Системы с большим числом независимых переменных

Системы с большим числом независимых переменных [c.140]

Диаграмма состояния сплавов с тремя компонентами имеет пространственный вид (две оси концентрационные и одна температурная). Четырехкомпонентная система и системы с большим числом компонентов также изображаются в виде пространственных диаграмм, но с некоторыми упрощениями, так как они имеют больше трех независимых переменных. [c.69]

Адиабатические инварианты. Проблема медленно меняющихся цугов волн аналогична проблеме медленно меняющихся колебаний в классической механике. Известная элементарная задача состоит в определении изменений амплитуды простого маятника, когда пружина медленно перемещается по подставке. Вообще же говоря, эта задача относится к поведению гамильтоновой системы, когда внешний параметр медленно меняется со временем. Теория основывается обычно на уравнениях Гамильтона, причем сушественно используются канонические преобразования. Соответствующие преобразования не существуют в случае большего числа независимых переменных [8], так что в задачах теории волн подобные методы построить нельзя. С дру- [c.22]

Мы знаем, что в случае системы с п степенями свободы имеется п уравнений Лагранжа. Поэтому может показаться странным, что для системы с бесконечным числом степеней свободы получено только одно уравнение (11.17). Следует, однако, помнить, что в обычные уравнения Лагранжа входит только одна независимая переменная — время, а в уравнение (11.17) входят четыре переменные j i, Х2, Xz, t. Поэтому уравнение (11.17) является уравнением в частных производных. Можно смотреть на него как на сумму обыкновенных дифференциальных уравнений, получающихся при фиксированных значениях - 1, -> з- Тогда число этих уравнений будет бесконечно велико, что согласуется с бесконечно большим числом степеней свободы. [c.383]

Теория гиперболических систем квазилинейных уравнений быстро развивается. Тем не менее построение ее теоретического фундамента все еще нельзя считать законченным. Наибольшее продвижение достигнуто при изучении уравнений с двумя независимыми переменными. Но и для таких систем теория приобрела определенную завершенность лишь в случае одного уравнения или системы двух уравнений для систем с большим числом уравнений нет достаточно общих теорем существования и единственности решения задачи с начальными данными. [c.143]

Полученные решения протабулированы в широком диапазоне переменных для сплошного и полого цилиндров [104]. Для немагнитной трубы с произвольной толщиной стенки число независимых переменных равно четырем, для сплошного цилиндра — трем, что потребовало большого числа графиков. Рассмотрим характерные зависимости вносимого сопротивления цилиндра лг и индуктивного сопротивления системы от длины индуктора и поверхностного эффекта в загрузке. [c.175]

Обобщение представленного в этом пункте метода характеристик на случай системы уравнений с числом независимых переменных, большим двух, будет показано в п. 27 на примере задач распространения плоских двумерных волн напряжений. [c.68]

В большинстве задач параметры, описывающие поведение дан-НОЙ системы, связаны между собой дифференциальными уравнениями или неголономными связями движение системы исследуется при помощи интегрирования этих уравнений с привлечением необходимого количества начальных условий. Во многих случаях число независимых переменных оказывается больше, чем число связей, и описать правильно движение невозможно, если не будет назначена какая-то программа изменения группы переменных, символизирующих дополнительные степени свободы системы. Такие переменные соответственно именуются управляемыми переменными . В большинстве случаев их можно опознать по тому признаку, что их дифференциальные коэффициенты, или производные по времени, если время считается независимым переменным, не входят в уравнения связи. В авиационной технике управляемыми переменными являются именно те параметры, которые подвергаются воздействию со стороны летчика в ракетной технике —это те параметры, которые управляются командными сигналами. [c.746]

Всего этих уравнений, выражающих условия равновесия гетерогенной системы, к п- ). Состояние гетерогенной системы определяется величинами р, Т п к—1 независимыми концентрациями различных компонентов в каждой фазе , т. е. 2-1-и —1) переменными. При этом система из /с и-1) уравнений (10.50) будет иметь решение, если число уравнении будет во всяком случае не больше числа переменных, т. е. к[п— ) 2 + п[к— ), откуда [c.203]

