Приближенное решение нелинейного дифференциального уравнения

Решения (VI.26) и (VI.27) уравнений первого приближения представляют собой гармонические колебания гироскопа и не содержат постоянной составляющей собственной скорости прецессии гироскопа. Следуя методу последовательных приближений, найдем второе приближение решения нелинейных дифференциальных уравнений (VI.13) движения гироскопа, определяя его в виде [c.133]

ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ [c.242]

Найдем приближенное решение нелинейного дифференциального уравнения (4-32). Заметим, что e q = (ед + e)/i . С другой стороны, r = + 0(h /a ), если q(R) меняется мало. Тогда из (4.19), (4.20), (4.32), пренебрегая величинами порядка получим [c.280]

В общем случае уравнение движения механизма не решается точно в виде конечной функции. Обычно применяют приближенные либо численные методы решения нелинейных дифференциальных уравнений, а уравнениям движения механизма придают вид, наиболее удобный для исследования в данных конкретных условиях характеристик нагружения. [c.284]

Нелинейные проблемы механики возникли, конечно, одновременно с оформлением ее теоретических основ. Но первые работы об обосновании приближенных методов, которыми приходится пользоваться при решении нелинейных проблем механики, т. е. задач, сводящихся к решению нелинейных дифференциальных уравнений, относятся к концу прошлого века. [c.294]

Решение нелинейных дифференциальных уравнений (XIV.12) ищем, пользуясь методом последовательных приближений. [c.401]

Дифференциальное уравнение (1.2), в котором искомая функция а = а(/) входит под знаком синуса, является нелинейным. Его решение не удается отыскать так просто, как решение линейного уравнения. Объясняется это тем, что до настоящего времени нет строгих математических методов точного решения нелинейных дифференциальных уравнений, хотя существует большое число методов отыскания их приближенных решений. [c.23]

Точное аналитическое решение нелинейных задач теплопроводности обычно возможно лишь при определенных сочетаниях зависимостей теплофизических характеристик материала тела от температуры [7, 21]. Оно получается путем подстановок или функциональных преобразований уравнений (см. 2.1), и его целесообразно использовать как контрольное для оценки погрешности, которая получается при том или ином способе линеаризации. Для приближенного аналитического решения нелинейных дифференциальных уравнений разработаны методы последовательных приближений (простой итерации или усреднения функциональных поправок), возмущений (малого параметра), различные асимптотические методы [10]. [c.44]

От условий (8) для постоянных коэффициентов условия (27) отличаются по форме наличием членов, содержащих производные от Ац-, Вц-, Сц-. Решения нелинейных дифференциальных уравнений (27) относительно каких-либо 2п — 1 функций могут быть получены лишь приближенно. Поэтому в линейных системах с переменными коэффициентами абсолютная инвариантность, вообще говоря, достигнута быть не может. [c.18]

Точное или приближенное (в том числе численное) решение нелинейных дифференциальных уравнений значительно упрощается, если преобразовать его в обыкновенное нелинейное дифференциальное уравнение. Эффективность некоторых таких преобразований была показана при рассмотрении вопроса о линеаризации нелинейного уравнения. Остановимся теперь на этом более подробно. [c.446]

В настоящее время киевскими кибернетиками во главе с В. М. Глушковым уже сделан по крайней мере первый шаг за этот барьер. Ими разработан алгоритмический язык аналитик , предназначенный для описания вычислительных процессов с использованием аналитических преобразований. Этот язык, реализованный в ЦВМ Мир-2 , позволяет, например, решать в общем виде системы линейных уравнений, раскрывать, также в общем виде, определители до 20 порядка, производить разложение функций в ряд Тейлора, отыскивать приближенные аналитические решения нелинейных дифференциальных уравнений в виде ограниченного числа членов разложения искомого решения в ряд Тейлора. [c.254]

В общем случае точное решение нелинейного дифференциального уравнения не может быть получено, поэтому здесь могут быть применены только приближенные методы. В любом случае нелинейные колебания можно описать соответствующим образом подобранными [c.147]

ТО решение задачи сведется к решению нелинейного дифференциального уравнения, из которого следует, что прогиб стержня при любом значении сжимающей силы имеет конечное значение (рис. 15.20, а, 6). Сравнение решений точного и приближенного (а) уравнений показывает, что при значениях сжимающей силы, меньшей 0,7...0,8, указанные решения практически совпадают и потому для таких случаев вполне оправданным является применение уравнения (а). [c.423]

