Нелинейные уравнения первого порядка

Уравнение (8.94) является обыкновенным нелинейным уравнением первого порядка относительно функции х). Его решение в общем случае можно получить только численно, причем это связано с некоторыми вычислительными трудностями, обусловленными наличием особых точек U-- О а U == 0. Кроме того, изложенный метод Польгаузена оказался недостаточно точным для пограничных слоев с замедленным движением внешнего потока (dU/dx < 0). Для этих случаев разработаны более точные спо- [c.343]

Это нелинейное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной, может быть решено численным или графическим методом, как было показано в главе IV. В рассматриваемой механической системе устанавливается режим со средней угловой скоростью Построив график, можно полу- [c.143]

Подстановка их в интегральное соотношение (58) приводит к сложному нелинейному уравнению первого порядка, которое автор решал графическим методом изоклин. Определенное из этого уравнения б (х) подставлялось в предыдущие равенства, что и давало решение задачи. и Ь [c.467]

Введя обозначение 4 = и е Т , эту систему можно привести к системе 2т, вообгце говоря, нелинейных уравнений первого порядка [c.222]

Поэтому, если мы в общем виде имеем какое-либо нелинейное звено (или систему), описываемое двумя, хотя бы и нелинейными уравнениями первого порядка [c.220]

Это нелинейное уравнение первого порядка в частных производных называется уравнением Гамильтона — Якоби. [c.224]

Уравнение первого порядка (1.12) называется квазилинейным, так как оно нелинейно по ф, но линейно по производным ф и фд.. В общем нелинейном уравнении первого порядка для функции Ф х, 1) допускается произвольная функциональная связь между ф, Ф( и фа . Об этом более общем случае, а также о его распространении на уравнения первого порядка с п независимыми переменными речь пойдет в гл. 2. [c.13]

Нелинейные уравнения первого порядка 69 [c.69]

Рассмотрение квазилинейного уравнения подняло много вопросов, требующих дальнейшего изучения. Прежде чем приступить к этому, заметим, однако, что аналогичные построения, использующие характеристики, можно провести в общем случае произвольного нелинейного уравнения первого порядка. Эти результаты нам также понадобятся в дальнейшем. [c.69]

К этому уравнению могут быть сведены известными подстановками [173] все уравнения второго порядка НЛП, а также нелинейные уравнения первого порядка типа Риккати. Уравнения для элементов нормированной матрицы передачи [Л] (3.10) в точности совпадают с (3.55). Для решения (3.55) используем матричный метод [186] в дальнейшем будем руководствоваться также идеями и методами, изложенными в [187. .. 189]. Запишем [c.103]

Следует подчеркнуть, что задача отыскания полного интефала не совпадает с задачей отыскания общего рещения нелинейного уравнения первого порядка в частных производных (12.4) и значительно проще последней. Решение первой задачи неоднозначно если найден какой-то полный интефал 5(я, а, г), то произвольная замена переменных а -> а позволяет записать, вообще говоря, другое решение 5.(д, а., 1) = 5(ч, а (а ). О- [c.173]

Обратимся теперь к исследованию поведения траекторий в трехмерном фазовом пространстве. Поведение соответствующей динамической системы описывается системой трех нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка. Будем по-прежнему предполагать, что для их решений в сторону возрастания времени соблюдаются теоремы единственности и непрерывной зависимости от начальных условий. Введем понятие поверхности без контакта. По определению поверхностью без контакта называется гладкая поверхность, во всех своих точках пересекаемая фазовыми траекториями без касания. Секущей поверхностью будем называть поверхность без контакта, [c.75]

Совокупность динамических и кинематических уравнений Эйлера является системой шести нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка относительно ф, гр, 0 и сот,, со . При заданном моменте внешних сил М и известных начальных условиях определение движения тела сводится к указанной системе дифференциальных уравнений. В общем виде эта задача не решена. Однако несколько частных случаев движения тела около неподвижной точки всесторонне исследованы и уравнения их проинтегрированы. Среди них наиболее простой и широко применяемый в технике случай движения симметричного гироскопа, для которого А = В. [c.180]

Если теперь подставить полученные выражения в интегральное соотношение количества движения (59), то получим обыкновенное нелинейное дифференциальное уравнение первого порядка для определения толщины пограничного слоя Ь х) или параметра Л(а ), однозначно связанного с б. После того как распределение толщины пограничного слоя и параметра Л вдоль обтекаемого контура найдено, можно вычислить напряжение трения по формуле (61) и профиль скорости по формуле (60) в произвольном сечении пограничного слоя. [c.303]

