Многомерный случай

СУЩЕСТВОВАНИЕ ИГНОРИРУЕМОЙ КООРДИНАТЫ. Изложенная выше концепция циклических интегралов и доказываемая ниже теорема без труда обобщаются на многомерный случай, т. е. на произвольные механические системы, которые будут рассматриваться гораздо позднее. [c.181]

Критерий оптимальности имеет вид (10.8), и в случае, когда в качестве критерия принимается минимум среднего квадрата ошибки, т. е. для многомерного случая критерий (10.8) запишется в виде [c.322]

Для исчерпывающего описания многомерного случайного процесса необходимо задать либо полную систему совместны-у плотностей вероятности (22), либо полную систему моментных функций (23). Связь между двумя способами описания дается формулами типа (7), обобщенными на многомерный случай. [c.275]

Блюм и Сакс распространили описанные подходы на многомерный случай. Введем обозначение векторов, компонентами которых являются функции при измененных значениях векторов А [c.312]

Последнее равенство особенно удобно тем, что оно позволяет обобщить закон Ньютона на многомерный случай. Для несжимаемой жидкости обобщенный закон Ньютона имеет вид [c.14]

До сих пор мы рассматривали одномерные модельные задачи. Теперь нам надлежит изучить трудности, связанные с переходом к многомерному случаю. Мы рассмотрим двумерные задачи, так как принцип перехода к задачам более высокой размерности не вызовет уже принципиальных затруднений. [c.198]

Многомерный случай. Возможности обобщения алгебры векторов на размерности выше двух чрезвычайно ограничены. В алгебре есть теорема Фробениуса, согласно которой система эллиптических комплексных чисел является единственным (с точностью до изоморфизма) расширением поля действительных чисел с [c.55]

Поскольку различие в выводе уравнений регуляторов состояния для многомерных и одномерных систе.м управления состоит только в записи управляющей и регулируемой переменной в векторной форме и использовании матриц вместо соответствующих векторов, ниже будет рассмотрен более общий многомерный случай. [c.136]

Методы синтеза несвязанных регуляторов входа/выхода могут быть перенесены на многомерный случай при использовании матричного полиномиального представления многомерных объектов управления, описанного в разд. 18.1.5, если число входов объекта равно числу его выходов. [c.340]

Сравнение последнего уравнения с уравнением (П. 1-3) подтверждает формальное соответствие многомерного случая с одномерным. [c.340]

Существует единственное одномерное сингулярное ядро — ядро Коши. Все остальные одномерные сингулярные ядра сводятся к этому ядру. Существуют различные классы двумерных и, тем более, многомерных сингулярных ядер. Указанное обстоятельство значительно осложняет изучение многомерного случая по сравнению с одномерным. [c.197]

С помощью функции det [(Л + В) (А — В)] естественным образом определяется отображение множества 5 на единичную окружность с центром в начале координат. Степень этого отображения и есть индекс оператора /С. Это предложение есть теорема Нетера—Мусхелишвили. Она допускает обобщение и на многомерный случай. [c.197]

Последний интеграл является обобщением интеграла Френеля на многомерный случай. Непосредственно видно, что показатель экспоненты, являясь числом, представляет собой произведение вектора-строки, матрицы и вектора-столбца. Размерность матрицы — п х п, векторы, состоящие из координат также имеют п компонент. При условии, что функция д принимает действительные значения и достаточно гладкая, чтобы порядок дифференцирования не имел значения, матрица вторых производных является действительной и симметричной. [c.701]

Дифференциальные внешние формы возникают при обобщении на многомерный случай таких понятий, как работа поля на пути и поток жидкости через поверхность. [c.142]

Таким образом, внешнее умножение форм можно рассматривать как перенос на многомерный случай векторного умножения в К . Только в многомерном случае произведение не есть вектор того же пространства пространство 2-форм в К" изоморфно В только при п = 3. [c.152]

Чтобы перейти к многомерному случаю, заметим, что поток А через элемент поверхности есть 2-форма, которую мы обозначили о л. Дивергенция же есть плотность в выражении 3-формы [c.165]

Начиная с этого места мы опускаем приставку гипер . При желании можно считать, что мы находимся в трехмерном пространстве и гиперповерхности — это обычные поверхности. Многомерный случай аналогичен трехмерному. [c.315]

Замечание 1. Приведем также уравнения движения (4.2), (4.7) в матричной форме, которая допускает простое обобщение на многомерный случай [c.49]

Этот результат может быть обобщен на многомерный случай. Явные формулы для траекторий интегрируемых биллиардов с квадратичными интегралами, содержащие -функции, можно найти в работах А. П. Веселова [12 73]. [c.109]

Преобразование Фурье очевидным образом обобщается на многомерный случай [16]. С кратными преобразованиями Фурье тесно связано преобразование Ханкеля, используемое при решении уравне- [c.76]

Обобщение на многомерный случай см. в п. 3.2, гл. 4. [c.94]

