Метод суммирования диаграмм

Математический аппарат статистической механики — 212 Метод суммирования диаграмм — 213 [c.239]

Методы суммирования диаграмм и перенормировок, применяемые при описа-шш систем с высокой плотностью, были развиты в работах [c.320]

Таким образом, мы в первом приближении решили полностью проблему плазмы. Метод суммирования в принципе может быть применен в более высоких приближениях (в то время как метод Дебая не дает такой возможности). Можно, например, считать, что следующий порядок приближения определяется членами, пропорциональными пу. Им соответствуют диаграммы, изображенные на фиг. 6.5.7. Они строятся по простому правилу начиная с первой диаграммы, превращают каждую исходную линию в цепочку (аналогично тому, как были получены кольца из первоначальной диаграммы на фиг. 6.5.6). Следует, однако, иметь в виду, что в более высоких порядках в игру вступают также смешанные вклады, содержащие вклад твердой сердцевины Явное проведение суммирования становится довольно сложной задачей. Более подробно читатель может познакомиться с этими вопросами в приводимой литературе. [c.252]

У равнения Дайсона. К задаче о вычислении функций Г рина и корреляционных функций можно подойти с разных сторон. Например, дифференцируя их по временным аргументам и используя затем уравнения движения для операторов поля, можно получить так называемую цепочку уравнений Мартина-Швингера [124], которая аналогична цепочке уравнений для приведенных матриц плотности, рассмотренной в главе 4 первого тома. Расцепляя на каком-то шаге цепочку Мартина-Швингера с помощью аппроксимаций для высших функций, можно получить приближенные замкнутые уравнения для одночастичных функций Грина и корреляционных функций (см., например, [49]). Другой путь состоит в том, чтобы записать гамильтониан в виде Я = Я + Я, где Я описывает свободные частицы, и перейти в представление взаимодействия, разложив функции Грина и корреляционные функции в ряды по Я. Для суммирования бесконечных последовательностей членов теории возмущений удается построить диаграммную технику [19] (см. также [55]). В настоящее время хорошо изучена связь аппроксимаций высших функций в цепочке Мартина-Швингера с суммированием диаграмм определенных типов, поэтому выбор подхода, во многом, дело вкуса. Поскольку метод уравнений движения более удобен для исследования общих свойств временных функций Грина, именно им мы и воспользуемся ). [c.43]

Вычисление Г может быть осуществлено путем суммирования диаграмм. Примеры таких диаграмм приведены на рис. 23, а также на рис. 29, а, б, в. Уже из того, что диаграммы для Г можно рассматривать как некоторую часть диаграмм для О-функции, следует, что правила сопоставления каждой диаграмме соответствующих выражений остаются теми же, что и при вычислении О. В этом нетрудно убедиться и непосредственным образом, если воспользоваться аналитическим определением Г и действовать дальше в полной аналогии с методами предыдущего параграфа. [c.130]

Поскольку по определению матричные элементы взаимодействия Vil отличны от нуля, лишь если 1ф Г, ряд (9.36) напоминает разложение i-матрицы (9.26), в котором последовательные индексы суммирования немедленно не повторяются. Однако при усреднении по ансамблю слагаемых, содержащих степени gi, различные сомножители оказываются коррелированными. Обойти эту обычную трудность не удается. Частичное суммирование диаграмм с помощью кумулянт [5] в конечном итоге также не дает лучших результатов, чем более непосредственный метод когерентного потенциала (см. 9.4), [c.387]

Математические методы, получившие свое название в честь Ж. Б. Фурье, чрезвычайно эффективны в указанных областях. Они вводятся в гл. 3 и 4 и широко применяются в заключительных главах. Описанная в учебниках общей физики скалярная аппроксимация полностью пригодна для математического представления света и использована по всей книге. В приложении А дается сводка обозначений и основных уравнений, напоминается смысл таких терминов, как разность путей и разность фаз, и рассматривается использование фазовых диаграмм для суммирования волн с различными амплитудами и фазами. [c.9]

