450 — Колебания вынужденные—Уравнения 451453 — Колебания нелинейные 449—452 — Колебания

В качестве простейшего примера рассмотрим методом ММА вынужденные колебания в контуре с нелинейным затуханием, которые были рассчитаны в 3.5 методом гармонического баланса (гармонического приближения). Для подобного контура (см. рис. 3.27) мы можем записать уравнение Кирхгофа в виде [c.122]

Так же. как и при линейных колебаниях, можно различать нелинейно колеблющиеся системы — консервативные (ни из системы, нн в систему энергия не поступает), диссипативные (с течением времени происходи г уменьшение суммы потенциальной и кинетической энергий системы за счет перехода энергии в другие виды или за пределы колеблющейся системы) и, наконец, системы, в которые при их колебаниях поступает энергия. Различают также свободные и вынужденные нелинейные колебания. Однако вследствие нелинейности последние представлять в виде суммы общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения нельзя. [c.220]

Ниже на некоторых характерных примерах поясняется либо только вывод, либо вывод и результат решения нелинейных уравнений свободных колебаний применительно как к консервативной, так и неконсервативной системам качественная сторона нелинейных колебаний, составляю-называемый автоколебаниями, нелинейные вынужденные [c.220]

В качестве примера приведем два уравнения, описывающие нелинейные вынужденные колебания [c.232]

Рис. 13. Графическое решение трансцендентного уравнения вынужденных нелинейных колебаний

Уравнение (I. 97) показывает, что в отличие от решений для вынужденных колебаний балок, имеющих линейные граничные условия, решения для вынужденных нелинейных колебаний балок получаются не однозначными. Одной и той же частоте колебаний со (или а) может соответствовать несколько параметров Л 2, а следовательно, и амплитуд колебаний (при заданной внешней возмущающей силе Ро). Можно думать, что одни решения ij i (х) и 1 32 (л ) будут устойчивыми, а другие нет. На этот вопрос можно ответить, исследуя характер кривых вынужденных колебаний определен- [c.37]

При графическом решении параметр а в уравнении (I. 105) закрепляют и строят правую и левую части уравнения как функции (0. находят соответствующие амплитуды колебаний ([ г (О- Затем следует взять новое значение а и для него опять найти соответствующую амплитуду вынужденных колебаний балки в точке нелинейной опоры 11 2 (1) и т. д. Параметр а следует брать в интересующем нас диапазоне частот внешней возмущающей силы. Таким методом и следует строить резонансную кривую для точки балки, расположенной в точке нелинейной опоры (фиг. 23). Из фигуры [c.44]

Эти уравнения интересно сравнить с решением, которое получаем в теории нелинейных колебаний. Зависимость между амплитудой вынужденных колебаний, частотой и амплитудой воздействия в первом приближении имеет вид (в принятых обозначениях) [c.173]

Рассматриваются почти периодические колебания упругого ротора с учетом гироскопических моментов на примере невесомого консольного вала с неуравновешенным диском на свободном конце. Колебания системы описываются четырьмя нелинейными дифференциальными уравнениями. Показано, что в рассматриваемой системе кроме чисто вынужденных колебаний существуют почти периодические режимы с частотой обратной прецессии. Исследована их устойчивость. [c.141]

Влияние сухого трения на динамические параметры дроссельного привода. Влияние сухого трения на динамику дроссельного привода зависит от характера сигнала управления. При вынужденных гармонических колебаниях золотника с малой амплитудой на вход нелинейного звена, содержащего сухое трение (рис. 6.20), поступает синусоидальный гармонический сигнал. При этом условии, применяя гармоническую линеаризацию нелинейной характеристики сухого трения [86], запишем на основании уравнения (6.11) систему уравнений движения дроссельного привода в таком виде [c.383]

Параметрические колебания упругого стержня как неустойчивость режима установившихся вынужденных продольных колебаний. Пусть и (х, t) — продольное перемещение точек оси стержня, EF — жесткость сечения при растяжении (сжатии). С учетом наиболее существенных нелинейных членов уравнения совместных продольных и поперечных колебаний имеют вид [c.247]

