Материальные уравнения нелинейные

В слабых полях материальные уравнения имеют вид D — гЕ, В == цЯ. В сильных же полях эти уравнения становятся нелинейными, т. е, векторы D и В уже не являются линейными функциями, соответственно, напряженностей и Н (подробнее см. гл. XVI). [c.67]

Нелинейная поляризация. При взаимодействии сильного светового поля с веществам зависимость между поляризацией среды и напряженностью действующего светового поля не описывается материальным уравнением линейной электродинамики — появляется нелинейная связь между Р и Е. Удовлетворительное описание оптических явлений можно проводить разложением вектора поляризации в ряд по малому параметру Е/Е <1 [c.391]

В силу линейности уравнений Максвелла при заданных значениях зарядов и токов нелинейность в оптике связана со свойствами отклика среды на поле. Это действительно так, пока можно пренебрегать рождением электронно-позитронных пар, т. е. нелинейностью самого вакуума. Один из вариантов традиционного подхода в нелинейной оптике состоит в том, что любая среда описывается с помощью диэлектрической проницаемости г, которая для нелинейной среды сама зависит от электромагнитного поля. Ясно, что при этом волновое уравнение оказывается с математической точки зрения сугубо нелинейным. В книге в дальнейшем будем использовать другой подход, задавая свойства среды вектором поляризации, фигурирующим в правой части волнового уравнения. Очевидно, что волновое уравнение остается линейным относительно поля и поляризации, а все нелиней-пости выносятся за рамки этого уравненпя и определяются зависимостью вектора поляризации в данной среде от электромагнитного поля (материальными уравнениями). Такой подход, математически эквивалентный первому, физически более естественен и, как следствие, позволяет сформулировать некоторые свойства нелинейно-оптических явлений (например, синхронизм) безотносительно к конкретным свойствам среды, типу нелинейного процесса, величине поля и т. д. Кроме того, он облегчает введение приближений заданного поля в случае достаточно слабых полей. [c.7]

НЕЛИНЕЙНЫЕ МАТЕРИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [c.9]

Материальные уравнения, описывающие нелинейные оптические эффекты, можно найти в целом ряде работ, например в [1-8]. В простейшем одномерном случае, в предположении слабой нелинейности, когда можно ограничиться несколькими членами разложения динамической поляризации в ряд по степеням напряженности поля, поляризацию среды можно записать в виде [c.8]

Феноменологическое материальное уравнение (10.5) учитывает все возможные механизмы возникновения нелинейных восприимчивостей. Однако следует иметь в виду, что оно справедливо только в установившемся режиме, т. е. не описывает переходных процессов. В то же время разные причины зависимости оптических характеристик среды от интенсивности обладают разной степенью инерционности. При электрострикции время установления стационарного распределения плотности по порядку величины равно отношению размера а поперечного сечения светового пучка к скорости Узв [c.484]

В анизотропной среде направление вектора Р в общем случае не совпадает с направлением напряженности Е электрического поля. Поэтому материальное уравнение (10.5) имеет тензорный характер. Если среда обладает центром симметрии, то в (10.5) все тензоры X нечетных рангов обращаются в нуль. Так будет, например, в изотропной среде или в кубическом кристалле. Поэтому в них невозможны нелинейные эффекты, обусловленные квадратичной восприимчивостью х,и, например генерация второй гармоники. Тем не менее при качественном изучении таких явлений можно воспользоваться упрощенной изотропной моделью нелинейной среды, считая поляризованность Р параллельной напряженности Е и полагая в. материальном уравнении (10.5) восприимчивости всех рангов скалярами [c.485]

О уравнения Максвелла (2.3) — (2.4), описывающие распространение света в веществе, поляризованность Р среды входит в качестве источников в правую часть. Когда в материальном уравнении (10.6), связывающем Р с Е, квадратичные и кубичные по степеням Е члены существенны, подстановка Р в уравнения Максвелла приводит к системе нелинейных уравнений для векторов Е и В световой волны. Нелинейность уравнений означает нарушение принципа суперпозиции, согласно которому распространение световой волны в среде никак не сказывается на распространении других световых волн. Таким образом, справедливость принципа суперпозиции для света в веществе ограничивается приближением линейной оптики. [c.487]

Какой вид имеет феноменологическое материальное уравнение для нелинейной среды [c.488]

Альтернативная возможность — нелинейное, но локальное материальное уравнение. Поскольку в стабильном изотропном вакууме направления векторов D и Е совпадают [2], выражение (1) прямо дает [c.198]