Здесь 7 — любой замкнутый контур на М. Теорема 2 есть следствие теоремы Пуанкаре (из 6 гл. I) интеграл (1.6) — ограничение инварианта Пуанкаре на замкнутые кривые, целиком лежащие на инвариантной поверхности S". Этот простой, но важный результат распространяет теорему Томсона о сохранности циркуляции на многомерный случай. [c.106]

Это утверждение, отмеченное в работе [71], распространяет на многомерный случай свойства а—с вихревой теории волчка ( 2). [c.179]

Возникающие при этом проблемы существования связаны с соотношениями Биркгофа для критических точек функций двух переменных. Эти соотношения были выведены Биркгофом, а затем распространены Морсом на многомерный случай именно в связи с упомянутыми проблемами. [c.209]

Условие Р(М) = 1 легко проверяется в ситуациях, рассмот ренных в пункте 3.2. Однако, равновесная динамическая система, может быть построена иными методами в гораздо более широкой ситуации (см. работы [22], [35], где рассматривался одномерный случай, и [36], [101], посвященные многомерному случаю). [c.258]

Для многомерного случая широко применяется приближение диффузии излучения [8] (приближение Росселанда, приближение оптически толстого слоя), которое позволяет получить выражение для вектора плотности теплового потока излучения вида [c.202]

В статьях С. Л, Каменомостской [15, 16] рассмотрена задача Стефана в самой общей постановке многомерный случай, произвольное число заранее неизвестных поверхностей раздела фаз, зависимость тепловых коэффициентов от температуры. Введено определение обобщенного решения, показано, что классическое решение является обобщенным, доказана его единственность. При помощи метода конечных разностей доказано существование решения краевой задачи и задачи Коши. [c.211]

СТРУН ТЕОРИЯ — раздел матем. физики, связанный с описанием разл. состояний (фаз) в теории поля. В основе С. т. лежит представление о то.м, что всевозможные модели теории поля могут рассматриваться как раэл. состояния единой общей теории в пространстве теорий . Собственно С. т. описывает подобным образом двумерные полевые модели. Обобщение этих представлений ка многомерный случай известно как теория / -бран)> (струнам отвечает р=, мембранам — р = 2) и пока (1997) плохо разработано. [c.9]

Ц Понятие развертывающейся поверхности в статьях [197, 198] обобщается на многомерный случай. В евклидовом пространстве рассматривается поверхность Ф, образованная одно-пар аметрическям семейством -мерных плоскостей, имеющим по крайней мере одномерную огибающую. Описаны некоторые свойства поверхностей Ф, построена индикатриса параметров распределения. Аналогичным вопросам посвящена работа [199]. Обзор результатов и библиография по теории обобщенных линейчатых поверхностей Ф приводятся в работе [200]. [c.258]

Переход к многомерному случаю связан со значительными усложнениями. Пусть задана область V тела, ограниченная поверхностью S. Выберем множество точек i, V, i = 1,2,..., N, называемых узловыми или узлами. Если 2,- V, то узлы называются внутренними если , S — то граничными. Совокупность всех узлов называется сеточной областью Vh или сеткой. Каждый узел 2,- Sft называется граничным узлом, а совокупности всех таких узлов — границей сетки. Для построения разбиения области V необходимо задать форму конечного элемента. Если это треугольник (в случае V С Кг) или тетраэдр (в случае V С Кз), то разбиение называется триангуляцией области. Мы будем рассматривать простейпше случаи разбиения, когда конечные элементы представляют собой прямоугольные параллелепипеды или прямугольники одинаковой формы. Тогда координаты узлов могут быть заданы формулами [c.165]

Результаты Ляпунова, соответствующие случаю одной степени свободы, были обобщены М. Г. Крейном и В. А. Якубовичем на любой конечномерный случай. Можно сохранить прежнюю форму записи, считая у вектором (одностолбцовой матрицей) в пространстве любого числа измерений, р t) — матрицей соответствующего порядка. Однако, как ни существенно обобщение на многомерный случай, для анализа колебательных систем в механике сплошных сред оно недостаточно. Например, исследование динамической устойчивости jrnpyroro тела, находящегося под действием параметрического и периодически изменяющегося во времени возмущения, требует перехода от конечномерного случая к бесконечномерному. Первые результаты в этом направлении были получены В. И. Дергузовым. Выяснилось, что основные результаты, полученные в конечномерном случае, переносятся и на бесконечномерный случай Переход к бесконечномерному случаю потребовал существенного видоизменения методики интересно отметить, что новая методика позволила углубить теорию и для систем с конечным числом степеней свободы При этом полезным оказался переход от уравнения (d) к белее общему операторному уравнению вида [c.133]

Область многомерного пространства называется звездообразной относительно некоторой своей точки, если любую точку области можно соединить с этой точкой отрезком прямой, целиком расположенным внутри области. Понятие звездообразности области — обобщение на многомерный случай требования односвязности плоской области, так чтобы по-прежнему для поля Ар да Ар = дрАа было справедливо заключение о том, что его [c.682]

Обобщение теорем 1 и 2 на многомерный случай содержится в работах И. А. Тайманова [155, 156]. [c.136]