Эти уравнения интересно сравнить с решением, которое получается в теории нелинейных колебаний. Зависимость между амплитудой вынужденных колебаний, частотой и амплитудой [c.154]

Для исследования динамических свойств нелинейных автоматических систем в настоящее время существует много методов, позволяющих исследовать свободные и вынужденные колебания нелинейных автоматических систем. Ведущее значение имеют методы, опирающиеся на фундаментальные теоремы А. М. Ляпунова об устойчивости движения. Кроме них, широко применяются топологические методы, связанные с геометрическим построением структуры фазовых пространств, методы качественной теории дис еренциальных уравнений, припасовывания, разностные, опирающиеся на понятие передаточной функции и частотной характеристики системы, а также математического моделирования. [c.4]

Метод усреднения, или метод Ван-дер-Поля, рассмотрим в форме, предложенной Б. В. Булгаковым. Он исследует вынужденные колебания нелинейной системы, уравнения движения которой в форме Гамильтона имеют вид [c.205]

Для получения укороченных нелинейных дифференциальных уравнений вынужденных колебаний, следуя методу усреднения, сначала рассмотрим линеаризованную упрощенную систему, заменим переменные и перейдем от рассмотрения исследуемого процесса колебаний к исследованию колебаний около положения равновесия. После этого произведем усреднение нелинейности системы, заменяя реальный колебательный цикл окружностью. [c.214]

Другая особенность вынужденных нелинейных колебаний заключается в появлении резонанса на комбинационных частотах. Это можно видеть из того, что в решение уравнения вынужденных нелинейных колебаний благодаря наличию нелинейных членов войдут высшие гармоники с частотами, примерно равными по)о- Рассматривая среднюю мощность вносимую в систему с помощью этих гармоник, т. е. подставляя в интеграл (7.24) не 81п(о)о/ + 0), а з1п(по)о + 0п), придем к выводу о возможности резонанса на частоте, примерно равной пшо- В общем слу- [c.321]

Изложим метод Крылова — Боголюбова применительно к вынужденным нелинейным колебаниям. В качестве исходного уравнения рассмотрим уравнение вида [c.322]

Исторически метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний вырос из так называемого метода припасовывания или сшивания, состоящего в замене нелинейных характеристик кусочно-линейными и последующей припасовке явных решений, соответствующих разным линейным уравнениям. Метод припасовывания использовался еще в 1911 г. Н. Д. Папалекси в задаче о выпрямителе, в 1914 г. А. Зоммерфельдом в теории вынужденных колебаний электрической дуги и затем многими другими. [c.138]

Таким образом, говоря языком современной техники, уравнения (1) представляют весьма общий случай уравнений нелинейных колебаний, причем требуется найти не только вынужденные колебания, но и свободные, и в нахождении этих последних, главным образом их частоты или периода, и заключается вся трудность. [c.188]

Наибольший практический интерес представляет определение вынужденных колебаний нелинейной системы, описываемых уравнением (17). [c.381]

В 7.3 рассматриваются двумерные обратимые отображения и связанные с ними потоки. Показывается, что последовательность бифуркаций удвоения периода, приводящая к хаотическому движению, аналогична найденной для одномерных отображений. Далее описывается метод Мельникова для определения перехода от регулярного движения к стохастическому. Метод иллюстрируется на примере вынужденных колебаний нелинейного осциллятора с затуханием. Описан метод вычисления инвариантных распределений с помощью уравнения ФПК. [c.410]

Определение отображения Пуанкаре распространяется и на случай, когда на систему действует периодическая внешняя сила. В качестве примера рассмотрим вынужденные нелинейные колебания, описываемые уравнениями движения [c.62]

ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ИНДУКТИВНОСТИ УРАВНЕНИЕ ДУФФИНГА [c.162]

Асимптотический анализ свободных и вынужденных колебаний в каналах и трубах с точки зрения взаимодействия вязких пристеночных слоев с невязким ядром потока несжимаемой жидкости проведен в [58-61] для малых амплитуд, позволяющих линеаризовать уравнения движения. Нелинейные аспекты процесса распространения волн и генерация вихрей при возрастании амплитудного параметра в рассматриваемом классе задач о движениях жидкости в каналах с зависящими от времени деформациями стенок обсуждаются в [62-65]. [c.6]