Таким образом, математическое описание представляет собой систему, состоящую из алгебраических уравнений и одного нелинейного дифференциального уравнения первого порядка (5.19). [c.235]

Полученное уравнение в общем случае является уравнением первого порядка, но нелинейным, а потому не может быть решено в квадратурах. В конечном виде его можно представить в том случае, когда Мд а) оказывается линейной функцией угловой скорости [см. равенство (7)]. При приближенном решении задачи можно считать, что у электродвигателей постоянного тока с параллельным возбуждением и у асинхронного двигателя трехфазного тока при устойчивой работе развиваемый момент является линейной функцией угловой скорости. [c.51]

Рассмотрим еще один из методов использования уравнений ФПК в задачах статистического анализа многомерных нелинейных систем [54]. Предположим, что динамическая система описывается системой дифференциальных уравнений первого порядка [c.161]

Для определения усилий, действующих на зубцы, можно воспользоваться уравнением статики (4.1), продифференцировав его по /, и уравнениями совместности скоростей перемещений, аналогичными уравнениям (6,38), с подстановкой в эти последние зависимостей (8.4)—(8.6). Сделав это, получим систему обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка следующего вида [c.114]

Уравнения (3-5) и (3-9) выражают зависимость т.,,, В, б, X от формпараметра Л. Поэтому, пользуясь (3-12) и (3-13), можно представить /, Я и L как функции формпараметра X, а затем преобразовать (3-13) к нелинейному дифференциальному уравнению первого порядка относительно х (х) [c.77]

Подставляя (5.12) и (4.9) в условие (1.12), получим для определения 5(л) нелинейное дифференциальное уравнение первого порядка [c.116]

Исследование типа задачи, произведенное в 46 в фиксированной (цилиндрической) системе координат, показывает, что уравнения этой задачи представляют собой систему двух уравнений первого порядка относительно проекций и абсолютной скорости, которая сводится к одному нелинейному уравнению второго порядка относительно функции тока ф [142]. Эта система эллиптична в частях А при М<1. а в частях Б при < 1 и гиперболична, соответственно, при М > 1 и при Мда >1- Не останавливаясь здесь на математических подробностях, отмеченных ниже, в 46, приведем наглядную физическую интерпретацию этого [c.301]

Особенность системы состоит в том. что движение частицы в горизонтальной плоскости является быстрым, а в вертикальном направлении — медленным. Поэтому медленное движение в данном случае, как и в пп. 7 и 8 таблицы, описывается одним уравнением первого порядка. Общин внд уравнений медленного движения для всех трех изученных задач теории вибрационного перемещения также одинаков. Уравнениями быстрого движения в задаче п. 9 таблицы являются первые два исходных уравнения движения системы эта уравнения допускают точное решение 17], однако приведенное выражение для вибрационной силы W(V ) приближенное, полученное в результате пренебрежения силами сопротивления в уравнениях быстрого движения. Из анализа этого выражения следует, что в результате действия вибрации сила сопротивления титла сухого трения трансформировалась а силу нелинейно-вязкого сопротивления (см. п. 7). Если при отсутствии ви ации характерно, что частица может находиться в равновесии в любой точке среды, т. е. обладает континуумом положений равновесия, то при достаточно интенсивной вибрации она непременно погружается (или всплывает). [c.257]

Уравнение (20.28) представляет собой нелинейное дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными его решение сводится к вычислению квадратур. В результате можно получить искомую зависимость I = I (t) и, используя соотношение (20.12), решить затем задачу об оценке надежности по описанной методике. [c.213]

Рассмотрим примеры применения метода моментных соотношений. Движение безмассовой системы под действием сил типа белого шума описывается дифференциальным уравнением первого порядка й F (а) = %, t), где F и) — нелинейная функция ) — дельта-коррелированный случайный процесс с интенсивностью S. Прямое уравнение Колмогорова для плотности р и, t) имеет вид [c.26]

Рассмотрим снова простейшую систему, случайные колебания которой описываются дифференциальным уравнением первого порядка (3.1). Будем считать нелинейную восстанавливающую силу F (и) нечетной аналитической функцией, представимой в виде степенного ряда. При конкретных расчетах введем кубический закон нелинейности [c.61]

Для пояснения метода решения нестационарных задач применительно к собственно нелинейным системам рассмотрим простейший пример — уравнение первого порядка [c.103]

