Вывод соотношений упругости

Вывод соотношений упругости [c.332]

При построении модели любого упругого континуума мы проходим четыре этапа определение степеней свободы частиц, выявление силовых факторов и условий их баланса, подбор соответствующих мер деформации и, наконец, вывод соотношений упругости между силовыми факторами и деформациями. Однако этот традиционный путь резко сокращается, если опираться на принцип виртуальной работы. [c.106]

При выводе соотношения (52.2) не было сделано никаких ограничений относительно свойств среды, кроме того, что она должна быть сплошной, однородной и упругой. Следовательно, оно справедливо для твердой, жидкой и газообразной сред. [c.203]

Весьма большое значение имела работа Грина (1829), посвященная выводу соотношений между напряжениями и деформациями, которая базировалась на принципе сохранения энергии без введения какой бы то ни было гипотезы б поведении упругих тел. Эта работа позволила разрешить дискуссионный в то время вопрос о числе упругих постоянных. [c.5]

В модели Гриффитса трещине сообщали малое возмущение и исследовали ее поведение в дальнейшем. При этом высказывали достаточно разумное предположение, что при своем развитии трещина ведет себя так же, как и в начале возмущения. И, наверное, так и было бы, если бы структура материала была однородной. Но стронувшаяся с места трещина может при своем движении оказаться тут же блокированной соседним кристаллом или вкраплением, и для того чтобы принудить ее к дальнейшему развитию, необходимо существенно поднять уровень напряжений. И, наконец, при выводе соотношения (8.9) было сделано негласное предположение, что освобождающаяся упругая энергия полностью идет на образование свободной поверхности, а роль пластических деформаций несущественна. [c.369]

При выводе интегральных соотношений упругости (1.10) пренебрегли членами kfz по сравнению с единицей, поскольку их сохранение не увеличивает точности окончательных результатов, а лишь приводит к значительным усложнениям математического характера. Кроме того, на основании тождества [c.14]

При выводе интегральных соотношений упругости (9.10) пренебрегли членами kf по сравнению с единицей, поскольку их сохранение, как уже отмечалось, не увеличивает точности окончательных результатов. [c.192]

Для композиционных материалов модуль сдвига G в 5. .. 10 раз меньше нормального модуля упругости, поэтому минимальное значение а р соответствует несимметричной форме разрушения. Коэффициент k, вычисленный по формуле (15), оказывается равным 0,3. .. 0,4 (табл. 3), в то время как осесимметричной форме соответствует k = 0,6. Аналогичные результаты вытекают также из работ [27, 31, 321. При рассмотрении выражения (15) можно отметить, что коэффициент устойчивости ортотропных оболочек а отличие от изотропных не является постоянным и зависит от соотношения упругих постоянных материала. Каждому из них соответствует свое значение верхней и нижней критической нагрузки. Это обстоятельство необходимо учитывать при анализе экспериментов и в практических расчетах. Аналогичные выводы можно получить н из [311. [c.160]

Сведение трехмерных краевых задач теории упругости к двухмерным краевым задачам теории оболочек — один из основных вопросов в теории оболочек. При выводе соотношений для деформаций тонкой оболочки часто применяется гипотеза Кирхгофа—Лява, согласно которой а) прямые волокна оболочки, нормальные к координатной поверхности оболочки, остаются прямыми и нормальными к ней и после деформации б) нормальные к срединной поверхности волокна не испытывают удлинения. [c.9]

В этой главе приводятся необходимые для дальнейшего изложения соотношения из теории поверхностей и их деформаций, уравнения равновесия теории оболочек, соотношения упругости и некоторые приближенные варианты этих уравнений и соотношений. С выводом и подробным обсуждением этих уравнений можно познакомиться по монографиям [21, 29, 32, 37, 40, 80, 87, 136] и многим другим. [c.16]