После создания мощных квантовых генераторов на оптических частотах (лазеров) возникла и в последние годы бурно развивается самостоятельная область исследований — нелинейная оптика. Понятие нелинейная оптика охватывает все явления в области высоких (оптических) частот, связанные с нелинейностью материальных уравнений в системе уравнений Максвелла. Большой интерес к этому разделу физики объясняется многими причинами. Нелинейная оптика создала новые возможности для изучения поведения ядер, атомов, молекул и твердых тел в электрических полях высокой напряженности. Кроме того, были найдены новые применения теории излучения и сформулированы законы распространения электромагнитных волн в нелинейных средах. Лазеры нашли необычайно широкие применения в самых различных областях науки и техники. При помощи нелинейных оптических эффектов можно получить новую информацию об отдельных атомах и молекулах и об их взаимодействии в плотных средах. На основании различных нелинейных оптических эффектов удалось создать новые когерентные источники света высокой интенсивности, частично с перестраиваемыми частотами. Кроме того, методы нелинейной оптики могут служить основой для развития других нелинейных теорий. [c.8]

Глава 1 настоящей части посвящена общему исследованию нелинейных материальных уравнений и материальных параметров и общим методам решения уравнений Максвелла. К модельным представлениям мы будем обращаться только для облегчения понимания отдельных мест. В гл. 2 выводятся материальные уравнения для важных групп физических явлений. Будет [c.28]

После обзора явлений, относящихся к нелинейной оптике (сокращенно обозначаемой НЛО), и краткого описания основных этапов развития этой области обратимся теперь к систематическому применению общих основ классического описания. В 1 мы рассмотрим общую структуру материальных уравнений, которые вместе с уравнениями Максвелла позволяют изучить взаимодействие электромагнитных полей с материальными средами. Вслед за тем в 2 детально исследуются общие свойства материальных параметров, восприимчивостей, входящих в эти уравнения. Наконец, последний параграф этой главы посвящен электромагнитным процессам в среде. Обсуждаются методы решения уравнений Максвелла при общих нелинейных материальных соотношениях. [c.31]

Описание нелинейной оптики, как и предшествующей ей линейной оптики, базируется на материальных уравнениях, характеризующих электрические и магнитные свойства вещества. Мы имеем в виду связь между электрической поляризацией Р. (или электрическим смещением О.) и напряженностью электрического поля Е, и между намагниченностью М. (или магнитной индукцией В.) и напряженностью магнитного поля И.. В данном параграфе рассматривается общая математическая структура этих материальных уравнений, причем основное внимание уделяется электрическому случаю. [c.31]

НЛО, например, получение гармоник, смешение света, самофокусировку, вынужденное комбинационное рассеяние (см. гл. 3 и 4), которые не могут быть объяснены на основании материального уравнения линейной оптики. То обстоятельство, что при не слишком больших напряженностях поля величина превалирует над не означает, что р1 является каким-то дополнительным членом к обусловленным побочными эффектами или свойствами. Существование нелинейной части поляризации непосредственно связано с основными физическими закономерностями (см. гл. 2), например с зависимостью потенциала точечного заряда от расстояния по закону 1/г, с существованием силы Лоренца, с взаимодействием электронного и ядерного движений в атомных системах или в магнитном случае с фундаментальной зависимостью между магнитным моментом и моментом количества движения протонов и вообще атомных ядер. [c.41]

Подобно определению функции системы для общего нелинейного электрического квадруполя при известных входном и выходном напряжениях, восприимчивости получаются из соотношения Р,(Е.). Заданный при этом закон изменения напряженности поля может быть в принципе выбран в значительной мере произвольно. Однако как с теоретической, так и с практической точки зрения полезно рассмотреть два предельных случая, а именно случаи импульсных и стационарных условий. В первом случае мы встречаемся с узкими импульсами напряженности поля, которые во временном представлении математически описываются б-функциями. Во втором случае напряженность поля характеризуется фиксированным значением частоты и в частотном представлении описывается б-функцией. Как известно, такие б-им-пульсы напряженности поля невозможно получить ни во временном, ни в частотном представлениях, поскольку с ними было бы связано бесконечно большое содержание энергии. Поэтому мы должны представить себе импульсы конечной (во времени) ширины или колебания с конечной шириной полосы частот. Вместе с тем ширины импульсов или ширины частотных полос должны быть достаточно малыми, чтобы возможно было бы их описание при помощи б-функций. Это условие выполнимо, так как входящие в материальные уравнения восприимчивости являются величинами, имеющими физический смысл, и их необходимое математическое поведение поэтому обеспечено. [c.53]

