Уравнение Максвелла длн нелинейной среды

В гл. 2 развит математический аппарат, необходимый для теоретического понимания нелинейных явлений в волоконных световодах. Начинается теоретическое описание уравнениями Максвелла далее при обсуждении мод световода и получении основного уравнения для распространения амплитуды огибающей импульса используется волновое уравнение в нелинейной среде с дисперсией. При выводе уравнения отмечаются производимые приближения. Затем обсуждаются численные методы, используемые при решении основного уравнения распространения особенно выделяется фурье-метод с разделением по физическим факторам. [c.28]

Присутствие квадратичного по электрическому полю нелинейного члена в правых частях выражений (8.19.7) и (8.19.8) приводит к появлению эффекта Керра. Чтобы исследовать влияние этого члена на процесс распространения света в волокне, можно либо воспользоваться непосредственно решениями уравнений Максвелла в среде с диэлектрической проницаемостью, определяемой выражением (8.19.7) [30], либо (как и будет сделано в дальнейшем) применить теорию связанных мод, рассмотренную в разд. 8.15 (см. также разд. 8.17), устанавливая связь нелинейной компоненты показателя преломления с нарушениями регулярности волокна. [c.625]

Отсюда следует, что в плотной среде величина нелинейной поляризации, которая должна быть подставлена в уравнения Максвелла, нелинейный источник , в (е -Ь 2)/3 раз больше индуцированного нелинейного ди- [c.118]

Первые индексы у /г и соответствуют среде / или 2, вторые — кратности частоты (например, 12 = 1 (2со), Й21 — волновой вектор преломленной в среде 2 волны с частотой со). Основание к такому выбору вида поля состоит в следующем. Уравнения Максвелла для поля с частотой 2со представляют собой неоднородную систему уравнений, причем источником поля служит нелинейная часть поляризации среды, изменяющаяся по закону [c.847]

Анализ работы лазера обычно проводится в полуклассическом приближении. Электромагнитное поле описывается уравнениями Максвелла, а поляризация среды, определяющая отрицательное нелинейное сопротивление, описывается на квантовом языке Амплитуды и фазы колебаний, генерируемых лазером, можно найти методом самосогласованного поля. Электромагнитное поле, воздействуя на активную среду, создает в ней поляризацию < (г, I). В свою очередь поляризация является источником электромагнитного поля. Необходимо отметить, что поляризация среды зависит не от мгновенного значения напряженности электромагнитного поля, а от его амплитуды. Поэтому лазер представляет собой автоколебательную систему с инерционной нелинейностью (см. 5.6). [c.360]

Чтобы подойти вплотную к аналитическому описанию как ГВГ, так и параметрических процессов, необходимо показать, каким образом можно ввести в волновое уравнение нелинейный член поляризации [например, в виде (8.41)], вызывающий генерацию волн. Поля в среде удовлетворяют уравнениям Максвелла [c.504]

Более перспективным может оказаться при исследовании самофокусировки не изложенный в данной книге метод решения последовательно усложняющихся вариантов, а метод, основанный на решении уравнения для напряженности электромагнитного поля излучения, получаемого непосредственно из системы уравнений Максвелла для нелинейной усиливающей среды. [c.213]

В силу линейности уравнений Максвелла при заданных значениях зарядов и токов нелинейность в оптике связана со свойствами отклика среды на поле. Это действительно так, пока можно пренебрегать рождением электронно-позитронных пар, т. е. нелинейностью самого вакуума. Один из вариантов традиционного подхода в нелинейной оптике состоит в том, что любая среда описывается с помощью диэлектрической проницаемости г, которая для нелинейной среды сама зависит от электромагнитного поля. Ясно, что при этом волновое уравнение оказывается с математической точки зрения сугубо нелинейным. В книге в дальнейшем будем использовать другой подход, задавая свойства среды вектором поляризации, фигурирующим в правой части волнового уравнения. Очевидно, что волновое уравнение остается линейным относительно поля и поляризации, а все нелиней-пости выносятся за рамки этого уравненпя и определяются зависимостью вектора поляризации в данной среде от электромагнитного поля (материальными уравнениями). Такой подход, математически эквивалентный первому, физически более естественен и, как следствие, позволяет сформулировать некоторые свойства нелинейно-оптических явлений (например, синхронизм) безотносительно к конкретным свойствам среды, типу нелинейного процесса, величине поля и т. д. Кроме того, он облегчает введение приближений заданного поля в случае достаточно слабых полей. [c.7]