Если излучатель создает достаточно симметричное звуковое поле, то нет необходимости его подробно исследовать, поэтому для получения данных, требуемых для расчета акустической мощности, достаточно снять диаграмму направленности излучателя в какой-либо одной плоскости. Вследствие цилиндрической симметрии использованных нами излучателей, большинство проведенных измерений было выполнено именно таким методом. На основании полученной характеристики направленности проводилось вычисление интенсивности излучения под различными углами к оси сопло—резонатор, а затем общая мощность находилась суммированием энергий, приходящихся на соответствующие шаровые пояса. [c.76]

Другой метод расположения отверстия подачи смазки в благоприятном положении заключается в определении участка подшипника, выдерживающего наименьшие нагрузки за наиболее короткий промежуток времени, и расположения отверстия в этой области. Для этого строится полярная диаграмма усилий, отнесенная, по необходимости, к шину или вкладышу,— например, через каждые 10° — суммированием сил, пересекаемых соответствующей радиальной линией на диаграмме составляют затем таблицу полученных результатов. Для каждой точки находят сумму сил, приводящих к нежелательности расположения отверстия, т.е. суммируются силы (из первой таблицы), действующие на половине окружности, перпендикулярной к радиусу рассмотренной точки затем строится соответствующая полярная диаграмма и находится, таким образом, точка, воспринимающая наименьшие нагрузки, где можно, следовательно, расположить отверстие подачи смазки [12]. [c.377]

В предыдущей главе мы видели, что суммирование бесконечных рядов в технике теории поля производится диаграммным методом. В этом методе сумма ряда может быть изображена в виде диаграммы, элементы которой—линии и вершины — в свою очередь представляют собой суммы бесконечного числа диаграмм. Сопоставление элементам такой диаграммы определенных выражений производится по тем же правилам, что и для диаграмм теории возмущений. Это обстоятельство дает возможность строить различные уравнения для гриновских функций. В гл. II мы уже сталкивались с одним из таким уравнений — уравнением Дайсона, выражающим гриновскую функцию через массовый оператор системы. [c.187]

Подчеркнем, что метод графического суммирования может применяться только к диаграммам для -функций. В рассмотренном в 15 ряде теории возмущений для потенциала 2 такого суммирования произвести нельзя из-за [c.192]

П е р в ы м этапом динамического расчета является построение индикаторной диаграммы. Для вновь проектируемого двигателя индикаторная диаграмма строится на основании теплового расчета. Для поверочного расчета существующего двигателя она может быть построена упрощенным методом по известным уже данным мощности, числу оборотов, удельному расходу топлива и размерности двигателя. Получается так называемая конструктивная индикаторная диаграмма. Вторым этапом динамического расчета является определение сил от инерции и суммирование их с силами газа для шатунно-кривошипного механизма одного цилиндра. Третий этап заключается в суммировании сил от нескольких цилиндров на одном колене вала и в суммировании крутящих моментов от всех колен в случае рядного двигателя или многорядной звезды. Обычно весь динамический расчет ведется при номинальном режиме на расчетной высоте. [c.5]

В самом деле, величины Сг представляют различные выходные сигналы фазовых детекторов. Коэффициенты aij могут быть определены измерением влияния на величины отдельно каждого параметра. Неизвестные параметры могут быть разделены, если применить метод Гаусса для исключения переменных в системе совместных уравнений. Это проиллюстрировано на линейной диаграмме фиг. 11.6. Выходные сигналы с, Сч и фазового детектора являются здесь входными представляют собой точки суммирования, где сигналы, подаваемые на входные [c.367]

Проблема исследования систем, когда к ним не применим критерий слабой неидеальности, требовала новых подходов. Одним из них стал метод получения интегральных уравнений для младших функций распределения, полученных на основе расцепления цепочки уравнений с использованием физических допущений. В 1935 г. Кирквуд предлагает суперпозиционное приближение [26], которое приводит к уравнению, наиболее широко используемому в настоящее время в форме Боголюбова [11]. В 1958 г. Перкус и йевик опубликовали полученное ими уравнение [27], которое обладает тем замечательным свойством, чта допускает точное решение для системы твердых сфер. Для описания систем при больших плотностях был развит метод суммирования диаграмм и перенормировок, на основе которого выведено ГПЦ уравнение [28]. [c.213]

