Обоснование приближенного решения

ОБОСНОВАНИЕ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ [c.212]

Нелинейные проблемы механики возникли, конечно, одновременно с оформлением ее теоретических основ. Но первые работы об обосновании приближенных методов, которыми приходится пользоваться при решении нелинейных проблем механики, т. е. задач, сводящихся к решению нелинейных дифференциальных уравнений, относятся к концу прошлого века. [c.294]

Одними из основных обстоятельств, позволивших выполнить аналитическое приближенное решение двухмерной задачи о тепло-и массообмене в контактном аппарате, является разделение пограничного слоя газа на два слоя (насыщенного и ненасыщенного газа) с обоснованной заменой сложного профиля распределения температуры и концентрации на две линейные функции. Это снимает математические трудности при решении задачи и в то же время обеспечивает достаточное приближение к сути физического явления. Кроме того, при расчете использовано уравнение относительной интенсивности тепло- и массообмена, позволяющее замкнуть систему уравнений, описывающих процесс. [c.123]

В настоящее время известно более десятка различных приемов приближенного решения нелинейного уравнения теплопроводности, причем некоторые из них оказались пригодными для обоснования теплофизических измерений в монотонном режиме. В данной книге закономерности монотонного режима исследованы одним из вариантов метода последовательных приближений, позволившего решить широкий круг задач и придать поправкам на нелинейность наглядную, удобную для количественных оценок структуру. [c.4]

Общие вопросы, связанные с построением приближенных решений системы неоднородных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами и их обоснование см. т. I справочника, а также [54, 93, 111, 138, 139). [c.94]

Считая отклонения состояния движущегося газа от равновесного малыми, можно найти приближенные решения уравнения Больцмана и получить обоснование феноменологических уравнений переноса (94.27), (94.28), (94.32), а также вычислить коэффициенты переноса. [c.533]

При обосновании алгоритма необходимо показать, что обеспечивается сходимость последовательности приближенных решений к точному , [c.154]

Несмотря на простоту в экспериментальном осуществлении и преимущества в реализации однотипности механизма усталостного разрушения в чистом виде, силовая схема кругового изгиба цилиндрического образца с внешней кольцевой трещиной при постоянной стреле прогиба h достаточно трудна для аналитического исследования. В гл. 1П дано приближенное решение этой задачи и установлены формулы для вычисления коэффициента интенсивности напряжений в окрестности контура кольцевой трещины, содержащейся в цилиндрическом образце, который подвергнут изгибу, в частности получена формула (III.92) для определения коэффициента интенсивности напряжений через величину стрелы прогиба h. Так как используемый в этих исследованиях интерполяционный метод не имеет строго математического обоснования точности, то для проверки аналитических зависимостей (в том числе формулы (III.92)) были проведены экспериментальные исследования, методика которых подробно описана ниже. [c.201]

Основным аппаратом исследования явлений дифракции при рассмотрении периодических препятствий наиболее общего типа являются прямые методы построения решения с их последующей реализацией на ЭВМ [7, 42—52, 74, 121—130]. Главное их достоинство — универсальность, так как формальные ограничения на конфигурацию рассеивателей в большинстве из них отсутствуют. Однако практическая реализация прямых методов наталкивается на ощутимые трудности, связанные со сложностью обоснования достоверности окончательных результатов, медленной сходимостью, в ряде случаев отсутствием сходимости приближенных решений к точному и явлениями неустойчивости соответствующих алгоритмов. Эффективность прямых методов особенно резко падает при наличии ребер на контурах поперечного сечения образующих решетки и расчете амплитуд высших пространственных гармоник поля. Обычно прямые численные подходы требуют большого объема вычислений и даже на современных ЭВМ уже при I > X трудно получить с их помощью исчерпывающие данные о каком-либо дифракционном эффекте или явлении. [c.9]

