Тензор скоростей деформаций и конечные деформации

Тензор скоростей деформаций и конечные деформации [c.196]

ТЕНЗОР СКОРОСТЕЙ ДЕФОРМАЦИЙ И КОНЕЧНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ [c.199]

Деформация происходит во времени с некоторой скоростью. Скорость деформации в рассматриваемой точке М деформируемого тела характеризуется скоростью деформации бесконечно малой частицы, выделенной в теле вокруг этой точки (рис, 24), и описывается тензором скоростей деформаций В теории деформаций сравниваются два состояния — начальное (в момент времени 4) и конечное (в момент времени t ). В теории скоростей деформаций рассматривается мгновенное состояние в любой момент времени [c.93]

ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ А. А. ИЛЬЮШИНА. Во многих теориях пластичности, таких как деформационная теория пластичности и теория вязко-пластического течения, между напряжениями, деформациями и скоростями деформаций устанавливаются конечные, функциональные зависимости. Более глубокий анализ свидетельствует о том, что напряженное состояние в исследуемом элементе- объема определяется, вообще говоря, характеристиками всего предшествующего процесса изменения компонент тензора деформации, скорости деформации и внешних физических параметров, а не их текущими значениями. Это означает, что как деформационная теория пластичности, так и теория вязкопластического течения должны вытекать из более общей теории как некоторые упрощенные варианты, справедливые для определенных. классов процессов нагру жения. I [c.131]

Вместе с тем использование интегральных соотношений между напряжениями и скоростями деформации, записанных в матричной форме, позволяет решить другую проблему — линеаризовать краевую задачу. Действительно, в общем случае ядра R i, т) и Ro t т)— функции инвариантов тензоров (девиаторов) напряжений, скоростей деформаций, температуры, степени деформации. Однако, организовав итерационный процесс при численном решении краевой задачи на ЭВМ, можно в каждой очередной итерации считать, что эти величины определены предыдущим приближением. В этом случае определяющие уравнения становятся линейными. Применяя проекционно-сеточные методы решения краевых задач, в конечном счете приходим к линейной системе алгебраических уравнений для определения искомых параметров. [c.259]

Соотношения (3.132) представляют собой обычный закон Гука, записанный в скоростях напряжений и деформаций. Очевидно, что таким образом можно записать закон бесконечно малого деформирования в окрестности произвольной конечной деформации любого несжимаемого упругого тела, однако модуль Юнга будет, вообще говоря, зависеть от величины конечной деформации (точнее говоря, от трех инвариантов тензора деформации, так как тело считается изотропным). Предположение о постоянстве Е означает, что реакция выбранной модели упругого тела на малые возмущения не зависит от величины конечной деформации. [c.105]

Упрощенный численный метод решения задач ползучести и пластичности при малоцикловом нагружении предложен в [363]. Здесь тензор полной скорости деформаций представляется в виде суммы упругой и неупругой составляющих. Последняя состоит из трех слагаемых, соответствующих пластической и температурной деформациям, а также деформациям ползучести. Скорость пластической деформации определяется ассоциированным законом течения, а скорость деформации ползучести — степенным законом Нортона. На основании конечно-элементной формулировки в сочетании с нелинейными уравнениями состояния проведен численный анализ ряда задач. [c.91]

До сих пор состояние деформаций характеризовалось одним только тензором скоростей деформаций. Если для характеристики состояния деформаций в каждой точке среды привлечь, помимо тензора скоростей деформаций, ещё и тензор самих деформаций, то можно получить и другие соотношения, отвечающие другим видам сред с различными механическими свойствами. Скорость деформации представляет собой величину деформации, образованную за единицу времени. Следовательно, чтобы получить величину деформации, образованную за конечный промежуток времени, надо скорость этой деформации умножить на дифференциал времени и проинтегрировать, например, от нуля до произвольного момента времени г. Таким образом, величины объёмной деформации и девиатора самих деформаций могут быть представлены в виде [c.68]

Действительно, при самой общей постановке задачи пластического формоизменения тела, в мысленно выделенной его материальной частице не представляется возможным установить определенной связи между напряжениями и деформациями или между напряжениями и скоростями протекания деформации. Если, как это следует из современного учения о конечной пластической деформации, направления главных осей и вид напряженного состояния выделенной материальной частицы в большинстве реальных случаев деформации совпадают с направлениями главных осей и видом тензора (определенной совокупности векторов) скорости деформации, то интенсивность напряженного состояния частицы зависит не только от интенсивности скорости деформации, но и от интенсивности итоговой (за весь предшествующий процесс) деформации, от степени деформации и от температуры. [c.202]