Книга состоит из 11 глав, Гл. 1 содержит сведения из геометрически нелинейной теории многослойных анизотропных оболочек типа Тимошенко построенной на основе независимых гипотез относительно характера распределения перемещений и поперечных касательных напряжений по толщине пакета. Путем использования смешанного вариационного принципа получены уравнения равновесия, граничные условия и интегральные соотношения упругости для поперечных касательных напряжений. В случае осесимметричной деформации многослойных анизотропных оболочек вращения выведена нормальная система десяти обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, которая в дальнейшем решается численно на ЭВМ. [c.4]

Уравнения Эйлера и уравнение неразрывности сводятся в этом случае к нелинейной системе дифференциальных уравнений первого порядка в частных производных [c.101]

Выражение (8-90) является нелинейным дифференциальным уравнением первого порядка. Учитывая (8-90), а также принимая во внимание (8-68), определяем время согласования (с скорости выходного вала СП с заданным значением й. С этой целью в (8-68) подставим -Мд [Q( )i] = д.гй г тогда получим [c.456]

Выше бьши изложены два метода решения нелинейных уравнений первого и второго порядка метод статистической линеаризации и метод, использующий марковские процессы. Первый метод является приближенным, поэтому, как уже известно, оценить точность и достоверность получаемых этим методом результатов нельзя. Чтобы обезопасить себя от грубых результатов, сделаем оговорку, что метод статистической линеаризации дает приемлемые результаты при малых нелинейностях, например, при малом ц, входящем в уравнение (5.194). Но установить интервал изменения ц, на котором его можно считать малым и какая будет для этого интервала изменения 1 и погрешность решения, нельзя. [c.230]

Таким образом, интегро-дифференциальное уравнение Больцмана заменено системой совместных нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка для N функций [c.218]

Уравнение (8-94) является обыкновенным нелинейным уравнением первого порядка относительно функции к (х). Его решение В общем случае может быть получено только численно и связано с преодолением некоторых вычислительных трудностей, обусловленных наличием особых точек U = 0 и L" = 0. Кроме того, изложенный метод Польгаузена оказался недостаточно точным для пограничных слоев с замедленным движением внешнего потока dilldx <0). Для этих случаев разработаны более точные способы. Однако метод Польгаузена сохраняет по настоящее время принципиальное значение в этом методе была впервые показана возможность аппроксимировать профили скорости однопараметрическим семейством кривых, что используется и в современных, более совершенных методах. Кроме того, при наличии ускоренного млн равномерного движения внешнего потока dU dx > 0) метод Польгаузена может давать практически удовлетворительные результаты. [c.377]

В дальнейшем (обзор работ дан в [14]) этот метод был обобщен для некоторых систем базисных функций Sk, в частности при Sk (f) = для случая квазилинейных гиперболических систем уравнений, и хорошо зарекомендовал себя при решении ря да сложных пространственных задач газовой динамики. Оказалось, что коэффициенты go gi определяются геометрией поверхности (7) (в том числе и для многомерного слу чая), коэффициент д2 — из нелинейного уравнения первого порядка, а последующие коэффициенты — из линейных дифференциальных уравнений. Применение специаль ных независимых переменных позволило для большой серии пространственных задач газовой динамики проинтегрировать в квадратурах системы уравнений для gk и полу чить их явные представления. Решение конкретных задач показало быструю сходимость зядов (6) и возможность их применения для описания зон течения газа с большими гра диентами газодинамических величин, в частности, в зонах сильных волн разрежения, расчет которых с высокой точностью обычными численными методами весьма труден. [c.20]

Тот факт, что т(М, Мц) удовлетворяет уравнению эйконала, легко следует также из теорнн характеристик для нелинейных уравнений первого порядка (см. В. И. Смирнов [c.39]

Мы видим, что линейное дифференциальное уравнение второго порядка (8.1) и нелинейные уравнения первого порядка (10.4) и (10.7) эквивалентны зная решение одного из них, можно построить решения двух других. В ряде задач именно уравнение Риккати оказьшается наиболее удобным средством построения приближенных аналитических и численных решений. В качестве примеров использования последнего в численных расчетах звуковых полей в жидкости можно указать работы [362, 446]. Матричный аналог уравнения (10.8) применяется при расчетах полей упругих волн в твердых телах с кусочно-непрерывной стратификацией параметров [154, 249]. Далеко идущим обобщением изложенного выше перехода от (8.1) к уравнению Риккати является метод погружения, сводящий решение краевых задай для волнавого уравнения к интегрированию нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка. Особенно эффективным этот метод оказался при исследовании статистических задач [133, 142]. 200 [c.200]