Отметим, что величина Л амплитуды прогиба стержня в приведенном выше решении задачи Эйлера никак не определяется и теоретически может быть сколь угодно большой. Этот противоречащий действительности вывод является следствием линеаризации задачи. На самом деле при больших прогибах перестает быть обоснованным приближенное выражение для кривизны, которым мы пользовались при выводе уравнения (1). В этом случае надо использовать точное выражение [c.366]

Мотт-Смит получил приближенное решение суперпозицией двух максвелловских функций распределения, удовлетворяющих уравнениям переноса. Этот метод может быть эффективным для сильных ударных волн, но он недостаточно обоснован, чтобы можно было получить последовательность уточняющихся приближений. Для ударных волн большей интенсивности Мотт-Смит получил величину, большую, чем [c.153]

Приближенное решение системы уравнений (56) может быть найдено обоснованным в [21, с. 168-171 26] методом редукции при /X = Х/к Дц. Таким образом, с увеличением значения к границы применимости данного метода по параметру А расширяются, что подтверждается конкретными расчетами. [c.111]

Математическое обоснование сходимости при увеличении г приближенных решений (38)-(41) к точным дано в [32]. Если ве личина 6 в (12) мала, то практически для достижения приемлемой точности при любых значениях параметров а и д достаточно решить систему (31), (37) или (32) из пяти-шести уравнений. Для численной реализации метода надо иметь подпрограмму вычисления значений функций 0 у)и Q y) при заданном д. В связи с этим следует заметить, что эти функции связаны, а именно Q (y) = —G(y). [c.119]

Такое решение для данного случая является, конечно, приближенным, однако степень этого приближения находится в пределах тех общих допущений, которые положены в основу подобных расчетов 15 29 36]. Это может служить обоснованием правомерности принимаемых приближенных решений, которые устанавливают качественную зависимость между силовыми и геометрическими факторами, определяющими деформацию, и облегчают тем самым проведение экспериментов, на основании которых в дальнейшем могут вноситься необходимые уточнения. [c.83]

При исследовании динамических процессов часто прибегают к упрощенным расчетным схемам. При этом предполагается, что движущиеся узлы механизмов представляют собой абсолютно жесткие тела с массой, сосредоточенной в центре тяжести их, и суммарная деформация механизма определяется упругой податливостью связей (валов, канатов, цепей, тяг, соединительных муфт, передач и т. п.). Все эти элементы с некоторыми допущениями считаются невесомыми и абсолютно упругими. Расчетная схема механизма представляется в виде точечных масс, соединенных абсолютно упругими звеньями, при определенном законе изменения действующих на массу сил. При решении практических задач часто сложные расчетные схемы путем обоснованных приближений заменяются более простыми приведенными эквивалентными схемами (одномассной или двухмассной системой). При этом приведение производится к любому элементу механизма (к валу, канату, цепи и т. п.). [c.69]

Для нахождения приближенных решений к системе применяют ме- тод редукции. В работе [20] дано обоснование сходимости метода редукции к точному решению. При достаточно больших X систему (3.24) можно решать по методу последовательных приближений, так как оператор, стоящий в правой части системы, является сжимающим в пространстве последовательностей 1р р>Л). [c.211]

Глубинный режим. Перенос излучения в предельном случае больших оптических толщ характеризуется рядом относительно простых закономерностей, при наличии которых обычно и говорят о глубинном режиме. В этом асимптотическом случае уравнения переноса излучения удается не только упростить, но и решить в аналитическом виде. В теории переноса излучения этот случай является одним из немногих и ярких примеров успешного решения задачи в рамках экспериментально обоснованных приближений. [c.67]