На рис. 2 показаны различные решения для свободных продольных колебаний ротора насоса ЦЭН-148, описываемые уравнением (1). В качестве эталонных приводятся решения этого уравнения, полученные на электронной модели, специально предназначенной для решения нелинейных дифференциальных уравнений и использующей Р(Х) в приближении (2). Несимметричность аппроксимируемой характеристики Р(Х) (3) отражается в решении [c.61]

Хотя программа исследований в классической гидромеханике устанавливается без труда, следовать этой программе — задача чрезвычайно трудная из-за аналитической сложности системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка (7-1.1) и (7-1.2). На практике точные или приближенные решения этой системы можно получить лишь в случае, когда либо граничные условия имеют чрезвычайно простой вид, либо проведены некоторые предварительные упрощения. Фактически в соответствии с типом производимых упрощений задачи гидромеханики можно разделить на ряд категорий. Отнесение какой-либо частной проблемы к одной из этих категорий основывается, по существу, на анализе размерностей. [c.253]

В предыдущих главах было показано, что уравнения Лагранжа обычно представляют собой систему нелинейных дифференциальных уравнений. Если же ограничиться исследованием движений, происходящих вблизи положения равновесия, то уравнения Лагранжа можно упростить — они заменяются в этом случае приближенными линейными дифференциальными уравнениями. Решения таких уравнений хорошо изучены, их можно записать в замкнутой форме с помощью элементарных функций, и это позволяет детально исследовать данный класс движений. [c.207]

Решение этого нелинейного дифференциального уравнения колебаний маятника представляет известные трудности. Поэтому решим задачу приближенно, считая колебания маятника малыми. Разложив sin ср в ряд [c.188]

Если на границе тела заданы напряжения, то определение напряжений во всех точках тела связано с интегрированием гиперболической системы двух нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных (IX.11) при известных граничных условиях. Обычно эти уравнения решаются приближенными методами построения полей линий скольжения. Иногда удается построить решение краевой задачи, основываясь только на свойствах линий скольжения. [c.116]

Решение задач теории пластичности связано с решением системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных (10.24). . . (10.28), что представляет собой чрезвычайно сложную задачу, которая в аналитическом виде решается, как правило, в исключительных случаях. Поэтому решение задачи теории пластичности чаще всего строится с помощью приближенных методов. Одним из них является метод последовательных приближений, предложенный А. А. Ильюшиным и называемый в теории пластичности методом упругих решений. Суть его заключается в рассмотрении последовательности линейных задач теории упругости, решения которых с увеличением порядкового номера сходятся к решению задачи теории пластичности. [c.310]

Конструкции ИС определяются их технологией, а их расчет ввиду нелинейности имеет специфику, выражающуюся в необходимости применения нелинейных моделей и компонентов, применяющихся главным образом при расчете статического режима. Здесь решается система нелинейных алгебраических уравнений с применением методов итерации, т. е. последовательных приближений, что лежит в основе численного метода решения этих уравнений. При расчете переходных процессов решаются нелинейные дифференциальные уравнения. [c.132]

Если продолжить решение задачи о движении рассматриваемого механизма, то можно убедиться, что мы получим нелинейное дифференциальное уравнение, которое возможно решить только приближенным численным или графическим методом. На рассмотрении этого вопроса мы останавливаться не будем. [c.319]

Уравнения (Х.57) являются нелинейными дифференциальными уравнениями второго порядка, и аналитическое решение их в конечном виде не представляется возможным. Поэтому целесообразно для решения их использовать методы численного интегрирования, дающие приближенные, но вполне X приемлемые для практики результаты. [c.188]

Расхождение в результатах объясняется различием критериев устойчивости решений стохастических дифференциальных уравнений и выбором методики исследования. Отметим, что данная методика дает возможность исследовать приближенными методами движение систем в переходных режимах как при стационарных, так и нестационарных возмущениях, а в сочетании с методом статистической линеаризации перенести изложенные выше результаты на случай существенно нелинейных параметрических систем. В работе [54] исследование подобных систем приведено с использованием асимптотического метода и нестационарных уравнений ФПК. Из у.равнений (6.58), (6.59) следует, что наличие флюктуаций при линейных членах f н f приводит к увеличению дисперсии движения системы. Из рис. 70 видно, что наличие флюктуаций в нелинейных членах также приводит к изменению дисперсии системы по сравнению с системой с постоянными параметрами. Однако, как нетрудно показать из анализа выражения (6.54), увеличение дисперсии флюктуаций в нелинейных членах приводит к уменьшению дисперсии. В работе [27 ] рассмотрена проблема снижения резонансных амплитуд за счет введения флюктуаций при линейном члене /. При этом введение флюктуаций предполагалось кратковременным. Выражение (6.54) показывает новые возможности при решении подобных проблем в сочетании с принципом управления по возмущению (компенсация возмущений). [c.249]