Теперь рассмотрим преимущества и недостатки использования описания, основанного на одной функции С (х , 1 , ) от + 1 переменных вместо функций х ( ), t) одной переменной. Как мы видели, оба описания системы эквивалентны. Далее, использование одной независимой переменной и зависимых переменных в принципе не связано с большими или меньшими "трудностями по сравнению с рассмотрением одной зависимой переменной и + 1 независимых переменных. С интуитивной точки зрения ясно, что можно легко вообразить облако частиц с заданными положениями в любой момент согласно основанному на (4.1) описанию вместе с тем несомненно, что не так-то просто представить себе в любой заданный момент времени точку в 67 -мерном пространстве с координатами Х/ , (А = 1,. . ., М). Тем не менее введение этого бТУ -мерного пространства, называемого фазовым пространством системы, обладает тем преимуществом, что данное состояние системы (определяемое положениями и скоростями всех частиц) изображается одной точкой фазового пространства поэтому если забыть о трудности визуализации пространства с таким большим числом измерений, состояние системы во втором представлении является гораздо более простым понятием, чем в первом. [c.23]

Величины Ху и Х - в (14.71) подобны производным Ха и Хщ-Они появляются из-за наличия дополнительных зависимых переменных в точности так же, как для обычных динамических систем (с одной независимой переменной — временем) с числом степеней свободы большим единицы могут иметь место дополнительные адиабатические инварианты. Рассматриваемые волновые системы имеют только одну существенную частоту и, таким образом, соответствуют вырожденным случаям равных частот в динамике. [c.489]

Система уравнений (27.15) есть система шести почти линейных уравнений с частными производными первого порядка гиперболического типа с тремя независихмыми переменными Хь л 2,< с постоянными коэффициентами при производных. Теория этих уравнений изложена, например, в монографии Куранта и Гильберта [24] она является обобщением представленных кратко в п. 9 систем уравнений с большим числом независимых переменных, чем две. Соответствующий метод был применен в пространственных задачах динамики газов в работах [159, 160, 196, 198]. Этот метод был также применен в динамических задачах теории упругости в работах [161, 20, 195, 199, 182, 206—208. В динамических задачах теории пластичности этот метод применялся в работах [29, 173, 169, 116]. В волновых задачах теории вязкопластичности метод был использован в работах [5, 167, 181, 8, 9, 154—157, 217, 158]. [c.239]

Характерным свойством открытой системы с большим числом (Л оо) независимых динамических переменных (г,р) является ее динамическая неустойчивость из-за перемешивания (экспоненциальной расходимости близких в начальный момент фазовых траекторий), так что любое начальное распределение функции плотности вероятностей в фазовом пространстве стремится к предельному равновесному распределению, то есть наиболее хаотичному состоянию с максимальной энтропией (в смысле Больцмана-Гиббса-Шенона). Турбулизацию движения жидкости или газа можно представить также как результат изменения топологии фазовых траекторий, приводящего к перестройке аттракторов и качественному изменению бифуркации) состояния движения. Корреляции скорости в любой точке потока ограничены малыми временными интервалами, зависящими от начальных условий, за пределами которых причинную связь между полем скоростей в различные моменты времени, в том числе корреляцию с предыдущим движением, установить невозможно. Все это подкрепляет представление о стохастическом характере пульсаций скорости в турбулентном потоке, которые возникают как результат потери устойчивости ламинарного движения гидродинамической системы при изменении внешних управляющих параметров (например, числа Ке). С этой точки зрения турбулентное движение является более хаотическим, чем ламинарное - турбулентность отождествляется с хаосом (или шумом). Отражением стохастической природы турбулентности служит плотное переплетение фазовых траекторий с различным асимптотическим поведением (топологией) и структурой окружающих их областей притяжения (аттракторов). Такое поведение траекторий в фазовом пространстве означает, что система обладает эргодичностью, то есть почти для всех реализаций случайного поля временные средние равны соответствующим статистическим средним, ее временные корреляционные функции быстро затухают, а частотные спектры непрерывны. Эргодическое свойство, по-видимому, является одной из характерных черт стационарного однородного мелкомасштабного турбулентного поля (см., например, Кампе де Ферье, 1962)). [c.21]

