Деформирование бесконечно малое

Надо рассмотреть деформирование бесконечно малого элемента бруса 2 (рис. 8.4), ввести понятие о линейной (продольной) деформации к и сформулировать закон Гука, дать его словесную формулировку и математическое выражение [c.66]

Жирными линиями на рис. 5.10 И 5.11 выделены пластические зоны, зический смысл решения становится совершенно очевидным, если рассмотреть равновесие и у. деформирование бесконечно малого элемента тела вблизи пластической линии (рис. 5.12). При достижении пластического состояния в этом элементе происходит выдавливание материала в направлении нормали к плоскости ху вследствие пластического течения. Поэтому если скорость изменения внешних нагрузок мала сравнительно с характерной скоростью течения (не определяемой в рамках теории. идеально пластического тела), то пластическая область никогда не сможет распространяться на конечную площадь. В реальных материалах пластическая линия будет иметь конечную толщину вследствие упрочнения. [c.199]

В основе теории лежит представление о поверхности нагружения 2 (рис. 15,6), отделяющей в данном состоянии среды в пространстве напряжений а,у область упругого деформирования от области пластического деформирования. Бесконечно малое приращение напряжения (догружение) приводит либо к упругой деформации (разгрузке, если направлено внутрь 2), либо к продолжающейся пластической деформации (нагрузке, если о,у направлено наружу 2). Приращения лежащие в касательной плоскости поверхности нагружения (нейтральные изменения), должны приводить только к упругим деформациям (т, е., если изображающая точка перемещается по поверхности 2, пластические деформации не происходят). Это условие (условие непрерывности) необходимо для непрерывного перехода пластического деформирования в упругое при непрерывном изменении направления вектора догружения da J. [c.75]

С другой стороны, если деформация или течение тела задается уравнением вида (1.125), то независимыми переменными являются координаты Xi и время t. Такой способ описания деформации и течения называется эйлеровым. Это описание позволяет проследить обратную картину развития деформации от конечного состояния Xi к начальному xj при U-В методе Эйлера материальная частица для деформированного состояния в момент времени t может быть выбрана также в форме прямоугольного параллелепипеда. Рассматривается бесконечно малое за время [c.31]

Если рассмотреть бесконечно малое выпучивание оболочки (пластины) как малое продолжение процесса деформирования за время 6t, то 6w<.w5t, бф=фб<. Уравнения бифуркации (15.7), (15.8) можно записать в скоростях в виде [c.325]

Рассмотрим какой-нибудь бесконечно малый элемент объема dY и определим его величину dV после деформирования тела. Для этого выберем в качестве осей координат главные оси тензора деформации в рассматриваемой точке. Тогда элементы длины dxi, dx2, dXs вдоль этих осей после деформирования перейдут в dx = (1 + м< >) dxi и т. д. Объем dV есть произведение dx dx dx объем же dV равен dx[ dx dx z. Таким образом, [c.12]

При изложении математических основ деформированного состояния будем рассматривать лишь однородные бесконечно малые деформации. Сначала рассмотрим случай одномерной деформации растяжимой струны, левый конец которой закреплен в точке О (рис. 4.6). [c.119]

Для исследования устойчивости в первом уравнении (7.125), выражающем сумму моментов сил, приложенных к бесконечно малому элементу оболочки относительно оси у, надо учесть момент от нормальных сил в деформированном состоянии и сил начального основного безмоментного состояния — N i. Полагаем, что в критическом состоянии нормальные силы [c.261]

Формулировка вариационного принципа зависит от того, какими величинами (функциями) характеризуется состояние деформированного тела. В принципе Лагранжа такими функциями служат перемещения li, а в принципе Кастильяно — напряжения ст. Именно эти принимаемые за основные функции подлежат варьированию (бесконечно малым изменениям) для того, чтобы получить вариационное уравнение. Все прочие функции считаются связанными с основными соответствующими зависимостями, приведенными в гл. 2. [c.67]

На рис. 11 изображены два ребра этого параллелепипеда ребро АВ, параллельное оси х, и ребро АС, параллельное оси г. Длина ребра АВ равна с1х, ребра АС — (1г. После деформирования точки А, В а С займут новые положения —.4, В и С. При этом точка А получит перемещение, составляющие которого в плоскости чертежа и и ш. Точка В, отстоящая от точки А на бесконечно малом расстоянии йх, получит перемещение, составляющие которого будут отличаться от составляющих перемещения точки А на бесконечно малую величину за счет изменения координаты х [c.25]