Формула (14) описывает поляризацию бесконечной нелинейной среды. Для получения аналитического выражения мощности излучения второй гармоники на выходе из кристалла конечной толщины надо решить уравнения Максвелла с учетом нелинейной зависимости поляризации от полей [1, 137, 139]. При этом можно рассматривать распространение в среде двух волн второй гармоники свободной и связанной (см. разд. 1.2), распространяющихся с разными скоростями свободная волна распространяется со скоростью, характерной для волны частоты 2w, связанная — со скоростью волны частоты ш. Интерференция этих волн в отсутствие синхронизма приводит к колебаниям мощности излучения на выходе из кристалла [140]. Максимумы интенсивности соответствуют случаю, когда фазы волн совпадают, минимумы — когда волны в противофазе. [c.86]

Решение уравнения Максвелла позволяет получить следующее выражение для мощности излучения второй гармоники ш расстоянии I от передней границы нелинейной среды при нормальном падении излучения [c.86]

Первое представляет уравнение Максвелла для вязко-упругой среды со временем релаксации г = rj/p, задаваемым сдвиговой вязкостью TJ и модулем сдвига р [240]. В правой части уравнения (3.103) первое слагаемое описывает релаксацию напряжений со временем к уровню сг , фиксируемому внешней нагрузкой. Второй член учитывает нелинейные эффекты отрицательной обрат- ной связи, обуславливающей уменьшение напряжений а за счет концентрации энергии пластической деформации те ( f — положительная константа этой связи). Характер эволюции системы задается тремя масштабами временем пластического течения т 10 с, временем ехр Q/T релаксации концентраторов напряжений за счет перераспределения дефектов (при дебаевской частоте 10с" и высоте барьера Q 1 эВ значение < 10 с) и характерным временем д [c.273]

О уравнения Максвелла (2.3) — (2.4), описывающие распространение света в веществе, поляризованность Р среды входит в качестве источников в правую часть. Когда в материальном уравнении (10.6), связывающем Р с Е, квадратичные и кубичные по степеням Е члены существенны, подстановка Р в уравнения Максвелла приводит к системе нелинейных уравнений для векторов Е и В световой волны. Нелинейность уравнений означает нарушение принципа суперпозиции, согласно которому распространение световой волны в среде никак не сказывается на распространении других световых волн. Таким образом, справедливость принципа суперпозиции для света в веществе ограничивается приближением линейной оптики. [c.487]

В чем заключается метод последовательных приближений для решения уравнений Максвелла в случае нелинейной среды [c.488]

Из (5) видно, что поле поляризации Е" представляет собой также волну, распространяющуюся в среде в том же направлении, как и падающая волна, и характеризуемую тем же волновым числом к. Тот факт, что поляризация возникает в виде волны Е", распространяющейся в среде наряду с падающей волной Е, является основополагающим для всей оптики. В рассмотренном случае линейной оптики возникновение волпы поляризации определяет процессы отражения и преломления света на границе сред и позволяет вывести из уравнений Максвелла соответствующие хорошо известные феноменологические соотношения (закон синусов и пр.) [3, 4]. В случае нелинейной оптики возникновение волны нелинейной поляризации обусловливает все основные явления, о которых шла речь выше. Это будет видно нз материала последующих лекций. [c.137]

Из уравнений Максвелла для нелинейной среды, рассмотренных в лекции 11, следует, что квадратичная поляризация (1) приводит к возбуждению волны с частотой 2со, Из соотношений, приведенных в лекции 11, для общего решения (13) нелинейных уравнений Максвелла в приближении заданного поля падающей волны частоты со при выполнении условия приближенного синхронизма (16), (17) получается для напряя енности поля волпы на частоте 2 следующее соотношение (аналогичное соотношению (19) в лекции 11) [c.145]