Многочастичные процессы. Если число частиц, участвующих в процессе, превышает три, изложенный выше метод суммирования диаграмм становится неэффективным. Уже среди четырехчастичных диаграмм появляются такие, которые дают в интеграл столкновений расходящийся вклад. В разделе 3.1.5 было отмечено, что эти расходимости порождаются повторными (коррелированными) парными столкновениями. Поэтому во всех порядках по плотности необходимо выполнить суммирование соответствующих опасных диаграмм. Мы ограничимся для простоты пространственно однородными состояниями, когда fi(x,t) = /i(p, ). Обобщение на пространственно неоднородные газы не приводит к каким-либо принципиальных проблемам, но, конечно, усложняет математику. [c.202]

Вывод кинетического уравнения для кристаллической решетки из уравнений Лиувилля методом суммирования диаграмм излагается в лекции Хенин. На этом простом случае видно, как из обратимого уравнения Лиувилля можно получить необратимое кинетическое уравнение. Эта лекция примыкает к циклу работ Пригожина и сотрудников по обоснованию кинетического уравнения. Весьма важные работы Н. Н. Боголюбова по выводу кинетического уравнения, к сожалению, не отражены в лекциях. [c.8]

Статистическо-шханический вывод теории Дебая методом суммирования ряда кольцевых диаграмм содержится в работе [c.253]

В этом параграфе мы обсудим некоторые вопросы, связанные с выводом кинетических уравнений для неидеальных газов с сильным межчастичным взаимодействием. Сначала мы рассмотрим немарковские поправки к интегралу столкновений Больцмана и вклад трехчастичных столкновений. Затем будет показано, как методом частичного суммирования диаграмм можно получить сходящийся интеграл столкновений для умеренно плотных газов. Последние два раздела посвящены многочастичным корреляциям в плотных газах, которые учитываются путем введения новых граничных условий для цепочки ББГКИ. [c.197]

Другим способом введения эффективного потенциала при рассмотрении систем с малой плотностью является метод суммирования. лестничных диаграмм, учитывающих процессы многократного рассеяния. См., на1гоимер, Абрикосов А. А., Горьков Л. П., Дзялошинский И. Е., Методы квантовой теории поля в статистической механике. М., 1962. — Прим. ред. [c.301]

Следует напомнить, что в этом параграфе был развит метод суммирования только кольцевых диаграмм, показанных на фиг. 9.13. Хотя каждая из этих диаграмм действительно дает наиболее расходящийся вклад, теория была бы неполна, если бы не были учтены остальные диаграммы типа показанной на фиг. 9.9. Гелл-Манн и Бракнер вычислили вклад этих диаграмм и получили величину —0,096 как и следовало ожидать, она меньше (при малых г ), чем вклад кольцевых диаграмм, хотя ею и не следует пренебрегать [c.301]

Бурре [1962а], [1962Ь], Фуруцу [1963], Татарский [1964] и Фриш [1965] использовали диаграммный метод суммирования для нахождения уравнений перенормировки произвольного порядка. Татарский [1964] расположил диаграммы для <С> и таким образом, что удалось обнаружить, что эти диаграммы соответствуют разложениям Неймана для двух интеграль- [c.395]

Диаграммой выносливости называется набор кривых усталости, в которых асимметрия полуцикла учитывается с помощью понятия эквивалентной деформации. Диаграммы выносливости гладких образцов получают при стационарном жестком нагружении с учетом изменения деформационных свойств материала [4]. Такие диаграммы нагружения называются полными. Разработаны такнсе формальные методы учета нелинейности суммирования повреждений путем построения так называемых расчетных диаграмм выносливости, которые получаются из результатов испытания при нестационарном нагружении, характерном для условий эксплуатации рассчитываемого элемента [5]. Сравнение полной и расчетных диаграмм выносливости для сплава Д16Т приведено на рис. 5.3. [c.108]