Главным признаком, по которому теория упругости выделяется из других теорий деформируемых твердых тел (теории пластичности, теории ползучести и т. д.), является то, что все процессы деформирования упругих тел по определению обратимы. Обычно, кроме того, принимается, что локально для всех малых частиц упругого тела можно ввести температуру Т. Следовательно, для физически бесконечно малых частиц упругого тела всегда можно пользоваться соотношением [c.311]

Изменение потенциала при бесконечно малом изменении деформированного состояния имеет вид 6И7=а б , [c.461]

Точки бифуркации. Итак, пусть критические напряжения, полученные в предположении упругости системы, оказались выше предела текучести материала опорных стержней, т. е. а >ат. Найдем значения тех сил, при которых может существовать наклонное положение равновесия стойки, смежное с вертикальным, учитывая упруго-пластический характер деформирования системы. Если наклон стойки бесконечно мал (рис. 18.81, а), то ее равновесие в новом положении описывается уравнениями [c.422]

Для выяснения деталей закритического поведения идеальной системы обратимся к соотношению (18.142). В критическом состоянии, когда Ро = Ро = 0. Это значит, что процесс закритического деформирования начинается с бесконечно малого поворота стойки вокруг точки Ь, лежащей на оси стержня 1. В этот момент стержень 1 не деформируется, а стержень 2 догружается. По мере увеличения нагрузки нейтральная ось смещается вправо, т. е. стержень 1 разгружается, а стержень 2 догружает-ся. В пределе, когда Р = Рг, положение нейтральной оси определяется условием = v/(l +v). Если, удерживая стойку в вертикальном положении, довести нагрузку до уровня Рг < Ро < Рг, а затем связь удалить, то траектория закритического деформирования будет иметь вид кривой ВЕ на рис. 18.84, а. С ростом наклона стойки растет и параметр [c.429]

Для описания напряженно-деформированного состояния в точке слоя, схематизирующего навивку, выделим из него в полярной системе координат г, 0 бесконечно малый элемент (рис. 3). Здесь же показаны координаты р, S, направленные по нормали и касательной к навивке. Угол а между осями этих систем определяется из уравнения [c.65]

В общем случае деформирования объем тела изменяется. Рассмотрим бесконечно малый параллелепипед объемом dK = d.vdt/dz. С точностью до бесконечно малых величин высшего порядка можно считать, что изменение этого объема связано только с изменением длины ребер, но не с угловыми деформациями. [c.27]

Формулы теории бесконечно малых деформаций используются для расчета небольших конечных деформаций, например, упругих или малых упруго-пластических деформаций. Кроме того, на основании теории бесконечно малых деформаций строится теория скоростей деформаций, с помощью которой рассчитывается напряженно— деформированное состояние в процессе обработки металлов давлением и при больших конечных деформациях. [c.88]

Разница в значениях перемещений различных точек тела вызывает его деформирование. Бесконечно малый параллелепипед с ребрами d.t, dy. с1г, вырезанный из упругого тела около произвольной точки. 4, вследствие разл>1чных перемещений его точек деформируется таким образом, что изменяется длина его ребер и искажаются первоначально прямые углы между гранями. [c.25]

Afj = onst, дг< + = onst, 1=1, 2,3. (16.18) При деформировании в состоянии и 2< r+i) параллелепипед превращается в деформированные бесконечно малые параллелепипеды. Тензор напряжений Кирхгофа определяется с помощью этих параллелепипедов следующим образом. В состоянии Q(AT) внутренние силы, действующие на одну из боковых граней параллелепипеда со сторонами dx% и дт Чдх dj [c.382]

В теории устойчивости Ильюшина в докритической стадии деформирования нагружение является простым, а при бесконечно малом продолжении процесса после бифуркации процесс деформирования является сложным и отвечает квазипростому образу процес- [c.346]

При изучении движения в упругих телах мы до сих пор считали, что процесс деформирования происходит обратимым образом. В действительности процесс термодинамически обратим, только если он происходит с бесконечно малой скоростью, так что в каждый данный момент в теле успевает установиться состояние термодинамического равновесия. Реальное движение происходит, однако, с конечной скоростью, тело не находится в каждый данный момент в равновесии, и поэтому в нем происходят процессы, съремящиеся привести его в равновесное состояние. Наличие этих процессов и приводит к необратимости движения, проявляющейся, в частности, в диссипации механической энергии, переходящей в конце концов в тепло ). [c.177]