После создания мощных квантовых генераторов на оптических частотах (лазеров) возникла и в последние годы бурно развивается самостоятельная область исследований — нелинейная оптика. Понятие нелинейная оптика охватывает все явления в области высоких (оптических) частот, связанные с нелинейностью материальных уравнений в системе уравнений Максвелла. Большой интерес к этому разделу физики объясняется многими причинами. Нелинейная оптика создала новые возможности для изучения поведения ядер, атомов, молекул и твердых тел в электрических полях высокой напряженности. Кроме того, были найдены новые применения теории излучения и сформулированы законы распространения электромагнитных волн в нелинейных средах. Лазеры нашли необычайно широкие применения в самых различных областях науки и техники. При помощи нелинейных оптических эффектов можно получить новую информацию об отдельных атомах и молекулах и об их взаимодействии в плотных средах. На основании различных нелинейных оптических эффектов удалось создать новые когерентные источники света высокой интенсивности, частично с перестраиваемыми частотами. Кроме того, методы нелинейной оптики могут служить основой для развития других нелинейных теорий. [c.8]

Классическое описание оптических и вообще электродинамических явлений осуществляется на основе уравнений Максвелла, в которых влияние среды учитывается в определенных материальных соотношениях. В случае электрических явлений к ним относится соотношение между вектором поляризации Р. и вектором напряженности электрического поля Е., а в случае магнитных явлений — соотношение между вектором намагниченности М. и вектором напряженности магнитного поля N.. В общем случае величина Р. состоит из двух частей, одна из которых зависит от Е. линейно, а другая— нелинейно аналогичным свойством обладают магнитные величины. Те явления, которые могут быть описаны линейной частью, относятся к линейной электродинамике (оптике) все явления, для которых существенную роль играет обусловленная свойствами среды нелинейная зависимость от напряженности поля, принадлежат к нелинейной электродинамике (оптике). Этому классическому феноменологическому подразделению можно сопоставить более точную характеристику нелинейной оптики в рамках квантовомеханического рассмотрения (см. часть II). [c.25]

После обзора явлений, относящихся к нелинейной оптике (сокращенно обозначаемой НЛО), и краткого описания основных этапов развития этой области обратимся теперь к систематическому применению общих основ классического описания. В 1 мы рассмотрим общую структуру материальных уравнений, которые вместе с уравнениями Максвелла позволяют изучить взаимодействие электромагнитных полей с материальными средами. Вслед за тем в 2 детально исследуются общие свойства материальных параметров, восприимчивостей, входящих в эти уравнения. Наконец, последний параграф этой главы посвящен электромагнитным процессам в среде. Обсуждаются методы решения уравнений Максвелла при общих нелинейных материальных соотношениях. [c.31]

В 1.1 мы изучили структуру фундаментального материального уравнения Р.(Е) в НЛО. Теперь применим это соотношение к анализу следствий, вытекающих из его типичных нелинейных свойств для электромагнитных процессов в нелинейной среде. Для решения этой задачи мы должны привлечь уравнения Максвелла, в которые поляризация входит через электрическое смещение. Необходимо решить вытекающее из уравнений Максвелла волновое уравнение при учете в общем случае нелинейного соотношения между поляризацией и напряженностью поля и при заданных граничных условиях. Это означает, что следует искать решения, удовлетворяющие этим дифференциальным уравнениям в протяженной пространственно-временной области о них пойдет речь в разд. 1.32. Некоторые предсказания об эффектах излучения в НЛО можно сделать уже при помощи сравнительно простого метода, в котором исходят из соотношений только в одном элементе объема такой способ рассмотрения будет представлен в разд. 1.31. [c.81]

Таким образом, в уравнениях Максвелла действие линейной, связанной с резонансными переходами компоненты поляризации Р< ., а также нелинейной компоненты поляризации Р(. ) усиливается под влиянием среды в (е + 2)/3 раз. [c.248]

Среди дифференциальных уравнений, предложенных для описания нелинейного механического поведения полимеров, лучшее согласие с экспериментальными фактами имеет уравнение, полученное Г. И. Гуревичем [661. В этом уравнении время релаксации — параметр, полагаемый, например, константой линейного уравнения Максвелла —оказывается весьма сильной экспоненциальной функцией температуры, напряжения и высокоэластической деформации. [c.41]

Вычислим рассеянное поле в рамках одномерной модели с заданной монохроматической накачкой при учете всех трех каналов — двух каскадных и прямого (за счет кубической нелинейности Будем исходить из уравнений Максвелла с нелинейной поляризацией (6.5.14). Так как среда обладает нелинейностью лишь в пределах плоскопараллельного слоя и рассматривается стационарная задача, то медленно-меняюш иеся амплитуды зависят от одной переменной з [c.227]