Сходимость итерационных схем численного обращения оптических измерений в методе касательного зондирования определяется несколькими факторами, среди которых наиболее существенными являются аналитическая структура исходных уравнений (например, характер их нелинейности) и свойства операторов теории светорассеяния дисперсной компонентой атмосферы. Последнее в большей мере относится к численному преобразованию t->J, т. е. к системе (3.39), связанной с каждым элементарным слоем. Заметим, что особое внимание к анализу сходимости схем обращения данных в методах зондирования обусловлено не только необходимостью обоснования математической корректности предлагаемых алгоритмов, но и тем обстоятельством, что во многих случаях ее нарушение указывает на неприемлемость исходных аналитических моделей (то же самое физических предположений) для соответствующего эксперимента. Иными словами, можно утверждать, что мера соответствия априорной информации, используемой в построении схем обращения, проявляет себя в скорости их сходимости, или тоже в качестве последовательности приближенных решений, генерируемых этими схемами. Эта особенность итерационных методов делает их эффективным средством не только в получении решений, но и анализе задач в целом. Изложение этих аспектов можно найти в монографии [19 . [c.167]

Метод Галеркина напоминает асимптотический метод для уравнений частных производных, однако между ними имеется принципиальное различие. В асимптотическом методе приближенное решение в виде конечного числа членов ряда переходит в точное решение при устремлении к нулю малого параметра. Здесь же подобной сходимости нет из-за отсутствия малого параметра, и повысить точность метода можно, лишь включив в рассмотрение новые базисные функции. В связи с отсутствием малого параметра обоснование метода Галеркина представляет собой весьма сложную проблему [9]. [c.452]

Упаковочный множитель I 94 Упругое рассеяние и закон Видемана — Франца II 322, 323 Уравнение Больцмана I 318—328 вариационный принцип I 327, 328 и законы сохранения I 327 обоснование приближения времени релаксации для изотропного упругого рассеяния на примесях I 324—326 решение в приближении времени релаксации I 319, 320 См. также Приближение времени релаксации [c.412]

Чем больше число с, т.е. число узлов, с которыми взаимодействует какой-либо данный узел решетки, тем концепция самосогласованного поля представляется более обоснованной. Полученное приближенное решение является точным, если число с возрастает до максимального своего значения с = JV-1 = iV, т. е. когда каждый узел одинаково взаимодействует со всеми остальными узлами решетки. Ввиду того, что температура фазового перехода является неаддитивной термодинамической величиной, имеем [c.345]

Вопросы обоснования приближенных методов нахождения решений дифференциальных уравнений движения нелинейных систем, в частности метода усреднения, были рассмотрены в основоиолагающих работах Л. М. Мандельштама и Н. Д. Папалекси (1934 г.), а также Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова (1934 г. и далее) ). [c.295]

В настоящей главе была сделана попытка дать сводку результатов, полученных в различных экспериментальных и теоретических работах по волнам и колебаниям, возникающим в направленно армированных композитах, для случая малых деформаций и линейных определяющих уравнений. Эта попытка представляется своевременной, так как за последние годы достигнуты значительные успехи в понимании особенностей линейного динамического поведения композиционных материалов. Линейная теория с ее точными результатами для слоистой среды и различными хорошо обоснованными приближенными подходами к описанию как слоистых, так и волокнистых композитов в настоящее время близка к полному завершению. Этот объем теоретических сведений дополняется экспериментальной проверкой результатов, относящихся к распространению сину-соида льных волн и импульсных возмущений. Следует отметить, однако, что необходимость проведения дальнейших экспериментальных исследований все еще остается важной. Многое еще предстоит сделать и в решении задач с нестационарными волнами, в особенности в определении локальных значений полевых переменных, таких, как напряжения на поверхности раздела фаз и динамическая концентрация напряжений. [c.388]

Наиболее часто употребляемый прием, позволяющий получить приближенное решение, состоит в развязывании задачи, когда взаимное влияние температурного и механических полей учитьшают только частично или влияние, в рамках некоторых дополнительных предложений о характере термомеханического поведения, вообще не учитывают. Если, например, учитывают влияние температурного поля на напряженно-деформированное состояние тела, но не учитывают обратное влияние, т.е. пренебрегают тепловыделением при механическом нагружении, то такие задачи называют полусвязанньгми. Для динамических задач термовязкоупругости требуется тщательно обоснование такого допущения. [c.188]