Замкнутое аналитическое решение многомерной существенно нелинейной динамической задачи [систем нелинейных дифференциальных уравнений (8.20), (8.21), (8.37), (8.47)] получить в настоящее время нельзя. Можно только приближенными методами оценить динамическую устойчивость [8, 10, 54], дополняя их исследованиями на основании методов численного моделирования на ЭЦВМ. Численное моделирование на ЭЦВМ таких сложных динамических процессов удобно выполнять в детерминированной постановке с последующей статистической обработкой результатов. [c.351]

В работе [5] изложен аналитический метод определения критических скоростей ротора турбомашины с учетом упругой нелинейности совмещенной опоры. Частоты свободных колебаний ротора, выполненного по двухконсольной схеме (см. рис. 1), определены в результате решения системы нелинейных дифференциальных уравнений движения асимптотическим методом [6] в первом приближении и представлены в виде [c.132]

Теоретически определение интенсивности теплоотдачи, а следовательно и коэс х )ициента а, требует знания (см. формулу 4-10) градиента температуры, который устанавливается в среде, омывающей стенку, в месте их непосредственного соприкосновения. В свою очередь знание этого градиента обусловлено решением задачи о всем температурном поле в потоке. Между тем даже в простейшем варианте изотермической теплоотдачи , когда гидродинамическая сторона задачи отделяется от тепловой, точные теоретические решения, требующие интегрирования систем нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, доводятся до конца лишь в немногих случаях. По этой причине исключительно большое практическое применение получили приближенные решения. Прежде всего здесь имеются в виду те, которые основываются на теории пограничного слоя. Напомним, что при турбулентном переносе тепла точные теоретические решения вообще исключаются, поскольку до настоящего времени неизбежен полуэмпирический подход к построению математических основ такого рода переноса. [c.103]

Применение точных методов, связанных с интегрированием уравнения Эйлера, ограничивается следующими соображениями. 1) Интегрирование в замкнутом виде нелинейного дифференциального уравнения, которым в общем случае является дифференциальное уравнение Эйлера, часто представляет большие сложности. Кроме того, определение постоянных интегрирования из граничных условий также представляет трудности, так как постоянные интегрирования часто входят в решение нелинейным образом. 2) В тех случаях, когда по условиям работы механизм должен удовлетворять граничным условиям, превышающим число постоянных интегрирования уравнения Эйлера, применение точных методов невозможно. В этих случаях приходится применять приближенные методы решения поставленной задачи оптимизации. [c.20]

Для гидравлических следящих приводов характерны значительные массы подвижных частей и существенная упругость кинематических звеньев, определяемая сжимаемостью рабочей масляной среды. Поэтому движение этих приводов описывается дифференциальными уравнениями третьего и выше порядков. Точному математическому решению поддается лишь небольшое количество нелинейных задач теории автоматического регулирования [3], причем для нелинейных дифференциальных уравнений выше второго порядка, даже если решение и получено, оно обычно оказывается слишком сложным для применения в инженерных расчетах. Поэтому целесообразными для исследования устойчивости гидравлических следящих приводов представляются приближенные методы и, в частности, метод гармонической линеаризации нелинейностей, предложенный в известных работах Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова [65] и развитый в [c.107]

Полученное уравнение — нелинейное, с несимметричной зависимостью q(p, h) относительно начала координат, которая учитывается третьим и четвертым членами в правой части уравнения, в результате чего справедливо неравенство q p, h) ф —q P), (—/г)]. Несимметричность характеристики управляющего золотника нарушает симметрию автоколебаний, что подтверждается осциллограммами перемещений привода при автоколебаниях (см. рис. 3.11). Поэтому решение системы нелинейных дифференциальных уравнений (3.116) в первом приближении будем искать [86] в форме [c.179]

В обш,ем случае стержни упругих систем испытывают растяжение-сжатие, сдвиг, кручение и изгиб. Точные дифференциальные уравнения этих видов сопротивлений являются нелинейными и построить аналитические решения этих уравнений весьма затруднительно. Для преодоления математических трудностей нелинейные дифференциальные уравнения линеаризуют и используют их решения в расчетной практике. Погрешность приближенных решений при fJh> 0 не превышает 3% [312], что вполне удовлетворяет требованиям к точности инженерных расчетов. В этой связи представим известные решения приближенных дифференциальных уравнений всех видов сопротивлений. [c.41]