В этой главе приводятся вывод соотношений МГЭ и его применение для численного решения двумерных задач теории упругости в случае малых деформаций. Большая часть представленных в данной главе теоретических выводов была получена в гл. 2 и 3. Вывод соотношений метода граничных элементов для задач теории упругости близко связан с аналогичным выводом теории потенциала [I, 2]. Однако результирующие интегральные уравнения в теории упругости выражаются системой векторных уравнений в отличие от интегральных уравнений теории потенциала, являющихся скалярными. Поэтому и сингулярные решения в теории упругости оказываются более сложными, чем в теории потенциала. Для их краткого и удобного введения мы будем пользоваться системой индексных обозначений. Читателю, не знакомому с этими обозначениями, рекомендуется прочитать приложение А, где приводятся необходимые пояснения. [c.100]

Все эти экспериментальные результаты находились в противоречии с гипотезой одной упругой постоянной для изотропных тел. К тому же эта гипотеза во все возрастающей степени обнаруживала свое несоответствие с господствовавшими взглядами на строение материи. В связи с этим в последующем развитии теории упругости восторжествовал предложенный Грином и ставший ныне общепринятым метод вывода соотношений между напряжениями и деформациями из энергетических соображений. [c.270]

Вывод соотношения между давлением и углом для случая линейно-упругих материалов проводится тем же путем, что [c.142]

Построение моделей перераспределения напряжений начинается с анализа одномерных моделей волокнистых композитов, в которых исследуется распределение напряжений только вдоль одной осевой координаты (разд. 1). Далее строится обобщенная модель, позволяющая исследовать распределение напряжений как в разрушившемся, так и в соседних, окружающих его волокнах (разд. 2), выводятся соотношения для расчета полей напряжений при чисто упругом деформировании компонентов (разд. 3) и при упругопластическом деформировании матрицы на сдвиг (разд. 4). [c.47]

В теории упругости условия равновесия (статические условия задачи) выводятся по отношению к элементарному объему напряженного, а следовательно, уже деформированного тела. Отсюда все выводы теории упругости, касающиеся статической стороны задачи, можно считать абсолютно строгими только при допущении, что они относятся к координатам тела в его напряженно-деформированном состоянии. Что касается геометрических соотношений, которые выводятся в теории упругости, то все они, безусловно, относятся к координатам тела в его первоначальном недеформированном состоянии. При выводе этих геометрических соотношений принимают х, у, z — координаты материального элемента тела до деформации, х + г/ -f Uy, z -р- —его координаты после деформации и выводят зависимости между производными составляющих перемещения и , Uy и по первоначальным координатам точки, т. е. координатам ее в недеформированном состоянии тела. Таким образом, здесь известная неувязка заключается в том, что мы пользуемся основной системой уравнений, в которую входят, [c.203]

При выводе соотношений между напряжениями, деформациями и температурой ограничимся рамками линейной теории упругости, т. е. будем рассматривать только малые деформации. Эти соотношения, называемые также определяющими уравнениями, мы найдем при помощи законов термодинамики необратимых процессов ). [c.71]

На основе гипотезы продолжающегося нагружения получение уравнений устойчивости трехслойных пластинок и оболочек с учетом работы материала за пределом пропорциональности проводится по той же методике, что и вывод уравнений упругой устойчивости, с той разницей, что вместо соотношений закона Гука используют соотношения теории малых упруго-пластических деформаций или теории течения. [c.253]

При выводе соотношения (26.8) для силовой функции гр принималось, что упругое смещение края в радиальном направлении равно [c.174]

Прежде чем переходить к выводу соотношений между усилиями и деформациями, рассмотрим основные соотношения теории малых упруго-пластических деформаций. [c.42]

Соотношения симметрии (6.18), (6.22)-(6.25) были получены нами для дискретно-слоистой упругой среды. Они справедливы, однако, при произвольной зависимости параметров от 2 в слое 2, <2 2 , поскольку непрерывные изменения параметров можно рассматривать как предел дискретных изменений при стремлении толщин однородных слоев к нулю. При выводе соотношений (6.18), (6.22) —(6.25) мы нигде не предполагали вещественности р и волновых чисел продольных и поперечных волн. Поэтому соотношения симметрии справедливы и в поглощающей среде, [c.131]