Прямым и исключительно важным следствием постулатов о равновесии и температуре служит вывод о том, что в равновесных системах все внутренние термодинамические свойства являются функциями внешних свойств и температуры системы. Зтим утверждается существование строго ограниченного числа независимых переменных, определяющих внутреннее состояние равновесной системы, т. е. все множество ее термодинамических свойств. Число независимых переменных, достаточное для описания термодинамического состояния равновесной сис темы, известно под названием общая вариантность равновесия, оно, следовательно, на единицу больше числа внешних переменных. Если открытая система содержит с компонентов и может изменять свой объем, то число внешних переменных будет с+, а вариантность в случае полного равновесия равняется ( + +2. Этим числом учитывается возможность существования одного теплового, одного механического и с диффузных контактов системы с окружением. [c.23]

В основе Г. п. ф. лежит предположение, что каждой фазе соответствует свой термодинамический потенциал (напр., энергия Гиббса) как ф-ция независимых термо-динамич. параметров. Фазу можно определить как однородную совокупность масс, термодинамич, свойства к-рых одинаково связаны с параметрами состояния, Г. п. ф. есть следствие условий термодинамич. равновесия многокомпонентных многофазных систем, т. к. число независимых термодинамич. переменных в равновесии не должно превышать числа ур-ний для них. Макс. число сосуществующих фаз достигается, когда число переменных равно числу ур-ний, определяющих термо-дииамич. равновесие. Г. п. ф. задаёт число независимых переменных, к-рые можно изменить, не нарушая равновесия, т. е. число термодинамич, степеней свободы системы /= +2—гЭгО. Число / наз. числом степеней свободы или вариантностью термодинамич. системы. При f=0 система наз. ин(нон)вариантной, при f=l — моно(уни)вариаптной, при /==2 — ди(би)ва-риантной, при — поливариантной. Г. п, ф, справедливо, если фазы однородны во всём объёме и имеют достаточно большие размеры, так что можно пренебречь поверхностными явлениями, и если каждый компонент может беспрепятственно проходить через поверхности раздела фаз, т. с. отсутствуют полупроницаемые перегородки. Цифра 2 в Г, п. ф. связана с существованием 2 переменных (темн-ры и давления), одинаковых для всех фаз. Если на систему действуют внеш. силы (напр., электрич. или маги, поле), то число степеней свободы возрастает па число независимых внеш. сил. При рассмотрении фазового равновесия в системах с дисперсной жидкой фазой необходимо учитывать силы поверхностного натяжения. В этом случае число степеней свободы возрастает па единицу и Г. п. ф. выражается соотношением л+3—гЭгО. [c.451]

При изучении методом теории подобия какого-нибудь сложного агрегата для описания происходящих в нем явлений потребуются многочисленные уравнения, и, как результат этого, получится много критериев. При этом возможны и такие случаи [184], когда число определяющих критериев становится равным или даже превышает число независимых параметров работы системы. В таком случае совершенно отпадает смысл применения теории подобия, так как при равенстве числа критериев и первичных параметров, определяющих работу системы, возможность получения подобных, не тождественных систем вообще исключается. Составленные при этом критериальные зависимости теряют смысл, так как при их применении число аргументов, влияние которых должно быть изучено, не уменьшается. При числе определяющий критериев, превышающем число независимых параметров работы системы, определяющие критерии не будут взаи-монезависимыми. Практическое значение теории подобия заключается как раз в том, чтобы при анализе явлений с точки зрения критериальных зависимостей, число независимых переменных (критериев) получилось меньше числа первичных параметров, определяющих явления. Чем больше разница между числом критериев и числом первичных параметров, тем эффективнее метод теории подобия. [c.355]