В случае вынужденных колебаний нелинейного резонатора под действием распределенной внешней силы уравнения для прямой и обратной волн сводятся к неоднородным уравнениям Бюргерса, решения которых выражаются через функции Матье [191. Это решение дает возможность проследить, как устанавливаются вы-н> жденные колебания в резонаторе, какова стационарная форма этих колебаний. Потери энергии, возникающие при образовании гармоник из-за нелинейности, компенсируются энергией, отбираемой от источника. Это приводит к стабилизации профиля стоячих волн (рис. 4.5, а). При этом добротность при вынужденных колебаниях, так же как и в случае собственных колебаний, непостоянна [c.98]

Вынужденные колебания нелинейных систем 162 5. Системы, описываемые уравнениями с периодически изменяющимися 180 коэффициентами [c.3]

Поясним сказанное примером из области вынужденных колебаний систем с нелинейной восстанавливающей силой (см. гл. II, 7). Дифференциальное уравнение колебаний такой системы имеет вид [c.175]

ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ — МЕТОД ГАЛЕРКИНА. Не ВХОДЯ в обсуждение вопроса о применимости вариационных методов к решению нелинейных задач и трактуя вариационное уравнение как выражение принципа виртуальных перемещений, ознакомимся с применением этого уравнения на конкретном примере вынужденных колебаний системы [c.552]

Это уравнение при Р = 0 допускает только одно стационарное решение Х1 = 0, так как при этом исходная система должна находиться в покое. При РфО уравнение (3.6.3) можно рассматривать как уравнение, описывающее колебательную систему с вынужденными колебаниями и амплитудами порядка р и периодом 2л/р, взаимодействующими с собственными колебаниями вследствие нелинейности системы. Вопрос же о существовании стационарных собственных колебаний требует дополнительного исследования, так как в этом случае система, вообще говоря, претерпевает периодическое (с частотой, кратной р) изменение энергоемких параметров, что может при выполнении определенных частотных соот-нощений привести к эффектам параметрического вложения энергии. При этом предполагается, что амплитуда воздействующей силы Р не ограничена условием малости подобно силам сопротивления и силам, связанным с нелинейными свойствами системы, которые имеют порядок малости р. [c.120]

При jQ = 1 имеет место резонанс в вынужденных колебаниях. Решение (42), полученное при помощи линеаризации, не имеет смысла при резонансе, и для исследования движения тела вблизи положения = О надо использовать нелинейное уравнение движения (37). Будем считать, что ujq мало отличается от единицы [c.510]

С переходом от простого случая линейных колебаний к вынужденным колебаниям системы, описываемым нелинейными уравнениями, задача сильно усложняется. В 23.10 мы рассмотрим одну из таких задач. [c.175]

Линеаризация упругих характеристик соединений превращает ряд нелинейных дифференциальных уравнений математической модели системы в линейные. Линеаризованная модель позволяет при помощи достаточно простых методов оценить спектр собственных частот исследуемой системы и выявить наличие и расположение резонансных режимов в ее эксплуатационном диапазоне. Используя энергетический учет эффекта диссипативных сил, на основе линеаризованной модели можно также оценить уровень установившихся вынужденных колебаний, пиковые нагрузки при переходных режимах и динамическую устойчивость системы в малом [39]. [c.14]

Системы уравнений (8.12), (8.13) и (8.22), (8.23) охватывают практически все разновидности уравнений движения приводов с нелинейным соединением, имеющим кусочно-линейную характеристику, при вынужденных колебаниях. [c.231]

