Интегрирование уравнений равновесия нелинейных

Основная сложность при решении уравнений заключается в том, что задачи статики стержней относятся к двухточечным краевым задачам, когда решение должно удовлетворять определенным условиям в начале и в конце интервала интегрирования, в отличие от одноточечных краевых задач — задач Коши, когда все условия, которым должно удовлетворять решение, известны в начале интервала интегрирования. Поэтому хорошо разработанные методы решения систем дифференциальных линейных (и нелинейных) уравнений для одноточечных задач использовать для решения двухточечных задач в общем случае нельзя. В настоящее время имеется ряд методов численного решения линейных двухточечных задач (имея в виду стержни), которые получили распространение в расчетной практике метод начальных параметров, метод прогонки [2], метод конечных элементов [15]. Точное аналитическое решение линейных уравнений равновесия стержня, например (1.112) — (1.115), возможно только для случая, когда элементы матрицы Ах— постоянные числа [этот случай будет рассмотрен в 5.2, где изложены теория и методы расчета винтовых стержней (цилиндрических пружин)]. Для уравнений с переменными коэффициентами возможны только численные или приближенные методы решения. [c.61]

Задача (7.30) называется линейной задачей о потере устойчивости. Связь критических нагрузок, полученных из решения задач (7.30) и (7.3), схематично показана на рис. 7.2. Как правило, критические нагрузки, определенные при решении нелинейной задачи о потере устойчивости, меньше соответствующих нагрузок, полученных при решении линейной задачи. Определение критических нагрузок из решения задачи (7.30) гораздо проще, чем из задачи (7.29), так как в первом случае не требуется пошаговой процедуры интегрирования нелинейных уравнений равновесия. [c.223]

Колебательные движения механических систем удобно описывать уравнениями Лагранжа в обобщенных координатах. При составлении уравнений мы будем отсчитывать обобщенные координаты всегда от положения устойчивого равновесия, относительно которого и происходят колебания механических систем. В большинстве случаев эти уравнения нелинейны и их интегрирование связано с большими трудностями. Однако при решении многих технических задач оказывается возможным в этих уравнениях отбрасывать квадраты и более высокие степени координат и скоростей. Такая операция называется линеаризацией уравнений. Линеаризованные уравнения не могут, конечно, в точности отобразить движения системы и дают несколько искаженную картину явления. Искажения тем менее существенны, чем меньше отброшенные члены уравнений в сравнении с оставшимися. Если значения координат и скоростей во все время движения остаются очень малыми, то их квадратами и высшими степенями вполне можно пренебречь, подобно тому, как в дифференциальном исчислении пренебрегают бесконечно малыми высших порядков. Таким образом, мы пришли к заключению, что колебания, описываемые линеаризованными уравнениями при сделанном выборе начала отсчета, должны быть только малыми колебаниями около положения равновесия. [c.435]

В примерах 2 и 3 устойчивость положения равновесия устанавливалась с помощью конечных уравнений, полученных путем интегрирования дифференциальных уравнений движения системы. Эти конечные уравнения движения давали нам зависимость отклонений и обобщенных скоростей от времени t и начальных данных д°, ql (г = 1, л). В более сложных (в частности, нелинейных) задачах определение этих конечных уравнений движения и их исследование весьма затруднительно. Поэтому представляют интерес критерии устойчивости положения равновесия, не требующие предварительного интегрирования дифференциальных уравнений движения системы. [c.192]

При критическом значении сжимающей силы возможно существование двух форм равновесия прямолинейной и изогнутой. Такие точки ветвления решения называют точками бифуркации решения. Какую же из двух возможных конфигураций изберет стержень при Р > Ркр На этот вопрос рассмотренный метод непосредственного интегрирования нелинейного уравнения ответа не дает. Более или менее интуитивно ясно, что при Р > стержень изогнется. При увеличении Р прогиб растет довольно быстро. [c.257]

Особенности идеально-сыпучей среды позволяют получить решения многих задач о предельном равновесии весомого клина более простым путем, чем это можно сделать на основании обш,ей теории. Решение всех этих задач, как будет показано далее, достигается в замкнутой форме или приводит к интегрированию обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений. [c.198]

Равновесие тел формы плоского клина под действием нагрузки,, равномерно распределенной по его стороне, может быть исследовано достаточно просто. Решение этих задач, связанное с построением полей напряжений и смещений, имеет замкнутую форму или приводит к интегрированию обыкновенных нелинейных уравнений. [c.94]

В книге приводится методологически последовательная постановка геометрически и физически нелинейных задач механики деформируемого твердого тела, в том числе задачи о потере устойчивости и контактных взаимодействиях тел. Уравнения формулируются относительно скоростей или приращений неизвестных величин. Приводятся слабые формы уравнений и вариационные формулировки задач. Рассматривается применение метода конечных элементов к решению квазистатических и динамических задач. Используются следующие модели материалов изотропная линейно-упругм, несжимаемая нелинейно-упругая Муни — Ривлина, упругопластическая, термоупругопластическая с учетом деформаций ползучести. Приводятся процедуры численных решений нелинейных задач, основанные на пошаговом интегрировании уравнений равновесия (движения). Рассматриваются особенности процедур численного решения задач о потере устойчивости и контакте тел. [c.2]