Системы автоматического регулирования обычно описываются нелинейными дифференциальными уравнениями, в связи с чем возникает вопрос в какой мере результат исследования устойчивости линеаризованной системы, т. е. по линеаризованным уравнениям, или, как иначе говорят, по уравнениям первого приближения, будет справедлив для исходной нелинейной системы (при не слишком больших отклонениях) Этот вопрос был полностью решен знаменитым русским математиком А.М. Ляпуновым в 90-х годах прошлого века, когда он сформулировал и доказал две теоремы, которые здесь приведем без доказательства. [c.212]

Из этого рассуждения становится очевидным, что для определения зависимости прогибов от величины сжимающей силы Р необходимо вместо граничного условия (/) = О использовать уточненное граничное условие v (l—Ug) = 0. Для решения этой задачи можно воспользоваться приближенным уравнением (13.4) при условии, если величина силы Р настолько незначительно превосходит критическое значение, что прогибы стержня остаются малыми. Однако, точными исследованиями установлено, что если сила превосходит критическое значение всего на 1 2%, прогибы становятся достаточно большими, и необходимо пользоваться точным нелинейным дифференциальным уравнением продольного изгиба [c.265]

В этом пункте описан асимптотический метод нелинейной механики в том виде, в котором он разработан в основном в трудах Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова [11, 12, 32]. Этот метод представляет собой одно из наиболее мощных средств современной прикладной математики. Он позволяет получать приближенные аналитические решения весьма сложных нелинейных дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр е. Эффективнее всего применение асимптотического метода для построения приближенных решений нелинейных уравнений, которые при 8=0 вырождаются в линейные, описывающие гармонический колебательный процесс. [c.65]

Сформулированные выше утверждения относились к случаю, когда линейное приближение приводит к дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами. Это типично для задач об устойчивости состояний равновесия или стационарного движения. В общем случае матрица 6 уравнений первого приближения зависит от 7. При этом нельзя утверждать, что из асимптотической устойчивости решений уравнений первого приближения следует устойчивость решений нелинейной системы. Ляпунов выделил класс так называемых правильных систем, для которых справедлив аналог теоремы об устойчивости по первому приближению. Среди этих систем - системы с переменными коэффициентами, которые являются ограниченными периодическими функциями времени с одинаковым вещественным периодом. [c.460]

Исследование проблемы о соответствии между свойствами точных и приближенных решений нелинейных дифференциальных уравнений на бесконечно большом интервале времени было произведено также в работе Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова, Приложение методов нелинейной механики к теории стационарных колебаний, Изд-во АН УССР, 1934. [c.296]

П а в л о в В. В., Нахождение приближенных решений нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих переходные процессы в системах автоматического регулирования, Автоматика , Изд-во АН УССР, Л 6, 1961. [c.226]

В основе спектрального метода лежит стандартный математический аппарат, позволяющий приближенно решать дифференциальные уравнения в частных производных. Решение ищется в виде разложения по ряду базисных функций от пространственных переменных с конечным числом членов ряда п. Эффективный способ применения спектральных методов к решению нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих гидродинамические процессы, предложен Орсегом 30]. Преимуществом спектрального метода является возможность точного удовлетворения граничных условий при правильном подборе базисных функций, впрочем, только для областей с простой геометрией. Кроме того, этот метод в определенных условиях позволяет получить более точное решение по сравнению с методом, основанным на интегрировании по контрольному объему. Однако применение спектрального метода к решению системы уравнений Навье—Стокса встречает значительные трудности. Число базисных функций п вычисляется как отношение наибольшего характерного геометрического масштаба поля течения к наименьшему. Например, в случае течения в ограниченной области пространства наибольший масштаб имеет порядок размеров этой области, а наименьший определяется толщиной вязкого слоя вблизи стенки. Для сложных пространственных задач и течения с большими числами Рейнольдса указанное отношение может быть достаточно велико. Очевидно, ошибка численного решения уменьшается с ростом числа базисных функций п. Приемлемая точность решения часто не может быть достигнута из-за непомерно возрастающего с ростом п объема вычислений. Кроме того, при применении спектрального метода ошибка решения носит глобальный характер (т.е. появление погрешности решения в какой-либо точке приводит к распространению ошибки на всю область независимых переменных). С увеличением степени нелинейности уравнений эффективность спектральных методов снижается. Поэтому спектральные методы используются в основном для исследования однородной или изотропной турбулентности или для расчета течения в областях простой формы. [c.197]

Получив решения (9.16), замечаем, что уравнение (9.11), являющееся развернутой формой уравнения (9.14), содержит только одну неизвестную функцию (рм(/), которую и определим из этого уравнения. Как видно, оно явля( тся нелинейным дифференциальным уравнением с переменными коэффициентами. Используем для его решения распространенный в нелинейной механике метод последовательных приближений. Применительно к динамическим задачам теории механизмов и машин этот метод был впервые разработан и эффективно применен М. 3, Коловским. [c.261]

