Неразложимость метрическая

Метрическая неразложимость. Мы видели, что предел [c.448]

Будем называть инвариантную область Q метрически неразложимой, если ее нельзя представить в виде [c.449]

Условие метрической неразложимости существенно для постоянства функции ф (Р) в области Q. Простым примером, в котором это условие заведомо не выполняется, может служить гармонический осциллятор, рассмотренный в 22.10. Возьмем какую-либо концентрическую окружность радиуса Ri, О < i i < -Я, тогда область Q г R) разделится на две инвариантные области Qi (О С г < Ri) и Q2 ( i < -Я), каждая ненулевой меры. Как уже указывалось, в этом примере функция ф (Р) постоянна вдоль характеристик, но не постоянна во всей области Q. [c.450]

Перейдем теперь к рассмотрению условий, при которых справедлива формула (П.6.5). Биркгоф показал, что это равенство справедливо только в том случае, если фазовое пространство является метрически неразложимым (говорят также, что поток, не допускающий метрической разложимости фазового пространства, является метрически транзитивным). Метрическая неразложимость означает, что фазовое пространство нельзя разбить на две инвариантные области, скажем на 7 , i = 1, 2, меры которых отличны от нуля или от единицы ). Интуитивно ясно, что никакая траектория не будет оставаться внутри конечного участка фазового пространства, скорее наоборот — траектория должна гулять по всему пространству. Можно сказать также, что каждое инвариантное подмножество фазового пространства обладает либо мерой нуль, либо мерой единица (в последнем случае оно охватывает почти все фазовое пространство) ). [c.380]

Разложим движение спстемы на метрически неразложимые эргодические компоненты [c.216]

В своей монографии Математические основы статистической механики Хинчин [1] обсуждает возможность формулировки эргодической теоремы без использования метрической неразложимости фазового пространства механической системы. Он доказывает следующую теорему [c.305]

Случай метрической неразложимости. [c.22]

Теорема. Если множество V метрически неразложимо, то почти всюду на [c.23]

Величина, стоящая в правой части этого равенства, может, очевидно рассматриваться как среднее значение функции / на всем множестве V. Мы будем называть ее фазовой средней функции / (на множестве V) и обозначать через /. Таким образом только что формулированная нами теорема утверждает, что в случае метрической неразложимости множества V временная средняя f(P) любой суммируемой функции / для почти всех исходных точек Р одна и та же и совпадает с фазовой средней / той же функции. [c.23]

В силу теоремы 6 есть, однако, один случай, когда возникшее затруднение отпадает. Если данная поверхность постоянной энергии метрически неразложима, то временные средние любой суммируемой фазовой функции для почти всех траекторий одинаковы и совпадают с фазовой средней этой функции на данной поверхности постоянной энергии. В этом случае, следовательно, каждая физическая величина получает в нашей теории совершенно определенную интерпретацию — фазовую среднюю соответствующей фазовой функции, и тем самым снимаются те затруднения, о которых говорилось выше. [c.34]

О метрической неразложимости редуцированных многообразий. [c.39]

Обратимся теперь к вопросу о том, какие общие соображения могут сделать более или менее правдоподобной метрическую неразложимость поверхностей постоянной энергии. Пусть ..., р<,) один из свободных интегралов уравнений движе- [c.40]

Возьмем поверхность постоянной энергии, на которой функция р не сохраняет почти всюду постоянного значения тогда мы можем указать такое вещественное число а, чтобы каждая из двух частей, на которые распадается взятая поверхность соответственно неравенствам > а я а, была множеством положительной меры ). Но так как является интегралом уравнений движения, то каждая из этих двух частей есть инвариантное множество. Это показывает, что взятая нами поверхность постоянной энергии не может обладать метрической неразложимостью. [c.40]

Условимся называть нормальным всякое разбиение данной поверхности постоянной энергии на две инвариантные части положительной меры, при котором все точки данной поверхности, соответствующие одному и тому же состоянию системы (мы будем называть такие точки физически эквивалентными), принадлежат одной и той же части. Поверхность, не допускающую нормальных разбиений, будем называть метрически неразложимой в расширенном смысле. Тогда имеет место [c.41]

