Гипотеза эргодическая

Вариационный принцип дополнительный 248 Гипотеза эргодическая 251 [c.553]

Гель-фракция 308 Германий аморфный 85 Гипотеза эргодическая 136 Горячее твердое тело 59, 60 Граница встречных доменов 39 Границы зон Бриллюэна 340, 455, [c.580]

С и н а й Я. Г., К обоснованию эргодической гипотезы для одной динамической системы статистической механики, ДАН СССР 153, вып. 00 (1963). [c.384]

Когда образцы статистически однородны, мы обычно привлекаем эргодическую гипотезу и предполагаем, что средние по объему совпадают со средними по ансамблю. Среднее по объему обозначается ломаными скобками ( ) и определяется так [c.251]

В разд. II были приведены два вариационных принципа (см. уравнения (10) — (19)), которые позволяют найти границы для е. Эти принципы были сформулированы в терминах средних по объему, но их можно переформулировать в терминах средних по ансамблю, поскольку при определении е предполагалось, что справедлива эргодическая гипотеза [4]. Более того, е определяется равенством (13) через энергию [c.267]

Эмпирическая теория разрушения 405 Эргодическая гипотеза 251 Эффективная жесткость на изгиб 28—35 [c.556]

В дальнейшем мы увидим, что при известных условиях справедливо и более сильное утверждение, а именно что величина ф Р) постоянна не только на траектории, но и во всей области Q. Это свойство инвариантных областей играет фундаментальную роль в статистической механике. Впервые оно было высказано в форме правдоподобной гипотезы в кинетической теории газов, где эргодическая теорема используется весьма широко. Нетрудно видеть, что это свойство (постоянство функции ф (Р) в области Q) не имеет места для уравнений Гамильтона в классической динамике Для того чтобы оно выполнялось, необходимо, чтобы система обладала некоторыми особыми свойствами, о которых речь будет ниже ( 22.15). [c.443]

Стационарные случайные процессы обладают еще одним важным свойством, вытекающим из эргодической гипотезы средние значения, определенные на основании наблюдения над многими подобными системами в один и тот же момент времени, и средние по времени, т. е. средние значения, определенные на основании наблюдения над одной из этих систем для достаточно большого числа последующих моментов времени, для стационарных случайных процессов, дают один и тот же результат. [c.261]

ДЛЯ гипотезы равномерной вероятности , обычно именуемой (квази-) эргодической гипотезой мы имеем значительное продвижение в работах фон Неймана, Биркгофа, Хопфа, А.Я.Хинчина. Мы не можем останавливаться здесь на изложении их содержания заметим только, что можно заниматься статистической механикой и не входя в эти весьма трудные рассуждения. [c.14]

В этом случае, очевидно, следует понимать как некоторое среднее (по множеству реализаций) описание процесса (т. е. среднее по многим образцам одинаковой геометрии, с одной и той же длиной трещины и из одного и того же материала). В этом смысле теория годится для любых трещин, в том числе, для микротрещин, длина или приращение длины которых сравнимы или гораздо меньше размера зерна (но гораздо больше межатомного расстояния). Применение теории к одной единственной реализации случайного процесса на основании эргодической гипотезы вполне законно в том случае, когда приращение длины трещины и сама эта длина значительно больше среднего размера зерна (распределение деформационных и прочностных характеристик материала от точки к точке можно считать стационарным случайным процессом). В том случае, когда длина трещины (или соответственно приращение длины) сравнима или гораздо меньше размера зерна, становится существенным статистический разброс. [c.374]

Эквивалентная безлинзовая голограмма Фурье 182 — 184 Экспозиция 102, 108 Экраны 476, 477 Электронная микроскопия 13 Электрофотографические плепки 3 4 Эргодическая гипотеза 84 Эталонная функция 551 Эффект прерывистой экспозиции , 22 Эффекты, связанные с длиной полны излучения 202, 489 [c.733]

Постулат о микроканоническом распределении гласит все микро состояния равновесной замкнутой системы являются равновероятными. Согласно микроканоническому распределению система за большой промежуток времени пройдет все доступные для нее микросостояния. В среднем время пребывания системы в любом микросостоянии одно и то же. Эта новая формулировка микроканонического распределения эквивалентна ранее приведенной в силу эргодической гипотезы. [c.41]

Заметим в заключение, что при выводе неявно использовалось допущение, эквивалентное эргодической гипотезе за достаточно большой срок система побывает во всех возможных для нее квантовых состояниях. Для этого необходимо, чтобы не было изолированных групп состояний. [c.240]

Это равенство говорит о том, что безразлично, какой параметр брать в более поздний момент. (Усреднение в (3) и в (4) производится по микроканоническому ансамблю. Однако в соответствии с эргодической гипотезой его можно понимать и как усреднение по времени, если следить за изменениями состояния одной системы.) Поскольку при малых т [c.242]