Метод конечных элементов является мощным современным средством приближенного решения разнообразных задач математической физики, ориентированным на эффективное использование ЭВМ. В задачах теории упругости и строительной механики он позволяет распространить принципы расчета стержневых систем иа случай непрерывных тел н сложных конструкций. С другой стороны, его можно трактовать как специфическую форму метода Рнтца, что дает ключ к теоретическому обоснованию метода конечных элементов. [c.106]

Если рассматривается линейная упругая среда, то система (2.9) является линейной алгебраической. После решения каким-либо образом системы (2.9) приближенное решение задачи (2.1), (2.2) записывается в виде (2.4). Метод Ритца достаточно математически обоснован [60], причем для его сходимости необходимо число N в (2.4) устремить к бесконечности. Однако на практике, оказывается, не всегда получается тем лучший результат, чем взято большее число кооординатных функций. Оказывается, что при некотором достаточно большом N система Ритца (2.9) становится плохо обусловленной [60]. Поэтому важно в зависимости от применяемой ЭВМ и от желаемой точности решения исследовать вопрос о числе координатных функций. [c.254]

Наша задача заключается в подробном обосновании численного решения этого интегрального уравнения методом последовательных приближений. Ниже мы даем ответ на следуюгцие три вопроса [c.493]

Если теоретическое обоснование приближенных методов решения задач статики идеально пластического тела было известно относительно давно, то практическая реализация таких дгетодов сталкивалась с рядом серьезных затруднений. Для таких сложных видов конструкций, как оболочки, трудности возникали даже при формулировке приемлемых исходных соотношений, а именно — при выводе выражений поверхности текучести,поскольку в практических расчетах желательны достаточно простые, но приемлемые по точности выражения поверхности текучести. [c.9]

Естественным методом приближенного решения задач об управлении системами с распределенными параметрами является замена соответствующих функциональных уравнений подходящими конечномерными разностными схемами. В результате получается задача об оптимальном управлении аппроксимирующей системой, описываемой уравнениями в конечных разностях или системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Такие аппроксимирующие задачи, по крайней мере, если речь идет о линейных системах, оказываются эффективно разрешимыми, и тем самым доставляется возможность численного решения исходной проблемы. К сожалению, и здесь вопросы обоснования подобной конечноразностной аппроксимации исследованы еще недостаточно. Следует, наконец, отметить одно существенное обстоятельство, характерное для аппроксимации задач об управлении системами с распределенными параметрами и проявляющееся, в частности, уже в задачах об управлении системами с последействием. Пусть, например, речь идет об оптимальном программном управлении, обеспечивающем предельное быстродействие для бёсконечномерной системы при ограничении [[ м [<Л , и пусть эта система, аппроксимируется конечномерной системой, описываемой системой из п обыкновенных дифференциальных уравнений. В большинстве случаев для конечномерных систем условие максимума, фигурирующее в принципе максимума, не вырождается, т. е.- соответствующее выражение Н [ , X ), "ф, м] зависит фактически от и, и тем самым доставляется достаточная информация о значениях ( ). Вследствие этого невырожденного условия максимума оказывается, как правило, что эти значения лежат на границе области 7 ( гг [[<Л ), и их можно найти, зная вектор Ь). Далее, оказывается, однако, что если даже и устанавливается сходимость аппроксимирующих управлений м ( ) к оптимальному управлению и Ь) исходной системы при г -> оо, то в весьма широких случаях эта сходимость имеет достаточно нерегулярный характер и, в частности, аппроксимирующие оптимальные движения сходятся к оптимальному движению исходной системы подчас лишь как к скользящему режиму (хотя весьма нередки случаи, когда на деле этот предельный режим может осуществляться обыкновенным управлением и ( ), регуляризирую-щим, следовательно, данный скользящий режим). На языке принципа максимума это выражается в том, что соотношение, определяющее u (t) из условия максимума, при п оо вырождается (в пределе оно оказывается уже не зависящим от и) и его формальная запись для соответствующей исходной системы с распределенными параметрами имеет лишь относительное значение, поскольку оно не доставляет необходимую инфор- [c.241]