Снова обращаясь к точным нелинейным дифференциальным уравнениям движения гироскопа в кар-дановом подвесе, находим решение этих уравнений во втором приближении. Для этого полагаем, что Р = Ро + Р> подставляем новое значение р в нелинейные дифференциальные уравнения (VI. 13) и пренебрегаем утроенными про изведениями малых величин а, Р и их производных и членами, содержащими более высокие степени этих величин [c.133]

В работах [Л. 104, 430] исследован процесс радиационного теплообмена ламинарного потока с заданным профилем скоростей, текущего в канале. При этом так же, как и в исследованиях внешней задачи обтекания поверхности, пренебрегается аксиальным переносом тепла за счет теплоироводности и излучения. Далее автор, исходя из результатов исследования чисто конвективного теплообмена на стабилизированном участке, делает допущение о постоянстве безразмерного температурного профиля в каждом сечении потока, что позволяет свести задачу к одномерной. При описании радиационного теплообмена автором используются интегральные уравнения теплообмена излучением применительно к плоскому слою. Представляя искомую функцию безразмерной температуры в виде одномерного ряда Тэйлора по оптической толщине слоя и подставляя ее в исходное интегральное уравнение, автор приходит к нелинейному дифференциальному уравнению, решаемому затем численно. При этом производится ограничение первыми тремя членами ряда, что дает дифференциальное уравнение второго порядка. Полученные результаты численного решения были сопоставлены автором [Л. 104] с решениями методом диффузионного приближения и приближения оптически тонкого слоя. [c.400]

Тепловые процессы, протекающие в теплоэнергетических установках, в общем случае описываются сложными системами нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных (уравнения энергии, сплощности, движения и др.), а также нелинейными алгебраическими уравнениями. Современный математический аппарат не всегда позволяет решить такие системы аналитически. Применение численных методов дает возможность получить приближенное решение с достаточной для инженерной практики точностью. Для получения такого решения необходимо предварительно провести довольно значительную исследовательскую работу по разработке достаточно полных математических моделей, пригодных для реализации на вычислительных машинах. Эта работа, как правило, предполагает [c.7]

Как было отмечено выше, решение физически нелинейных задач, к которым относятся задачи теории пластичности, сводится к нелинейным дифференциальным уравнениям. Поскольку аналитическое решение таких уравнений удается получить лишь в простейших случаях, широкое распространение получили различные приближенные методы, основанные на линеаризавд1и уравнений теории пластичности. Ниже рассматриваются три таких метода. [c.511]

В результате применения метода двухмасштабных разложений к системе гидродинамических и термодинамических уравнений, описывающих поведение самогравитирующих газопылевых сгустков, построена математическая модель процессов эволюции сгустков, которая сводится к решению граничной задачи для уравнений Лэна-Эмдена, задачи Коши для нелинейного дифференциального уравнения 1-го порядка относительно энтропии, учитывающего источники энергии за счет распада радиоактивных примесей, и уравнений переноса излучения в диффузионном приближении. Численные расчеты, проведенные для сгустков в широком диапазоне их масс и значений характерной плотности, позволили выбрать для каждого сгустка вероятные начальные распределения плотности, температуры и давления. Проведено численное моделирование и исследованы основные этапы процесса эволюции газового сгустка (с отношением удельных теплоемкостей 7 = 1.57), имеющего массу, эквивалентную массе Земли, характерную плотность 0.4 г/см и теплоемкость при постоянном давлении 1.5-10 эрг (г-К), при наличии в его веществе примесей изотопов корот-кодвижущего А1 с массовой концентрацией сд 10 . Проведена оценка времени эволюции сгустка до начала конденсации. [c.449]

Из условия стационарности полной потенциальной энергии (65 — 0) можно найти равновесные состояния изогнутого стержня и, исследуя знак второй вариации установить, какие из равновесных состояний устойчивы. Пока на значения перемещений и углов поворота не наложено никаких ограничений, приведенные зависимости, описывающие изгиб стержней с нерастяжимой осью, являются точными (в рамках теории гибких упругих стержней). Для ряда частных случаев нелинейное дифференциальное уравнение, к которому сводится задача изгиба стержня при конечных перемещениях, допускает аналитическое решение. В общем случае это нелинейное уравнение можно с любой степенью точности решить численно. Сейчас мы с помощью метода Рэлея—Ритца найдем приближенное аналитическое решение, позволяющее наглядно описать закритическое поведение любого произвольно нагруженного стержня при конечных, но не слишком больших прогибах. [c.208]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...