Другие формулировки метода конечных элементов

Другие формулировки метода конечных элементов 273 [c.273]

Метод конечных элементов первоначально появился в строительной механике, но в последующее десятилетне было установлено [I, 2], что основные понятия метода могут иметь более широкое применение и они начали использоваться в ряде других областей. В дальнейшем метод конечных элементов развивался весьма интенсивно, и сейчас он широко применяется во многих научных и инженерных приложениях. Хотя существует большое разнообразие-в формулировках, метод конечных элементов может быть охарактеризован следующими свойствами [c.9]

Существует, однако, гораздо более существенный недостаток, в равной степени ограничивающий возможности обоих методов они эффективны только для закрытых систем. В разд. 3.3.2 отмечалось, что наиболее серьезные проблемы в методе конечных разностей возникают при попытке вычислить распределение поля в открытой системе. К сожалению, это справедливо и для метода конечных элементов. Если фокусирующий или отклоняющий элемент не окружен экраном, в вычислениях появляются большие ошибки. Действительно, оба метода требуют введения граничных условий всюду вокруг интересующей области. Для открытой системы приходится вводить некоторую функцию потенциала вдоль открытых границ. Если, например, положить потенциал нулевым на открытой границе, то условие, справедливое на бесконечности, перемещается ближе к самой системе. Это может внести очень серьезные ошибки. Мы уже обсуждали в разд. 3.1.2.2 ограничения, свойственные другим способам введения граничного потенциала. Всегда можно, конечно, предположить наличие эквипотенциального экрана вокруг системы, но такое дополнение неизбежно исказит поле открытой системы. Поэтому предположения такого рода ведут к существенным отличиям формулировки задачи от первоначальной. [c.162]

В книге даны три группы задач, которые можно предложить для решения. Первая группа включает задачи для закрепления теоретических концепций и задачи, свойственные традиционным курсам строительной механики. Вторая группа относится, по существу, к конечно-элементному анализу, который можно осуществить вручную, например при формулировке новых конечно-элементных соотношений либо анализе конструкции, поведение которой описывается не более чем тремя алгебраическими уравнениями. И наконец, приводятся данные для задач, имеющих известные классические или альтернативные решения, которые с помощью метода конечных элементов сводятся к решению относительно большого числа уравнений. Такие задачи можно распределить среди студентов многими способами, однако, как убедился автор, существует наиболее эффективная схема каждому студенту в группе предлагается задача с отличной от других сеткой разбиения. Сравнение полученных студентами группы результатов дает ценную информацию о скорости сходимости и точности конечно-элементного решения. [c.9]

Для того чтобы оценить значение различных альтернативных подходов при формулировке конечно-элементных соотношений, полезно изучить взаимосвязь между простой моделью поведения конечного элемента и поведением реальной конструкции. Эта модель наглядно характеризует поведение элемента, хотя существуют и другие равноценные способы рассмотрения основополагающих концепций метода конечных элементов. Действительно, подход, основанный на энергетических или вариационных принципах (гл. 6),— это, по-видимому, наиболее широко используемая схема реализации метода конечных элементов. Однако в этом подходе основополагающие концепции метода конечных элементов рассматриваются с других позиций, нежели в настоящей главе. [c.41]

Применение метода Галеркина из разд. 5.5 к вспомогательным уравнениям упругости, а не к комбинации дифференциальных уравнений (равновесия или совместности) приводит к выражениям с одновременным участием двух полей. Ниже эта же формулировка рассматривается с других позиций, а именно строится функционал, в который входят два поля, и доказывается, что уравнения Эйлера для этого функционала представляют собой соответствующие вспомогательные уравнения теории упругости. Так как вспомогательные уравнения можно записать различными путями, существует несколько функционалов, в которые входят два поля. Здесь рассматривается функционал Рейсснера (П ) [6.16], которому в методе конечных элементов уделяется особое внимание. [c.194]

