Дифференциальное исчисление

Дальнейшие термодинамические результаты получаются при помощи стандартных вычислений, включающих лишь доказательство обыкновенной цепочки правил дифференциального исчисления, применимых также к вычислению мгновенных производных и дифференциалов Фреше, фигурирующих в теории. В частности, можно по желанию сделать другой выбор независимых и зависимых переменных, но в каждом случае принцип детерминизма требует, чтобы предыстория деформирования обязательно рассматривалась в качестве независимой переменной. [c.163]

Найдем но правилам дифференциального исчисления то значение р, при котором Ас имеет максимум, а следовательно, подкоренное выражение знаменателя в (20.4) имеет минимум. [c.59]

Для того чтобы использовать обычный аппарат дифференциального исчисления, рассмотрим однопараметрическое семейство кривых у х), для которых ij xi) — iji и у Хг) = у2 (рис.285), а их уравнение имеет вид [c.402]

Е. М. Никитин, 56). Если задано уравнение траектории, то радиус ее кривизны в любой точке можно определить при помощи дифференциального исчисления. Используя уравнения движения точки в координатной форме, можно определить радиус [c.225]

Для определения наибольшей высоты h над уровнем начального положения надо найти максимум величины у, рассматриваемой как функция координаты х. Для этого, по правилам дифференциального исчисления, необходимо вычислить первую производную оту по коор- [c.227]

Тем более он не мог дать формулы скорости в данное мгновение, которая стала возможной лишь после открытия дифференциального исчисления. Обе эти формулы были введены в науку Эйлером в сочинении Механика, т. е. наука о движении, изложенная аналитическим методом , изданном в Петербурге в 1736 г. [c.118]

Чтобы определить координаты наивысшего положения, мы можем применить известные из дифференциального исчисления правила нахождения максимума функ- [c.138]

Колебательные движения механических систем удобно описывать уравнениями Лагранжа в обобщенных координатах. При составлении уравнений мы будем отсчитывать обобщенные координаты всегда от положения устойчивого равновесия, относительно которого и происходят колебания механических систем. В большинстве случаев эти уравнения нелинейны и их интегрирование связано с большими трудностями. Однако при решении многих технических задач оказывается возможным в этих уравнениях отбрасывать квадраты и более высокие степени координат и скоростей. Такая операция называется линеаризацией уравнений. Линеаризованные уравнения не могут, конечно, в точности отобразить движения системы и дают несколько искаженную картину явления. Искажения тем менее существенны, чем меньше отброшенные члены уравнений в сравнении с оставшимися. Если значения координат и скоростей во все время движения остаются очень малыми, то их квадратами и высшими степенями вполне можно пренебречь, подобно тому, как в дифференциальном исчислении пренебрегают бесконечно малыми высших порядков. Таким образом, мы пришли к заключению, что колебания, описываемые линеаризованными уравнениями при сделанном выборе начала отсчета, должны быть только малыми колебаниями около положения равновесия. [c.435]

Исаак Ньютон (1642—1727) по праву считается основателем классической механики. Он Создал стройную систему механики, четко сформулировал ее аксиомы, ввел понятие массы и решил целый ряд проблем механики. Замечательно, что большинство открытий Ньютон сделал в течение двух лет, когда он был еще совсем юным. Об этих годах своей жизни Ньютон пишет, что в начале 1665 г. он открыл свой бином, в мае — метод касательных, в ноябре — прямой метод флюксий (дифференциальное исчисление), в январе 1666 г. — теорию цветов, в мае приступил к обратному методу флюксий (интегральное исчисление), в августе открыл закон всемирного тяготения. [c.11]

Переходим к рассмотрению операций дифференциального исчисления в криволинейных системах координат. [c.93]

Выражение, стоящее с правой стороны, напоминает обычную производную, так как, подобно последней, это выражение представляет собой предел отношения приращения (векторного) вектор-функции (вектор-радиуса точки) к приращению аргумента (времени), когда это приращение стремится к нулю. По аналогии с дифференциальным исчислением будем этот предел называть векторной производной вектор-функции по ее аргументу и сохраним для векторной производной обычной обозначение. Согласно (13) имеем [c.164]

Как в дифференциальном исчислении дифференциал функции представляет собой линейную по отношению к приращению аргумента Да часть приращения функции, так и в вариационном исчислении вариация функционала 62 представляет собой линейную по отношению к вариации функции бу часть функционала. [c.190]

Разработаны многочисленные методы рещения задачи оптимизации при различных видах целевой функции, уравнений связи и типах ограничений, которые условно можно подразделить на две группы а) классические (метод дифференциального исчисления, метод множителей Лагранжа, вариационное исчисление) б) метод математического программирования (методы линейного и нелинейного программирования, метод динамического программирования, принцип максимума Понтрягина и др.). [c.555]

Общие правила вычисления погрешностей для обоих случаев могут быть легко выведены с помощью дифференциального исчисления. Вначале мы ограничимся простыми частными задачами. [c.60]