В прямом методе построение соотношений для элемента осуществляется непосредственно с помощью учета приведенных в предыдущей главе трех систем уравнений теории упругости уравнений равновесия, соотношений между перемещениями и деформациями, а также уравнений состояния. Этот метод особенно полезен при выяснении фундаментальных соотношений между конечно-элемент-ной аппроксимацией и реальной конструкцией. Так, этим методом будет проведено теоретическое обоснование построений, проведенных в разд. 2.2 и 2.3. Прямому методу присущи черты, свойственные и другим подходам к построению конечно-элементной модели. Особенно это затрагивает вопросы задания сил, если известны напряжения, и деформаций, если известны перемещения. Этот подход включает основные положения, использованные на ранней стадии развития метода конечных элементов [см. 5.1, 5.2]. Однако область применения прямого метода ограничена его трудно или даже невозможно применять при выводе соотношений для усложненных элементов и в некоторых специальных задачах. [c.125]

Разумеется, при выводе соотношения (7.52) было сделано немало сомнительных допуш ений. Например, в реальном процессе вулканизации может возникнуть сетка из цепочек, не находяш ихся в состоянии статистического равновесия. При этом может оказаться необходимым умножить коэффициенты упругости на некоторый численный множитель, например на 2/3 [24]. Некоторые цепочки могут оказаться слишком короткими, чтобы было оправдано распределение Гаусса (7.29). Правда, из математической теории вероятности хорошо известно, что, исключая крылья кривой, распределение Гаусса дает очень хорошее приближение даже для очень малого числа (например, пяти) независимых звеньев. Предположение об однородной деформации в области точек пересечения также может оказаться несостоятельным, если они связаны короткими цепочками такие цепочки, когда материал подвергается давлению, могут охотнее закручиваться, чем растягиваться [19, 25]. Ясно, что расчет подобных эффектов значительно более сложен. Результат зависит от деталей функции распределения длин цепочек и основывается на весьма сомнительных допуш ениях о локальных деформационных характеристиках веш ества. [c.312]

Как и в случае упругих волн в кристалле (см. пример 3), электромагнитные волны в полости образуют систему независимых гармонических осцилляторов. Однако в противоположность случаю упругих волн продольных электромагнитных волн не существует. Обозначим число осцилляторов с угловой частотой, лежащей в интервале от со до со со, через Vg (со) со. Тем же способом, что и при выводе соотношения (12) примера 3, получим [c.139]

Вывод соотношений взаимности для упругих тел. Следуя [50], [c.84]

С помощью соотношений (2.121) запишем величины, которые представлены в остальных граничных условиях (т. е. прн дгз = /). Ввиду того что прн выводе соотношений (2.121) мы рассматривали лишь конечное число ветвей дисперсионных кривых вместо бесконечного для общего случая, при выполнении граничных условий возникают ошибки, которые можно минимизировать используя, например, метод наименьших квадратов. В граничные условия при Хз = / будем подставлять следующие значения упругих напряжений Гз, Гз и электрического смещения Ог [c.62]

Важнейшим выводом теории Максвелла явилось положение, согласно которому скорость распространения электромагнитного поля в вакууме равняется отношению электромагнитных и электростатических единиц силы тока второй, не менее важный вывод гласил, что показатель преломления электромагнитных волн равняется У ер, где е — диэлектрическая, ар — магнитная проницаемости среды. Таким образом, скорость распространения электромагнитной волны, в частности света, оказалась связанной с константами вещества, в котором распространяется свет. Эти константы первоначально вводились в уравнения Максвелла формально и имели чисто феноменологический характер. Напомним, что в механической (упругой) теории никакой связи между оптическими характеристиками среды (скорость света) и ее механическими свойствами (упругость, плотность) установлено не было. Известно, что для целого ряда газообразных и жидких диэлектриков соотношение Максвелла п = Уе х е (ибо р. близко к 1) выполняется достаточно хорошо [c.539]

Аналогичные формулы нетрудно получить и для магнитных векторов. Соотношения (16.22) — (16.25) носят название формул Френеля. Они были впервые выведены Френелем при рассмотрении прохождения упругой волны через границу двух сред. Вывод Френеля принципиально несостоятелен, так как из условий, которые должны соблюдаться на границе раздела двух упругих сред, следует, что если даже падающая волна строго поперечна, то отраженная и преломленная волны должны обладать продольными компонентами. Отсутствие продольных световых колебаний вынудило Френеля ввести добавочную гипотезу относительно свойств эфира, исключающую продольные волны. Электромагнитная теория света без каких-либо искусственных гипотез непосредственно приводит к формулам Френеля, хорошо оправдывающимся на опыте. [c.15]