ОДНОМЕРНЫЙ ПРИМЕР ВАРИАЦИОННОГО МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В этой книге будут рассматриваться только три варианта метода конечных элементов вариационный, невязок и прямой, хотя существуют и другие формулировки [12, 13]. Вначале на простом одномерном примере иллюстрируется использование вариационного подхода. [c.25]

Метод вывода полевых уравнений, описывающих деформируемые ферромагнетики, использованный в 6.2, основан на модельном представлении выражений для взаимодействий и интегральной формулировке, балансных уравнений, как это обычно принято в механике сплошных сред. Другой метод, более общий и в то же время лучше подходящий для численных расчетов по схеме конечных элементов, основан на принципе виртуальной работы, уже проиллюстрированном в 2.6 и 3.9. Чтобы этот принцип можно было в дальнейшем использовать в этой главе, проиллюстрируем его применение непосредственно к ферромагнетикам, для которых справедливы уравнения [c.347]

В главе 4 будет дана другая формулировка метода конечных элементов, эквивалентная предыдущей, но использующая непосредственно идеологию методов Ритца и Бубнова — Галеркина. Преимущество этого подхода — в открыФнн возможностей для обоснования, усовершенствования и обобщения на широкие классы краевых задач математической физики, недостаток — в трудностях машинной реализации соответствующего алгоритма для проблем, содержащих в качестве неизвестных вектор-функции илн дифференциальные операторы порядка выше второго. [c.130]

Формулировка метода конечных элементов. Основные соотношения МКЭ для задач статики и динамики конструкций могут быть получены как обобщения известных вариационных методов Галеркина, Ритца и других, например коллокации, наименьших квадратов, на пространство кусочно-непрерывных базисных или пробных функций специального вида [47]. Для построения этого пространства исходная расчетная область D (конструкция или ее отдельные элементы) покрывается сеткой, составленной из совокупности М достаточно простых непересекающихся подобластей - конечных элементов Д , связанных между собой в отдель- [c.104]

Первое издание книги профессора Васидзу Вариационные методы в теории упругости и пластичности , опубликованное в 1968 г., было хорошо принято инженерами, преподавателями и студентами, занимающимися механикой деформируемого твердого тела и строительной механикой. Публикация этой книги была своевременной, потому что она совпала с периодом бурного развития приложений метода конечных элементов. Принципиальные отличия первого издания состояли в систематическом подходе при выводе вариационных принципов в теории упругости и пластичности, в преобразовании одного вариационного принципа в другой и в обеспечении систематического подхода при математической формулировке метода конечных элементов. Книга получила широкое распространение, и на нее часто ссылаются в литературе, связанной с методом конечных элементов. [c.10]

В предыдущих главах рассматривались только граничные условия Дирихле и Неймана. Однако существуют и другие типы граничных условий применительно к формулировке метода конечных элементов некоторые из них весьма сложны. В этой главе даны определения большинства обычно встречающихся гранич-НЫ.Х условий и показано, как можно модифицировать функционалы для того, чтобы удовлетворялись различные виды граничных условий. В заключительном разделе кратко рассматриваются другие подходы к учету граничных условий. [c.95]

В принципе эти методы могут быть применены к любой задаче, для которой дифференциальное уравнение или линейно, или линейно относительно приращений [44—49]. В задачах, сводящихся к эллиптическим дифференциальным уравнениям, решения получаются сразу, в то время как для параболических и гиперболических систем уравнений должны быть введены процессы продвижения во времени. Таким образом, охватывается очень широкий класс физических задач при помощи прямых или непрямых формулировок МГЭ могут быть решены, например, задачи об установившемся и неустановившемся потенциальных течениях, задачи статической и динамической теории упругости, упругопластичности, акустики и т. д. [8—49]. МГЭ может также быть использован в сочетании с другими численными методами [44], такими, как методы конечных элементов или конечных разностей, т. е. в смешанных формулировках. Соответствующие комбинированные решения почти неограниченно расширяют область применения методов, ибо МГЭ обладает четко выраженными преимуществами для областей больших размеров, в то время как методы конечных элементов являются удобным средством включения в такие системы объектов конечного размера или уточнения поведения решения в зонах быстрого изменения свойств. Более подробное сравнение особенностей этих методов будет дано в следующем параграфе. [c.16]