Предположим, что точка поверхности получает перемещение W, так что радиус-вектор деформированной поверхности есть r+w. Условие перастяжимости при бесконечно малых перемещениях можно записать следующим образом [c.424]

Необходимость существования полученных зависимостей можно обосновать геометрическим путем. Представим себе тело разрезанным на малые параллелепипеды. Если каждый из этих параллелепипедов получит произвольйые деформации, то из отдельных деформированных параллелепипедов не удастся вновь сложить непрерывное твердое тело в некоторых точках окажутся после деформации бесконечно малые разрывы. Уравнения (2.10) и дают такие зависимости между составляющими деформации, при выполнении которых тело после деформации получается сплошным, или непрерывным. Поэтому уравнения (2.10) можно рассматривать как следств гя принятого допущения о сплошности тела. Они называются уравнениями сплошности, или уравнениями совместности деформаций. Выведены эти уравнения Сен-Венаном и поэтому называются уравнениями Сен-Венана. [c.31]

ГТри больших нагрузках реальные материалы обнаруживают свойства пластичности, выражающиеся в отклонении от линейности и возникновении остаточных деформаций после устранения нагрузки. Таким образом, реальные конструкционные материалы являются упругопластическими. Экспериментачьно показано, что разгрузка всегда происходит упруго. Это явление обычно называют законом упрутой разгрузки. Диаграмма деформирования приведена на рис. 9.2. Для обоснования справедливости применения анализа явлений в пределах бесконечно малых объемов и последующего интегрирования все материалы считаются однородной, изотропной, сплошной средой. Изотропными являются материалы, имеющие одинаковые свойства по всем направлениям. Так называемые анизотропные материалы рассматриваются в специальных курсах. Примеры анизотропньгх материалов древесина, материалы на ее основе, пластики на основе различных тканей и волокон и др. При решении задач методами сопротивления ма-териазюв определяют напряжения, возникающие при приложении внешних нагрузок. Материалы, таким образом, находятся в естественном состоянии. [c.149]

Для решения задач на основе сделанных допущений пет необходимости рассматривать условия равпоиесия и деформации бесконечно малых элементов. Появляется возможность сразу учесть равновесие и деформированне участков стержне или всего стержня в целом. [c.145]

В случае конечных деформаций (как и в случае бесконечно малых) задачи для тел, обладающих осью трансляционной симметрии, решаются предельно просто. Даже если бы не суще- ствовало практически важных задач, в которых деформированное состояние приближалось бы к плоскому, достаточным поводом для детального исследования таких задач явились бы те сведения о механическом поведении волокнистых материалов, которые можно извлечь из анализа соответствующих точных решений. [c.299]

При неоднородной деформации бесконечно малый элемент среды можно считать находящимся в однородном деформированном состоянии, следовательно, градиенты деформации по-прежнему должны определяться формулами (21), Однако при неоднородной деформации величина сдвига k и угол наклона волокна 0 будут меняться от точки к точке. Векторы а и п, являющиеся функциями 0, также будут меняться при переходе от одной точки тела к другой. При этих условиях градиенты деформации (21) являются более общими, нежели градиенты кинематически допустимой деформации, удовлетворяющей заданным выше ограничениям. Роль градиентов деформации состоит в том, что они полностью определяют локальные значения ди-сторсии и вращения материальных элементов. [c.303]

В материале кроме тех внутренних сил (напряжений), которые вызваны внешней нагрузкой и уравновешивают ее в любом бесконечно малом элементе тела, могут быть и другие — самоуравнове-шенные внутренние силы (напряжения), существующие и в ненагру-женном теле. Такие напряжения называют начальными. Начальные напряжения в связи с природой их возникновения иногда в литературе носят название остаточных, собственных или внутренних. Два последних термина подчеркивают самоуравновешенность этих напряжений внутри тела. Начальные напряжения играют исключительно большую роль во многих явлениях, происходящих в поликристаллических телах в процессе их деформирования. Начальные напряжения появляются либо в процессе самого изготовления элемента или конструкции (например, в процессе остывания отливки, [c.259]

Пластическое деформирование возможно, если изображающая точка перемещается по поверхности течения (догружение). При этом бесконечно малые приращения компонентов напряжения под-ниняются условию [c.732]

