СО Уравнение сверхзвуковой

Для систем (2.21), (2.23), (2.57), (2.59), применяя общий прием, можно получить уравнения характеристик. В сверхзвуковом стационарном течении существуют три семейства характеристик два семейства линий Маха (характеристики С+ и С ) и линии тока (характеристики Со). Уравнения направления и условия совместности имеют вид для линий Маха [c.46]

Здесь мы приведем некоторые соображения, связанные с решением этой задачи для модели течений, введенной выше. Пусть линия перехода ОВ в плоскости потенциала задается уравнением и = % и) величины со стороны сверхзвуковой зоны мы будем отмечать чертой сверху. [c.150]

Рассматриваемые здесь вариационные задачи заключаются в определении формы тел, обладающих минимальным волновым сопротивлением в плоскопараллельном или осесимметричном сверхзвуковом потоке газа, и контуров сопел, реализующих максимальную силу тяги при некоторых ограничениях. Силы, действующие на тела при течениях невязкого газа, определяются давлением на стенки. Величина давления находится из рещения граничных задач для нелинейных уравнений газовой динамики. Такие задачи в настоящее время решаются численно. Нахождение решения вариационных задач со связями в виде уравнений с частными производными приводит к сложным численным процессам. О таком прямом подходе к оптимизации формы тел будет сказано в послесловии к этой главе. Здесь будет рассмотрен подход, который в плоскопараллельном и осесимметричном случаях допускает точную одномерную постановку ряда вариационных задач и их простое решение. [c.45]

Ударная волна в местной сверхзвуковой зоне должна каким-то образом пересекаться со звуковой линией (мы будем говорить о плоском случае). Вопрос о характере такого пересечения нельзя считать выясненным. Если ударная волна заканчивается в точке пересечения, то в самой этой точке ее интенсивность обращается в ноль, а во всей плоскости вблизи точки пересечения движение околозвуковое. Картина течения в таком случае должна описываться соответствуюи им решением уравнения Эйлера — Трикоми. Помимо общих условий однозначности решения в физической плоскости и граничных условий на ударной волне, должны выполняться еще и следующие условия 1) если по обе стороны от ударной волны движение сверхзвуковое (так будет, если в точке пересечения кончается только ударная волна, упираясь в звуковую линию), то ударная волна должна быть приходящей по отношению к точке пересечения, 2) приходящие к точке пересечения характеристические линии в сверхзвуковой области не должны нести на себе никаких особенностей течения (особенности могли бы возникнуть лишь в результате самого пересечения и, таким образом, должны были бы уноситься от точки пересечения). Существование решения уравнения Эйлера— [c.641]

Эффекты, сходные с излучением Вавилова — Черенкова, хорошо известны в области волновых явлений. Если, например, судно движется по поверхности спокойной воды (озера) со скоростью, превышающей скорость распространения волн на поверхности воды, то возникающие под носом судна волны, отставая от него, образуют плоский конус волн, угол раскрытия которого зависит от соотношения скорости судна и скорости поверхностных волн. При движении снаряда или самолета со сверхзвуковой скоростью возникает звуковое излучение ( вой ), законы распространения которого также связаны с образованием так называемого конуса Маха . Явления эти осложняются нелинейностью аэродинамических уравнений. В 1904 г. Зоммерфельд рассчитал электродинамическое (оптическое) излучение подобного рода, которое должно возникать при движении заряда со скоростью, превышающей скорость света. Однако через несколько месяцев после появления работы Зоммерфельда создание теории относительности сделало бессмысленным рассмотрение движения заряда со скоростью, превышающей скорость света в пустоте, и расчеты Зоммерфельда казались лишенными интереса. Физическая возможность появления свечения Вавилова — Черенкова связана с движением электрона со скоростью, превышающей фазовую скорость световой волны в среде, что не стоит ни в каком противоречии с теорией относительности. [c.764]

Это условие выполняется в суживающихся каналах при дозвуковых скоростях течения и в расширяющихся каналах три сверхзвуковых скоростях течения. Чтобы убедиться в этом, заменим — и/и в приведенном выше уравнении через со/да (10.10. и, разделив все члены на йх, в результате получим [c.306]