Течение с развитой кавитацией, аналогичное рассмотренному выше, возникает в потоке, если число кавитации делается весьма малым. В этом случае за телом образуется большая кавитационная полость, заполненная парами воды и газами. Давление в каверне весьма мало и близко к давлению водяных паров. При обычных условиях в воде паровая кавитация возникает при очень больших скоростях, которые трудно воспроизводить в лаборатории. Введение в каверну газа, например воздуха, позволяет получить малое число кавитации и развитую каверну при малых скоростях буксировки, легко осуществимых в лаборатории. Метод искусственной (газовой) кавитации позволил, в частности, измерить сопротивления различных тел — конусов, диска, шара и эллипсоидов при кавитационнод режиме обтекания в опытовых бассейнах (Л. А. Эпштейн, 1948, 1949). Оказалось, что для диска и тупых конусов с ростом числа кавитации коэффициент сопротивления Сд. возрастает приблизительно как Сх (1 + о)-Однако для острых тел подходит лучше формула С" + а. Теоретическое исследование развитой кавитации в пространственных случаях шло главным образом по ЛИНИИ получения приближенных решений, согласующихся с физическим опытом. Изучение фотографий газовых каверн, применение теоремы о количестве движения и анализ осесимметричного кавитационного течения позволили сделать важный вывод о том, что сопротивление тела с каверной за ним, с точностью до поправочного множителя к, близкого к единице, равно произведению площади миделева сечения каверны на разность статического давления перед обтекаемым телом и давления в каверне. Это значит, что коэффициент сопротивления, отнесенный к ми-делеву сечению каверны, равен числу кавитации а. Полученный результат может служить теоретическим обоснованием возможности достижения весьма малого коэффициента сопротивления на больших скоростях для тела, тесно вписанного в каверну. Это очень важное обстоятельство впервые было отмечено в 1944 г. Д. А. Эфросом и затем развито рядом авторов. [c.42]

Изучая основные плоские задачи для односвязных областей с углами, С. М. Белоносов (1954, 1962) предложил метод их решения, позволяющий дать теоретическое обоснование практического приема приближенного решения, основанного на закруглении углов. Конформное отображение данной области на полуплоскость Re О позволяет для отыскания комплексных потенциалов ф и г ) применить аппарат одностороннего преобразования Лапласа. В результате приемом, аналогичным указанному Н. И. Мусхелишвили (1966, 78, 79), строятся интегральные уравнения довольно простой структуры, применимые в известном смысле к областям с угловыми точками. Если контур L не содержит угловых точек и вообще достаточно гладок, то ядро интегрального уравнения является фредгольмовым, а в общем случае кусочно-гладкого контура оно принадлежит к типу ядер Карлемана. [c.59]

Во-первых, общие уравнения нелинейной теории упругости используются для обоснованного вывода уравнений устойчивости для тонких и тонкостенных тел. Работы этого направления (В. В. Новожилов, 1940, 1948 В. В. Болотин, 1956, 1965 А. И. Лурье, 1966, и др.) уже обсуждались в 3. Во-вторых, решения задач, полученные на основе теории упругости, могут быть использованы для оценки точности и установления границ применения известных приближенных решений. К этому направлению относятся работы Л. С. Лейбензона (1917) и А. Ю. Ишлинского (1954). Заметим, что в этих работах в качестве уравнений для описания форм равновесия, смежных с невозмущенной формой, предлагалось использовать классические уравнения теории упругости внешние силы входили при этом только в возмущенные граничные условия. Этот подход обсуждался недавно А. Н. Гузем (1967). В-третьих, необходимость в привлечении уравнений теории упругости возникает в задачах об устойчивости пластин и оболочек, находящихся в контакте с упругим материалом пониженной жесткости. Применительно к слоистым пластинам с мягким наполнителем этот подход развивался А. П. Вороновичем (1948), В. Н. Москаленко (1964) и другими. Устойчивость цилиндрических оболочек с мягким упругим ядром рассматривалась А. П. Варваком (1966). Типичным для этих задач является применение теории пластин и оболочек к несущим слоям и трехмерной теории упругости — к заполнителю. [c.346]