Эргодическая гипотеза утверждает, что для определения эффективных характеристик материала не нужно проводить усреднение по ансамблю, а достаточно провести усреднение по объему образца V. Поэтому под эффективными свойствами неоднородных материалов в дальнейшем будем понимать материальные характеристики С, связывающие два тензорных поля, усредненных по объему V (обозначим их и <у> >), линейными соотношениями, т. е. [c.7]

В 1.2 на основании эргодической гипотезы утверждалось, что для определения эффективных свойств неоднородного материала не нужно проводить усреднение по ансамблю, а достаточно провести усреднение по объему образца V. В этом случае обе структуры (рис. 2.1) являются адекватными, так как обладают одинаковыми средними структурными характеристиками, а именно размерами включений и расстояниями между ними формой и объемными концентрациями условиями взаимодействия между компонентами. Заметим, что при вьщелении элементарной ячейки не обязательно переходить к упорядоченной структуре. [c.24]

В статистической механике предполагается, что средние по статистическому ансамблю совпадают с наблюдаемыми значениями физических величин, которые на самом деле являются средними по времени для единственной рассматриваемой системы. Это предположение называется эргодической гипотезой. Проблема обоснования эргодической гипотезы весьма трудна даже в равновесном случае, когда время усреднения может быть сколь угодно большим [53, 131]. Если же мы имеем дело с неравновесными ансамблями, то время усреднения не может превышать характерное время, за которое изменяются величины, описывающие макроскопическую эволюцию системы. С другой стороны, время усреднения должно быть достаточно большим, чтобы наблюдаемые физические величины можно было трактовать как средние по многим микроскопическим состояниям. Таким образом, одной из основных проблем в неравновесной статистической механике является построение ансамблей, правильно описывающих неравновесные состояния на различных шкалах времени. Эта проблема будет подробно рассмотрена в главе 2. [c.15]

Как уже отмечалось, микроканоническое распределение обычно постулируется в равновесной статистической механике. Между тем предположение о равновероятности динамических состояний замкнутой, энергетически изолированной системы — разумная, но отнюдь не очевидная гипотеза. Проблема обоснования этой гипотезы называется эргодической проблемой [53]. Мы не будем здесь обсуждать эту проблему, но заметим, что мы доказали важное свойство микроканонического распределения, которое можно считать аргументом в пользу эргодической гипотезы. Мы показали, что среди всех распределений в заданном энергетическом слое микроканоническое распределение соответствует максимальному значению информационной энтропии ). [c.56]

В настоящей работе понятие эргодичности оставляется в стороне. Мы отказываемся от принятия эргодической гипотезы она одновременно и недостаточна и не необходима для статистики. Мы исходим из понятия движений размешивающегося типа. В работе показывается, что необходимое механическое условие для применимости статистики заключается в требовании того, чтобы в фазовом пространстве системы все области, начиная с некоторых, достаточно больших областей, деформировались с течением времени так, чтобы при сохранении объема — по теореме Лиувилля — их части распределялись по всему фазовому пространству (точнее, слою заданных значений однозначных интегралов движения) все более и более равномерно. Далее, устанавливается критерий, которому должна удовлетворять потенциальная энергия системы для того, чтобы осуществлялось такое размешивание и показывается, что во всех случаях практически важных сил взаимодействия этот критерий будет выполнен. [c.169]

Разработка эргодической теории и наведение мостов между детерминированным и стохастическим описанием динамических систем. Эргодическая теория ведет свое начало от гипотезы эргодичности, выдвинутой еще Л. Больцманом. Согласно этой гипотезе в статистической механике усреднение по времени может быть заменено усреднением по ансамблю [56]. Дальнейшие попытки обоснования этой гипотезы привели к созданию сложной и разветвленной эргодической теории, основные этапы развития которой связаны с именами Д. Биркгофа, Дж. фон Неймана, [c.82]

Как известно, макроскопическое описание подразумевает усреднение по времени отвечающему микроскопическим флуктуациям в распределении атомов п т,Ь). Согласно эргодической гипотезе, для выполнения этого усреднения следует ввести эффективный ансамбль потенциальных рельефов 7(г) , представляющий флуктуирующий рельеф [c.227]

ЭРГОДИЧЕСКАЯ ГИПОТЕЗА И РАВНОВЕСНЫЕ СОСТОЯНИЯ 35 [c.35]

Временные средние, эргодическая гипотеза и равновесные состояния [c.35]

В частности, если для всех интегралов движения, за исключением полной энергии, не существует предпочтительных областей фазового пространства эргодическая гипотеза), то равновесное распределение зависит только от полной энергии Е и имеет вид [c.40]