С другой стороны, надо было понять теорию Сен-Венана-Треска, что было связано с интерпретацией физических опытов и теоретических расчетов. Это очень интересно с методологической точки зрения. Действительно, в опытах по нагружению (плоская деформация) внутренним давлениям отверстия в материале наблюдали линии скольжения (их потом стали называть линии Людерса-Чернова). Это были линии реального разрыва, а Сен-Венан рассчитывал, что так же должны выглядеть и площадки максимальных касательных напряжений. Это позволило ему ввести гипотезу о соосности тензоров (девиаторов) напряжений и деформаций (скоростей деформаций). Конечно, это предложение отвечало идеям Навье и было принято современниками, но надо подчеркнуть, что кроме упомянутой аналогии между полями линий скольжения и линиями максимальных касательных напряжений в плоском случае других фактов не было обобщение этих идей и их распространение на трехмерную ситуацию, к счастью, не связано с обсуждаемым материалом и пришло много позже. [c.40]

Этот важнейший вывод из теоремы Гельмгольца, конечно, относится к бесконечно малым деформациям и мог быть сделан уже после введения понятия о тензоре бесконечно малых деформаций ( 2). Более ого, поскольку этот тензор по структуре и физическому смыслу сходен с тензором скоростей деформаций, то и физическая интерпретация компонент тензора скоростей деформаций может быть получена путем процедуры, аналогичной относительно компонент U.J ( 2), Диагональные компоненты тензора представляют собой скорости относительных удлинений по координатным осям, а недиагональные — половину скоростей угловой деформации в соответствующих координатных плоскостях, так что в криволинейных координатах имеем [c.187]

На рис. 3.7 изображены две такие привилегированные системы — одна для тензора напряжений, другая для тензора скоростей деформации. Мы видим, что элемент жидкости подвергается действию нормальных напряжений в трех взаимно перпендикулярных направлениях, а его грани мгновенно перемещаются также в трех взаимно перпендикулярных направлениях. Это, конечно, не означает, что в других плоскостях не возникают касательные напряжения и что форма элемента жидкости не искажается. [c.64]

Классическая гидродинамика. Уравнения Навье — Стокса. Так как тензор деформации, вообще говоря, очень мал по сравнению, скажем, с величиной отношения характерной скорости и характерной длины, естественно принять гипотезу о линейности соотношения между Т и D. Следует подчеркнуть гипотетический характер этого предположения его нельзя ни вывести из эксперимента, ни строго обосновать. Согласование результатов, полученных на основе принятой гипотезы, с экспериментом является, конечно, доводом в пользу применения гипотезы и нашей веры в ее справедливость, но не более того. [c.204]

Для случая малых и конечных деформаций развита математич. феноменологич. теория Ф., устанавливающая связь между компонентами тензора напряжений или деформаций и тензора диэлектрич. проницаемости твердых тел (т. е. между механич. и оптич. свойствами). Для малых одноосных растяжений или сжатий выполняется закон Брюстера Д г = кР, где Ли — величина двойного лучепреломления, Р — па-пряжепие, к — постоянная Брюстера. В общем случае деформации при применимости закона Гука главные направления поляризации луча параллельны напряжениям главных деформаций в нлоскости, перпендикулярной к лучу, а разница в скоростях распространепия двух перпендикулярно поляризованных колли-неарпых лучей пропорциональна алгебраич. сумме главных деформаций в указанной плоскости [1, 3]. [c.356]

При выходе волны нагрузки или волны разгрузки на поверхность тела или при столкновении двух волн напряжений друг с другом имеет место явление отражения, при этом зарождается отраженная волна нагрузки или разгрузки, распространяющаяся с конечной скоростью йо или Ъ в обратном направлении, образуя область возмущений отраженной волны. Эта область расположена внутри области возмущений соответствующей прямой волны и является вторичной. Она ограничена той частью поверхности тела, где имеется отражение, и фронтом отраженной волны (рис. 3, а) или фронтом отраженной волны и поверхностями фронтов прямых волн (рис. 3, б). Движение частиц тела в области возмущений отраженной волны описывается вектором скорости Уотр и плотностью Ротр напряженно-де-формироВанное состояние — тензором напряжений (а)отр и тензором деформаций (е)отр. Состояние тела в области возмущений может быть упругим, вязкоупругим, упругопластическим и другим и зависит от природы возмущения и физико-механических свойств материала. [c.8]