Как и в других разделах этой книги, основой для анализа нелинейных оптических явлений в настоящей главе будут уравнения Максвелла классической электродинамики и квазиклассические (а также и чисто классические) уравнения, описывающие нелинейную динамику материальных сред. [c.184]

В гл. 3 нелинейные материальные уравнения включаются в систему уравнений Максвелла. Взаимодействие между световыми волнами в нелинейной среде рассмат- [c.55]

УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА В НЕЛИНЕЙНОЙ СРЕДЕ [c.110]

Частное решение уравнений Максвелла для недиспергирующей среды с нелинейностью произвольного вида [c.123]

Факт присутствия в линейной среде поля с частотой ю нетрудно понять из следующих соображений. Из уравнений Максвелла (3.2) следует, что магнитное поле пропорционально величине Поскольку имеется магнитное поле в нелинейной среде при г > О, то должно быть магнитное поле с той же частотой os и в линейной среде при 2 < 0. Условие непрерывности компоненты Еу при 2 = 0 имеет вид [c.129]

Уравнения Максвелла в нелинейной диэлектрической среде без потерь можно записать для каждой частотной компонен Л в виде [c.292]

В 3 настоящей статьи дается обобщение этих законов для волн оптических гармоник и волн с суммарной и разностной частотами (для случая, когда на границу нелинейной среды падают два световых луча). Решение уравнений Максвелла с надлежащими граничными условиями приводит к появлению гармоник как в отраженном, так и в преломленном свете. [c.334]

Нелинейный источник был введен в работе [6], где показано, как тензор восприимчивости может быть связан с нелинейными атомными свойствами среды. Там показано также, что эффективный нелинейный источник легко может быть включен в уравнения Максвелла для нелинейной среды [c.336]

Итак, включение нелинейных материальных уравнений в систему уравнений Максвелла позволило решить ряд простых граничных задач. Выяснение закономерностей отражения и преломления света на ловерхностях нелинейного диэлектрика позволяет полностью проанализировать процессы генерации световых гармоник и смешения световых волн в ограниченной нелинейной среде. Такой анализ весьма важен для понимания особенностей поведения оптических приборов и систем при очень высоких уровнях плотности мощности света, достижимых в лучах лазеров. [c.381]

Для понимания нелинейных явлений в волоконных световодах необходимо рассмотреть теорию распространения электромагнитных волн в нелинейной среде с дисперсией. Цель этой главы-получить основное уравнение распространения оптических импульсов в одномодовых световодах, В разд. 2,1 вводятся уравнения Максвелла и основные понятия, такие, как линейная и нелинейная индуцированная поляризация и диэлектрическая проницаемость, зависящая от частоты. Понятие мод волоконного световода вводится в разд, 2,2, в котором обсуждается также, при каком условии световод будет одномодовым, В разд. 2,3 рассматривается теория распространения импульсов в нелинейной среде с дисперсией в приближении медленно меняющихся амплитуд в предположении, что ширина спектра импульса много меньше частоты электромагнитного поля, В разд. 2,4 обсуждаются численные методы, используемые для решения уравнения распространения. Особое внимание уделено методу расщепления по физическим факторам с использованием быстрого преобразования Фурье на дисперсионном шаге (SSFM) он отличается большей скоростью счета по сравнению с большинством разностных схем. [c.33]

При исследованиях причин воэникиовения нелинейных оптических эффектов часто можно ограничиться материальными уравнениями, описывающими динамическую поляризацию среды, использовав лишь связанные с уравнениями Максвелла закощ>1 сохранения энергии и импульса элементарных возбуждений (фотонов, фононов и т.д.), участвующих в преобразовании. [c.7]

В соответствии с макроскопической природой рассматриваемых прозрачных сред они будут в основном описываться с использованием усредненных оптических характеристик (нелинейных воснриимчипостей х )- Лазерное излучение будет таютс описываться в основном на макроскопическом языке. Типичной рассматриваемой задачей будет распространение в макроскопической прозрачной среде световой волны, характеризуемой усредненными характеристиками — энергией волны, напряженностью поля волны и т. д. Поэтому основным методом описания взаимодействия будет уже не квантовая механика, а электродинамика, и ответы будут искаться из решений уравнений Максвелла. Однако язык фотонов, квантовых состояний, переходов также сохранится, в первую очередь — ввиду необходимости учета резкой зависимости нелинейной поляризуемости от частоты излучения. [c.16]

