Квантовый осциллятор

Процессы, происходящие в твердых телах, связанные с колебаниями атомов кристаллической решетки, выглядят особенно просто, если обратиться к одному из самых фундаментальных обобщений квантовой механики. В основе этого обобщения лежит идея французского физика Луи де Бройля о том, что каждой волне с частотой со и волновым вектором к можно сопоставить частицу с энергией E—Htd и импульсом p = ftk. Так, световые (электромагнитные) волны можно рассматривать как квантовые осцилляторы излучения или считать, что они состоят и частиц — квантов, называемых фотонами. Каждый фотон имеет энергию Й.0). Аналогично, если обратиться к формуле (5.70) для энергии квантового осциллятора, то звуковую волну с волновым вектором к и поляризацией s можно рассматривать как совокупность ге(к, s) квантов с энергией Йсо(к, s) каждый и плюс энергия основного состояния /2Й<в(к, s). Эти кванты (или частицы звука) звуковой волны называют фононами. Величина ft. o(k, ь), очевидно, представляет собой наименьшую порцию энергии возбуждения над основным уровнем АЛ (к, s). Так как фонон несет наименьшую энергию, его рассматривают как элементарное возбуждение. Сложное возбуждение есть просто возбуждение, содержащее много фононов. Коллективные движения атомов в кристалле представляют собой звуковые волны, а соответствующие им возбуждения — кванты звука, или фононы. [c.161]

Из сказанного следует, что каждую моду колебаний с классической частотой D (к, s) можно возбудить с помощью целого числа квантов Й(о (к, s) энергии. При этом величина л (к, s) в формуле (5.70) имеет простой смысл — это число фононов данного сорта с импульсом р и энергией Й(о(к, s). Во многих задачах, связанных с тепловыми свойствами твердых тел, необходимо знать среднее число фононов <п(к, s)> с энергией Йш(к, s), существующих в данной моде колебаний при температуре Т. Для нахождения <л(к, s)> воспользуемся выражением для средней энергии квантового осциллятора, полученного Планком [c.162]

Этим выражением для средней энергии квантового осциллятора, без вывода, мы уже пользовались в гл. 5 для подсчета среднего числа фононов < (к, s)> с энергией Й.(о(к, s), соответствующих в данной моде колебаний температуре Т. [c.167]

Квантовые осцилляторы. Уровни энергии квантового гармонического осциллятора описываются выражением [c.57]

Подставляя (2.4.26) и (2.4.25) в (2.4.24), приходим к следующему выражению для средней энергии квантового осциллятора [c.58]

Сделаем еще один шаг, оставаясь в рамках задачи о равновесном излучении. Представим, что вместо квантового осциллятора поля с частотой оэ, находящегося на п-м уровне, имеется п фотонов с энергией fta. В этом случае переходу осциллятора на более высокий соседний уровень энергии будет отвечать рождение фотона с энергией Аы, а переходу на более низкий соседний уровень — уничтожение [c.59]

Заметим, что сопоставление с п-кратно возбужденным квантовым осциллятором поля коллектива из п фотонов предполагает, очевидно, что для характеристики фотона [c.59]

Векторный потенциал поля излучения и операторы рождения и уничтожения фотонов. В 2.4 на примере задачи о равновесном тепловом излучении был продемонстрирован переход световые волны -> квантовые осцилляторы -> фотоны. В общем виде этот переход рассматривается на основе метода вторичного квантования с использованием, операторов рождения и уничтожения фотонов. Фактически мы уже провели это рассмотрение. Чтобы завершить его, остается [c.255]

Модель Эйнштейна. Уменьшение теплоемкости при понижении температуры впервые объяснил А. Эйнштейн в 1907 г., использовав развитую М. Планком теорию излучения абсолютно черного тела. Если предположить, что энергия квантового осциллятора с частотой т = и/2я может принимать [c.37]

Зависимость средней энергии е квантового осциллятора от температуры приведена на рис. 39. Пунктирная прямая изображает зависимость е от Г по классической теории. [c.245]

Используя квантовомеханические представления, будем считать, что энергия фонона с частотой и (в кристалле) как энергия гармонического квантового осциллятора равна [c.221]

Пусть колебания некоторого воображаемого кристалла могут быть представлены как совокупность N квантовых осцилляторов с частотой соь 2Л/ — с соз, ЗЛ — с соз. Пренебрегая нулевыми колебаниями, рассмотреть, как с изменением температуры будут меняться энергия колебаний и теплоемкость кристалла. [c.228]

Перейдем, так же как и в случае равновесного электромагнитного излучения, к корпускулярной картине, в которой каждому нормальному колебанию (или, что то же самое, каждой стоячей волне) сопоставляется квантовый осциллятор с энергией М1 +l/2)/гv/. При этом квантовые числа каждого осциллятора N1 интерпретируются как числа особых квазичастиц — фононов, имеющих энергию e/ = /гv, и импульс р1 = /г/,- / 2лг. [c.256]