Если сечение канала постоянно, то поскольку (И р/(1х >> О, правая часть уравнения течения будет всегда отрицательна. Поэтому при наличии трения дозвуковой поток будет ускоряться, а сверхзвуковой — замедляться до достижения скорости звука. Непрерывный переход через скорость звука Б канале постоянного сечения невозможен при со = с производная да/Дх обращается в бесконечность, т. е. наступает кризис течения. [c.325]

В сверхзвуковом потоке, т, е. при w4> с, дифференциальное уравнение (9.75) решается методом характеристик. Чтобы дать понятие об этом методе, рассмотрим распространение слабых возмущений в сверхзвуковом потоке газа. Слабые возмущения, как мы знаем из 9.3, распространяются в газе со скоростью звука. Это означает, что если в данной точке потока газ подвергается слабому возмущению, то влияние этого возмущения распространяется только вниз по течению, так что возмущенная зона будет представлять собой вначале конус с вершиной в точке, где возникло возмущение. Для угла раствора этого конуса 2а справедливо соотношение sin а == IW, а на боковой поверхности конуса составляющая скорости газа, перпендикулярная к поверхности конуса (или, что то же самое, к линии слабых возмущений), равна местной скорости звука, т. е. Wn = с если бы это было не так, то линии слабых возмущений не занимали бы устойчивого положения. Поверхность, ограничивающую область потока, куда достигает исходящее из данной точки возмущение, называют характеристической поверх-ностью. [c.329]

Часть вопросов и задач данной главы знакомят с математическими основами метода характеристик, условиями, при которых имеются решения характеристических уравнений и возможен расчет газовых течений методом характеристик. Ряд из них посвящен выяснению физического смысла характеристик, рассмотрению условий совместности уравнений для таких характеристик. Особое внимание уделяется практическому использованию метода характеристик на примерах расчета течений Прандтля—Майера и решения отдельных задач, связанных со сверхзвуковыми плоскими или пространственными осесимметричными течениями. [c.138]

При анализе работы сопл на нерасчетных режимах также используют уравнения (3.51) и (3.52) и графики, аналогичные рис. 3.3. По мере снижения давления за суживающимся соплом увеличиваются скорость, удельный объем и расход рабочего тела только до тех пор, пока параметры в выходном сечении не станут равными критическим. Дальнейшее уменьшение не приведет к изменению параметров потока в указанном сечении, а следовательно, и к изменению расхода, т. е. левая часть графиков на рис. 3.3 не будет соответствовать действительности. Начиная с критических значений, it, Vit, G в функции Pi будут представлять собой горизонтальные линии (на рисунке не нанесены). Объясняется это тем, что волна разрежения, возникшая в результате понижения давления за соплом и распространяющаяся относительно движущегося газа со скоростью звука, не может пройти вверх по потоку через выходное сечение сопла, в котором скорость газа равна скорости звука. Таким образом, в суживающихся каналах в плоскости выходного сечения, нормальной к оси сопла, невозможно достигнуть сверхзвуковых скоростей. В соплах Лаваля дальнейшее снижение давления за соплом также не приведет к возрастанию расхода, так как расход лимитируется размерами горла и параметрами в нем, которые остаются критическими по той же причине, что и в суживающемся сопле. Заметим далее, что расчетным режимом для сопла Лаваля называется такой, при котором давление в его выходном сечении равно давлению в среде, куда происходит истечение. Если давление на срезе сопла несколько больше давления среды, считается, что [c.95]

Уравнения (8-50а) и (8-51) позволяют сделать важные выводы и для случая течения потока со сверхзвуковой скоростью (М > 1). [c.287]

Три других мемуара Эйлера — Общие начала состояния равновесия жидкостей , Общие начала двин ения жидкостей и Продолжение исследований по теории движения жидкостей , вышедшие в записках Берлинской академии наук (1755—1757), составили основополагающий трактат по гидродинамике во втором из них, в частности, выведены дифференциальные уравнения в частных производных движения несжимаемой жидкости, а в третьем рассмотрены некоторые вопросы движения жидкостей и газов в узких трубках произвольной формы. Со всем этим была связана разработка Эйлером приемов решения уравнений в частных производных. Одно из таких уравнений встречается теперь в задачах о движении газа с околозвуковыми и сверхзвуковыми ско- [c.188]