В основе спектрального метода лежит стандартный математический аппарат, позволяющий приближенно решать дифференциальные уравнения в частных производных. Решение ищется в виде разложения по ряду базисных функций от пространственных переменных с конечным числом членов ряда п. Эффективный способ применения спектральных методов к решению нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих гидродинамические процессы, предложен Орсегом 30]. Преимуществом спектрального метода является возможность точного удовлетворения граничных условий при правильном подборе базисных функций, впрочем, только для областей с простой геометрией. Кроме того, этот метод в определенных условиях позволяет получить более точное решение по сравнению с методом, основанным на интегрировании по контрольному объему. Однако применение спектрального метода к решению системы уравнений Навье—Стокса встречает значительные трудности. Число базисных функций п вычисляется как отношение наибольшего характерного геометрического масштаба поля течения к наименьшему. Например, в случае течения в ограниченной области пространства наибольший масштаб имеет порядок размеров этой области, а наименьший определяется толщиной вязкого слоя вблизи стенки. Для сложных пространственных задач и течения с большими числами Рейнольдса указанное отношение может быть достаточно велико. Очевидно, ошибка численного решения уменьшается с ростом числа базисных функций п. Приемлемая точность решения часто не может быть достигнута из-за непомерно возрастающего с ростом п объема вычислений. Кроме того, при применении спектрального метода ошибка решения носит глобальный характер (т.е. появление погрешности решения в какой-либо точке приводит к распространению ошибки на всю область независимых переменных). С увеличением степени нелинейности уравнений эффективность спектральных методов снижается. Поэтому спектральные методы используются в основном для исследования однородной или изотропной турбулентности или для расчета течения в областях простой формы. [c.197]

Если свойства системы описываются уравнением, содержащим различных термодинамических величин больше, чем общая вариантность равновесия, то из сказанного выше следует, что некоторые из величин являются функциями других, выбранных в качестве независимых переменных. Уравнения, связывающие одно из внутренних свойств с внешними свойствами и температурой, называют уравнениями состояния. Число независимых уравнений состояния равняется вариантности равновесия, в чем нетрудно убедиться, рассматривая решеЛя этих уравнений относительно аргументов. В дальнейшем этот вывод будет уточнен с учетом следствий, вытекающих из законов термодинамики (см. 10). Конкретный вид уравнений состояния термодинамика установить не может, однако вывод об их существовании уже сам по себе позволяет получить некоторые соотношения между свойствами. Так, если закрытая система рассматривается без учета внешних силовых полей и поверхностных, [c.24]

В дальнейшем (обзор работ дан в [14]) этот метод был обобщен для некоторых систем базисных функций Sk, в частности при Sk (f) = для случая квазилинейных гиперболических систем уравнений, и хорошо зарекомендовал себя при решении ря да сложных пространственных задач газовой динамики. Оказалось, что коэффициенты go gi определяются геометрией поверхности (7) (в том числе и для многомерного слу чая), коэффициент д2 — из нелинейного уравнения первого порядка, а последующие коэффициенты — из линейных дифференциальных уравнений. Применение специаль ных независимых переменных позволило для большой серии пространственных задач газовой динамики проинтегрировать в квадратурах системы уравнений для gk и полу чить их явные представления. Решение конкретных задач показало быструю сходимость зядов (6) и возможность их применения для описания зон течения газа с большими гра диентами газодинамических величин, в частности, в зонах сильных волн разрежения, расчет которых с высокой точностью обычными численными методами весьма труден. [c.20]

Здесь необходимо сделать еще одно замечание относительно полученного нами выражения (5.1.16) для статистического оператора. Мы предполагали, что равновесное состояние системы описывается большим каноническим ансамблем, поэтому гайзен-берговское представление для мнимого времени (5.1.7) определяется с эффективным гамильтонианом % = Н — jllN. С другой стороны, операторы эволюции (5.1.15) выражаются через Я независимо от равновесного распределения. То есть, строго говоря, динамические переменные в (5.1.16) можно считать функциями одного аргумента ti - -ij3hx только для канонического ансамбля. Отметим, однако, что в теории линейной реакции интересующие нас динамические переменные, как правило, коммутируют с оператором числа частиц N. Для таких переменных справедливы равенства [c.342]