Решение задачи о напряженно-деформированном состоянии тонких плит (пластин) в общем случае связано с интегрированием системы нелинейных дифференциальных уравнений равновесия (16.40), в которых усилия и моменты для линейно-упругих материалов с характеристиками деформации связаны соотношениями (16.26). Де- рмации, в свою очередь, выражаются через перемещения по формулам (16.14) в декартовых осях и по формулам (16.15) в полярных оординатах. Эта задача представляет большие математические трудности, и поэтому целесообразно классифицировать задачи, с тем чтобы выделить из них те случаи, которые дают возможность применительно к разным конкретным условиям получить более простые уравнения, поддающиеся решению относительно простыми средст-<вами. [c.389]

При исследовании этой задачи по теории больших прогибов с учетом начальных несовершенств будет использоваться уравнение (6.31к) при 6 = 1// и /а =/и = 0. Вместо использования парного ему уравнения (6.31з) относительно прогиба w, что потребовало бы совместного решения двух нелинейных уравнений в частных производных, применим комбинацию метода, основанного на использовании уравнения равновесия, и энергётического метода, что обсуждалось в 6.7 при рассмотрении этих двух уравнений. Согласно этрму подходу задается выражение для прогиба IV с неизвестными коэффициентами, далее путем интегрирования уравнения (6.31к) определяется, функция ф и заканчивается решение использованием принципа возможной работы, согласно которому вычисляется энергия деформации по выражениям (4.70) и (4.71). Число нелинейных алгебраических уравнений, которые требуется решать совместно при использовании описываемого подхода, ограничено числам неизвестных коэффициентов в выражении для прогиба w и длинами волн исходных членов уравнений. , [c.495]

Для получения двзгмерных уравнений тонких оболочек часто используются пo oiбы упрощения общих нелинейных уравнений равновесия или движения путем отбрасывания в них некоторых членов ввиду их малости или приближенного интегрирования уравнений движения по одной из координат, например толщине. Однако не всегда эти способы являются корректными, так как может быть нарушено свойство энергетической согласованности модели, т. е. закона сохранения механической мощности. [c.34]

Применение упрощенной системы уравнений типа Кармана в рассмотренных на практике случаях достаточно удовлетворительно обосновано и целесообразно. Однако интегрирование даже этой системы представляет большие трудности. В настоящее время естественной предпосылкой для решения задач нелинейной теории оболочек является использование вычислительной техники, инициаторами чего у нас были А. Ю. Биркган и А. С. Вольмир (1959). Вместе с тем прогресс в этом направлении не столь велик, как можно было ожидать. В качестве примера можно указать на задачу об осесимметричных формах равновесия сферического купола, привлекающую до сих пор внимание многих видных исследователей (В. И. Феодосьев, 1963 М. С. Корнишин, 1966 И. И. Ворович и В. Ф. Зипалова, 1966). Если общее математическое обеспечение вычислительной техники в ближайшее время значительно улучшится, на что можно надеяться, то многие трудности решения нелинейных задач теории оболочек будут устранены с помощью создания универсальных программ (как это имеет место в настоящее время в линейной алгебре). Однако на исключено, что в некоторых случаях будет целесообразно разработать специфические для задач теории оболочек расчетные алгоритмы. Одна из таких процедур предложена М. С. Корнишиным и X. М. Муштари (1959). Небольшой обзор применения вычислительных методов в теории оболочек дан И. В. Свирским (1966). [c.234]

Первое уравнение описывает матрицу цлотности при термодинамическом равновесии. Линейный отклик системы оцределяется вторым уравнением р( > зависит от тех же частот, что и Ж ког- Во втором приближении стационарный отклик р<2) содержит члены с суммарной, разностной и двойной частотами, а также не зависящие от времени члены. Последние описывают начальную стадию процесса насыщения и обусловлены биениями между компонентами Ж ког и с положительными и отрицательными частотами. Подстановка р<2) в уравнение для р(3) дает фурье-комноненты следующего приближения и т. д. Отметим, что в стационарном случае дифференцирование в левых частях уравнений сводится к умножению на — 2( ПгЫг), где г—целое число, ( + а г)-компонента зависит от времени как ехр(—Шг1), а (—Шг)-компонента— как ехр(4-1(0г ). Таким образом, каждый последующий шаг соответствует очень простой алгебраической операции, связывающей фурье-компоненты данного приближения с компонентами предыдущего приближения. Прайс [27] (см. также [28]) использовал временной подход и рассматривал общий нелинейный отклик как 1результат интегрирования функции отклика на единичное ступенчатое возмущение, однако стационарный отклик на периодические силы легче определить с помощью спектрального подхода. [c.388]

Глава V относится к предельному равновесию идеально-сыпуче клина. Особенности идеально-сыпучей среды, лишенной сцеплени позволяют получить искомые решения встречающихся здесь зад более просто, чем на основании общей теории. Удается рассмотре некоторые задачи, в которых одновременно имеют место предельн и непредельные зоны. Разобраны задачи о равновесии насыпей, о сущей способности оснований, о давлении на подпорные стень Решение всех этих задач достигается в замкнутой форме или пр водит к интегрированию обыкновенных нелинейных дифференциал ных уравнений. [c.6]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...