В 1.1 мы изучили структуру фундаментального материального уравнения Р.(Е) в НЛО. Теперь применим это соотношение к анализу следствий, вытекающих из его типичных нелинейных свойств для электромагнитных процессов в нелинейной среде. Для решения этой задачи мы должны привлечь уравнения Максвелла, в которые поляризация входит через электрическое смещение. Необходимо решить вытекающее из уравнений Максвелла волновое уравнение при учете в общем случае нелинейного соотношения между поляризацией и напряженностью поля и при заданных граничных условиях. Это означает, что следует искать решения, удовлетворяющие этим дифференциальным уравнениям в протяженной пространственно-временной области о них пойдет речь в разд. 1.32. Некоторые предсказания об эффектах излучения в НЛО можно сделать уже при помощи сравнительно простого метода, в котором исходят из соотношений только в одном элементе объема такой способ рассмотрения будет представлен в разд. 1.31. [c.81]

Нелинейные свойства максвелловских материальных уравнений [c.33]

В гл. 3 нелинейные материальные уравнения включаются в систему уравнений Максвелла. Взаимодействие между световыми волнами в нелинейной среде рассмат- [c.55]

Итак, включение нелинейных материальных уравнений в систему уравнений Максвелла позволило решить ряд простых граничных задач. Выяснение закономерностей отражения и преломления света на ловерхностях нелинейного диэлектрика позволяет полностью проанализировать процессы генерации световых гармоник и смешения световых волн в ограниченной нелинейной среде. Такой анализ весьма важен для понимания особенностей поведения оптических приборов и систем при очень высоких уровнях плотности мощности света, достижимых в лучах лазеров. [c.381]

На нечетных нелинейностях (третьего, пятого и высшего порядков) происходит самовоздействие волн. Если в материальном уравнении просуммировать все нелинейные члены, ответственные за самовоздействие, например, электромагнитных волн, можно ввести нелинейную диэлектрическую проницаемость (см. (1.24)) [c.178]

В результате получим систему нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка. Интегрируя их, найдем решение задачи о движении несвободной системы материальных точек. После этого множители Лагранжа определяются как некоторые функции времени. Зная множители Лагранжа, найдем реакции связей, пользуясь формулами (1.18а) и (I. 18Ь). [c.31]

Нелинейные математические модели тепловых стационарных процессов в паротурбинной установке с достаточной для инженерных исследований точностью представляются системами алгебраических и трансцендентных уравнений. В эти системы входят нелинейные уравнения состояния или зависимости в табличном и графическом виде, уравнения перепада давления, дросселирования в паропроводе, теплопередачи в подогревателях, уравнения теплового и материального баланса, теплоперепада, расходов и мощности пара по ступеням, отсекам и др. [Л. 25, 26]. [c.22]

Система уравнений (4-14) — (4-16) является нелинейной. Линеаризованные уравнения материального и энер- [c.81]

Уравнения геометрически нелинейной теории тонких оболочек служат основой для изучения деформирования, потери устойчивости и закритического поведения гибких тонкостенных конструкций. В отличие от классической линейной теории малых деформаций и перемещений нелинейная теория рассматривает нагружение оболочек, сопровождаемое конечными перемещениями и поворотами материальных элементов. [c.134]

Манли — Роэ соотношения 209 Материальные уравнения нелинейные 31 Модель физически реализуемая 42 [c.240]

При исследованиях причин воэникиовения нелинейных оптических эффектов часто можно ограничиться материальными уравнениями, описывающими динамическую поляризацию среды, использовав лишь связанные с уравнениями Максвелла закощ>1 сохранения энергии и импульса элементарных возбуждений (фотонов, фононов и т.д.), участвующих в преобразовании. [c.7]

Укороченные уравнения для комплексных амплитуд четырех взаимодействующих волн е ,2 = l,2eXpOVel,2)> о1,2 =, 2вХр OVd, 2 ), полученные в работе [31] на основании решения нелинейного волнового уравнения и материальных уравнений для среды, имеют вид [c.121]

Понятие нелинейная оптика охватывает высокочастотные электромагнитные явления (vJ 10 Гц), возникновение которых связано с нелинейностью материальных уравнений теории электромагнитных волн Максвелла. В оптическом диапазоне эта нелинейность является причиной образования высших гармоник волн, а также смешения частот аналогично известным процессам в диапазоне радиоволн. В сильных электрических полях, создаваемых в веществе мощным лазерным излучением, в общем случае необходимо учитывать нелинейную зависимость индуцированных атомных дипольных моментов от напря- [c.273]