Это — конкретная иллюстрация более общего вывода, полученного нами на основе следующих двух утверждений 1) физические компоненты тензора в точке Р равны компонентам, отнесенным к локальной прямоугольной декартовой системе отсчета, координатные плоскости которой в точке Р касательны к координатным поверхностям ортогональной системы отсчета, используемой для вычисления физических компонент 2) приведенный выше анализ для любого типа однонаправленного сдвигового течения и результаты (12.129), (12.130) и (12.132) показывают, что физические компоненты тензора скорости деформации и тензора конечных деформаций определяются лишь историей скорости сдвига, но не типом сдвигового течения независимо от его криволинейности либо прямолинейности. [c.429]

ПОЛЕ ВЕКТОРА СКОРОСТИ. Движение и деформация сплошной средьь задаютоя соотношениями, связывающими начальные и текущие координаты материальных частиц. Описание конечных деформаций, характерных для процессов обработки металлов давлением,с применением нелинейных тензоров связано с большими математическими трудностями. [c.105]

К другому прилежащему или близкому интервалу времени. Если этот переход по каким-либо основаниям должен происходить без какого-либо пересечения нового объёма со старым и без какого-либо перекрытия нового интервала времени со старым, то этим переменным придётся придавать только разрывные значения. В этом случае нельзя говорить о непрерывности и дифференцируемости отдельных слагаемых в равенстве (2.26) по отношению к переменны.м х, у, г и i. По отношению к этим переменным можно составлять только конечные разности кинематических и динамических характеристик движения среды и интегрирование заменять суммированием в смысле теории конечных разностей. Естественно поставить вопрос, можно ли привести пример, когда переход от одного фиксированного объёма к другому обязательно должен производиться без пересечения. Во всех тех случаях, в которых возникает ггеобходимость вводить в рассмотрение макроскопические частицы среды, объёмы которых не могут уменьшаться беспредельно до нуля, переход от объёма одной фиксированной частицы к объёму соседней частицы, разумеется, не может происходить так, чтобы объём соседней частицы налагался на объём рассматривае.мой частицы. Чтобы вести речь о макроскопической частице, сохраняющей в себе основные качества среды и своей индивидуальности хотя бы в течение короткого интервала времени конечно, необходимо за соседние частицы принимать только частицы, объё.чы которых не перекрывают объём рассматриваемой частицы. Таким образом, для определения кинематических характеристик движения частицы (вихрь и тензор скоростей деформаций) дифференцирование проекций вектора скорости должно производиться только по относительным координатам х, у и г. [c.446]

В упругой области напряжения не зависят от пути деформации и ее скорости и связаны только с величиной упругой деформации. Поэтому естественно, что некоторые направления создания сходных законов для пластической области также основывают (после работ Хенки, 1924 г.) на связи между компонентами тензора напряжений и тензора полной пластической деформации, обычно называемой теорией малых упругопластических деформаций [12], иногда теорией конечных или полных деформаций [45], или деформационной теорией пластичности [10]. [c.131]

В реальных условиях перечисленные случаи обтекания встречаются как в отдельности, так и в различных сочетаниях. Чтобы определить характеристики во всех точках потока, обтекающего поверхность, необходимо при заданных граничных условиях рещить уравнения Навье-Стокса для ламинарного или уравнения Рейнольдса для турбулентного потоков совместно с уравнением неразрывности и с учетом гипотез относительно связи тензора напряжений с тензором скоростей деформации. Решение этой задачи затруднительно, и конечный результат может быть получен лишь для ряда простых случаев. [c.74]

Вычисленные полные производные по времени (2.63) и (2.64) от тензоров конечной деформации шзышют лагранжевым и эйлеровым тензорами скоростей деформации соответственно. Путем непосредственного вычисления компонентов тензоров с/Е / (И и с1Ъ / (И нетрудно убедиться в том, что эти тензоры симметричны. Если положить деформации малыми, т. е. Hij = [c.56]

В этом параграфе рассмотрим формально близкие между собой модели сред со сложными свойствами конечные деформации будем рассматривать только в ортогональных эйлеровых координатах Xi, малые же деформации — в начально ортогональных лагранжевых координатах (xi). Компоненты тензора напряжений по-прежнему в Э и Л будем обозначать ш/, Si , скорости деформации — Vij, Vij=Eijy деформации — Eij, eij, девиаторы отмечать волной сверху [c.217]

Вместе с тем в рамках этой теории исследовались, как правило, задачи о предельном равновесии, т. е. начале пластического течения. Получено ограниченное число решений задач с учетом изменения геометрии тела, собственно, о пластическом течении задачи о внедрении клина в полупространство, раздавливании клина плоским штампом [1-3], одноосном растяжении плоского [4] и цилиндрического [5] образцов, растяжении полосы с V-образными вырезами [6]. На основе этих решений в работах [7-9] получен определенный класс решений контактных задач для тел произвольной формы с учетом изменения геометрии свободной поверхности. При решении таких задач деформации тел оценивались визуально по искажению прямоугольной сетки. Более точное описание процесса деформирования требует использования в качестве меры деформации тензорных характеристик (тензора дисторсии, тензора конечных деформаций Альманси и т.п.). Решение задач с учетом изменения геометрии особенно необходимо при расчете деформаций в окрестности поверхностей разрыва скоростей перемещений и других особенностей пластической области. [c.762]

