Размерность многообразия

В пространстве Г , по теореме Ли, приведенной в п. 18, наибольшая размерность многообразий соединенных элементов есть п — 1. Эти многообразия со -1 соединенных элементов разделяются на п категорий, различающихся между собой по размерности (точечного) основания или геометрического места центров соответствующих элементов, которое изменяется от минимума О (соответственно связке элементов с заданным общим центром) до максимума п—1 (соответственно многообразиям o -i элементов одной и той же гиперповерхности). [c.372]

На ориентируемых многообразиях корректно определён интеграл от внешней Д. ф. макс. ранга. Если п — размерность многообразия, то [c.683]

Числом степеней свободы механической системы называется размерность ее конфигурационного многообразия. Напомним, что размерностью многообразия называется разность между размерностью пространства, в которое оно погружено, и числом уравнений, задающих многообразие аналитически. В примерах 1 и 2 число степени свободы равно двум, в примере 3 — шести. (Условие det А = 1 не ограничивает размерности многообразия, поскольку в общем случае ортогональных матриц det Л = 1 и это условие представляет собой лишь выбор одной из полостей в общем случае несвязного многообразия.) [c.108]

Случай, когда число нулевых корней характеристического уравнения больше размерности многообразия состояний равновесия, следует рассматривать как особый (критический). [c.272]

Увеличение размерности многообразия состояний равновесия на единицу произошло из-за того, что первое и третье уравнения системы (2.43) оказались зависимыми. [c.285]

Дифференцируемое многообразие есть класс эквивалентности атласов. Мы будем рассматривать только связные многообразия ). Тогда число п для всех карт одно и то же — оно называется размерностью многообразия. [c.73]

Это расслоение можно оснастить структурой дифференцируемого многообразия, размерность которого вдвое больше размерности многообразия М (см. 3 приложения). Любая локальная система координат на М индуцирует систему координат на ТМ, которая является глобальной в касательном направлении. А именно, касательные векторы к координатным кривым образуют базис в каждом касательном пространстве, а 2п координат касательного вектора включают п координат базисной точки и координаты вектора относительно этого базиса. [c.28]

В случае потоков устойчивое и неустойчивое многообразия гиперболических неподвижных точек и периодических орбит могут быть определены с помощью соответствующей модификации теоремы Адамара — Перрона 6.2.8, как предложено в упражнении 6.2.5. Соответственно можно говорить о трансверсальности относительно этих многообразий. Заметим, что такие многообразия состоят из орбит потока, так что трансверсальное пересечение может возникнуть только при условии, что сумма их размерностей строго больше размерности многообразия. [c.301]

Докажите, что если размерность многообразия М больше единицы, то критическая точка, существование которой гарантирует предложение 9.1.2, не является локальным максимумом. [c.345]

Пусть теперь и — два пространства, изоморфных (п — размерность многообразия М). Предположим, что Щ (г = 1,2) — прямая сумма двух подпространств Х и Yi размерностей, соответственно, к и I [c.189]

В обычной геометрии существует два способа уменьшить размерность многообразия — взять сечение или проекцию. В симплектической геометрии размерности симплектических многообразий чётны и уменьшение размерности всегда достигается в два шага, один из которых — взятие сечения, другой — проектирование. Для того чтобы получить многообразие характеристик мы начинаем с сечения коразмерности 1 (гиперповерхность) и затем проектируем его с одномерным ядром на многообразие характеристик. [c.9]

Пусть Е — световая гиперповерхность (верхний индекс — размерность многообразия), Н — многообразие её гиперболических особенностей, а — продолжение этого многообразия с помощью проходящих через него характеристик световой гиперповерхности. Точнее, для построения на таких характеристиках берутся лишь достаточно малые окрестности лежащих на них гиперболических особенностей [c.308]

Нормальное пространство есть линейная оболочка векторов Размерность нормального пространства dim N M= I, а размерность многообразия М по определению есть размерность касательного пространства Т М и равна п = 37V- /. Заметим, что касательное пространство линейно и является ортогональным дополнением нормального пространства. [c.93]

Пусть М с — конфигурационное многообразие системы 1 материальных точек. Размерность многообразия n = ЗN-1, где /-число связей, а само многообразие [c.98]