Заслуживает внимания одно недавнее интересное усовершенствование. Это понятие подвижной электростатической линзы [255]. Основная идея заключается в использовании многоэлектродной системы в виде большого числа коротких коаксиальных колец, помещенных между двумя цилиндрами большей длины. Меняя соотношение напряжений между кольцами, можно смоделировать линзу с переменной средней плоскостью. Таким образом, линза, составленная из неподвижных элементов, с помощью перераспределения электрического поля может эффективно менять свою конфигурацию. Таким способом можно достигнуть большей гибкости действия линзы при п независимых напряжений можно поддерживать постоянным п—1 свойство изображения против п—2 в случае изофокусирующеп линзы. Например, для трехцилиндровой линзы, смоделированной этим способом, два свойства изображения можно поддерживать постоянными при одновременном изменении остальных. С помощью такой линзы можно выполнять следующие три основные операции 1) менять увеличение при постоянных положениях изображения и энергии (реальное изофокусирующее действие), 2) обеспечивать постоянное положение изображений двух объектов одновременно при изменении их общей энергии [266] и 3) обеспечивать постоянное положение изображения и увеличение при изменяющейся энергии. Этот подход также можно использовать для синтеза электростатических линз (см. разд. 9.10) [320 а, 320 Ь]. [c.460]

Более строго, в совр. понимании, П. т. — учение о методах исследования явлений, основанное на идее, что каждая задача должна рассматриваться в своих, характерных для нее нереме пных, представляющих собой безразмерные степен1н,1е комплексы (см. Размерностей анализ), составленные из величин, существенных для исследуемой задачи. Конечная цель исследования — определение количеств, закономерностей явлений, т. е. установление зависимостей, к-рыми неизвестные величины, существенные для процесса, определяются как ф-ции величин, известных непосредственно по постановке задачи. Однако аргументами в этих зависимостях являются пе только независимые переменные, но и параметры задачи (размеры системы, физ. константы, режимные параметры). Значения параметров фиксируются условиями задачи и изменяются при переходе от одного частного случая к другому. Папр., при рещении задачи о перераспределении тепла в твердом теле темп-ра (искомая переменная) определяется как однозначная ф-ция координат и времени (независимые переменные). Однако ур-ние, связывающее темп-ру с координатами и временем, включает ряд параметров (размеры тела физ. константы вещества — теплопроводность, теплоемкость, плотность величины, характеризующие начальные и граничные условия, — темп-ру тела перед началом процесса, темп-ру поверхности тела или окружающей среды коэфф. теплоотдачи). Т. о., темп-ра оказывается ф-цией большого числа аргументов различного типа. [c.80]

Заметим, что для системы уравнений (4.27)—(4.30) формулируется краевая задача с дополнительными условиями, заданными на обоих концах оси независимого переменного s. При этом число этих условий больше числа уравнений. Аналогичная ситуация имела место при анализе тепловых задач (см. гл. П), а также автомодельных задач газовой динамики, рассмотренных в гл. П1 для предельных случаев W = 0 и дТ1дт = 0. Формальная переопределенность задач устраняется наличием дополнительных неизвестных параметров (постоянных) — своего рода собственных значений рассматриваемой задачи. Например, для тепловых задач при а > О таким параметром являлась постоянная s = Sq, определяющая в автомодельных переменных положение фронта температурной волны конечной скорости. Ниже мы увидим, что в задачах газодинамики с учетом нелинейной теплопроводности, в которых число краевых условий на два больше числа уравнений, при а > О существует два собственных значения координата, характеризующая положение фронта температурной волны (s = Sq), и координата, характеризующая положение фронта разрыва гидродинамических величин [c.143]

