементов, граничных элементов, конечных разностей, Бубнова -Галеркина и др.), то оператор системы будет конечномерным. В принятом базисе этому оператору соответствует некоторая матрица (см. уравнение (7.2.3)]. Свойства этой матрицы зависят от характера внещних воздействий. Напри- [c.486]

Возможны различные подходы к решению нелинейных краевых задач. Широкое распространение здесь получили проекционные и вартационные методы типа методов Бубнова и 1 тца, а также разностные и вартацион-но-разностные методы, такие как метод конечных разностей и метод конечных элементов. С помощью всех этих методов нелинейные краевые задачи сводятся к системам нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений с параметром, для решения которых непосредственно применимы алгоритмы продолжения решения по параметру, разработанные в гл. 1. Такие подходы предлагались А.А. Курдюмовым [232], И.И. Во-ровичем и В.Ф. Зипаловой [69] и др. [c.83]

Широко известный метод конечных элементов (МКЭ) позволяет преодолеть вторую трудность за счет очень специфического способа выбора базисных функций (fi — конеч ных элементов, отличных от нуля лишь в малых подобластях области D, но приводит к необходимости брать достаточно большое число таких элементов. Фактически МКЭ уже не имеет ярко выраженной в классических методах Ритца и Бубнова-Галеркина аналити ческой природы и в некотором смысле более близок к проекционно-разностным подходам. [c.21]

В уже упомянутых численно аналитических методах (Ритца, Бубнова Галеркина и др.), а также в интенсивно развиваемых сейчас методах граничных элементов (гранич пых интегральных уравнений) использование аналитических конструкций, в частности, интегральных представлений решения или способов сведения дифференциальной зада чи к решению системы интегральных уравнений, может дать чрезвычайно экономичные приближенные численные алгоритмы. Иногда они позволяют при решении, например. [c.23]

Вопросы численного решения уравнений (3.3.15), (3.3.16) разработаны и представлены в литературе достаточно полно. Укажем, например, на монографии [65, 143, 178, 185, 211, 244], в которых аппарат функционального анализа и теории операторов составил основу исследования и строгого теоретического обоснования таких эффективных численных методов решения уравнения (3.3.15), как метод В. Ритца, И.Г. Бубнова—Б.Г. Галеркина, методы конечных элементов, конечных разностей и др. Методы, ориентированные на задачи устойчивости оболочек, описаны в [104]. Специальные вопросы численного решения краевых задач устойчивости анизотропных оболочек вращения обсуждаются в [19, 20, 144, 289]. Этим вопросам уделено значительное внимание и в настоящей монографии. [c.65]

НИИ приведены в дополнении Р. В. Гольдштейна к сборнику [43]. Там же кратко обсуждаются связи ГИУ и конечно-разностных методов. Более подробно взаимные соотношения и связи этих н других методов (Бубнова, Трефтца, конечных элементов, моментов) рассмотрены в [44] как следствия обобщенной трактовки метода взвешенных остатков. На той же основе в [44 ] представлена зависимость между прямым и непрямым вариантами. Некоторые дополнительные сведения о связи с МКЭ приведены в [26. [c.275]

Вопросы, связанные с исследованием нестационарных процессов деформирования неоднородных конструкций, материалы которых проявляют реологические свойства, пока мало изучены. Здесь можно отметить несколько работ, посвященных решению некоторых частных задач. Гровер и Капур (A.S. Grover, A.D. Kapur) [388, 389] исследовали нестационарный отклик трехслойной прямоугольной пластины, подверженной воздействию импульсной нагрузки в форме полуволны синуса. Свойства вязкоупругого заполнителя учтены посредством использования механической модели, состоящей из двух упругих и двух вязких элементов. Авторами статьи [469] рассмотрено динамическое поведение симметричной трехслойной оболочки, состоящей из композитных несущих слоев и вязкоупругого заполнителя. Предусмотрена возможность воздействия на оболочку случайного равномерного давления или случайной сосредоточенной нагрузки. Решение получено методом Бубнова-Галеркина. [c.17]

Изучение динамической устойчивости оболочечной конструкции должно начинаться с упрощения основного дифференциального уравнения. Обычно такое упрощение состоит в переходе к системе с сосредоточенными параметрами при помощи энергетическо,го метода, либо метода конечных элементов, либо метода конечных разностей, либо метода Бубнова—Галеркина. После этого необходимо убедиться в том, что полученная модель соответствует реальной действительности. В большинстве исследований динамической устойчивости такая проверка не проводилась. Некоторые дискретные модели имеют такие положения статического равновесия, которые отсутствуют в конструкции с распределенными параметрами [4] (это обстоятельство было отмечено, в работе [5]). [c.10]