Выше предполагалось, что состояние равновесия, появляющееся на периодическом движении, простое. Рассмотрим теперь случай, когда это состояние равновесия сложное. Придерживаясь нашего принципа общности, оно должно быть таким, чтобы этой возможности в пространстве параметров отвечала бифуркационная поверхность размерности на единицу меньше, чем размерность пространства параметров, т. е. бифуркационная поверхность, отвечающая бифуркации общего типа. Из этого следует, что сложная особая точка должна быть простейшей и ей должна отвечать в пространстве параметров некоторая поверхность. В сколь угодно малой близости от нее эта сложная точка должна превратиться в простую или исчезнуть. Общие случаи превращения простых точек в сложные нам известны. Эти превращения происходят на поверхностях и /V,,-Поверхность не подходит, так как наличие у соответствующего ее точкам сложного состояния равновесия двоякоасимптотической траектории может быть лишь при выполнении некоторых дополнительных условий, поскольку для ->того требуется пересечение интегральных многообразий Sp и S.,, таких же, как и в ранее рассмотренном случае. На поверхности yv происходит слияние состояний равновесия О"" и Этот случай нас устроит, если наличие двоякоасимптотической фазовой кривой возможно в общем случае. Рассмотрим этот вопрос. Через точку О"" проходят интегральные многообразия Sp и S, и через точку 0/>+1, -I — интегральные многообразия Sp i и S i. Пересечение многообразий Sq и Sp,.i является общим. В силу того, что на поверхности /V,, состояния равновесия О -" и сливаются, до момента этого слияния поверхности Sg и Sp+i в окрестности этих точек в общем случае пересекаются по некоторой двоякоасимптотической фазо- [c.264]

Рассмотрим произвольный цикл, составленный нз фазовых траекторий Yi, 72,. .., у,, проходимый при возрастании времени в порядке их написания. Тогда фазовая траектория 7 является пересечением интегральных многообразий S . и S . размерностей и р . [c.279]

Преобразованное многообразие, как и исходное, имеет размерность — 1. Многообразие v> = О имеет размерность р — 1. Поэтому в общем случае пересечение преобразованного многообразия (7.68) и многообразия и -= О происходит в отдельных точках и без касаний. Общность пересечений этих многообразий на секущей Sj означает общность пересечения многообразий 5 и седловых [c.318]

Чем больше таких простых независимых резонансных соотношений, тем ниже размерность возможного устойчивого тороидального многообразия и больше степень синхронности колебаний парциальных осцилляторов. Напротив, отсутствие таких простых резонансных соотношений способствует возникновению многочастотных колебаний, для которых учет флюктуаций путем добавления к правым частям уравнений (7.86) малых случайных воздействий I/и т], приводит к стохастическим дрейфам фаз Ф1, Фг, пропорциональным дисперсиям случайных воздействий и растущим с временем t как ]/1. [c.330]

Этот и остальные параграфы настоящей главы посвящены одному из важнейших методов решения задач теории упругости-методу сингулярных интегральных уравнений. Преимущество этого метода состоит в том, что получающиеся уравнения записываются на многообразиях размерности на единицу меньше размерности исходной задачи (например, в трехмерной задаче получаются уравнения на поверхностях, т. е. многообразиях размерности 2), однако за это снижение размерности приходится расплачиваться усложнением методов решения и исследования соответствующих уравнений и систем. [c.86]

Замечание. Суммарная размерность устойчивого и неустойчивого множества негиперболической особой точки с одно мерным центральным многообразием равна п+1 (п—размерность фазового пространства). Поэтому в классе векторных полей с такой особой точкой наличие гомоклинической траектории этой точки — явление общего положения. [c.89]

Определение. Два гладких подмногообразия А и В rt-мерного многообразия имеют простое касание в точке Р, если сумма их размерностей не меньше п и, кроме того, [c.91]

С другой стороны, при достаточно малом е, некоторая степень диффеоморфизма уменьшает двумерные объемы. Поэтому аттрактор не является и многообразием размерности выше 1. Следовательно, аттрактор — странный. [c.121]

ХбМ, называется множество всех убМ, для которых существует ( , Л/ )-цепочка Хопфа, соединяющая х с у. В случае диффеоморфизмов Аносова существуют такие Я п Ы, что (i , М) -множество, ассоциированное с любой точкой хбМ, совпадает со всем многообразием. Этот факт лежит в основе доказательства эргодичности диффеоморфизмов Аносова. В случае РЧГ-диф-феоморфизмов сумма размерностей устойчивых и неустойчивых слоений меньше размерности многообразия. Поэтому вполне возможной является ситуация, когда ( , Л/ )-множества, ассоциированные с любой точкой хбМ, имеют меру нуль. Например, если пара слоений и интегрируема и образует слоение [c.156]

Рассмотрим двулистное накрытие —> У над разветвлённое вдоль У ( комплексификация края есть двулистное разветвлённое накрытие ). Рассмотрим группу Н целочисленных гомологий средней размерности многообразия Перестановка листов накрытия действует на Н как инволюция. Пусть Н обозначает антиивариантную [c.176]

