Краевые задачи и задачи управления. Классические решения

Краевые задачи и задачи управления. Классические решения [c.24]

Гл. 2. Краевые задачи и задачи управления. Классические решения Ji2 t) = / 2( 5 2(0 = 2( )5 г Д / 2( ) и определяются формулами [c.58]

В главе 2 формулируются постановки краевых задач, задач управления для классических решений класса Даны решения задач управления, основанные на методе Даламбера и методе Фурье. Результат анализа каждой задачи представлен в виде готовой формулы, определяющей искомое управление как функцию времени. Из этих формул известными методами легко получить управления как функции состояния системы. Устанавливается связь между решениями, которые получены с помощью формулы Даламбера и методом Фурье. В последнем параграфе главы приводятся результаты по управлению колебаниями балки, принадлежащие А.И. Егорову. [c.3]

Заключительный 4.3 главы состоит из двух частей. В каждой из них рассматривается задача об оптимальном программировании реактивного ускорения как результата действия силы тяги реактивного двигателя. В первой части эта задача анализируется в рамках классического вариационного исчисления, когда на минимизируемый функционал качества накладываются дополнительные дифференциальные (неголономные) и краевые условия. Большое внимание уделяется изучению свойств оптимального режима движения и выявлению его особенностей в критических точках траектории. Во второй части параграфа для решения аналогичной задачи предлагается воспользоваться методами теории оптимального управления, поскольку на управление (реактивное ускорение) дополнительно накладываются ограничения в виде неравенств. В качестве универсального средства синтеза оптимального управления выбран принцип максимума Понтрягина. [c.106]

При этом на допустимые управления fi(t) и v t) наложено ограничение t) Л и (i) Л, где Л — заданная постоянная. Здесь норма элемента берется с учетом того конкретного пространства управляющих функций, элементы которого однозначно определяют решение краевой задачи (классическое или обобщенное), представимое в виде ряда Фурье по собственным функциям соответствующей задачи Штурма-Лиувилля. [c.8]

Наименее организованным приемом численного решения задач об оптимальном управлении, связанным с использованием принципа максимума или аналогичных классических критериев оптимальности, является метод подбора даже слепого) начальных значений вектора ij) (io)) или, соответственно, начальных значений множителей Лагранжа ( о)> путем проб. Обладая большой общностью, метод не выдерживает критики с эстетических позиций и трудно исполним в тех случаях, когда речь идет о системах достаточного высокого порядка. Однако сбрасывать этот метод со счетов нельзя, потому что, будучи дополненным вспомогательными соображениями и в том числе промежуточными оценками результатов, он оказывается достаточно эффективным, если в процессе счета удается уловить характер зависимости оптимального движения (t) от краевых значений вектора "ф (io) или от Kt (to) (здесь речь идет прежде всего о задаче с заданными краевыми условиями на о (io) и х (ii) в случае ослабления этих условий общая проблема оптимальности часто упрощается). [c.199]