После Ньютона трудами Эйлера (1736), Даламбера (1743) и Лагранжа (1788) проблемы механики полностью сводятся к математическим задачам, решение которых облегчается созданием дифференциального исчисления. [c.89]

Обозначим через s длину дуги траектории, отсчитываемой (с соответствующим знаком) от неподвижной точки па траектории. В дифференциальном исчислении доказывается, что в случае прямоугольных осей имеет место равенство [c.43]

Дифференциальные уравнения движения применяются при решении двух взаимно обратных задач, которые указываются ниже. Прямая задача относится к дифференциальному исчислению обратная задача принадлежит к области интегрального исчисления. [c.136]

Чтобы решить эту задачу, мы представим ее в форме, позволяющей использовать обычный аппарат дифференциального исчисления. С этой целью рассмотрим какое-либо однопараметрическое семейство кривых г/(х). Каждой кривой этого семейства будет соответствовать определенное значение параметра а, причем некоторым значениям этого параметра, например значению а = О, будут соответствовать кривые, реализующие экстремум рассматриваемого интеграла. Тогда у будет функцией х и а. Пусть, например, у(х,а) имеет вид [c.44]

Бернулли — с момента появления дифференциального исчисления. Эйлер нашел дифференциальное уравнение, дававшее в явном виде решение для широкого класса таких задач. Хотя Эйлер и не сформулировал четко принцип наименьшего действия, что было впервые сделано Лагран-жем, его применения этого принципа к механическим задачам, по сути дела, эквивалентны лагранжевой явной формулировке. [c.390]

Следует при этом только отметить, что в дифференциальном исчислении во всех тех случаях, когда несколько величин изменяются одновременно, допускают, что все они в течение одного и того же времени увеличиваются на величину своего дифференциала, и если согласно природе вопроса некоторые из них должны убывать в то время, как другие возрастают, то дифференциалам убывающих величин приписывают знак минус. [c.52]

Если допустить, что все три вращения происходят одновременно ), то полные изменения координат х, у, Z, х, у, z, . . . будут согласно принципам дифференциального исчисления равны суммам частных [c.77]

II хотя вообще условные уравнения всегда замещают собою уравнения, выпадающие вследствие исключения неопределенных величин, однако введенное здесь условие S dm = О, т. е. условие постоянства dm, не мон<ет нам дать особого уравнения для решения задачи, так как согласно духу дифференциального исчисления мы всегда можем какой-либо элемент считать постоянным ведь, собственно говоря, в данном случае объектом исчисления являются взаимные отношения между дифференциалами, а не сами по себе отдельные дифференциалы. Таким образом эти три уравнения сведутся к двум, и, как в задачах на [c.131]

Что касается условия нерастяжимости нити, которое выражается неизменностью каждого элемента кривой ds, то его нельзя ввести в уравнение взамен неопределенной величины X, как это можно сделать в том случае, когда нить образует собою многоугольник, — так как согласно природе дифференциального исчисления абсолютное значение элементов кривой и вообще всех бесконечно малых элементов остается неопределенным однако по тем же основаниям нет нужды в том, чтобы число уравнений было равно числу переменных для определения линии,будь то линия простой, или двойной кривизны, достаточно иметь уравнений на единицу меньше, чем переменных. Таким образом решение, найденное нами с помощью нашего метода, является с точки зрения дифференциальных уравнений полным и требует лишь последующего интегрирования, которое уже зависит от выражений для сил X, У, Z. [c.188]

Конечно, три неопределенные величины X, (х, v должны быть заменены тремя условными уравнениями, выражающими тот факт, что дифференциальные функции а, р, Y следует рассматривать как заданные. Но так как в силу природы дифференциального исчисления абсолютное значение дифференциалов остается неопределенным и задано может быть только их отношение, то эти три [c.225]

Обращаю теперь внимание на то обстоятельство, что, хотя два элемента поверхности ds и d(s могут быть не равными между собою, тем не менее — ввиду того, что оба интеграла, в состав которых входят эти элементы, относятся к одной и той же поверхности, — нам ничто не мешает применить в обоих интегралах один и тот же элемент, ибо в силу природы дифференциального исчисления абсолютное значение элементов является произвольным и совершенно не влияет на значение интеграла. Таким образом мы можем интеграл S X os р Ъу da заменить интегралом [c.271]

Упругость S зависит от плотности и температуры каждой частицы жидкости, и ее следует рассматривать как известную функцию обеих этих величин но плотность каждой отдельной частицы неизвестна, так как она зависит от отношения массы dm частицы к ее объему dx dy dz и дифференциальное исчисление не в состоянии определить этого отношения, зависящего от числа элементарных частиц, [c.282]

Итак, для подобной оценки сил достаточно рассмотреть движение, вызванное в течение любого конечного или бесконечно малого времени, если только мы считаем силу постоянной в течение этого времени. Каковы бы ни были движение тела и закон его ускорения, но согласно природе дифференциального исчисления мы можем признать постоянным действие каждой ускоряющей силы в течение бесконечно малого времени [c.294]