При С = 3 (три пространственные переменные) размерность световой гиперповерхности равна 6, следовательно размерность многообразия вершин типичного вариационного принципа равна 4. Кроме зтих простых особенностей (типа квадратичного конуса вдоль многообразия вершин), может существовать кривая особенностей типа N3. Проекция многообразия вершин на четырёхмерное пространство-время может его накрывать. Таким образом, рассеяние возможно в любой точке и в любой момент времени (при зтом, разумеется, направление особой волны специально, так же, как это было в меньших размерностях). [c.285]

Теперь рассмотрим оставшиеся возможности для изменения периодического движения Г, т. е. те, при которых наруилается существование гладкого взаимно однозначного отображения секущей. Для таких изменений есть следующие возможности замкнутая кривая Г стягивается в точку, на ней появляется состояние равновесия, она уходит в бесконечность ). Замкнутая кривая может стянуться только к особой точке — состоянию равновесия — и поэтому этот случай уже был изучен при рассмотрении бифуркаций состояний равновесия. Он соответствует переходу через бифуркационную поверхность Л/, . Второй случай новый, хотя он тоже связан с бифуркацией состояния равновесия, но не был замечен, поскольку раньше рассмотрение относилось только к окрестности состояния равновесия и не выходило за ее пределы. Перейдем к его рассмотрению. Третий случай оставим без внимания ввиду очевидности связанных с ним изменений. В рассматриваемом случае при бифуркационном значении параметра имеется состояние равновесия О и фазовая кривая Г, выходящая и вновь входящая в него. Пусть это состояние равновесия простое, типа О ". Так как фазовая кривая Г выходит из О" , то она лежит на инвариантном многообразии S,,, а так как она в него еще и входит, то она принадлежит еще и многообразию S l,. Отсюда следует, что многообразия Sp и 5 пересекаются по кривой Г. Соответствующая картинка представлена на рис. 7.14. Как нетрудно понять, пересечение поверхностей S,, и не является общим случаем и при общих сколь угодно малых изменениях параметров динамической системы должйо исчезнуть. Это означае т, что в пространстве параметров этому случаю вообще не отвечают области, а, как можно обнаружить, в общем случае только некоторые поверхности на едирплцу меньшей размерности. Таким образом, исследование этой бифуркации периодического движения свелось к следующему вопросу когда фазовая кривая, идущая из простого седлового дви- [c.262]

Гомоклинические структуры возможны в динамических системах, описываемых дифференциальными уравнениям , с размерностью, не меньшей трех. Двумерные системы гомоклинических структур иметь не могут. Однако двумерные точечные отображения такие структуры допускают. Для динамической системы, описываемой точечным отображением, под гомоклинической структурой естественно понимать некоторое множество седловых неподвижных точек и двоякоасимптотических к ним фазовых траекторий (последовательностей преобразующихся друг в друга точек). Простейшая гомоклиническая структура для точечного отображения возникает при пересечении сепаратрисных инвариантных многообразий — седловой неподвижной точки двумерного точечного отображения. Возникающая при этом сложная картинка взаимопересечений сепара-трисных кривых уже описывалась. [c.315]

В такой системе возможны многопериодические движения, образующие устойчивые тороидальные многообразия. Полным синхронизмом движений всех парциальных осцилляторов естественно считать либо равновесие системы, либо ее периодическое движение. При периодическом движении все парциальные осцилляторы колеблются с общей частотой и с вполне определенными фиксированными разностями фаз. Периодическое движение можно рассматривать как тороидальное многообразие размерности единицы. С увеличением размерности тороидального многообразия в колебаниях отдельных осцилляторов все меньше и меньше согласованности и, наконец, при максимальной размерности, равной п, между ними нет никаких связей. Вместе с уменьшением степени синхронизма все увеличивается стохастичность колебаний системы. Размерность возникающего тороидального многообразия зависит от соотношений между частотами со,, oj,. .., со . Наличие между частотами простых резонансных соотношений приводит, вообще, к снижению размерности тороидального многообразия вплоть до возникновения синхронных колебаний. При этом под простым резонансным соотношением понимается, что при некоторых, сравни- [c.329]

Для идеально-пластического тела недопустимость соотношений (3.1) следует из того факта, что многообразие напряжений соответствующих процессам пластического нагружения, и пространство остаточных пластических деформаций имеют, вообще говоря, разные размерности. Наибольшее возможное при Т = onst и = рД число измерений многообразия точек поверхности текучести 2р, которой принадлежат все точки изотермических процессов пластического нагружения, равно пяти, а соответствующей области пространства eg — шести. [c.429]