Пример квантовый осциллятор в термостате. В качестве иллюстрации общего формализма, развитого в предыдущих разделах, рассмотрим динамику квантового осциллятора, взаимодействующего с термостатом. Выбор этой модели объясняется двумя причинами. Во-первых, она относительно проста, что позволяет обсудить некоторые важные аспекты нелинейных релаксационных процессов, не прибегая к сложной математике. Во-вторых, задача о квантовом осцилляторе в среде представляет самостоятельный физический интерес. В частности, некоторые из полученных результатов будут использованы в параграфе 7.4 при анализе кинетических процессов в лазерах. [c.121]

В данном случае Hg — хорошо известный гамильтониан квантового осциллятора [c.121]

Квантовое уравнение Фоккера-Планка. Наиболее изящный метод исследования основных кинетических уравнений для бозе-систем основан на использовании так называемого представления когерентных состояний ), которое позволяет свести операторное основное кинетическое уравнение к дифференциальному уравнению для непрерывной функции распределения. В этом разделе мы применим метод когерентных состояний к уравнению (7.3.32) для затухающего квантового осциллятора. Читателям, которые не очень хорошо знакомы с когерентными состояниями и соответствующим представлением для квантовых операторов, рекомендуем обратиться к приложениям 7Б и 7В. Здесь мы приведем лишь некоторые формулы, чтобы фиксировать обозначения. [c.123]

Пусть квантовый осциллятор находится в равновесном состоянии и описывается матрицей плотности п дщ п ) = где вероятности даются формулой (7.3.37). Полагая = eq в (7.3.38), найти в явном виде равновесную функцию распределения /о( , 2 ) и убедиться, что она совпадает со стационарным решением (7.3.62) квантового уравнения Фоккера-Планка. [c.156]

Квантовый осциллятор описывается с помош ью стационарного уравнения Шредингера. С учетом выражения для II(х) получим [c.484]

Линейный осциллятор— основная модель линейной теории колебаний. Свойства линейных систем. Квантовый осциллятор [c.77]

Во-вторых, из формулы для следует, что в наинизшем энергетическом состоянии квантовый осциллятор совершает так называемые нулевые колебания , кинетическая и потенциальная энергия которых порядка Ьш. Среднее значение координаты осциллятора равно нулю, [c.80]

Если интерпретировать звуковые колебания в твердом теле как набор квантовых осцилляторов, то получается, что при абсолютном нуле атомы твердого тела совершают нулевые колебания а не неподвижны. Это было подтверждено экспериментами по рассеянию света при низких температурах. Электромагнитную волну тоже можно рассматривать как набор осцилляторов. Следовательно, даже в вакууме — пустом пространстве, — где нет ни частиц, ни квантов, будут иметь место нулевые колебания электромагнитного поля. [c.81]

Принято считать, что фотоэффект дает наиболее прямое экспериментальное доказательство квантовой природы излучения. Квантовая гипотеза и в самом деле позволяет непринужденно объяснить все основные экспериментальные закономерности фотоэффекта. Но тем не менее следует отметить, что эти закономерности получают исчерпывающее объяснение и в полуклассической теории взаимодействия излучения с веществом, рассматривающей вещество квантово-механически, а излучение — как классическое электромагнитное поле. Это показал Г. Вентцель в 1927 г. С аналогичным положением вещей мы сталкиваемся и в проблеме равновесного излучения. Спектральное распределение энергии (формулу Планка) можно получить, рассматривая нормальные колебания электромагнитного поля в полости как набор квантовых осцилляторов, т. е. как идеальный газ частиц излучения — фотонов (см. 9.3). Но формулу Планка можно получить и иначе, рассматривая излучение как классическое электромагнитное поле и применяя квантовую гипотезу лишь к находящемуся в равновесии с ним веществу (осцилляторам). Именно так и поступал Планк (см. 9.2). Полуклассическая теория взаимодействия света с веществом, не привлекая понятия фотона, дает количественное объяснение большинству наблюдаемых явлений. Квантований электромагнитного поля принципиально необходимо для правильного описания некоторых явлений, включающих его флуктуации спонтанного излучения, лэмбовского сдвига, аномального магнитного момента электрона. [c.459]

Классическое уравнение Фоккера — Планка для затухающего квантового осциллятора [c.296]

Фононы. Рассматривая в 2.4 квантовые осцилляторы поля светового излучения, мы показали, как можно ввести фотоны. Подходя аналогичным образом к квантовым нормальным осцилляторам, можно ввести кванты новой природы. Если фотоны отражают корпускулярный характер структуры электромагнитных волн, то новые кванты отражают корпускулярный характер структуры упругих волн, связанных с тепловыми колебаниями кристаллической решетки. Эти кванты получили название фононьг. [c.136]

Если в формулу (14.99) в качестве е подставить среднее значение энергии квантового осциллятора (14.79), отсчитываемой от нулевой энергии, то мы иолуЧ Им формулу Планка для спектральной плотности равновесного излучения [c.254]