Pioe-что из приведенного рассуждения можно перенести на многомерный случай, и это дает полезные результаты о периодических решениях задач динамики. Роль кольца в многомерном случае играет фазовое пространство прямое произведение области в евклидовом пространстве на тор того же числа измерений (кольцо — это произведение интервала на окружность). Симплектическая структура в фазовом пространстве задается обычным образом, т. е. имеет вид 2 = 2 dxj Д dy , где X] — переменные действия, а ук — угловые переменные. [c.388]

Такой вид интегралов движения (1.12), допускающий обобщение на многомерный случай [128], был указан К. Уленбек [278] в 1975 г. (они встречаются также у Р. Деванея [203]) при исследовании задачи Неймана, которая была проинтегрирована К. Нейманом еще в 1859 г. при помощи разделения переменных (см. 7 гл. 1). В трехмерном случае интегралы (1.12) были известны еще Г. Веберу [282] (1878 г). [c.172]

Одпако при рассмотрении уравнений полей, содержащих, как правило, четыре или большее число независимых переменных х, у, г, I. .., практически невозможно воспользоваться тем, что решение является стационарным значением некоторых интегралов, так как само решепие дифференциальных уравнений в частных производных представляет больпше трудности. В этих случаях использование вариационного принципа дает преимущество лишь при выводе законов сохранения, в частности закона сохранения энергии. Другое дело, если решаются задачи с одной независимой неремеппой (время в механике или длина луча в геометрической оптике). В этом случае имеют дело с обыкновенными дифференциальными уравнениями, и оказывается, что примененне вариационного принципа существенно упрощает исследование решения задачи. Фактически такой подход является непосредственным обобщением обычной геометрической оптики. В своем современном виде оп разработан главным образом Д. Гильбертом, и рассуждения, изложенные выше, базируются на материалах его неопубликованных лекций, прочитанных в Геттингене примерно в 1903 г. Здесь приводится теория лишь для трехмерного пространства х, у, г), однако ее легко обобщить на многомерный случай. [c.663]

В. И. Костин [3] рассмотрел гонометрические семейства, допускающие группу. Построения В. Ф. Кагана в двойственном виде, а именно, с заменой угла между бесконечно близкими кривыми длиной отрезка их общей касательной между точками касания, были проведены И. М. Яглолюм [10]. Наконец, В. И. Костиным были намечены пути перенесения результатов В. Ф. Кагана на многомерный случай [4. [c.216]

В качестве простого примера, показывающего, как изложенные методы можно применять к многомерному случаю, рассмотрим электростатическое уравнение Пуас- [c.25]

Многомерный случай. Об особенностях фронтов многомерных лежандровых отображений (следовательно, об особенностях эквидистант, двойственных гладким гиперповерхностей, преобразований Лежандра, подэр, первообразных и т. д.) мало что известно. Из общих теорем Варченко 29], (30], [31], [226], следует конечность числа негомеоморфных особенностей на типичных фронтах любой фиксированной размерности. Явной же топологической классификации пока нет уже для шестимерных фронтов. [c.100]

Разумеется, эту конструкцию можно обобщить, потребовав, чтобы на первом месте вместо двух образовалось бы любое конечное число полос, скажем, тогда на втором шаге образуется полос и т. д. (при этом число полос, образующихся при отображении будет, вообше говоря, не равно /). Наконец, это построение можно обобщить на многомерный случай (см. [45]). Имеются и другие видоизменения приведенной конструкции. Укажем еще на гладкую реализацию подковы Смейла, построенную в [86], а именно существует диффеоморфизм 5 класса двумерной сферы в себя, продолжающий построенное выше отображение1>5, для которого 3(5)=Лири , где р и [c.132]

В 1950 г. была опубликована классическая работа фон Неймана и Рихтмайера, в которой была выдвинута идея явного введения искусственной вязкости. Для стабилизации расчета одномерного распространения ударной волны в невязком газе ири использовании пеконсервативной формы уравнений в лагранжевых переменных эти авторы ввели искусственную добавку в давление. Однако понять этот метод проще, если интерпретировать этот добавочный член как член с вязкостью интерпретируя этот член как член с объемной вязкостью щ, получаем очевидное обобщение на многомерный случай. [c.345]

Распростраиеиие схемы на многомерный случай очевидно и проводится просто. Для двумерного уравнения [c.373]

Построить двухслойные полностью консервативные разностные схемы для уравнений газодинамики в переменных Эйлера удается с помощью специального подхода [43]. Он основан на использовании в разностных уравнениях у членов, которые содержат пространственные пpoизF Oдпыe, временных весов, являющихся функциями решения. Указанный подход легко обобщается на многомерный случай. [c.151]

Задачи с диффузией. Принцип построения компактных схем для кон-вективно-диффузионных задач при наличии одной пространственной переменной полностью переносится на многомерный случай. Вместе с тем в этом случае может возникнуть необходимость аппроксимировать смещан-ные производные, не рассматривавижеся ранее. [c.85]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...