Заметим, что в 11.4 аналогичный результат был получен для общего случая напряженного состояния. Однако там было наложено ограничение на физические соотношения, а именно предполагалось, что коэффициент Пуассона не меняется во времени. Если отказаться от этого предположения, то вывод о совпадении напряженных состояний в упругом и вязкоупругом теле оказывается неверным. Если же ограничиться рассмотрением только плоской задачи, то на основании приведенных выше рассуждений можно констатировать, что этот вывод остается справедливым для любой изотропной вязкоупругой пластины или изотропного вязкоупругого тела, находящегося в условиях плоского деформированного состояния. [c.360]

В третьей главе было сказано, что шесть компонентов тензора деформаций ehr не являются произвольными функциями координат точки тела, а должны удовлетворять шести условиям совместности деформаций Сен-Венана. Учитывая это обстоятельство, подставим формулы (5,27) в условия совместности деформаций Сен-Венана тогда после ряда преобразований найдем шесть соотношений, связывающих между собою компоненты тензора напряжений. Следовательно, в итоге будем иметь три дифференциальных уравнения (5.26) и шесть соотношений между компонентами тензора напряжений, к выводу которых и приступим. Будем считать, что тело однородное, т. е. Я и не зависят от координат. Тогда полученная система уравнений будет применима только для изотропных, однородных и линейно-упругих тел. [c.81]

Применительно к описанной двумерной модели можно показать справедливость ассоциированного закона. Если мы выйдем из угловой точки в упругую область и достигнем контура нагружения изнутри либо там, где он прямолинеен, либо где образован дугой окружности, то в первый момент вектор приращения пластической деформации будет направлен по нормали к контуру в соответствии с требованием, вытекающим из постулата Друкера. Мы не будем здесь доказывать это свойство, так же как не будем выводить довольно сложное соотношение между Дд и АС для тех случаев, когда путь нагружения продолжается в область, не принадлежащую областям 1 или П. Смысл проведенного для простой модели анализа заключается в следующем. Точка зрения на упрочняющийся материал как на совокупность упругих и идеально-пластических элементов, скомбинированных каким-то образом, имеет определенный смысл, поэтому некоторые общие принципы, справедливые для модели, естественно допустить и для упрочняющегося тела. Эти принципы состоят в следующем. [c.551]

Для вывода уравнений движения локальные перемещения, определяемые равенством (28), подставляются в соотношения упругости для волокон и связующего. Плотность энергии деформации в каждом элементе интегрируется по локальным координатам (при фиксированном х) и для того, чтобы получить плотность энергии деформации V (и, Ф) в точке х, делится на объем элемента. Аналогично получается плотность кинетической эхтергии Т (и, Ф) в точке X. Уравнения движения и граничные условия записываются с помощью принципа Гамильтона в виде [c.294]

Таким образом, решение задачи свелось к последовательности решений системы алгебраических уравнений (4.16) при различных формах волнообразования (т, п). Основные операции получения матрицы разрешающей системы Ктп, как видно из (4.17), сводятся к перемножению трех матриц. Компоненты вектор-столбца свободных членов Р вычисляются согласно (4.18). После решения системы алгебраических уравнений для каждой гармоники волнообразования проводится вычисление амплитудных значений обобщенных деформаций Далее в точках вывода результатов (х , Х2н) определяются обобщенные деформации emn x k,x2k) mn и производится суммирование результатов. После окончания набора обобщенных деформаций в точках вывода можно вычислить деформации в любом слое в системе координат (0X1X22) панели, а затем определить деформации в системе координат, связанной со слоем. С использованием соотношений упругости для однонаправленного слоя вычисляются напряжения вдоль, поперек армирования и на сдвиг в плоскости слоя. Средние напряжения поперечного сдвига можно оценить отношением перерезывающей силы к толщине панели. [c.178]