Интеграл (157) можно рассматривать как сверхзвуковой ана.тог потенциала скоростей возмущений от распределения источников вдоль положительной части оси Ох, в случае несжимаемой жидкости (Моо = О, со = —1) представленного равенством (72). Между этими двумя гидродинамическими образами имеется принципиальное различие, с математической стороны выражающееся в том, что соответствующий потенциал скоростей в несжимаемой жидкости удовлетворяет уравнению эллиптического типа (уравнению Лапласа), а потенциал (160) — уравнению гиперболического типа — волновому уравнению (156). С физической стороны это различие заключает- [c.328]

Второе возражение состоит в том, что ири М > 1 мы должны иметь дело со сверхзвуковой конвекцией вихрей, п использование уравнения (10.8), справедливое для М < 1, становится сомнительным. [c.410]

Франкль Ф. И. и Алексеева Р. И. Две граничные задачи из теории дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка гиперболического типа с применениями к течениям газа со сверхзвуковой скоростью. Математический сборник, 1934, т. 41. стр. 483—499. [c.92]

Однако в общей постановке сформулированная выше задача до сих пор не решена. Хотелось бы иметь результат, по которому при каких-либо (хотя бы и очень ограничительных) условиях на кривую Г обеспечивалось существование постоянных Уо и таких, что при Уо < < 1 1 в области О существовало единственное течение со сверхзвуковой зоной, примыкающей к Г. Быть может, переход к упрощенной модели уравнений газовой динамики, которая предложена здесь, облегчает математический аппарат (в дозвуковой зоне можно пользоваться теорией конформных отображений, а в сверхзвуковой — простыми представлениями решений,которые даны в 15), и для этой модели задачу удастся решить. [c.156]

Было бы интересно проанализировать течения со сверхзвуковыми зонами, заканчивающимися скачками уплотнения, в рассматриваемой здесь упрощенной модели уравнений газовой динамики. По-видимому, в этой модели можно дать более исчерпывающее исследование, чем в классической. [c.157]

Из уравнения неразрывности (39) и условия рд > вытекает, что скорость до скачка всегда больше, чем скорость после скачка (1 1> У . Равенство (54) уточняет этот результат и показывает, что V, > й -, а 1 2 <а иными словами, перед скачком уплотнения газ движется со скоростью больше критической, а за скачком — меньше критической. Можно доказать также, что перед скачком газ движется со сверхзвуковой скоростью, за скачком — с дозвуковой скоростью, т. е., что имеют место неравенства [c.180]

Это очевидное свойство одномерного движения теряет свою силу при движении сжимаемого газа со сверхзвуковыми скоростями, в чем легко убедиться, составив основные уравнения одномерного стационарного движения газа [c.198]

В случае одномерного течения из уравнения (4) и (5) сразу же получим результаты Римана, а именно 1) величина со + <7 остается постоянной для некоторой геометрической точки, движущейся со скоростью <7 +с, 2) величина (О — д остается постоянной для некоторой геометрической точки, движущейся со скоростью д — с. В дозвуковом течении эти две скорости имеют противоположное, а в сверхзвуковом течении — одинаковое направление. [c.608]

На фиг. 8 показаны примеры таких сверхзвуковых течений. Первый пример (фиг. 8, а) — обтекание кормовой части пластины конечной длины. В области ж > О условие прилипания и х, 0) = О заменяется условием симметрии Ыу х, 0) = 0. Следуя [18], оценим амплитуды возмуш,ений и размеры областей, на которые оно распространяется. Исчезновение напряжения трения на оси течения приводит к разгону струек тока, проходящих вблизи плоскости симметрии. Это вызывает быстрое изменение толщины вытеснения и индуцирует градиент давления. Простые оценки на основе уравнений неразрывности, импульса и линейной теории сверхзвуковых течений показывают, что вблизи конца пластины образуется локальная область течения со свободным взаимодействием, для которой перепад давления (отнесенный к р ыУ Др Не , Ах Ке" /8. Перед концом пластины индуцируется отрицательный градиент давления, а в следе давление восстанавливается. При (Да /Ке /в) оо градиент давления исчезает. Аналогичное рассмотрение справедливо и для течения при малых углах атаки а Ве (фиг. 8, в) [251. В этом случае перед концом пластины на ее верхней и нижней сторонах поток поворачивает на угол а. Поворот на угол + при достаточной величине а должен приводить к отрыву пограничного слоя. Критический перепад давления, вызывающий отрыв, несколько больше, чем в случае обтекания угла, образованного двумя стенками. Это объясняется наложением отрицательного градиента давления, вызываемого сходом потока с пластины, как при а = 0. [c.247]