Недавно Я- Г. Синай [7—8] доказал, что эргодическая гипотеза, приводящая к соотношению (6.11), верна (и, следовательно, переходит в эргодическую теорему) для систем из твердых сфер в неподвижном зеркально отражающем ящике. Его доказательство сложно и длинно и потому выходит за рамки данной книги при помощи интуитивных рассуждений мы попытаемся только показать правдоподобность результатов. [c.40]

Еще Больцман высказал эргодическую гипотезу — идею о равновероятности всех состояний изолированной системы [4]. Эта гипотеза с топологической точки зрения не может быть верна, и она была заменена квазиэргодической [56] фазовая траектория обязательно проходит через сколь угодно малую окрестность любой точки на эргодической поверхности. Эргодическая гипотеза дала начало больщому разделу математики — эргодической теории. Я. Г. Синай доказал ряд теорем по эргодичности систем, состоящих из твердых сфер [57]. Однако остается открытым вопрос относительно систем, состоящих из частиц, между которыми действуют силы притяжения. Кроме того, в классической эргодической теории не учитывается макроскопический [c.215]

Квантовая механика, конечно, как и всюду, внесла в самые основы статистической механики существенные изменения. Так, например, эргодическая гипотеза здесь становится теоремой, изменяется, в силу закона сохранения состояний, принадлежащих к определенной группе симметрии, сама схема вычисления вероятности состояния. Но и здесь все, что касается обоснования термодинамики, остается почти что по-старому, вследствие чего лекции Лоренца продолжают служить великолепным введением и для этих более возвышенных областей. Здесь следует указать снова на книгу Фоулера (последняя глава), книгу Бриллюэна , небольшую книжку Й о р д а и а и, наконец, на статьи Неймана . [c.14]

Э. т. (метрическая теория динамических систем)—раздел теории динамических систем, изучающий их статистич. свойства. Возникновение Э. т. (1-я треть 20 в.) было стимулировано попытками доказать эргодическую гипотезу (термин введён П. и Т. Эренфестами, Р. и Т. Ehrenfest), предложенную в кон. 19 в. Л. Больцманом для обоснования статистич. физики. [c.625]

Пусть внешняя нагрузка представляет собой квазистацио-нарный случайный процесс. Под квазистационарным случайным процессом понимается процесс, удовлетворяющий следующему условию для любого момента времени t существует такой интервал (/ — А/, ,(где внутри которого случайный процесс можно считать стационарным. Напомним, что все числовые характеристики стационардого случайного процесса — математическое ожидание, дисперсия и т. д. — не зависят от времени. Кроме того, на основании эргодической гипотезы для стационарного процесса средние по времени и по множеству реализаций будут совпадать. В данном случае Ртах И Pmin будут представлять собой внутри каждого интервала А< случайные величины с некоторыми функциями распределения параметры, входящие в эти функции, для квазистационарных процессов будут слабо зависеть от времени. [c.330]

Анализ рис. 6.11 и 6.12 показывает, что вид псевдоогибающей А (t) и спектральной плотности 5 (со) существенно зависит от принятого способа аппроксимации и обработки акселерограмм. Разброс результатов — естественное явление, если учесть, что они представляют собой в сущности статистические оценки. Эти оценки к тому же получены при дополнительных, трудно проверяемых гипотезах (мультипликативное представление нестационарного случайного процесса, эргодические свойства стационарной компоненты и т. п.). В условиях крайнего недостатка записей сильных землетрясений, большой изменчивости их параметров, зависящих от различных, порой не поддающихся учету факторов, разброс результатов обработки имеет второстепенное значение. Другие модели процесса сотрясений рассмотрены в работах [54, 98, 111]. [c.248]

В таком утверждении содержится неявная тонкость, которая даже в лучших книгах обсуждается лишь мимоходом. Из квантовой механики хорошо известно, что состояние системы должно описываться полным набором коымутируюхцих наблюдаемых (по терминологии Дирака). Приведенное нами утверждение подразумевает, что энергия уже сама по себе образует такой набор все прочие наблюдаемые, коммутирующие с гамильтонианом, мы исключаем из рассмотрения. Разумеется, это не что иное, как неявная формулировка эргодической гипотезы. [c.132]

Из соотношения (1.1) и табл. 1.1 следует, что для определения эффективных характеристик неоднородного материала (НМ) необходимо определить распределение физических полей во всех компонентах (столбцы 2 и 3), а потом уже перейти к квазигомогенной среде (столбец 4). Ясно, что это очень трудная задача, для решения которой требуется детальная информация о геометрии, ориентации и расположении всех составляющих компонентов неоднородного материала. Воспользуемся эргодической гипотезой, согласно которой среднее по объему совпадает со средним по ансамблям. Иными словами, допускается, что эффективные свойства неоднородного материала не зависят от исследуемого образца, пока все образцы материала имеют одинаковую в статистическом отношении структуру. Итак, для определения эффективных свойств НМ нужна только статистическая информация о его внутренней структуре, которая не одинакова для различных образцов, полученных при близких условиях. [c.6]