В. М. Александровым, Ю. Н. Пошовкиным [24] и Н. В. Генераловой, Е. В. Коваленко [32] решены соответственно плоская и пространственная контактные задачи о вдавливании без трения полосового в плане штампа в поверхность линейно-деформируемого основания, армированную тонким упругим покрытием переменной толщины, жесткость которого соизмерима или меньше жесткости основного упругого тела. Обе задачи сведены к исследованию интегрального уравнения Фредгольма второго рода с коэффициентом при старшем члене, являющимся достаточно произвольной функцией поперечной координаты. Для его решения в первом случае использовался метод сплайн-функций в сочетании с методом ортогональных многочленов, когда толщина покрытия постоянна. Во втором варианте применялся проекционный метод Бубнова-Г алеркина с выбором в качестве координатных элементов систем ортогональных полиномов или дельтаобразных функций (вариационно-разностный метод), а также алгоритм сращиваемых асимптотических разложений, когда упомянутый выше коэффициент мал. Доказано, что неравномерность толщины покрытия существенно влияет на закон распределения контактных давлений. [c.463]

Более общая формулировка метода Бубнова—Гале]]кина дается в терминах функцион,члыюго анализа для решения ур-ний вида Аг1 — / = О, где А — линейный оператор, опре-деленный на линеале, плотном в нек-ром гильбертовом npo Tiiaii TBe Н и — искомый н / — заданный элементы пространства Н. [c.450]

Отметим здесь важную особенность разложений (23.14) они не столь чувствительны к гладкости исходных данных. Так, они сходятся даже в том случае, если Л содержит компоненты в виде б-функций, т. е. сосредоточенные силы при достаточно малой величине их интенсивности. Вместе с этим столь же быстрая сходимость ряда (23.14) будет иметь место и при равномерной нагрузке р, если она достаточно мала. Принципиальной разницы здесь нет. При использовании других приближенных методов (Бубнова — Галеркина, Ритца, конечных разностей, конечных элементов) налицо большое различие в эффективности, сильно зависящей от гладкости нагрузки. Некоторые же методы (конечные разности, конечные элементы) вообще не могут непосредственно использоваться, если нагрузка содержит разрывы типа сосредоточенных сил. Приходится предварительно производить численно-аналитическую обработку [c.203]

Такая популярность метода несомненно объясняется простотой его физической интерпретации и математической формы н гибкостью численного алгоритма, облегчающей программирование сложных задач математической физики. Этот метод в своей основе является вариационным, и история его возникновения и развития восходит к основополагаюпшм работам отечественных математиков Бубнова и Галёркина. В настоящее время метод конечных элементов перестал быть чисто теоретическим и стал эффективным средством вычисления благодаря идее использования многомерных сплайнов. Успех в развитии теории сплайнов в значительной степени стимулировал разработку математических основ метода конечных элементов. Эти две теории, развивавшиеся вначале параллельно, первая в основном усилиями математиков, а вторая — инженеров, в дальнейшем были объединены в создании столь мощного метода. [c.5]

В главе 3 кратко излагаются вопросы сходимости приближенных решений метода Бубнова — Галёркина в следующей последовательности аппроксимирующие свойства конечных элементов, условия сходимости приближенных решений, выбор экономичных кубатурных формул, способы аппроксимации границы и главных краевых условий, повьппение точности приближенных решений на основе экстраполяции Ричардсона с разных сеток. [c.11]

В 1.2 рассмотрена общая схема метода Бубнова - Галёркина для решения обобщенных задач. Среди нескольких подходов к дискретизации, применяемых в методе конечных элементов (метод Ритца метод наименьших квадратов и др.), мы остановились на этом одном, но зато наиболее распространенном подходе. Применение полученных вьпислительных результатов к доугим методам дискретизации может быть осуществлено либо непосредственно, либо по тесной аналогии между этими методами. [c.14]

Помимо обычных свойств конечных элементов, необходимых для выяснения порядка аппроксимашш и числа обусловленности систем метода Бубнова - Галёркина, мы обращаем внимание также на спещ1фическую особенность, проявляющуюся на последовательностях вложенных сеток. А именно, они допускают представление базисных функций на одной сетке в виде линейной комбинации базисных функций яругой, более мелкой сетки. Это свойство делает итерационные методы на последовательностях сеток более простыми и экономичными в реализации. В связи с этим рассмотрены также вопросы построения вложенных сеток, в том числе для областей с криволинейной границей. [c.48]