Уравнения Максвелла для нелинейной среды. Перейдем теперь к основному вопросу — к описанию нелинейного взаимодействия волиы высокоинтенсивного лазерного излучения со средой. Будем рассматривать ту же модельную задачу с темн же приближениями, что и выше, в случае линейного взаимодействия. Исключение естественно составляет внд выражения для индуцированной поляризации среды. Вместо (1) для нелинейного взаимодействия в общем случае надо записать (лекция 2) [c.138]

Возбуждение высших гармоник. Процесс возбуждения высших гармоник К > 2) описывается аналогично процессу воз-буи депип второй гармоники исходя из общего выражения для решения уравнений Максвелла в нелинейной среде (соотноше-нне (13) в лекции 11) и выражения для соответствующего члени разложения нелршепной поляризации в ряд по степеням папряжепности поля [c.148]

Следовательно, и восприимчивость среды х получила нелинейную добавку, пропорциональную Е . Но в таком случае поляризация среды Р = хЕ также должна содержать нелинейную компоненту, пропорциональную третьей степени амплитуды поля. Другими словами, самовоздействие света, рассмотренное выше, является одним из нелинейнооптических эффектов, описываемых нелинейной поляризацией среды, кубической по полю. Это обстоятельство наводит на мысль о том, что для теоретического описания распространения световых волн в нелинейных средах в уравнениях Максвелла необходимо считать связь электрического смещения О с напряженностью электрического поля Е нелинейной, т.е. соответствующим образом модифицировать материальное уравнение, связывающее эти величины. [c.194]

Наличие двух слагаемых в (4.4.4) эквивалентно упомянутому выше возбуждению в исследуемой среде бегущих дифракционных решеток двух типов. Нелинейная поляризация (4.4.3) выступает источником поля в уравнениях Максвелла и порождает в условиях синхронизма (4.4.16) плоскую монохроматическую световую волну на ангистоксовой частоте [c.264]

После того как в принципе уточнено понятие макроскопической нелинейной восприимчивости, обратимся вновь к уравнениям Максвелла. Полезно записать эти уравнения для каждой фурье-компоненты, выделяя при этом нелинейные члены. При таком способе записи четко выявляются свойства нелинейного источника (nonlinear sour e— NLS). Для простоты будем рассматривать немагнитную среду, л, = 1. [c.120]

С помощью квантовомеханической теории возмущений вычислены индуцированный нелинейный электрический дипольный момент и моменты более высоких порядков атомной системы, облучаемой одновременно двумя или тремя световыми волнами. Учтены члены, квадратичные и кубичные по полю. Выведено важное пространственно-частотное перестановочное соотношение для нелинейной восприимчивости и проанализирована ее зависимость от частоты. Установлено соотношение между нелинейными микроскопическими свойствами и эффективной макроскопической нелинейной поляризацией, которую можно ввести в уравнения Максвелла для бесконечной однородной анизотропной нелинейной диэлектрической среды. Для нелинейного диэлектрика выведены соотношения для энергии и мощности, соответствующие соотношениям Мэнли — Роу в теории параметрических усилителей. Получены в явной форме решения системы уравнений для комплексных амплитуд, описывающих взаимодействие плоской световой волны с ее второй гармоникой или взаимодействие трех плоских электромагнитных волн, которые удовлетворяют энергетическому соотношению (u3 = (Oi-t-W2 и соотношению для импульсов кз = kl -Ь ка -Ь Ак. Рассмотрена генерация третьей гармоники и взаимодействие между большим числом волн. Обсуждены возможности применения теории для исследования низкочастотного и высокочастотного эффекта Керра, модуляции света, генерации гармоник и параметрического преобразования света. [c.265]

В настоящей статье мы выберем именно этот путь для определения нелинейной части поляризации. В 2 выводятся квантовомеханические выражения для нелинейных индуцированных электрических дипольных моментов с точностью до членов, квадратичных и кубичных относительно напряженности поля. Эти выражения иллюстрируются на примере ангармонического осциллятора. В 3 устанавливается связь между микроскопическими нелинейными свойствами среды и величинами, характеризующими макроскопическое поле. Обсуждается также запаздывание и моменты более высоких порядков. В 4 нелинейная поляризация вводится в уравнения Максвелла. Решения этих уравнений в явной форме для бесконечного нелинейного анизотропного диэлектрика даны в 5—7. Они описывают взаимодейст- [c.267]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...