Дан полный математический анализ краевых задач иелииейиой теории оболочек. Для всех физически осмысленных постановок доказаны теоремы разрешимости и корректности в условиях глубокой нелинейности. Приведены условия единственности решений и условия неединственности. Получили обоснование в этом круге нелинейных задач методы приближенного решения Бубнова — Галеркина, Ритца, Ньютона — Канторовича и др. Большое внимание уделено нелинейной устойчивости, в которой различаются две проблемы оценка числа решений краевой задачи и выбор наиболее реального. Подробно проанализированы возможности принципа линеаризации Эйлера, дано строгое математическое обоснование существования нижних критических чисел, развит статистический подход. Основу рассмотрений составили топологические и вариационные соображепия. [c.2]

М а н д е л ь ш т а м Л. И., П а п а л е к с и Н. Д. Об обосновании одного метода приближенного решения дифференциальных уравнений. ЖЭТФ 4, 117 (1934). [c.908]

Как указывалось выше, при построении приближенных решений граничным условиям не всегда удается полностью удов- летворить. В таких случаях используют так называемые смягченные граничные условия. Смягчение граничных условий состоит в том, что рассматривают их в интегральной форме в виде равнодействующей (среднего значения удельной силы) нормальных напряжений или расходов текущего металла через рассматриваемую граничную поверхность. Для обоснования возможностн использования смягченных граничных условий используют принцип Сен-Венана, согласно которому характер распределения внешней нагрузки не влияет на распределение напряжений в сечениях, достаточно удаленных от места приложения внешней нагрузки [9]. С учетом сказанного можно представить смягченные граничные условия [c.19]

Можно дать эвристический метод (двухмасштабный метод) получения приближенного решения. Предыдущую теорему 2,1 можно рассматривать тогда как обоснование этого эвристического метода. [c.346]

Второй способ использования точной информации об однородном уравнений состоит во введении функции Грина и в преобразовании задачи в интегральное уравнение на границе Г. В некоторых первоначальных попытках приближенное решение на Г бралось как кусочно полиномиальная функция, а ее коэф-фициeнfы определялись коллокацией. Теоретического обоснования этой идеи, по-видимому, не существует, но его время наступит. [c.162]

Л. И, Мандельштам, Н.Д. Папалекси, Об обосновании одного метода приближенного решения дифференциальных уравнений, ЖЭТФ 4, 117 (1934) Л. И, Мандельштам, Полное собрание трудов 2, 130 (1947). [c.502]

Для определения приближенных решений дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений мы предполагаем, что разложения можно подставлять в уравнения и выполнять над ними простейшие действия, такие, как сложение, вычитание, возведение в степень, интегрирование, дифференцирование и умножение. Правила действий будут выведены без обоснования, хотя некоторые из разложений расходящиеся. Условия, при которых указанные действия могут быть обоснованы, изучались Ван-дер-Корпутом [1956], Эрдейи [1956] и де Брейном [1958]. [c.28]

Учет краевого условия второго и третьего рода осуществляется дополнительными слагаемыми непосредственно в билинейной форме и функционале (см. п. 1.1.4) и здесь не возникает вопроса о наложении дополнительных условий на базисные функции. Поэтому при использовании изопара-метрической аппроксимации области алгоритмическое отличие от главного краевого условия состоит в применении квадратурных или кубатурных формул для вычисления граничных интегралов. Участки границы Г заменяются на аппроксимирующие их многообразия из Г ,. Теоретическое обоснование точности снова з тывает изменение области, погрешность численного интегрирования и опирается на теорему 3.9. В итоге оно, в принципе, мало отличается от приводимого для первой краевой задачи и дает аналогичный результат, описывающий точность получаемого приближенного решения А именно, при изопараметрической аппроксимации области выбор на Гй квадратурных формул подходящей степени приводит к такому же порядку точности приближенного решения м , как и при точном интегрировании по Г. [c.115]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...