Теорема. Для того, чтобы временные средние любой нормальной суммируемой функции, взятые вдоль почти всех траекторий данной поверхности постоянной энергии, совпадали с фазовой средней этой функции на данной поверхности, необходимо и достаточно, чтобы эта поверхность обладала метрической неразложимостью в расширенном смысле. [c.41]

Эргодическая проблема после произведенного изменения сводится теперь к вопросу о том, обладают ли, вообще говоря, поверхности постоянной энергии изучаемых нами механических систем метрической неразложимостью в расширенном смысле. Покажем прежде всего, что рассуждение, с помощью которого мы выше установили невозможность метрической неразложимости в ее первоначальном смысле, непосредственно ничего нам не дает, если понимать метрическую неразложимость в смысле расширенном. [c.41]

В самом деле, в этом рассуждении мы разбивали данную поверхность постоянной энергии на две части, причем принадлежность точки к той или другой из этих частей определялась тем значением, которое в этой точке получает некоторый интеграл р. Но теперь у нас речь идет только о таких разбиениях, которые мы выше назвали нормальными вместе с данной точкой к той или другой части должны принадлежать и все физически эквивалентные ей точки, т. е. все точки, изображающие то же самое механическое состояние системы. Если нормальный интеграл, т. е. принимает во всех таких точках одинаковое значение, то наше прежнее рассуждение остается в силе но если интеграл (р не обладает нормальностью, то при определении множеств М1 и М2, мы уже не можем начинать с произвольного разбиения совокупности всех принимаемых интегралом (/ значений на две части если мы хотим, чтобы разбиение (М1, М2) поверхности было нормальным, то мы, очевидно, должны, разбивая на две части совокупность значений интеграла р, озаботиться тем, чтобы значения, принимаемые этим интегралом в двух физически эквивалентных точках, всегда были относимы к одной и той же части. Это требование (дальше мы увидим это на примере), может оказаться несовместимым с требованием, чтобы Мг и М2 были инвариантными множествами положительной меры. Наше прежнее рассуждение в этом случае теряет силу, и возможность метрической неразложимости в расширенном смысле остается открытой. [c.41]

Мы приведем дальше простейший из известных примеров такого положения вещей. Сейчас же заметим только, что, как показывает проведенное нами рассуждение, метрическая неразложимость невозможна даже в расширенном смысле, если среди свободных интегралов имеется хотя бы один нормальный другими словами, для достижения метрической неразложимости редуцированного фазового пространства необходимо фиксировать значения всех нормальных интегралов. В частности, интеграл энергии, будучи всегда нормальным, подлежит обязательной фиксации. Если система не имеет других нормальных интегралов движения, то можно ставить вопрос о метрической неразложимости в расширенном смысле поверхностей постоянной энергии. [c.41]

Перейдем теперь к примеру метрической неразложимости в расширенном смысле. Рассмотрим систему с двумя степенями свободы, положение которой определяется двумя циклическими координатами (/ , ф периодом 1 это значит, что при любых целых к и I пара координат + к, ф + I символизирует то же положение системы, что и пара р, ф (движение точки по поверхности тора). Гамильтонову функцию положим равной [c.42]

Согласно сказанному выше, желая получить редуцированное пространство метрически неразложимым в расширенном смысле, мы должны зафиксировать значения интегралов р и ф положим (р = а, ф = 3, где а и /3 два любых несоизмеримых между собой вещественных числа редуцированное пространство ((/ , ф) будет тогда двухмерной частью четырехмерного фазового пространства и составляет, очевидно, часть поверхности постоянной энергии Е = -(а + /3 ). Посмотрим, может ли эта плоскость ,ф) [c.42]

Вопрос о том, может ли эта расширенная метрическая неразложимость рассматриваться как общее свойство достаточно широких классов встречающихся в статистической физике систем, мы не можем в настоящее время считать решенным. Отметим только, что рядом авторов построены другие, иногда довольно общего типа, подобные примеры, а также высказан ряд соображений в пользу более или менее широкой распространенности этого явления. Мы здесь не будем касаться этих вопросов, а займемся в следующем параграфе дальнейшим анализом тех случаев, которые имеют наиболее актуальное значение для статистической механики. [c.44]