В 3.2 приведены результаты по сходимости метода Бубнова - Галеркина в разных нормах для уравнений второго и четвертого порядка. Затем в 3.3 прослежено влияние на порядок сходимости используемых квадратур для вычисления элементов матрицы и правой части системы метода Бубнова - Галёркина. В 3.4 прослеживается влияние другой погрешности - аппроксимации криволинейной границы и значений функций, заданных на ней. [c.85]

Численное интегрирование является важной частью метода конечных элементов, поскольку без него нельзя обойтись при решении задач с переменными коэффициентами и правыми частями, для которых точное вычисление интегралов не представляется возможным. В этом параграфе, как и раньше, предполагается, что замыкание области П является в точности объединением (1.11) ячеек со свойством (1.12). Тогда для вычисления коэффициентов алгебраической системы метода Бубнова — Галёркина используется кубатурная схема каждый элемент матрицы или правой части имеет вид [c.104]

Требование аппроксимации можно выразить следующим образом [75]. Чтобы не нарущить порядка точности решения м метода Бубнова — Га-лёрьс ина, кубатурная формула для прямолинейных конечных элементов на симплексах должна допускать точное интегрирование многочленов. степени 2(к — т). При этих условиях ошибка м — 7 II равна и по порядку сравнима с м - и т,п- В [75] показано также, что при условии к -У I > 2т будет вьшолняться оценка в среднеквадратичной норме м - м 1о,п [c.105]

Такие же оценки м( жно получить, используя лагранжевы элементы степени 3 непосредственно в методе Бубнова — Галёркина на одной сетке. Мы же решили две системы, но с простыми кусочно-линейными базисными функциями. [c.121]

В ряде случаев второй путь более эффективен. В самом деле, для индивидуальной задачи построение системы метода Бубнова — Галёркина с элементами Куранта намного проще, чем с лагранжевыми кубическими элементами, особенно в смысле труда программиста. Что касается автоматизированных пакетов программ, то лишь единицы содержат лагранжевы элементы степени 3, но практически все — злементы Куранта или билинейные элементы. Так что и в этом случае экстраполяция Ричардсона может заменить длительную работу по поиску пакета с элементами высоких степеней и его адаптации на нужный класс задач. [c.121]

Кроме того, вложенность элементов позволяет по матрице метода Бубнова — Галёркина на самой мелкой сетке строить вспомогательные [c.212]

Как покаэано в [33], использование алгоритма на последовательности сеток в этом случае получается более сложным именно иэ-эа операций интерполяции и проектирования. В работе [5] сохраняется свойство вложенности конечных элементов, а для ул) чшения аппроксимации границы используется экстраполяция базисных фзшкций вне области. В таком случае матрица метода Бубнова - Галёркина отличается от обычной, что не позволяет использовать стандартное математическое обеспечение. [c.213]

Вторая обобщенная формулировка связана со смешанным методом [22,109] и дает гиперболическую формулировку дискретной задачи. На зтот раз базисные функции не подчинены никаким дифференциальным уравнениям, хотя должны быть выполнены некоторые геометрические условия, вообще говоря, необременительные, но довольно неожиданные. Метод Ритца, естественно, неприменим и использование конечных элементов базируется на методе Бубнова — Галёркина поиска стационарной точки функционалов. [c.265]

В общем случае поставленная задача представляет собой пространств, задачу У. т., решение к-рой трудно осуществимо. Точные аналитич. решения имеются лишь для нек-рых частных задач об изгибе и кручении бруса, о контактном взаимодействии двух тел, о концентрации напряжений, о действии силы на вершину конич. тела и др. Т. к. ур-ния У. т, являются линейными, то решение задачи о совместном действии двух систем сил получается путём суммирования решений для каждой из систем сил, действующих раздельно (принцип суперпозиции). В частности, если для к.-н. тела найдено решение при действии сосредоточенной силы в к.-л. произвольной точке тела, то решение задачи при произвольном распределении нагрузок получается путём суммирования (интегрирования). Такие решения получены лишь для небольшого числа тел (неограниченное пространство, полупространство, ограниченное плоскостью, и нек-рые др.). Предложен ряд аналитич. методов решения пространственной задачи У. т. вариационные методы (Ритца, Бубнова — Галёркина, Кастильяно и др.), метод упругих потенциалов, метод Бетти и др. Интенсивно разрабатываются численные методы (конечно-разностные, метод конечных элементов и др.). Разработка общих методов решений пространственной задачи У. т.— одна из н-аиболее актуальных проблем У. т. [c.788]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...