В работе [61] был применен искусственный прием. Сначала численное интегрирование уравнений несжимаемого пограничного слоя проводилось обычным путем, т. е. при заданном распределении давления. На небольшом расстоянии перед точкой отрыва вместо давления задавалось распределение толщины вытеснения пограничного слоя в виде полинома второй или третьей степени, а давление определялось. При этом удавалось пройти через точку отрыва и даже область присоединения небольшой зоны отрыва. Таким образом решалась обратная задача. Для сверхзвукового течения со свободным взаимодействием [201 возможность прохождении через точку отрыва обеспечивалась заданием аналитической связи между величиной давления и производной от толщины вытеснения пограничного слоя. (Связь в виде формулы Аккерета.) Разумеется, решение, полученное для области за точкой отрыва, не является единственным и отвечает лишь найденному виду течения. Однако это решение отвечает условиям в критической точке возвратного течения развитой зоны отрыва, что видно из сравнения расчетного значения давления в изобарной части зоны отрыва с экспериментальными данными (фиг. 6). [c.257]

Для выяснения условий оптимальности газового эжектора со сверхзвуковым и дозвуковым соплами в наиболее интересном для практики случае, когда предельным режимом запирания эжектора является критический режим, были проведены расчеты зависимостей е"(Яр ) и для ряда значений коэффициента эжекции и характерных отношений давлений и теплосодержаний. Расчеты были выполнены для воздухо-воздушного эжектора (у/ = х=1,4 <"р = Гр = 0,24) с помощью системы уравнений эжекции (15а), (16), [c.213]

К происхождению неустойчивости ударных волн в области (90,17) можно подойти также и с несколько иной точки зрения, рассмотрев отражение от поверхности разрыва звука, падающего на нее со стороны сжатого газа. Поскольку ударная волна движется относительно газа впереди нее со сверхзвуковой скоростью, то в этот газ звук не проникает, В газе же позади волны будем иметь, наряду с падающей звуковой волной, еще и отраженную звуковую и энтропийно-вихревую волны (а на самой поверхности разрыва возникает рябь). Задача об определении коэффициента отражения по своей постановке близка к задаче об исследовании устойчивости. Разница состоит в том, что наряду с подлежащими определению амплитудами исходящих от разрыва (отраженных) волн в граничных условиях фигурирует еще и заданная амплитуда приходящей (падающей) звуковой волны. Вместо системы однородных алгебраических уравнений мы будем иметь теперь систему неоднородных уравнений, в которых роль неоднородности играют члены с амплитудой падающей волны. Peuienne этой системы дается выражениями, в знаменателях которых стоит определитель однородных уравнений,— как раз тот, приравнивание которого нулю дает дисперсионное уравнение спонтанных возмущений (90,10). Тот факт, что в области (90,17) это уравнение имеет веш,ественные корни для os 0, означает, что существуют определенные значения угла отражения (и тем самым угла падения), при которых коэффициент отражения становится бесконечным. Это — другая фор- [c.476]

Леко видеть, что не могут реально осуществляться также и качки, соответствующие участку над точкой О (vi > С], 2 < s). Такой скачок перемещался бы относительно находящегося перед ним газа со сверхзвуковой скоростью, а потому его возникновение никак не отражалось бы на состоянии этого газа. Это значит, что скачок должен был бы возникнуть вдоль поверхности, заранее определяемой условиями обтекания (поверхность, на которой при непрерывном течении достигались бы необходимые условия начала быстрой конденсации). С другой стороны, скорость скачка относительно остаюндегося позади него газа в данном случае была бы дозвуковой. Но уравнения дозвукового движения не имеют, вообще говоря, решений, в которых все величины принимают заранее определенные значения на произвольно заданной поверхности ). [c.690]