Максвелл, 5 Максвелла закон, 78 Метрическая неразложимость, 22, 39 в расширенном смысле, 41 Микроканоническое распределение, 75, 76 Мизес, 8 [c.116]

Интегралы уравнений движения. Согласно теореме 22.15 требуется, чтобы рассматриваемая инвариантная область была метрически неразложимой. Если уравнения движения допускают однозначный интеграл ф, то область й г 5 Ь будет инвариантной областью. Однако ясно, что она не будет метрически неразложимой, поскольку представляет объединение инвариантных областей a v ) , где с — любое число, заклю- [c.451]

Делались попытки обоснования Э. г. с помощью исследования свойств фазовых траекторий замкнутых изолированных механич. систем из большого числа частиц. Были доказаны эргодичсские теоремы (см. Эргодическа.ч теория), к-рые сводили Э. г. к предположению о специфич. свойстве фазового пространства (его метрической неразложимости). Однако для обоснования статистич. физики эти теоремы не являются необходимыми, т. к. фазовые траектории чрезвычайно чувствительны к малым возмущениям (см. Раз.мешивание). В частности, они очень чувствительны к малейшему нарушению изоляции или замкнутости системы. Аналогичным свойством чувствительности квантовых состояний к малым возмущениям обладают к квантовые системы. Д. Н. Зубарев. [c.625]

Мера в фазовом гфостранстве] II 374 Метрическая неразложимость II 380 Микроканонический ансамбль I 131 Модель решеточного газа Г 361 [c.393]

Таким образом, полюса функции отклика g E) также обладают свойством аддитивности они состоят из полюсов функций g 4E), которые определяются классическими траекториями, принадлежащими г-й метрически неразложимой эргоднческой компоненте фазового пространства Г . Система полюсов функции g - ЧЕ) порождает последовательность собственных значений энергии, которую назовем серией. [c.216]

Каждой метрически неразложимой области фазового пространства, в которой движение является устойчивым условнопериодическим, соответствует энергетический спектр, называемый регулярным. Его квантование подчиняется правилам Эйнштейна (1.2), поскольку в таких областях существуют iV-мерные инвариантные торы. [c.216]

Введенные понятия характеризуют в разных смыслах топологическую неразложимость Т. Иногда эти понятия относят не только к гомеоморфизмам, но и к более общим — борелевским преобразованиям топологических пространств. В 3 для динамических систем на общих пространствах с мерой будет введено понятие эргодичности, характеризующее их метрическую нер азложи мость. [c.14]

Перейдем теперь к рассмотрению важнейшего частного случая теоремы Биркхоффа. Пусть снова V означает некоторую инвариантную часть (конечного объема) пространства Г. Условимся называть эту часть метрически неразложимой, если она не может быть представлена в виде [c.23]

В случае метрической неразложимости множества V теорема Биркхоффа может быть значительно уточнена именно, имеет место [c.23]

Как мы знаем из 6 гл. II, метрическая неразложимость данной поверхности постоянной энергии является условием, гарантирующим, что временные средние любой суммируемой функции /(Р) вдоль почти всех лежащих на этой поверхности траекторий совпадают с фазовой средней / этой функции, вычисленной для данной поверхности. Но легко видеть, что если относить это требование к почти всем траекториям и всем суммируемым функциям, то условие метрической наразложимости является вместе с тем и необходимым. В самом деле, если данная поверхность постоянной энергии метрически разложима, то это значит, что она распадается на два инвариантных множества Мг и М2, каждое из которых имеет положительную меру. Суммируемая функция равная [c.39]

Мы видим, таким образом, что метрическая неразложимость поверхностей постоянной энергии является необходимым и достаточным условием для положительного решения понимаемой в некотором точно определенном смысле эргодической проблемы. Уже это одно существенным и выгодным образом отличает путь исследований Биркхоффа от [c.39]

Это элементарное рассуждение оставляет впечатление, что метрическая неразложимость поверхностей постоянной энергии есть гипотеза, которая, подобно эргодической гипотезе Больцманна, никогда не может осуществиться в действительности и, следовательно, должна быть отброшена как мы знаем, это означало бы и полное решение эргодической проблемы в отрицательном смысле. [c.40]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...