Выше было отмечено, что дифференциальными уравнениями НЛП являются либо нелинейные уравнения первого порядка, либо линейные второго порядка с переменными коэффициентами. Для обоих типов уравнений отсутствуют общие методы от >1скания решений в виде конечного числа квадратур. Тем не менее для некоторых законов изменения волнового сопротивления оказывается возможным найти точные решения. [c.96]

Эти пять уравнений —(7.23), (7.24), (7.32), (7.33) и (7.37) — представляют собой основные уравнения дЯя случая В , = О = = С = 0, Nup = 2и D = 24/Вср. Они образуют систему обычных нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка. Ее решение осложняется тем обстоятельством, что при условиях, близких к условиям торможения, скорость газа почти равна скорости частиц, а его температура близка к температуре частиц. Кроме того, должны быть определены скорость звука в смеси и условия в горле. [c.305]

Для составления дифференциальных уравнений движения твердого тела, имеющего одну неподвижную точку, связывающих углы Эйлера ф. О, <р с силами, действующими на это тело, достаточно к уравнениям (16) присоединить кинематические уравнения Эйлера (28, 75). Таким образом, движение твердого тела, имеющего одну неподвижную точку, вокруг этой точки описывается следующими шестью нелинейными ди()хреренциальными уравнениями первого Порядка относительно неизвестных функций <р, ф и 0 [c.702]

Представленная форма записи уравнений равновесия стержня как системы нелинейных уравненир1 первого порядка удобна при численном решении. Возможна и несколько иная форма записи уравнений (5.8)—(5.13) через проекции вектора Q в связанной системе координат [c.187]

Это обыкновенное нелинейное уравнение третьего порядка было проинтегрировано г. Блязиусом с помощью степенных рядов при следующих граничных условиях ф — О, ф О при т] 0 ф = 1 при (/ = оо. Первое из этих условий выражает равенство нулю на поверхности пластины функции тока ip и скорости и,.. При этой удовлетворяется и условие и,, у., о О- Второе из граничных условий означает, что щ при у- оо. После [c.335]

Расчет нестационарного теплового режима по моделям с сосредо-ш киными параметрами сводится к решению систем уравнений теплового баланса вида (1.2), (1.3) с начальными условиями (1.6), 7, е. к решению задачи Коши для систем обыкновенных дифференци-a.ibiu.ix уравнений первого порядка. В случае линейных уравнений решение удается представить в аналитическом виде при числе уравнений /V < 4. Для нелинейных задач и в случае /V > 4 точное решение в аналитическом виде получить не удается, за исключением некоторых частных случаев. Поэтому при расчетах нестационарных тепловых режимов систем тел широко применяют численные методы, которые мы сначала рассмотрим применительно к одному уравнению вида [c.27]

При полностью открытом проходном сечении тормозного устройства (В = 0) и силе сопротивления, зависящей только от скорости (в любой степени), уравнение движения (13.18) есть нелинейное дифференциальное уравнение первого порядка относительно скорости поршня V с разделяюш,имися переменными. После разделения переменных получим [c.266]

Система, которую предстоит решить, представляет собой три алгебраических условия сохранения (7-72) — (7-74) и три обыкновенных дифференциальных уравнения первого порядка (7-81) — (7-83). Кроме того, предполагается наличие нелинейных условий равновесия, связывающих hs и hp с h . Отношение Ufg p t , позволяющее определить связь Nq и Nf, также считается известным. Наконец, заданы граничные условия в виде конкретных величин, скажем ha,i, fo,, и [c.319]

Л. Йонсен и Г. Гамель обобщили уравнения Воронца — Гамеля для движения неголономных механических систем с нелинейными связями первого порядка, выразив их в нелинейных квазикоординатах. [c.99]

Подстановка выражения (1.12) в уравнение поля приводит к системе 21 обыкновенных дифференщ1а11ьных уравнений первого порядка для медленно меняющихся амплитуд, которые интегрировались численным образом для / = 3- 5. Поведение решений зависит от величины частотной расстройки 2 = 8/с к относительной роли диссипативных и нелинейных эффектов, характеризуемой числом Рейнольдса Ке = бЛ1Ш /4. Общая картина процесса сводится к следующему. Вначале развиваются нелинейные искажения формы волны, рассмотренные в предьщущем разделе. Затем с ростом амплитуды волны, при достижении некоторого порогового значения числа Яе, параметрически возбуждаются субгармонические компоненты, имеющие при заданной расстройке наименьший порог. [c.151]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...