Это утверждение верно только в том случае, когда ец бесконечно малы (см. задачу 4.40). О связи между тензором скоростей деформации и производными по времени от тензоров конечных деформаций см., например Седов Л. И., Введение в механику сплошной среды, гл. II, 6, 7, Физматгиз, М., 1962.—Ярнл. ред. [c.161]

В ранее разобранных случаях пластического деформирования мы имели право постулировать существование выраженных в конечной форме зависимостей между составляющими тензоров напряжения и деформацпи или скоростей деформации, так как при этом всегда предполагалось, что с возрастанием деформации главные осп напряжений сохраняют постоянные углы относительно элементов материала. Теперь мы обратимся к интегрированию бесконечно малых приращений упругой и пластической деформации для случая, когда тензор напряжения, хотя и сохраняет свое постоянное значение на пределе текучести, но направления главных осей в элементах материала изменяются. Это имеет место, когда на тело, подвергающееся под действием нагрузки пластической деформации, налагаются некоторые кинематические условия, которые определяются жесткими связями с другими телами, не позволяющими данному телу деформироваться так, как это происходило пы при той же системе напряжений, если бы его границы могли свободно перемещаться. С подобным случаем мы встречаемся, например, тогда, когда результирующие деформации по границе тела заданы, иными словами, когда они ограничены в своем развитии заданными граничными условиями. [c.483]

Полученные таким путем шесть величин образуют симметричный тензор напряжений, существование которого обязано движению, так как для покоящейся жидкости все составляющие этого тензора тождественно равны нулю. Из сказанного ранее следует, что составляющие полученного девиатора тензора напряжений связаны исключительно с составляющими тензора скоростей деформации, т. е. с составляющими и, V, ю скорости и с составляющими т , завихренности. Это равносильно тому, что мгновенное смещение элемента жидкости [составляющие движения (а)], а также его мгновенное вращение как твердого тела [составляющие движения (б)] не вызывает появления в дополнение к уже имеющимся составляющим гидростатического давления — поверхностных сил па элементе жидкости. Предыдущее утверждение представляет собой, очевидно, только краткую локальную формулировку общего случая, когда конечный объем жидкости совершает произвольное движение, неразличимое от эквивалентного движения твердого тела. Следовательно, выражения составляющих а , а , а ,. . ., девиатора тензора напряжений могут содержать в себе только градиенты скорости ди дх,. . ., дюШг в соответствующих комбинациях, определением которых мы сейчас и займемся. [c.65]

Волна нагрузки зарождается в момент приложения давления / ол(0 к поверхности полости и распространяется в среде с конечной скоростью йо. образуя область возмущений нагрузки, где среда находится в напряженно-деформированном состоянии, которое характеризуется тензором напряжений (а) агр и тензором деформаций (е) агр частицы среды перемещаются в радиальном направлении со скоростью Унагр. плотность среды рнагр- Этим характеристикам соответствует тензор кинетических напряжений (Т) агр, который необходимо построить. Область возмущений нагрузки ограничена поверхностью полости радиуса и поверхностью фронта волны нагрузки Гн =/ () -ф йа1 (рис. 40). [c.99]

Жидкость Навье — Стокса, характеризуемая определяющим соотношением (IV. 4-12), проявляет затухающую память иного рода. Влияние самой по себе деформации носит рудиментарный характер, выражаясь лишь в возможной зависимости коэффициентов р, Я, и х от р, преобладающим же является влияние мгновенной скорости изменения деформации. Для того чтобы вычислить Р или О и таким образом оиределить напряжения, нам надо знать деформацию в течение некоторого промежутка времени вблизи i или, что. сводится к тому же, мгновенное поле скорос/ей. Если мы поддерживаем Р постоянным в течение как угодно малого промежутка времени, то тензор напряжений равен —р(р)1 и не изменяется. В этом смысле жидкость Навье — Стокса имеет инфинитезимальную память. Эта жидкость реагирует только на деформации, которым она подвергал-ась в момент, непосредственно предшествующий рассматриваемому, и ни на какие другие, и полностью забывает те деформации, которым она подвергалась любое конечное время тому назад, сколв бы недавно это ни происходило. [c.375]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...