В статистической электродинамике, пригодной для случая неупорядоченных фаз волн, можно продвинуться дальше, усреднив уравнение (П.III.18) по статистическому ансамблю. Такое продвижение оказывается успешным благодаря относительной малости нелинейных эффектов и возможности ограничиться небольшим числом членов нелинейного ряда материального уравнения (ПЛП.9). В нашем изложении мы ограничимся изучением процессов, для которых достаточно удержать в уравнении (ПЛ11-18) [c.317]

После рассмотрения в 1.1 структуры материальных уравнений обратимся теперь к восприимчивостям, представляющим в этих уравнениях свойства материи. В разд. 1.21 мы обсудим получение восприимчивостей из фундаментальных материальных уравнений в их временном и частотном представлениях при определенных функциях поляризации и напряженности- поля. Типичные параметры, характеризующие изменения поляризации и напряженности поля, в свою очередь определяют величины, непосредственно измеряемые при нелинейнооптических экспериментах (см. гл. 3 и 4). Поэтому результаты разд. 1.21 могут быть применены для установления взаимосвязи между свойствами вещества и измеряемыми величинами. Рассмотренные в разд. 1.22 общие трансформационные свойства и свойства симметрии оказываются важными при выборе того или иного вещества для изучения определенных нелинейно-оптических эффектов. [c.52]

В настоящем разделе мы рассмотрим электромагнитные явления с учетом нелинейных материальных уравнений для протяженной пространственно-временной области. При этом мы исходим из уравнений Максвелла, заданных в форме уравнений (1.3-2) и (1.3-3). Мы также следующим образом уточним свойства вещества для связи между поляризацией и напряженностью поля примем соотношение (1.3-4), а зависимость от координат будем учитывать в соответствии со сказанным в начале настоящего параграфа. Для магнитных свойств мы примем уравнение В, = 1Ц1оН, в котором ло — магнитная проницаемость вакуума, а х — относительная магнитная проницаемость, рассматриваемая как материальная константа. Функции восприимчивости в уравнении (1.3-4) и проницаемость х в дальнейшем будем считать известными величинами. [c.90]

Следовательно, и восприимчивость среды х получила нелинейную добавку, пропорциональную Е . Но в таком случае поляризация среды Р = хЕ также должна содержать нелинейную компоненту, пропорциональную третьей степени амплитуды поля. Другими словами, самовоздействие света, рассмотренное выше, является одним из нелинейнооптических эффектов, описываемых нелинейной поляризацией среды, кубической по полю. Это обстоятельство наводит на мысль о том, что для теоретического описания распространения световых волн в нелинейных средах в уравнениях Максвелла необходимо считать связь электрического смещения О с напряженностью электрического поля Е нелинейной, т.е. соответствующим образом модифицировать материальное уравнение, связывающее эти величины. [c.194]

Система (1.1) является, как известно, полной только тогда, когда указана связь (материальное уравнение), позволяющая выразить О через Е, а если нужно, то и через В. В конденсированной среде эта связь обычно может считаться линейной, поскольку рассматриваются поля несравненно более слабые, чем поле атомных масштабов — е1а ,— 10 в см. По этой причине нелинейные явления (наблюдающиеся, например, в плазме в довольно легко достижимых условиях см. 6], гл. VIII) в оптике конденсированных сред приобрели интерес лишь в последнее время в связи с использованием лазеров. Нелинейная оптика [26] остается, однако, несколько выделенной областью, непосредственно не связанной с интересующими нас проблемами (исключение составляет рассмотренный в п. 15.1 вопрос о комбинационном рассеянии света и рентгеновских лучей с образованием экситонов). [c.30]

Таким образом, в нелинейной среде могут наблюдаться явления самовоздействия и взаимодействия волн, в результате которых могут измениться частотные и угловые спектры волн, иными словами, пространственно-временные законы модуляции волновых нолей, заданных на входе в среду. Чтобы проанализировать развитие нелинейных злектромагнитных процессов, необходимо решать при соответствующих граничных и начальных условиях уравнения Максвелла (1.1) — (1-3) совместно с нелинейными материальными уравнениями типа (1.17) — (1.24). Уравнения Максвелла можно свести к волновому уравнению [c.163]