В этой формуле 5-й член есть сумма всех сильно связных 5-частичных диаграмм, имеющих одну свободную линию на левом конце. Вклад 5-го члена пропорционален поэтому формула (3.2.18) дает разложение интеграла столкновений по плотности. Интересно провести сравнение диаграммного представления интеграла столкновений с групповым разложением, рассмотренным в разделе 3.1.5. Основное различие между выражениями (3.1.73) - (3.1.75) и формулой (3.2.18) состоит в том, что метод групповых разложений приводит к марковскому интегралу столкновений в то время как в каждом члене диаграммного разложения (3.2.18) имеется запаздывание. Вообще говоря, диаграммное представление интеграла столкновений также можно свести к выражению, локальному во времени. Для этого диаграммная техника должна быть модифицирована таким образом, чтобы функции распределения fiit — т) выражались через функции fi t). Хотя эта версия диаграммной техники фактически эквивалентна групповым разложениям, она позволяет, в принципе, проводить частичное суммирование, что и является наиболее важным преимуществом диаграммных методов [72]. Следует, однако, отметить, что для кинетических уравнений с запаздыванием правила записи математических выражений, соответствующих диаграммам, и процедура суммирования значительно проще. В связи с этим в дальнейшем мы будем пользоваться диаграммным представлением интеграла столкновений в форме (3.2.18). Марковское приближение будет рассматриваться в каждом конкретном случае. [c.192]

Система изучена в работе [1] методами термического, металлографического и рентгеноструктурного анализов, а также с помощью измерения физических и механических свойств. Сплавы готовили из электролитической меди и 99,5%-ного Nb (0,22% Та) индукционной плавкой в тигле из окиси тория и дуговой плавкой. Диаграмма (рис. 183) построена по данным термического анализа, суммированным в табличном виде в работе [1]. Были использованы кривые охлаждения и измерения оптическим пирометром. Для построения Си-угла диаграммы( см. рис. 183, вставка) применяли вольфрамовый дифференциальный пирометр сопротивления. Микроанализом и измерением микротвердости предельная (при комнатной температуре ) растворимость Си в Nb определена равной —4,3% (ат.) [3% (по массе) ], Nb в Си—-0,14% (ат.) [0,2% (по массе) ] (установлено микроанализом). [c.381]

При разработке вопросов точности, в основном, пользуются двумя методами исследования статистическим и расчетно-аналитическим. Первый метод на основе изучения кривых распределения погрешности [19] и точечных диаграмм позволяет оценить точность обработки, выявить как случайные, так и систематические составляющие погрешности, но при этом не дает объяснения полученным результатам. Второй метод, расчетно-аналитический, основан на теоретическом и экспериментальном изучении процесса образования погрешностей, вызываемых действием отдельных факторов, с последующим суммированием этих погрешностей по соответствующим правилам. Этот метод является более прогрессивным по сравнению со статистическим методом, так как основан на изучении физической сущности явления образования погрешностей, что позволяет творчески решать вопросы точности обработки. Поэтому в основу математического описания механизма образования погрешности обработки был положен расчетноаналитический метод. [c.75]

Ясно видна связь между рядом (3.155) и суммированием избранных членов ряда теории возмущений в методе Гелл-Манна и Бракнера. В рассматриваемом случае последнее суммирование автоматически выполняется, коль скоро мы пользуемся формулой (3.154). Заметим также, что суммирование приведенной совокупности поляризационных диаграмм эквивалентно замене внешнего потенциала фех1(кш) на ф(кш) при переходе от (3.150) к (3.151). В этом состоит физический смысл уравнений Дайсона в форме (3,154). [c.187]

Суммируя поляризационные диаграммы низшего порядка (см. фиг. 20) при вычислении диэлектрической постоянной в рамках RPA, мы уже указывали на эквивалентность расчета в рамках RPA и метода частичного суммирования кольцевых диаграмм, предложенного Гелл-Манном и Бракнером [1]. Продемонстрируем теперь эту эквивалентность на примере расчета энергии основного состояния. [c.370]

Последнее равенство устанавливает явное соответствие между этим результатом и результатом Гелл-Манна и Бракнера для согг. Действительно, суммирование в (П. 496) в точности соответствует суммированию кольцевых диаграмм в методе Гелл-Манна и Бракнера. Так, например, член, пропорциональный [4яао(к, Щ представляет собой вклад поляризационной диаграммы вто< poro порядка (см. фиг. 15,6) и т. д. Имеет место точное соответствие [c.376]