С функционалов Сц. При выполнении условия взаимности число независимых функционалов уменьшается до 18. Можно показать, что в случае изотропного упруго-пластического тела коэффициенты Aijmn содержат только два независимых функционала, а тензор Сц становится шаровым с одинаковыми диагональными элементами т. е. имеет только один независимый функционал. В принципе, эти функционалы можно определить экспериментально, однако практически это невозможно вследствие большого числа переменных и вытекаю-лцего отсюда огромного объема экспериментальных работ. Поэтому практически метод черного ящика можно применять лишь к системам с одним входом и одним выходом. Пусть, например, упругопластическое тело подвергнуто растяжению силой Р (вход), в результате чего в некоторых двух характерных точках тела возникает взаимное перемещение и (выход). Единственный функционал, опи-сываюпщй поведение этой системы (т е. эволюцию и в зависимости от изменения Р), определяется эмпирически из серии опытов по нагружению — разгрузке при различных значениях Р. [c.7]

Далее, из физических соображений очевидно, что точная доштучная фиксация числа частиц (так же, как и энергии, см. 3) в системе многих тел, когда N 10 , представляет собой откровенную идеализацию и не более, чем формальный прием, упрощающий рассмотрение (полагая в 3 фиксированным, мы выигрывали в деле сопоставления статистического рассмотрения с рассмотрением системы с помощью аппарата механики), что, каковы бы ни были границы системы, фактически всегда есть размытие не только по энергии, но и по числу частиц 6.Л" около среднего значения. Л = N (причем совершенно так же, как 6ё включало много уровней энергии, т. е. имело место неравенство Д 7 <. 6ё < ё", и разброс 6.Л захватывает большое число частиц, т. е. 1 <С Ь.Л . К). Это среднее и представляет собой ту термодинамическую величину, которая фигурирует в качестве независимой переменной в двух предыдущих парафафах. [c.54]

Предварительные замечания. Вопрос об определении движения несвободной материальной системы без неинтегрируемых связей может быть решён двояким путём или исчтегрированием уравнений движения, содержащих множители связей, а именно уравнений Лагранжа первого рода ( 177), когда система координат декартова, и уравнений, аналогичных названным, когда система координат произвольная ( 189), или интегрированием уравнений Лагранжа второго рода в независимых координатах ( 191). Последние уравнения быстрее и непосредственнее приводят к цели в них число переменных доведено до надлежащего минимума, поэтому и произвольных постоянных интеграции появляется наименьшее число. Интегрирование уравнений с множителями значительно сложнее число переменных в них превышает Необходимое, а потому и число произвольных постоянных интеграции больше, чем нужно для искомого движения ( 119, 121, 177, 189). Но зато движение системы определяется [c.461]

Полнота описания явления, корректность исходной теоретической модели должны сочетаться с правильностью математической формулировки задачи. При этом следует иметь в виду, что физическое решение может существовать и найдено на основе эксперимента, в то время как исходное математическое описание не позволяет получить решения. Если существует решение задачи в первичных переменных, то обобщенное решение может быть получено. В связи с возможностью описания системы в обобщенных безразмерных переменных, базируясь на методе подобия и анализе размерностей, можно получить критериальное уравнение, состоящее из обобщенных характеристик рассматриваемой системы. При описании системы критериальными уравнениями как бы уменьшается число параметров, независимых координат, решение обладает большой общностью. Получение критериев подобия, основанных на методе подобия, предполагает использование математического описания объекта. Исходные дифференщ -альные уравнения, характеризующие процесс, содержат более глубокую информацию по сравнению с той, которую получаем из анализа размерностей ответственных величин. Исследование процесса методом подобия включает получение безразмерных характеристик (критериев подобия) и вывод критериального уравнения. Аналитический вывод критериального уравнения возможен, когда исходное уравнение имеет точное решение. Во всех других случаях формирование критериальных уравнений осуществляется на базе специальных экспериментальных исследований (или дрз -ой дополнительной информации). Критериальная зависимость должна учитьшать критерии, полученные из анализа как основных уравнений, так и граничных условий. [c.165]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...