КОЛЕБАНИЯ (вынужденные [возникают в какой-либо системе под влиянием внешнего воздействия переменного пружинного маятника (характеризуется переходным режимом и установившимся состоянием вынужденных колебаний резонанс выявляется резким возрастанием вынужденных механических колебаний при приближении угловой частоты гармонических колебаний возмущающей силы к значению резонансной частоты) электрические осуществляют в электрическом колебательном контуре с включением в него источника электрической энергии, ЭДС которого изменяется с течением времени] гармонические относятся к периодическим колебаниям, а изменение состояния их происходит по закону синуса или косинуса затухающие характеризуются уменьшающимися значениями размаха колебаний с течением времени, вызываемых трением, сопротивлением окружающей среды и возбуждением волн когерентные должны быть гармоническими и иметь одинаковую частоту и постоянную разность фаз во времени комбинационные возникают при воздействии на нелинейную колебательную систему двух или большего числа гармонических колебаний с различными частотами кристаллической решетки является одним из основных видов внутреннего движения твердого тела, при котором составляющие его частицы колеблются около положений равновесия крутильные возршкают в упругой системе при периодически меняющейся деформации кручения отдельных ее элементов магнитострикционные возникают в ферромагнетиках при их намагничивании в периодически изменяющемся магнитном поле модулированные имеют частоту, меньшую, чем частота колебаний, а также определенный закон изменения амплитуды, частоты или фазы колебаний неавтономные описываются уравнениями, в которые явно входит время некогерентные характерны для гармонических колебаний, частоты которых различны незатухающие не меняют свою энергию со временем нормальные относятся к гармоническим собственным колебаниям в линейных колебательных системах [c.242]

Устойчивость вынужденных колебаний нелинейной системы. При гармоническом возбрхдении механической системы с нелинейной характеристикой восстанавливающей силы в некотором диапазоне частот решение задачи о вынужденных колебаниях неоднозначно — одному и тому же значению частоты возбуждения соответствуют несколько значений полуразмахов колебаний (см. с. 28), т. е. несколько разных режимов движения. Некоторые из этих режимов неустойчивы. При анализе устойчивости различных режимов коэффициенты уравнений первого приближения оказываются периодическими функциями времени (см. с. 39) для системы с одной степенью свободы уравнения первого приближения обычно приводятся к уравнению типа Хилла (или в частном случае к уравнению Матье), Задача устойчивости периодического режима движения нелинейной системы сводится к оценке свойств решений этого уравнения (см. т. 1). [c.41]

Колебания вынужденные — Уравнения 451— 453 — Колебаяия нелинейные 449—452 — Колебания свободные 446, 447 — Условия граничные 450 [c.556]

Вынужденные колебания ). Выше (в 9.10) мы уже рассматривали вынужденные колебания осциллятора с затуханием. Уравнение движения такой системы является линейным. Переход к исследованию вынужденных колебаний нелинейных систем связан с весьма большими трудностями, и обычно, чтобы достигнуть прогресса, приходится вводить упрощаюш ие предположения, которые часто бывает трудно оправдать. Поясним это на примере движения математического маятника (пример 5.2А), на который действует дополнительная малая горизонтальная сила таг sin pt, где 8 — малый параметр. Уравнение движения маятника запишется в виде [c.481]

Основываясь на полученных выше результатах для системы дифференциальных уравнений (8.12), построим решения алгебродифференциальной системы (8.22), описываюш ей вынужденные колебания в приводе с нелинейностью, встроенной в массу. Коэффициенты системы уравнений движения являются кусочно-постоянными функциями обобщенных координат у/ (0< k, k + , А + 2, и производных 7/ (i), j = k, k + 2, в соответствии с управляющими воздействиями согласно (8.20). Вектор-функция М (Uk-j-i) [c.244]

Метод Бубнова—Галеркина для задач нелинейных колебаний можно представить как прямой метод построения приближенного решения, удовлетворяющего соответствующему дифференциальному уравнению в среднем за цикл колебаний [83]. Действительно, уравнения метода Бубнова—Галеркина вида (182) могут быть получены на основе принципа возможных перемещений [68]. Если считать независимую переменную х временем, выражение (181) для у принять за приближенное выражение установившегося процесса вынужденных колебаний, в котором (х) — координатные функции времени, а,- — параметры, обеспечивающие наилучшее приближение для у , а также положить х = х + г, vrzx — период внешней возмущающей силы, то уравнения (182) допускают простую механическую интерпретацию. Учитывая, что возможные виртуальные перемещения, соответствующие координатным функциям, Ьy = baiWi x), заключаем, что уравнения (182) для определения параметров [c.118]

