Уравнения с частными производными первого порядка нелинейные

Уравнение (27.1) является частным случаем нелинейного уравнения с частными производными первого порядка [c.278]

Н. Интегрирование уравнений в частных производных первого порядка. Пусть — контактное многообразие, — гиперповерхность в Контактная структура М определяет на Е некоторую геометрическую структуру, в частности — поле так называемых характеристических направлений. Анализ этой геометрической структуры позволяет свести интегрирование общих нелинейных уравнений с частными производными первого порядка к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений. [c.335]

Коэффициенты при вторых производных от и, V, ш суть функции девяти первых производных от и, V, но. Мы должны внести шесть выражений вида (4.14) в уравнения (4.7) в результате получим систему трёх нелинейных уравнений с частными производными второго порядка для трёх неизвестных [c.90]

Уравнения (5.63а) представляют собой для шести функ-ций Веер ( , ) дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка, линейные относительно вторых производных и нелинейные относительно первых производных. [c.91]

Мы положили здесь магнитную проницаемость равной 1 есть линейная часть поляризации, которая в свою очередь через восприимчивость первого порядка линейно связана с напряженностью поля. Из дифференциального уравнения (2.23-2) следует система т дифференциальных уравнений для отдельных амплитуд парциальных волн [явное представление дано в ч. I, Приложение 6, уравнение (П6-4)] с частными производными по пространственным и временным координатам различных высоких порядков. При соответствующих физических условиях высшими производными можно пренебречь, при этом возникает вопрос о том, насколько сильно амплитуды напряженности поля и поляризации меняются в пространстве по сравнению с / и во времени по сравнению с а>г Мы примем, что пространственная структура волн не испытывает изменений под влиянием взаимодействия (что соответствует представленной в 1 концепции мод) это означает, что можно положить равными нулю все пространственные производные. Далее, действие нелинейной поляризации можно рассматривать как малое возмущение в том смысле, что [c.198]

Подробное описание (с повсеместным выявлением аспектов нелинейности) двух конкурирующих математических моделей трёхмерной теории упругости-, это,во-первых, краевая задача, состоящая из системы трёх квазилинейных уравнений второго-порядка с частными производными, к которой добавлены те ил№ иные краевые условия, и, во-вторых, задача минимизации соответствующей энергии (главы 1—5). [c.8]

С помощью замены переменных (4.20), (4.20 ) или (4.26) получим из системы уравнений в частных производных (1.23)—(1.27) с учетом (1.15), (1.16) и (4.1) следующую систему нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка относительно s [c.138]

Уравнения пространственного ламинарного пограничного слоя в несжимаемой жидкости представляют собой нелинейную систему уравнений в частных производных, состоящую из двух уравнений количества движения второго порядка с тремя независимыми переменными и одного уравнения первого порядка (уравнения неразрывности). Для этой системы уравнений в каждом конкретном случае задаются начальные и граничные условия. [c.139]

Замкнутый контур ремня представляет собой систему с бесконечно большим числом степеней свободы. Движение любой точки ремня описывается нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных, которые могут быть заменены системой обыкновенных дифференциальных уравнений, причем допустимая степень приближения определяется сравнением разностей решений систем двух смежных порядков. При замене уравнений в частных производных системой обыкновенных дифференциальных уравнений предполагается линейно-кусочная аппроксимация искомой функции и ее первой производной. [c.37]

Основное содержание работы связано с изложением иной концепции построения сеток, развиваемой, главным образом, в работах российских ученых в течение 30 лет [1]. Главная особенность подхода связана со специальным способом формализации критерия (Р), приводящему к нелинейному вариационному функционалу, в который входят как первые, так и вторые частные производные функций, реализующих отображение. Этот непрерывный функционал появляется естественным образом после рассмотрения дискретного функционала, минимизирующего меру относительной погрешности неравномерной сетки по сравнению с равномерной. Такая формализация приводит к системе уравнений Э-0 четвертого порядка, гиперболической в широком смысле. Это позволило рассмотреть новые более широкие типы краевых условий, а также разработать эффективные алгоритмы и программы построения сеток для весьма сложных областей. Экономичные и эффективные процедуры расчета сеток связаны с применением итерационных процессов, использующих как специальную нестационарную модификацию уравнений Э 0, так и прямые геометрические способы минимизации дискретных функционалов, формализующих все три критерия оптимальности. [c.513]

До сих пор мы сталкивались с законами движения классической механики, представленными в форме обыкновенных дифференциальных уравнений, а также дифференциальных и интегральных принципов. В настоящем разделе мы изучим запись тех же законов классической механики в виде нелинейного дифференциального уравнения первого порядка в частных производных, а именно познакомимся с уравнением Гамильтона— Якоби. Впервые вывел это уравнение У. Р. Гамильтон (1827 г., дополнения в 1830 и 1832 гг.), побуждаемый прежде всего важным для астрономии изучением хода светового луча в оптических инструментах. Исследования К. Якоби, связанные с каноническими преобразованиями, развили эту теорию и обогатили ее. [c.42]

В том случае, когда динамические и термодинамические величины потока являются функциями одной координаты и времени, уравнения Эйлера и уравнения неразрывности сводятся к нелинейной системе дифференциальных уравнений первого порядка в частных производных с тремя неизвестными функциями V, р к р [c.159]