В настоящей главе мы имели дело с прямолинейными колебаниями материальной точки, причем такими, которые описываются линейными дифференциальными уравнениями. Такие колебания называют линейными. Они наиболее просты с математической стороны и поэтому вынесены в начало этого тома. (В некотором роде исключением является случай прямолинейных колебаний при наличии кулонова трения, которые следует отнести к нелинейным колебаниям, описываемым кусочно-линей-ными уравнениями.) Более сложные случаи колебаний системы материальных точек и абсолютно твердых тел, как линейных, так и нелинейных, будут рассмотрены в шестом отделе курса (гл. XXXII—XXXIV). [c.103]

Выбор оптимальных технологических схем установок подготовки и перераз-работки природного и нефтяного газа и газового конденсата требует создания обобщенной математической модели процесса разделения, адекватно отражающей процесс в широком диапазоне изменения параметров. Основанная на концепции теоретической ступени контакта термодинамическая модель процесса разделения сводится к решению системы нелинейных алгебраических уравнений, отражающей материальный и тепловой баланс на ступенях контакта и фазовое распределение компонентов неидеальных углеводородных систем. Общая система уравнений предложенной модели имеет следующий вид [c.267]

В обобщенном виде система балансовых уравнений может быть представлена в виде вектор-функции Ф (Z, Z ) = О, устанавливающей соотношение между термодинамическими и расходными параметрами связей, обеспечивающее получение заданной стационарной нагрузки установки с определенными конструктивнокомпоновочными характеристиками. В геометрической интерпретации [87 1 вектор-функция Ф (Z, =- О задает нелинейную поверхность стационарных состояний установки в многомерном пространстве, координатами которого являются значения нагрузки установки как по электрической энергии, так и по холоду, а также величины подмножеств Z и Для расчета приведенных затрат, учета ограничений, отражающих требования технологичности изготовления, длительной надежной эксплуатации установки и т. д., и в дополнение к системе балансовых уравнений в математическую модель вводятся соотношения для вычисления различных технологических и материальных характеристик отдельных агрегатов. Эти соотношения получаются в результате совместного решения задач теплового, гидравлического, аэродинамического и прочностного расчета агрегатов и представляют собой в большинстве случаев неявные функции параметров совокупностей Z и Z . Опыт математического моделирования показал, что для теплоэнергетических агрегатов число этих характеристик невелико. Это характеристики изменения давления, энтальпии и средней скорости каждого теплоносителя, наибольшей температуры стенки, ее абсолютной или относительной толщины, а также расходов материалов. В обобщенном виде система характеристик описывается вектор-функцией (Z, Z ) = 0. [c.40]

При макроскопич. описании эл.-магн. явлений в материальных средах силовой характеристикой Э. п. остаётся вектор напряжённости E(t,r), являющийся результатом усреднения по физически малому объёму и характерным временам микропульсаций вакуумного Э.п. е(Е=<(е ) (см. Лоренца—Максее.гла уравнения). Другой усреднённой характеристикой Э.п, в среде яв,пяется вектор электрической индукции D(t, г) = Е+4кР, где Р—плотность электрич. дипольного момента среды. Связь между D и устанавливается материальным ур-нием—в общем случае интегральным нелинейным соотношением. В приближении слабых полей, когда нелинейными эффектами можно пренебречь, материальное ур-ние имеет вид [c.515]

Для произвольных движений материальной частицы (вьгаол-нение условий (1.55) не гарантируется) линейный тензор деформаций не объективен в смысле выполнения одного из преобразований (1.22) при жестких движениях тела в соответствии с (1.21). Поэтому этот тензор деформаций не используется при формулировке геометрически нелинейных уравнений МДТТ. [c.40]

При бесконечно малой деформации материальной частицы все тензоры деформаций превращаются в тензор деформаций Коши е, который связан линейными соотношениями (1.56) с тензором градиента перемещений Н, а все тензоры напряжений превращаются в тензор напряжений Коши сг. Предположим, что условие бесконечно малой деформации выполнено для всех материальных частиц тела В. Деформацию тела при выполнении этого условия назовем геометрически линейной или бесконечно малой . Подход к формулировке уравнений с использованием тензоров деформаций е и напряжений сг назовем геометрически линейным или MNO (material nonlinear only) подходом. При этом наряду с геометрически линейным деформированием тела допускается физическая нелинейность деформирования, которая может присутствовать в определяющих соотношениях, связывающих тензоры напряжений и деформаций и/или их скорости. [c.65]

Приведем основные зав1гсимости нелинейной теории упругости в криволинейных координатах общего вида [73, 53]. Пусть уравнения движения материальной точки в пространстве, отнесенном к прямоугольным декартовым координатам Хг, Хз, имеют вид [c.59]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...