В результате исследований, посвященных принципу максимума и аналогичным ему критериям классического вариационного исчисления, были разработаны общие приемы построения необходимых признаков оптимальности, по-видимому, вполне достаточные для большинства типичных экстремальных задач о программном управлении. Как правило, в настоящее время решение этого вопроса не вызывает принципиальных затруднений, во всяком случае, если речь идет о минимизации (максимизации) функционалов вида (8.2) и подобных им. При встрече с новым кругом задач этого типа обычно удается учесть дополнительные обстоятельства и составить соответствующие необходимые условия экстремума по широко известным теперь общим рецептам. Однако составление дифференциальных уравнений, выражающих необходимые условия оптимальности, является лишь первым, хотя и чрезвычайно важным этапом в решении конкретных проблем. Следующий этап состоит в интегрировании этих уравнений с учетом краевых условий, которым должно удовлетворять искомое оптимальное движение. Эта краевая задача, связанная с необходимостью привести управляемый объект в заданное состояние, остается до сих пор трудной проблемой. Дело заключается в следующем. Необходимые признаки оптимальности, выражаемые дифференциальными уравнениями Эйлера — Лагранжа для координат Х1 1) и множителей Лагранжа Я-г ( ) (или для имеющих тот л е смысл координат г) г 1) вектора -ф ( ) в случае принципа максимума), определяют внутренние свойства оптимальных движений, описывая их локальное поведение в окрестности каждой точки на данной траектории. В силу этих свойств каждое оптимальное движение развертывается во времени совершенно определенным образом, отталкиваясь от начальных условий х ( о) и ( о)-Начальные данные ( о) обычно задаются по условиям задачи. Величины ( о) ("Фг ( о)) определяют по условиям принципа максимума направление в пространстве х , в котором уходит оптимальное движение х (t) из точки X to). Трудность состоит в выборе величин (Ьо), которые обеспечивают прицеливание оптимального движения как раз в заданное конечное состояние X 1х) (или на заданное многообразие М конечных состояний и т. п.). Эффективное преодоление этой трудности, как правило, тормозится невозможностью получения явной зависимости между величинами х ( 1) и А, ( о) вследствие неинтегрирз емости в замкнутой форме дифференциальных уравнений задачи. Каждая новая серия соответствующих краевых задач, особенно, если речь идет о нелинейных объектах, требует обычно для своего разрешения подбора специальных вычислительных алгоритмов. Лишь для отдельных классов задач выведены некоторые закономерности, облегчающие их конкретное решение. [c.192]

Наиболее распространенный подход к исследованию задач оптимального управления, содержащих малые параметры, состоит в применении методов асимптотического разложения решений возмущенных дифференциальных уравнений к краевой задаче принципа максимума (см., например, [11, 36, 72, 77, 82, 97, 98, 127, 129]). Такая методика позволяет строить асимптотику решения задач с открытой областью управления и гладкими управляющими воздействиями, т. е, задач классического вариационного типа. В задачах современной теории оптимального управления, имеющих прямые ограничения на значения управляющих воздействий в виде замкнутых неравенств, реализация указанного подхода встречает серьезные трудности, поскольку динамические уравнения краевой задачи принципа максимума не обладают необходимой для применения асимптотических методов гл остью. Наверное, поэтому в данном случае исследования, в основном, сводились лишь к выяснению вопроса о предельной задаче, к решению которой в той или иной топологии сходится решение возмущенной задачи при стремлении малого параметра к нулю. Что касается построения асимптотики решения в задачах с замкнутыми множествами допустимых значений управляющих воздействий, то имеющиеся здесь результаты еще далеки от того уровня, который мог бы удовлетворить запросы практики. В первую очередь, это относится к нелинейным сингулярно возмущенным задачам, для которых вопрос о построении асимптотических приближений к оптимальным управлениям за редкими исключениями остается открытым. [c.7]

Уравнения Риккати встречаются во многих задачах, особенно широко они стали использоваться в последние 25 лет в системном анализе и теории управления. Характерные, но ни в коем случае не исчерпывающие примеры применения уравнения Риккати можно найти в обычных классических учебниках по оптимальному управлению (см. работы II—51 и ссылки в них) и фильтрации (см. работы [3, 5—8] и ссылки в них). Одним из лучших учебников по математическим аспектам этой проблемы является работа Рейда [91, в которой наряду с вопросами управления и оценки рассматриваются приложения к дифференциальным уравнениям с частными производными, однородным и неоднородным линиям передачи, диффузионной проблеме Мицельского—Паш-ковского и теории переноса нейтронов. Последняя задача является иллюстрацией той роли, которую играют уравцёния Риккати в методе инвариантного погружения (см. работы [10,111 и ссылки в них). Детали использования этих уравнений в решении двухточечных краевых задач рассматриваются, в частности, в работах Денмана, Бремли и К асти. [c.248]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...