Предположим, что рассматриваемая система не является размешивающейся системой. Тогда врзмя релаксации обычно определяется (такое определение почти неизбежно в обычной форме эргодической гипотезы) как то время, в течение которого каждая (или почти каждая) из точек поверхности заданной энергии пройдет через все состояния на этой поверхности и проведет в каждом из состояний время, пропорциональное величине области, соответствующей этому состоянию. Аналогично только что сказанному, тип состояний и соответствующих им областей фазового пространства определяется теми величинами, по отношению к которым мы рассматриваем релаксацию. Покажем на примере идеального газа, что вытекающая из такого определения величина времени релаксации совершенно не соответствует тем временам, которые наблюдаются на опыте. [c.29]

Наиболее распространенной формой предположения о динамическом характере статистических систем является эргоди-ческая гипотеза. Пункты а и б 5 (так я е как и следствия, вытекающие из того факта, что в каждый данный момент после времени релаксации распределение вероятностей различных значений энергии гиббсово) показывают неудовлетворительность этого предположения эргодическая гипотеза не может привести к правильному понятию о релаксации. Она не может дать независимости состояния, наступающего после времени релаксации от начального состояния — независимости, выражаемой существованием формулы для флюктуации е (конечно, требуется независимость лишь по отношению к определенным величинам — тем, по которым произошла релаксация). Основываясь на этой гипотезе, распределению вероятностей, наступающему после времени релаксации, можно придать смысл лишь распределения относительных длительностей соответствующих состояний за огромные, не имеющие физического смысла промежутки времени. Именно поэтому статистические системы должны быть системами размешивающегося типа. [c.35]

Таким образом, либо мы должны отказаться от основанной целиком на классической механике теории статистических систем, либо, в противоречии с возникшим из опыта убеждением в полной применимости вероятностного описания, считать, что эти явления не подчиняются никакой вероятностной схеме, имеют алгорифм, и лишь имитируют некоторые свойства вероятностных рядов (Мизес [13], стр. 530). Исходя из вероятностного характера изменения энтропии, Мизес пришел к заключению, что дифференциальные уравнения механики (в частности, эргодическая гипотеза) не могут рассматриваться как основа для построения статистической физики [8J. Мизес предложил чисто вероятностную схему описания процессов в статистических системах (схему типа цепей Маркова [14 ), но совершенно не ставил вопрос о связи этой схемы с принципами микромеханики. [c.54]

Мы видели, что последняя трудность, связанная с конкретным видом вероятностной схемы, так же как и неудовлетворительность описания состояния релаксации (неприменимость флюктуационной формулы), не являются логически необходимыми следствиями классического характера теории их можно из-бел ать, если при интерпретации Я-теоремы итти по пути, охарактеризованному в 4 и 8. Мы указали здесь, тем не менее, на эти добавочные недостатки интерпретации Я-теоремы с помощью ступенчатой -кривой, так как эта интерпретация очень распространена, благодаря ее мнимой простоте и кажущейся возможности получить ее при помощи эргодической гипотезы или даже при помощи менее точного качественного динамического утверждения. Кроме того, переход от интегральной Я-теоремы к локальной существенен для одной из основанных на квантовой механике трактовок вопроса о необратимости работы Неймана [21], Паули и Фирца [22]), где присущих такому переходу недостатков уже нельзя избежать способом, подобным тому, который может быть использован в классической теории. [c.119]

Сразу после возникновения квантовой механики стали появляться работы, целью которых было вновь рассмотреть вопрос об обоснованди статистики. В самом появлении этих работ, в возобновлении интереса к этому старому вопросу, в самой надежде найти его репхение, исходящее из квантовой теории, отразилось, как уже говорилось в 3 главы I, скрытое сознание того, что этот вопрос не получил достаточно удовлетворительного решения на основе классической механики. Действительно, никто не стал бы утверждать, что целью этих работ был просто перевод на квантовый язык решения вопроса, уже существующего в классической теории, и, в частности, распространения его на случай квантовых статистик. Очевидно, что с появлением квантовой механики возникла надежда на то, что удастся избежать различных предположений, делавшихся в классической теории, в особенности различных усреднений или, говоря точнее, различных предположений равновероятности (вроде предположения равновероятности фаз молекул в конфигурационном пространстве, позволившего Больцману доказать ZT-теорему для идеального газа), или удастся избежать эргодической гипотезы и т. д. и, по крайней мере, удастся придать выводам теории более общий смысл. [c.134]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...