Экспоненциальная форма подынтегрального выражения континуального интеграла для статистической суммы позволяет использовать метод стационарной фазы, выделив экстремаль функционала, стоящего в показателе подынтегрального выражения, и проинтегрировать по всем А в окрестности этой у стремали. При этом условие экстремума определяет уравнение молекулярного поля, а гауссовы флуктуации около экстремальной величины А° описывают поправки, соответствующие корреляциям типа Орнштейна — Цернике, которые представляются графическим рядом (2.40). Таким образом, приближенное вычисление континуального интеграла для статистической суммы по методу стационарной фазы эквивалентно суммированию бесконечной последовательности диаграмм для свободной энергии. [c.114]

Методы вычисления этого интеграла можно применить при вычислении интегралов, соответствующих диаграммам иного типа. Каждому интегралу сопоставляется определенный комбинаторный фактор кроме того, вводится множитель У /(2тгй)2 прн расчетах употребляются некоторые технические приемы. Этот вопрос рассматривается в оригинальной статье Монтролла и Уорда [8) подробное обсуждение деталей формализма имеется также в лекциях автора [26], прочитанных в летней щколе теоретической физики в 1959 г. Окончательное вычисление равновесных групповых интегралов проводится при учете того обстоятельства, что любая диаграмма (или, в квантовомеханическом случае торонов высшего порядка, соответствующая сумма диаграмм) остается инвариантной относительно преобразования Р] Р,- -р. Рг Рг + Р и т. д., где Р]. Р2,. .. являются значениями р, соответствующими взаимодействиям. Поэтому подынтегральные выражения групповых интегралов можно разложить в ряды Фурье как функции с периодом р. При этом появляются новые дискретные переменные 1,, сопряженные с Р1. Рг. и представляющие собой индексы коэффициентов ряда Фурье. Подобно импульсу частиц при столкновении, переменные / также сохраняются, что выражает закон сохранения энергии. В конечном счете групповые интегралы содержат суммирование по и интегрирование по д. [c.274]

Метод перенормировки был расширен, что позволило получить кинетические уравнения для слабо нелинейных систем (см., например, Ван Хов [1955 , [1957] Пригожин [1962] Балеску [1963[ Альтшуль и Карпман [1965[), В соответствии с этим методом последовательности вековых членов выделяются и суммируются с применением диаграмм Фейнмана или без них. Суммирование главных последовательностей вековых членов приводит к квазилинейным уравнениям. [c.395]

Дифракция звука на цилиндре больших волновых размеров. Асимптотическое суммирование ряда (18.33), определяющего рассеянное цилиндром звуковое поле, также можно выполнить методом Ватсона. Для абсолютно жесткого и абсолютно мягкого цилиндра преобразование рядов приведено в работе [103]. В отличие от задачи излучения для задачи дифракции интеграл по полупетле оказывается большой величиной. Вычислив его методом перевала, найдем, что полное поле в освещенной области складывается из падающей волны, волны, отраженной от цилиндра по законам геометрической оптики, и набора волн, обогнувших цилиндр целое число раз. Диаграмма рассеяния состоит из двух частей. Участок 2 (рис. 56) характеризует поле, отраженное от цилиндра по законам геометрической оптики. В этой области для абсолютно жесткого цилиндра диаграмма рассеяния имеет вид [c.184]

Для турбины, процесс в А, 5-диаграмме и число ступеней которой известны, коэффициент возврата легко определяется непосредственным суммированием теплоперепадов по (4.1) и (4.2). Для приближенных оценок существует ряд методов расчета коэффициента возврата теплоты турбины. Один из методов основан на оценке возвращенной теплоты с помощью Л, 5-диаграммы (рис. 4.4). Если предположить, что в турбине с бесконечно большим числом ступеней действительный процесс протекает по линии О—2. то сумма располагаемых теплоперепадов всех ступеней должна находиться между теп-лоперепадами, определяемыми по отрезкам О—2( и О —2. Теплоперепад по отрезку О —2 соответствует гипотетическому случаю, когда температура перед первой ступенью повышается за счет энергии потерь всех ступеней турбины. Так как общая энергия потерь от ступени к ступени нарастает практически линейно, то реальная сумма теплоперепадов определяется изоэнтропой аЪ, проходящей через середины отрезков 21—2 и О—О. Таким образом, коэффициент возврата теплоты при бесконечном числе ступеней турбины может быть определен по фоомуле [c.125]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...