Энергетические характеристики оптического излучения описываются квантовой теорией, в соответствии с которой любой излучатель представляет собой совокупность квантовых осцилляторов. Суммарное излучение излучателя определяется в результате статистического осреднения излучения отдельных осцилляторов. Спектральные характеристики излучения зависят от агрегатного состояния и 1лучающего вещества, а также от способа возбуждения энергетических уровней его атомов и молекул. По характеру излучения различают источники тепловые с непрерывным спектром излучения, в которых энергия излучения образуется за счет преобразования тепловой энергии люминесцентные, как правило, с линейчатым [c.42]

Дискретный спектр может быть проиллюстрирован также на примере квантового осциллятора — частицы, движущейся в поле с F (x) = V2m(i) x . Задача о квантовом осцилляторе является одной из важнейших и точно реисасмых аналитически задач К. м. Важность её обусловлена тем, что для произвольного нотенц. ноля в положении равновесия з должен быть минимум иотепц. энергии и V х) вблизи от положения [c.287]

Однако существеииым для расчётов является свойство К. с. быть производящей ф-цией для состояний — аналогов состояний с заданной энергией стационарного квантового осциллятора. Как пример для квантовых систем, описываемых нестационарным гамильтонианом квадратичной формы по операторам координат и импульсов, это свойство нозволяет найти точно (не тю теории возмущений) через многомерные полиномы Эрмита Бсроятности переходов между уровнями энергии JV-иерного гармонич. осциллятора при параметрич, возбуждении самого общего типа [3]. [c.394]

Разложение поля, по нормальным тинам колебаиий эквивалентно разложению по гармоническим осцилляторам, т. е., в данном случае поле рассматривается как совокупность осцилляторов. Каждый из нормальных типов колебаний есть квантовый осциллятор с уровнями энергии Ьи)к(Пк+ /2), которые являются собственными значвииям и 0перат0 ра аиергии поля, Н=ЛЬш (<цак+Ч2). Опуская [c.198]

Силы Ван-дер-Ваальса являются следствием и подтвержде-жием квантовомеханического эффекта — наличия у квантовых осцилляторов энергии нулевых колебаний. [c.22]

Полученное нами уравнение (7.3.48) для функции распределения квазивероятностей квантового осциллятора в термостате представляет собой частный случай общего уравнения Фоккера-Планка, которое широко используется в самых разных областях естествознания. Методы решения уравнения Фоккера-Планка и его приложения подробно рассматриваются, например, в книге Рискена [146]. В некоторых случаях уравнение Фоккера-Планка удается решить аналитически. Именно так обстоит дело с уравнением (7.3.48). [c.126]

Что касается левой части уравнения (7.4.59), то ее преобразование фактически уже было проведено в разделе 7.3.4, где рассматривалось уравнение Фоккера-Нланка для квантового осциллятора с затуханием. В частности, преобразованный оператор совпадает с правой частью уравнения (7.3.48), если там положить а = 0. Для преобразования правой части уравнения (7.4.59) следует воспользоваться выражением (7.4.65) и правилами вычисления вейлевского символа произведения АВ [см. формулы (7В.26) и (7В.27) в приложении 7В]. Простые выкладки оставим читателю в качестве упражнения и выпишем получающееся уравнение для функции распределения квазивероятностей [c.137]

Рассмотрим в качестве иллюстрации вейлевские символы операторов, входящих в основное кинетическое уравнение (7.3.32) для квантового осциллятора. Например, с помощью (7В.13) и (7В.26) находим (для краткости аргументы опущены) [c.149]

Согласно формуле (П3.48) энергия квантового осциллятора принимает дискретные, квантованные значения. Семейство величин Е (П3.48) представляет собой совокупность равноотстояш их друг от друга энергетических уровней. При гг > 1, т.е. когда гг + 1/2 гг, энергетические уровни (П3.48) совпадают с уровнями квантованной энергии Еп = пТьи в теории излучения абсолютного твердого тела Планка. [c.485]

Не равная нулю вероятность обнаружения квантового осциллятора на промежутке [х, х + (1х] равна фп х) (1х. Отсюда следует возможность просачивания квантового гармонического осциллятора, обладаюш его волновыми свойствами, за пределы классически дозволенной области I X I < Хщах, ограничиваюш ей потенциальный барьер. [c.485]

Примеры различных Маятников (осцилляторов) от механического до химического, экологического, экономического. Линейный осциллятор - основная модель линейной теории колебаний. Свойства линейных систем. Квантовый осциллятор Что такое динамическая система Понятие о фазовам пространстве. Фазовый портрет линейного осщилятора. [c.54]

Следуя А.Мигдалу [45], рассмотрим возможность еще одного обобщения квантовый осциллятор. Начнем с основной идеи квантовой механики. Она состоит в том, что каждая частица (например электрон) характеризуется некоторым волновым процессом, которому соответствует длина волны [c.79]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...