Следует подчеркнуть, что задача отыскания полного интефала не совпадает с задачей отыскания общего рещения нелинейного уравнения первого порядка в частных производных (12.4) и значительно проще последней. Решение первой задачи неоднозначно если найден какой-то полный интефал 5(я, а, г), то произвольная замена переменных а -> а позволяет записать, вообще говоря, другое решение 5.(д, а., 1) = 5(ч, а (а ). О- [c.173]

Первые 6 лекций Якоби посвящает изложению основных принципов механики принципу сохранения движения центра тяжести системы, принципу живой силы, принципу площадей и принципу наименьшего действия. С 10-ой лекции Якоби развивает теорию множителя" систем обыкновенных дифференциальных уравнений, являющуюся обобщением теории эйлеров-ского интегрирующего множителя. Якоби показывает каким образом можно в целом ряде случаев построить с помощью последнего множителя" всю систему п независимых интегралов. Изложив подробно теорию этого множителя, Якоби затем применяет ее к решению ряда механических задач. С 19-ой лекции Якоби, исходя из вариационного принципа Гамильтона, излагает тот метод интегрирования уравнения с частными производными первого порядка, который известен под названием метода Якоби-Гамильтона". В следующих лекциях этот метод примендется к ряду задач, взятых главным образом из области небесной механики. В 26 лекции Якоби излагает теорию эллиптических координат и показывает их приложение к разысканию геодезических линий эллипсоида, к задаче построения карт, к выводу основной теоремы Абеля и проч. Наконец, последние лекции Якоби посвящены изложению его классических методов интегрирования нелинейных уравнений в частных производных первого порядка. [c.4]

Уравнение (43) есгь нелинейное диференциальное уравнение с частными производными первого порядка и с неи.чвестной функцией V от я ч-1 переменных t, д,,. .., д . Так как Н есть известная функция своих переменных, то построить это уравнение всегда возможно. [c.398]

Интегрирование уравнения Гамильтоиа-Якоби. Вообще говоря, интегрирование нелинейных уравнений с частными производными первого порядка представляет очень трудную и сложную задачу. Поэтому интегрировать уравнение Гамильтона-Якоби почти никогда не удается, Только в некоторых наиболее простых случаях оказывается возможным получить полный интеграл каким-нибудь искусственным способом. Эти случаи в небесной механике немногочисленны, и характерно то, что эти же случаи могут быть исследованы и непосредственно, не прибегая к помощи теоремы Гамильтона-Якоби. Неизвестно пока ни одного случая, который допускал бы разрешение только этим методом, так что эффективность его весьма невелика. Однако с теоретической стороны он представляет большой интерес, и не исключена возможность, что в будущем метод Гамильтона-Якоби позволит решать такие задачи, которые не поддаются разрешению никакими другими методами. [c.405]

Обобщение понятия квазиконформности. Как уже говорилось в первой главе, возрастание скоростей течения приводит к необходимости учета сжимаемости, а значит (при изучении плоских задач), к замене системы Коши — Римана нелинейной системой двух дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с двумя независимыми переменными и двумя искомыми функциями [c.96]

Таким образом вопрос о движении жидкости сводится к интегрированию трех уравнений (10) с частными производными второго порядка и уравнения (11), которое есгь нелинейное уравнение с частными проиаводными первого порядка. Произвольные функции интеграции определяются по данным условиям задачи, каковы граничные условия, условия НЗ свободной поверхности, и по другим начальным данным. Интегрирование этих уравнений в общем виде до настоящего времени еще не выполнено. [c.699]

Изучается поведение малых возмущений стационарных решений произ-вольной системы уравнений в частных производных с двумя независимыми переменными ж и t в окрестности критической точки, где обращается в нуль одна из характеристических скоростей. Все характеристики системы предполагаются действительными и различными, кроме t = onst, которые могут быть кратными для параболически вырожденной системы. Критические точки совпадают с особыми точками системы уравнений, описывающей стационарные решения. Исследованы их возможные типы. Показано, что нестационарные процессы в окрестности критических точек описываются одним уравнением в частных производных первого порядка, коэффициенты которого определяются собственными числами особой точки стационарных уравнений. Нестационарные процессы исследованы с учетом нелинейных членов. [c.640]

Несколько иной способ упрощения задачи, уточняющий метод Стокса, принадлежит Озину [2] и заключается в том, что в уравнениях движения оставляются только важнейшие из инерционных членов, которые к тому же линеаризуются путем замены неизвестной скорости, стоящей множителем перед производной, ее характерным значением. При этом нелинейная система дифференциальных уравнений движения вязкой жидкости сводится к линейным уравнениям с частными производными первого и второго порядков. [c.238]

С математической точки зрения система уравнений Навье — Стокса представляет собой совокупность нелинейных уравнений в частных производных первого н второго порядка смешанного гинерболо-параболического типа. Эта система уравнений может быть получена феноменологически [1, 2] или при помощи кинетической теории газов в результате применения к решению уравнения Больцмана известного метода Чепмена — Энскога [6, 8—10] разложения функции распределения молекул по скоростям в ряд по степеням малого параметра. [c.13]

Не следует смешивать уравнение (почти всегда нелинейное) в частных проягводных (5) первого порядка относительно функции, зависящей от (п-1-1) независимых переменных 1, ди с линейным уравнением в частных производных [c.100]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...