Лучшие результаты можно получить уменьшением размера сетки или применением экстраполяционного метода Ричардсона. Погрешность в значениях основных частот колебаний, полученных методом конечных разностей, является всегда меньшей, чем в результатах, полученных методом Рэлея — Ритца. На рис. 3 сопоставлены результаты, полученные для квадратных пластинок с круювыми вырезами Андерсоном и др. [7], использовавшими метод конечных элементов, а также результаты, полученные в этом исследовании для квадратных вырезов с целью установления характера поведения и проверки использованного здесь приближенного метода исследования влияния вырезов различных размеров на частоты свободных колебаний квадратных пластинок. Как видно из табл. 2, значения основных собственных частот свободных колебаний, полученных соответственна при помощи метода сеток и метода Неймарка [6], очень близки друг другу. Влияние коэффициента Пуассона ц изменялосй примерно от 7 до 10% при [а = 0,3. Предложенная формулировка задачи является более простой, и число решаемых уравнений гораздо меньше по сравнению с методом конечных элементов. Однако этот метод - пригоден только для квадратных или прямоугольных вырезов и не может быть использован в случае произвольных границ.. [c.58]

Другие вариационные формулировки выводятся в последующих главах, лосвященных приложениям метода конечных элементов, [c.150]

В гл. 2 описываются основы конечно-элементной формулировки задач теории упругости в перемещениях. Необходимость внимательного изучения этой главы обусловлена тем, что ряд последующих глав, в которых рассматриваются различные задачи теории упругости, непосредственно основывается на разработанной здесь теории. В гл. 3 возможные другие подходы на основе принципов виртуальной работы и минимума энергии распространяются на вариационные задачи и показывается существенное сходство методов конечных элементов и Релея — Ритца. Наряду с этим в гл. 3 указывается иа возможность и других, не вариационных формулировок. [c.8]

Кроме процедуры, описанной а разд. 4,2, существуют и другие способы удовлетворения граничным условиям в методе конечных элементов. Например, а гл. 7 показано, что путем использования множителей Лагранжа а аарнационвую формулировку могут быть включены уравнения связи. Так как граничные условия можно рассматривать как уравяения связей, значение такого подхода очевидно. В методе множителей Лагра-нжа граничные условия вводятся непосредственно в матричное уравнение системы. Хотя достоинством этого метода является простота, его существенный недостаток состоит а том, что расширенное матричное уравнение системы должно решаться и для дополнительных неизвестных, т. е. множителей Лагранжа. С деталями этого метода, выходящими за рамки нашей книги, читатель может ознакомиться по работам 5—7]. [c.101]

Очевидно хакже, что критерии I и II становятся достаточными условиями сходимости для других методов конечных элементов, таких, как метод взвешенных невязок н метод наименьших квадратов, если термин функционал в формулировках этих критериев заменить иа определяющий, или ключевой, интеграл.-Как было подчеркнуто Зенкевичем [18], такой интеграл получается во всех методах конечных элементов из определяющего уравнения задачи с помощью соответствующей процедуры. [c.175]

Точно таким же образом, как мы обобщили определение смешанных методов, можно более общо определить как гибридный метод всякий метод конечных элементов, основанный на формулировке, где одно неизвестное —функция или некоторые ее производные па множестве О, а другое неизвестное — след некоторых из производных той же функции или след са. юй функции вдоль границ множества К. Другими словами, мы игнорируем в эгом новом значении термина гибридный тот факт, что на практике такие методы основываются на соответствующей основной гибридной и двойственной гибридной формулировке. [c.408]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...