Построение аналитических и даже числовых решений полной системы уравнений газовой динамики связано со значительными трудностями не только из-за сложности физико-химических процессов, но и потому, что в общем случае течение содержит дозвуковые, трансзвуковые и сверхзвуковые области, для описания которых требуется различный математический аппарат. При этом приходится иметь дело сразу с эллиптическими, параболическими и гиперболическими уравнениями в частных производных. В то же время построение некоторых аналитических решений, основанных на приближенных предпосылках, позволяет, значительно упростив методы решения, установить многие качественные закономерности. В настоящем параграфе будут рассмотрены некоторые аналитические решения, позволяющие выявить ряд важных закономерностей движения газа и являющиеся необходимыми тестовыми примерами при численных расчетах. К числу таких решений относятся одномерная теория сопла, теория простой волны (течение Прандт-ля — Майера, волна Римана), обтекание клина, распад произвольного разрыва, точечный взрыв, решение методом источников и стоков, решение уравнения для потенциала. [c.54]

Рассмотрим решение этого уравнения в случае обтекания тонкой пластинки сверхзвуковым потоком при малом угле атаки (рис. VIII.9). На верхней поверхности пластины из-за расширения потока сверхзвуковая скорость увеличивается по сравнению со скоростью на бесконечности, а Давление падает по сравнению с дав- [c.198]

Прямые скачки уплотнения обра уются при течении газа со скоростью, большей местной скорости звука. В результате прямого скачка уплотнения скорость газа, в чем нетрудно убедиться с помощью уравнений (7-41), скачкообразно уменьшается от сверхзвукового значения перед скачком дэ дозвукового значения после скачка. i7,S [c.282]

А. С. Сукомелом, В. М. Мухиным и В. И. Величко Л. 131] получено, что местные коэффициенты теплоотдачи при охлаждении турбулентного потока воздуха, текущего в круглой прямой трубе со сверхзвуковой скоростью и большими температурными напорами, могут быть определены по уравнению [c.254]

Рассмотрим решение, предложенное для таких больших скоростей массообмена. Либби [40], решив видоизмененную систему уравнений сохранения, установил, что поле течения можно разделить на две области изотермический слой скольжения, состоящий из вдуваемого газа, и внешнее течение в пограничном слое, состоящее из компонентов сжатого слоя между этими двумя областями имеется граница раздела. Катцен и Каатари [41] использовали подобную аналитическую модель для расчета увеличения расстояния отхода скачка, связанного с вдувом газов. Их расчеты хорошо согласуются с экспериментами, в которых производился вдув трех газов (воздуха, фреона-12 и гелия) в низкотемпературный сверхзвуковой поток. Однако теплообмен через изотермический слой был бы равен нулю, что привело бы к отсутствию абляции тефлона. Следовательно, вопрос касается применения этой двухслойной модели к проведенным экснериментам, в которых происходит мас-сообмен с окружающей средой. В этой связи полученные результаты интересно сравнить с данными эксперимента с вдувом, полученными в исследованиях, где параметр В мог регулироваться независимо от нагрева со стороны окружающей среды. [c.387]

Л. 123] на данные по трению выполнен с использованием (11-112) при Рг=1, Ср11с р = 1 и Тл/тл)=е ". Видно, что опытные точки для пограничного слоя с постоянными свойствами среды, пересчитанные при определяющей температуре но (11-114), и опытные точки по измерениям теплообмена в потоках со сверхзвуковыми скоростями, пересчитанные в данные по трению (уравнение (11-112)—модифицированная аналогия Рейнольдса] хорошо укладываются на кривой [c.388]

В 1953 г. Г. Г. Черный решил чрезвычайно важную для описания работы сверхзвуковых воздухозаборников задачу об устойчивости течения в канале со скачком уплотнения, замыкающим сверхзвуковой поток. Ее актуальность определялась необходимостью организации эффективного торможения сверхзвукового потока в канале воздухозаборников воздушно-реактивных двигателей. Это предполагало расположение скачка вблизи минимального сечения канала, где число Маха потока слегка превышает единицу. Согласно уравнениям квазиодно-мерного течения, при фиксированном давлении на выходе из канала стационарный скачок может располагаться как до так и после минимального сечения. Наличие двух стационарных решений, близость числа Маха перед скачком к единице, а его положения — к минимальному сечению обусловили необходимость анализа устойчивости такого течения. Г. Г. Черный показал, что при отсутствии отражения возмущений от выхода из канала течение со скачком в расширяющемся канале устойчиво, а в сужающемся неустойчиво. Им же установлена возможность стабилизации потока с помощью перфорированных стенок и присоединенных объемов. [c.12]