В зависимости от вида ие.иевой функции, а также от вида ограничений суп1сствуют pa i личные методы оптимизации (методы дифференциального исчислении, методы множителей Лагранжа, методы пжейного и нелиней ного программирования, методы динамического программирования и т. д.). Пример исно, 1ь )ова ния метода множителей Лагранжа для некого рых задач оптимизации конструкций дан в кни ге (23], [c.53]

Чтобы определить наибольшую высоту подъема точки к, надо найти по прйвилам дифференциального исчисления экстремальные значения у. Для этого вычислим производную от у по координате х и [c.225]

Критерием равновесия является, таким образом, условный максимум энтропии для равновесия изолированной системы необходимо и достаточно, чтобы при всех возможных (не нарушающих постоянства энергии и внешних свойств) изменениях ее состояния вариация энтропии системы не была положительной. Под вариацией в этой формулировке -понимается, вообще говоря, полная вариация, V5, которая ооглаоно правилам дифференциального исчисления связана с вариациями различных -порядков малости бесконечным рядом VS = 65 + + 625/2 + 6 5/6-1-.... Это уточнение существенно для анализа устойчивости равновесного состояния и будет использовано в дальнейшем. Пока же можно ограничиться выражением критериев равновесия через вариации первого порядка малости. Тогда для изолированной системы [c.103]

Современная механика основывается на ряде закономерностей, установленных в форме, независимой от выбора координатных систем, применяемых при получении п исследовании упомянутых закономерностей. Такая форма называется инвариантной. Математическим аппаратом, который п iзвoляeт находить основные соотношения механики в инвариантной форме, является тензорное, или абсолютное дифференциальное исчисление. Поэтому мы начнем изложение механики с рассмотрения основ векто]эной и тензорной алгебры. Кроме того, будут приведены также некоторые сведения из векторного анализа. Основы тензорного анализа излагаются нами ниже одновременно с соответствующими положениями теоретической механики и не включены в настоящий раздел. [c.24]

Нам нужно найти значение 0imax- Это может быть сделано графически по графику функции (32) или с использованием дифференциального исчисления для определения максимума [c.188]

Истинной называется скорость в данный момент времени. В общем случае неравномерного движения она может быть определена с помощью дифференциального исчисления. Быстроту переменного движения обычно характеризуют средней скоростью, которая вычисляется за определенный промежуток времени. Например, путь, равный 25 м, точка проходит за 5 сек, и пути, проходимые в 1, 2, 3, 4 и 5-ю секунды, равны соответственно 1, 3, 5, 7 и 9 ж тогда средняя скорость за 5 сек, очевидно, будет равна 5 м сек, а средняя скорость за первые три секунды составит 3 м1сек. [c.106]

Из дифференциального исчисления iisse THo, что кривизна в точке с координатами г, у (рис. 147) выражается формулой [c.235]

Согласно вышеизложенному, в точках О п I величина М = 0 и, следовательно, в них кривая, выражающая зависимость /VI от отношения pilpi, пересекается с осью абсцисс. Это означает, что между двумя рассматриваемыми значениями отношения Pilpi кривая достигает максимального значения. Из теории дифференциального исчисления известно, что это максимальное значение для функции Л1 можно найти, если ее первую производную по переменной величине Р = рг/р1 приравнять нулю. Так как в рассматриваемом случае переменными в подрадикальном выражении являются лишь величины в квадратных скобках, условие для определения Мтах будет определяться уравнением [c.87]

В эти годы, особенно во время пребывания (с 1664 по 1667 г.) из-за эпидемии чумы в родной деревушке Вульсторп, Ньютон подготавливает свои великие открытия разложение белого цвета на семь составляющих и объяснение цветов метод флюксий — дифференциальное исчисление (одновременно и независимо оно было разработано Лейбницем) закон всемирного тяготения и приведение в законченную систему механики. [c.84]

Очевидно, что это доказательство можно без изменения распространить также и на случай неголономных связей. Итак, мы действительно имеем дело с новым общим началом механики , как гласит заглавие статьи Гаусса. Это начало механики равноценно принципу Да-ламбера и, подобно последнему, представляет собой дифференциальный принцип, потому что оно трактует о поведении системы только в настоящий (но не в будущий или прошедший) момент времени. В соответствии с этим, здесь нет необходимости применять правила вариационного исчисления, а можно обойтись правилами обычного дифференциального исчисления для определения максимумов и минимумов. [c.281]

Мы сохранили обычные обозначения дифференциального исчисления, так как они соответствуют системе бесконечно малых величин, принятой в настоящем трактате. Если дух этой системы хорошо усвоен и если в точности ее результатов убедилио, с помощью геометрического метода первых и последних отношений, или с помощью аналитического метода производных функций, то бесконечно малые величины можно применять в качестве надежного и удобного средства для сокращения и упрощения доказательств. Таким именно образом доказательства древних сокращаются с помощью метода неделимых. [c.10]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...