Переходя к изложению основных экспериментальных результатов, следует заменить, что конфигурации мгновенной поверхности текучести являются функционалом процесса деформирования материала, свойства которого в настоящее время изучены еще очень слабо. Само определение поверхности текучести связано с определенными допусками на пластическую деформацию и достаточно сложно даже для простейших процессов пластической деформации. Более того, построение теоретической поверхности текучести подразумевает возможность измерения бесконечно малых приращений пластической деформации. Однако экспериментально определяемое приращение зависит от точности измерительного прибора и заведомо является конечной величиной. Таким образом, экспериментально определяемые поверхности текучести всегда соответствуют некоторым конечным приращениям пластической деформации и являются некоторым приближением к теоретической поверхности, зависящим от точности измерений. С другой стороны, современная техиология изготовления материалов такова, что для каждого конкретного материала в состоянии поставки соответствующие экспериментальные кривые имеют достаточно широкий статистический разброс (иногда достигающий 15—20%), ввиду чего результаты, полученные при более точных измерениях, не всегда имеют общее значение. Таким образом, основные результаты экспериментальных исследований начальных и последующих поверхностей текучести позволяют сделать следующие выводы [30—36]. [c.137]

В пространстве напряжений семейство эквипотенциальных поверхностей й = onst = С" представляет собой совокупность поверхностей, перемещающихся и изменяющих свои конфигурации в процессе деформирования. Причем для каждой поверхности вектор скорости деформации ползучести направлен по нормали к ней и имеет некоторую постоянную величину. Примем, что поверхность Q = f (г = 0,1,2,. . т) включает в себя все поверхности й = С при /с < i, а модуль вектора скорости деформации ползучести увеличивается с увеличением i (поверхности Й = С соответствует нулевая скорость ползучести, при этом сама поверхность й=Со может иметь бесконечно малые размеры). [c.148]

На рис. U изображены два ребра этого параллелепипеда ребро. 46, параллельное оси. v. и ребро АС. параллельное оси г. Длина ребра АВ равна d.v, ребра АС — йг. После деформирования точки Л, 6 и С займут новые паюжения , 4 i S. СчПрн этом точка, 4 получит перемещение, составляющие которого в плоскости чертежа равны и и Точка В, отстоящая от точки А на бесконечно малом расстоянии d.v. получит перемещение, составляющие которого будут отличаться от составляюшн.х перемещения точки А на бесконечно малую велпч]шу за счет изменения координаты. г [c.25]

При проецировании сил на ось z гибкую пластинку следует рассматривать в деформированном состоянии. На рис. 70 показано сечение плоскостью, параллельной xOz, бесконечно малого элементя срединной плоскости пластинки после [c.148]

Мы представим себе, что для перехода к смежному деформированному состоянию 11 к силе Pi сделана бесконечно малая добавка dPi (рис. 256), чтобы при этом переходе не нарушать равновесия, будем считать, что эта добавка прикладывается статически, т. е. воз-растаетот нуля до окончательного значения медленно и постепенно. [c.318]

Относительное изменение бесконечно малого о ьема тела в процессе его деформирования опредоляют по формуле /К - ( У [c.25]

В качестве элементарного объема рассматривается бесконечно малый параллелепипед, вырезанный из деформированного тела. Грани параллелепипеда параллельны координатным плоскостям Х1ОХ2 Х1ОХ2 Х2ОХ2 (см. рис.1.2.5). [c.30]

Ползучесть при продольном сдвиге. Продольный сдвиг моносяоя - это вид нагружения, при котором наиболее сильно проявляются вязкоупругие свойства полимерного связующего. Для определения ползучести монослоя по де-формативным свойствам компонентов воспользуемся расчетной моделью (см. рис. 5.1.2). Согласно этой модели материал состоит из неограниченного числа слоев бесконечно малой толщины, параллельных плоскости нагружения. Полагается, что каждый слой находится в однородном напряженном состоянии и средние деформации всех слоев в любой момент нагружения одинаковы. Деформация сдвига слоя складывается из деформаций полимерного связующего и волокон. В процессе ползучести напряжения в компонентах монослоя меняются, т.е. происходит их перераспределение во времени. Таким образом, эпюры распределения напряжений сдвига в момент нагружения и при любом фиксированном значении времени нагружения различны. В результате решения системы уравнений равновесия с учетом закона деформирования компонентов (5.1.39) получается закон деформирования моносяоя при продольном сдвиге [c.290]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...