Линейная теория обтекания тел сверхзвуковым потоком оказалась эффективным средством в решении ряда важных задач, выдвигавшихся практикой, хотя и могла быть использована лишь для анализа течений около тонких тел 330 и при малых углах атаки. Эта теория, основанная на предположении малости возмущений, не позволяла исследовать такие свойства действительного ното-ка, как образование ударных волн, непостоянство скорости звука в потоке, перенос возмущений с местной скоростью звука и т. д. Чтобы учесть влияние хотя бы одного из этих факторов, необходимо пользоваться точными нелинейными уравнениями газовой динамики, а при приближенном решении таких уравнений применять высшие приближения. Некоторые нелинейные задачи сверхзвуковой аэродинамики рассмотрены Ф. И. ФранклемиР. Н. Алексеевой (1934), А. Буземаном (1935), построившим приближение второго порядка для распределения давлений по поверхности тела, К. Фрид-рихсом (1948), распространившим метод Буземана на случай сверхзвукового обтекания профиля со скачками уплотнения. [c.330]

Принципиально возможно точное решение этой задачи, однако это требует применения математических методов, связанных с большой работой. Поэтому имеют большое значение приближенные методы. Наиболее важное упрощение состоит в линеаризации уравнений движения. Для этого предполагается малость возмущений, или, более точно, малость скооости возмущения сравнительно со скоростью полета и скоростью звука. Такая теория дает хорошее приближение для сопротивлений тонких или плоских тел с заостренной головной частью или с острой передней кромкой. К счастью, большая часть будущих сверхзвуковых самолетов и [c.12]

Сверхзвуковым течениям посвящено большое количество работ как теоретического, так и прикладного характера, в которых решено много важных задач особенно плодотворным оказалось применение электронных вычислительных машин. Тем. н 1бнее многие явления, связанные с движениями со скоростями выше звуковой, остались неисследованными. Особенно мало изучены движения, у которых в одних зонах — скорости дозвуковые, а в других — сверхзвуковые. Здесь мы рассмотрим несколько значительно более простых для исследования моделей систем уравнений с частными производными, на которых видны некоторые явления, присущие уравнениям газовой динамики в сверхзвуковом и переходном режимах. [c.127]

Уравнение (44) применимо для турбулентного пограничного слоя, подверженного действию большого положительного градиента давления при умеренных сверхзвуковых скоростях и постоянном давлении по то-лщине пограничного слоя. Постоянство давления по толщине пограничного слоя выполняется при очень малых числах Маха, но уже при М1 = 1,3 давление заметно меняется по толщине пограничного слоя. Значения коэффициента поверхностного трения плохо согласуются с другими данными, что свидетельствует о непригодности уравнения (44) д,пя определения с,. Однако уравнение (44) дает приблизительно правильное положение точки отрыва. Взаимодействие с прямым скачком уплотнения со.здает сильный положите.яьный градиент давления под скачком, и обычный критерий отрыва турбулентного пограничного с.лоя [c.251]

Если взаимодействие на основной части тела не является слабым, то градиент давления, который индуцируется при обтекании внешним потоком эффективного тела, образованного толш,иной вытеснения пограничного слоя, влияет на течение в пограничном слое уже в первом приближении. Таким образом, распределение давления на внешней границе пограничного слоя нельзя считать заданным и его необходимо определять при совместном интегрировании уравнений для невязкого гиперзвукового потока и пограничного слоя. При этом математическая постановка краевой задачи на всей длине тела аналогична ее постановке в локальных областях течений со свободным взаимодействием для режима умеренных сверхзвуковых скоростей [18]. Поэтому можно было ожидать появление эффектов передачи возмуш ений вверх по потоку на всей длине тела, т. е. зависимости решения от краевых условий, заданных вниз по потоку. [c.258]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...