Последующий анализ колебаний твердого тела, описываемых уравнениями (5), предполагает рассмотрение двух основных задач, каждая из которых может иметь самостоятельное значение. Первая задача состоит в определении условий возникновения так называемых пространственных нелинейных колебаний твердого тела [4]. Это такие связанные колебания изучаемой системы, которые возникают в условиях резонансов благодаря наличию нелинейных связей между обобщенными координатами данной системы В ряде случаев решение этой задачи сзоднтся к исследованию устойчивости некоторых резонансных вынужденных периодических или почти периодических режимов колебаний тел Вторая задача — это исследование релонансных характеристик пространственных колебаний твердого гела В математическом отношении вторая задача более трудна и сводится к построению указанных периодических или почти-пернодических решений, а также к изучению их устойчивости а областях неустойчивости равновесных состояний, или некоторых вынужденных режимов колебаний изучаемых систем. [c.267]

Вынужденные колебания нелинейной системы, описываемой уравнением Дуффинга, исследовать столь просто не удается. И поныне это уравнение исследовано не полностью. Без особого труда удастся исследовать только случай малых затуханий б и а > 0. Резонансные кривые имеют при этом вид, показанный на рис. 1.11, и отличаются от резонансных кривых линейного осциллятора (рис. 1.10) наклоном ника и появлением неодноднознач-ности. Наклон происходит влево или вправо в зависимости от знака величины Ь в уравнении Дуффинга (1.18). Этим наклоном и неоднозначностью вызывается известное явление гистерезиса амплитуды вынужденных колебаний при медленном изменении частоты V внешней силы. Опо состоит в скачках амплитуды и том, что эти скачки происходят [c.16]

ВынужАенные колебания. Вынужденные колебания нелинейного осциллятора мы рассмотрим на примере уравнения Дуффинга [c.203]

При определенных условиях вынужденное плоское движение нелинейного упругого стержня (балки, полоски) описываемое уравнением (3.3.5), становится неустойчивым и возникают трехмерные движения. Похожее явление известно и для плоского движения натянутой струны [133]. В Корнеллском университете мы провели несколько экспериментов с толщиномерами — очень тонкими, гибкими, упругими стальными стержнями прямоугольного сечения (например, 0,25 мм X 10 мм X 20 см) (рис. 3.27). Их слабое боковое движение (по отношению к неизогнутому стержню) почти невозможно без продольного изгиба или перекоса локальных поперечных сечений. Однако при сильном изгибе в разрешенном направлении становятся возможными и боковые смещения, сопровождающиеся перекосом поперечных сечений. Мы показали, что плоские колебания стержня в разрешенном направлении на частоте, близкой к [c.108]

Метод усреднения Ритца успешно применялся к различным задачам, включая свободные и вынужденные колебания нелинейных систем. Высокая точность была достигнута при использовании одночленного приближения для систем с восстанавливающей силой, описываемой симметричными функциями -го порядка, а также кусочно-линейными функциями. Уравнение Дюффинга является только одним из примеров такого типа. Для систем с восстанавливающими силами несимметричного вида требуется использовать по крайней мере двучленные приближения и при этом быстро растут трудности алгебраического характера. [c.164]

В разд. 2.1.3.5 были исследованы собственные колебания нелинейного осциллятора с восстанавливающей силой f x)=h sign х. Теперь мы рассмотрим вынужденные колебания этого же осциллятора, порожденные гармоническими возмущак)щими силами. При отсутствии демпфирующих сил уравнение движения имеет вид [c.232]

Системы, описываемые линейными дифференциальными уравнениями, называют линейными системами, а описываемые нелинейными дифференциальными уравнениями — нелинейными. Таким образом, собственные колебания являются гармоническими только в линейных колеба7ельных системах и только к линейным системам относится все сказанное выше о собственных и вынужденных колебаниях. [c.615]

Таким образом, система уравнений движения привода с нелинейным соединением, встроенным в массу , при вынужденных колебаниях является алгебро-дифференциальной. Уравнение (8.19), входящее в систему (8.22), учитывает изменение порядка системы уравнений движения привода при жестком замыкании соединения, а также запоминает значение координаты при соответствующем замыкании. [c.231]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...