Ч Рассмотрим 1-струйное расширение отображения v фазового пространства U в R". Пространство / (f/, R") состоит из точек вида х, у. А), где xW, 6R", ЛеНот(К", R"). Образ фазового пространства V под действием 1-струйного расширения отображения v состоит из точек (х, v x), dv/dx x)). Обозначим через С алгебраическое подмногообразие в P U, R"), состоящее из точек вида ((х, О, Л) оператор А имеет хотя бы одно собственное значение на мнимой оси). Это алгебраическое многообразие имеет коразмерность п-Ь1 оно не является гладким многообразием, но является объединением гладких, вообще говоря, не компактных многообразий коразмерности не меньше tt+1. Размерность U равна п. По теореме трансверсальности образ v(U) для векторного поля v общего положения не пересекает С. > [c.16]

Теорема сведения ([117], [20]). Локальное семействовекторных полей (и О, 0), г (О, 0)=0 топологически эквивалентно надстройке седла над ограничением семейства на его центральное многообразие. Это ограничение (обозначим его-(ш О, 0) представляет собой локальное семейство с с-мерным фазовым пространством, где с — размерность центрального многообразия ростка v -, 0)). Если локальное семейство (ш О, 0) является версальной деформацией ростка w -, 0), тО исходное семейство (и О, 0) является версальной деформацией, ростка г ( , 0). А [c.18]

Результаты исследования резюмируются ниже в виде таблиц и рисунков. Размерность фазового пространства уравнений, приводимых в таблицах, равна размерности центрального многообразия деформируемого ростка. В первом столбце таблицы указывается класс деформируемых ростков, во втором — его коразмерность V, в третьем описываются типичные ростки, в четвертом указывается топологическая нормальная форма деформируемого ростка, в пятом — главные деформации. Бифуркационные диаграммы и соответствующие фазовые портреты изображаются на рисунках, номера которых указываются в шестом столбце таблицы. Связь между типичными и главными деформациями для рассмотренных ниже классов такова. [c.19]

В таблице 3 v — коразмерность вырождения, и+ — максимальный показатель мягкой, и- — жесткой потери устойчивости. Прочерк означает, что в рассматриваемом классе нет устойчивых ростков (встречаемых в трехпараметрических семействах общего положения). Перечисленные в таблице 3 классы определены в [26, 5, гл. 3]. Напомним расшифровку некоторых обозначений. Нижний индекс в обозначении класса W " указывает размерность центрального многообразия верхние символы до точки с запятой обозначают вырождения линейной части О — нулевое собственное значение, I — пара чисто мнимых, / — нильпотентная жорданова клетка, порядок которой устанавливается по размерности центрального многообразия. Знак после точки с запятой символизирует отсутствие вырождений в нелинейных членах число нулей после точки с запятой равно числу вырождений в нелинейных членах. [c.41]

Рассмотрим окрестность автоквадратного отображения G в подходящем функциональном пространстве отображений области Dr в себя. Эта окрестность расслоена на орбиты действия группы аффинных замен переменных (точнее, разбита на классы аффинно эквивалентных отображений допуская вольность речи, будем называть эти классы орбитами , хотя они представляют лишь куски орбит). Орбита отображения G, как и близких к G отображений, — гладкое многообразие, размерность которого совпадает с размерностью аффинной группы пространства С". Поэтому окрестность отображения G факторизуется по действию аффинной группы пусть п — проектирование этой окрестности на соответствующее факторпространство. Оператор удвоения переставляет орбиты действия аффинной группы поэтому он опускается до оператора, действующего на факторпро-странстве. Точка яС является неподвижной для этого нового [c.84]

Пример 1. Рассмотрим негиперболическую особую точку О векторного поля с одномерным центральным многообразием, ограничение поля на которое имеет вид ах +. ..) djdx, а О. Если эта особая точка — узел по гиперболическим переменным, то росток в точке О одного из множеств 8 , S диффеоморфен ростку луча в его вершине, а росток другого множества — ростку полупространства в граничной точке. Если особая точка О — седло по гиперболическим переменным, то ростки множеств S и диффеоморфны росткам полупространства размерности выше единицы в граничной точке dim S = dim +1, dim S = dim W +l. [c.89]

Если Re>bi=. . . =ReXt>ReXR+i, то инвариантное подпространство оператора А, соответствующее собственным значениям Ль. .., Ar, называется ведущим устойчивым направлением ростка в особой точке аналогично определяется ведущее неустойчивое направление. Название объясняется тем, что почти все фазовые кривые уравнения x = v x) с началом на устойчивом многообразии особой точки О входят в особую точку, касаясь ведущего устойчивого направления исключение составляют кривые, заполняющие подмногообразие меньшей размерности, чем Wo . Для линейного уравнения это очевидно, для нелинейного доказано в i[186]. [c.127]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...