В этой главе рассматривается осесимметричная деформация тонких нелинейно-упругих оболочек вращения. Исходя из трехмерных уравнений теории упругости дается вывод приб.чиженных соотношений упругости двухмерной теории оболочек, основанный на асимптотических разложениях. Ползгченные соотношения упругости для ряда упругих потенциалов сравниваются с вытекающими из модифицированных гипотез Кирхгофа-Лява (см. гл.З). Кроме того, приводятся решения ряда частных задач о нелинейном деформировании оболочек вращения, используюыще асимптотические разложения. [c.328]

Очевидно, что вывод соотношений ПМГЭ не основан на процедуре использования базисных функций, описанной в предыдущем разделе, и поэтому метод взвешенных невязок не может быть использован для того, чтобы получить в этом случае симметричную систему уравнений. Тем не менее для упругой системы (гл. 4) мы можем рассмотреть функционал полной энергии [c.392]

Вскоре после опубликования работы Навье в 1829 г. было сделано устное сообщение в Парижской Академии наук об исследованиях Пуассона общих уравнений равновесия и движения упругих тел и жидкости. Эти исследования Пуассона были опубликованы в 1831 г. ). В первом параграфе своего большого мемуара Пуассон различает два вида сил 1) силы притяжения, не зависящие от природы тел, пропорциональные произведению их масс и обратно пропорциональные квадрату расстояния между ними, и 2) силы притяжения или отталкивания, зависящие в первую очередь от природы частиц и количества содержащейся в них теплоты интенсивность этих сил весьма сильно убывает с увеличением расстояния между частицами. Весь мемуар Пуассона по существу посвящён вычислению механического эффекта именно. вторых сил и выводу уравнений равновесия упругих тел ( 3), уравнений равновесия жидкости с учётом капиллярного натяжения ( 5) и уравнений движения жидкости j учётом внутреннего трения жидкости ( 7). При выводе соотношений, связывающих проекции соответственных сил, представляющих по современной тер-минологии нормальные и касательные напряжения на трёх взаимно лерпендикулярных элементарных площадках, с производными по координатам от проекций вектора скорости, используются соответственные соотношения для напряжений в упругом теле с помощью следующих рассуждений. Общий промежуток времени t делится на п равных малых промежутков времени t. В первый интервал времени t после воздействия внешних сил жидкость смещается как упругое тело, поэтому распределение напряжений будет связано с распределением смещений так же, как и в упругом теле. Если внешние силы, вызы вавшие смещение, перестают действовать, то частицы жидкости быст ро приходят в такое расположение, при котором давление по всем направлениям становится одинаковым, т, е. касательные напря жения исчезают. За это время перераспределения расположения частиц происходит, таким образом, переход состояния напряжений, отвечающего упругому деформированию, в состояние напряжений давлений, отвечающее состоянию равновесия жидкости. Если же причина сме щения продолжает своё действие и в течение второго интервала времени, то, предполагается, что различные малые смещения будут происходить независимо от предшествующих и что новые смещения [c.17]

В работе М. П. Шереметьева [4] рассмотрена растянутая в двух направлениях бесконечная плоскость с подкрепленным отверстием. Подкрепляющее кольцо постоянного сечения принимается за плоский упругий стержень, работающий на изгиб и растяжение. Выводятся соотношения общего вида, характеризующие деформации такого стержня, после чего в соответствии с изложенной выше схемой задача ставится в терминах теории функций комплексного переменного. Полученная задача решается для случая кругового отверстия методом рядов. Следует отметить, что та же задача с той же полнотой была решена немного позже Радоком (Кас1ок [1]), который, по-видимому, не был знаком с работой М. П. Шереметьева. В другой работе М. П. Шереметьева [5] изучается изгиб бесконечной тонкой пластинки, подкрепленной кольцом постоянного сечения, [c.592]

После решения системы алгебраических уравнений (5.13) для каждой гармоники волнообразования проводится вычисление амплитудных значений обобщенных деформаций е п = = LmnXmn, далее определяются обобщенные деформации в точках вывода (J=K. Ук) Pemn (Хи, Ук) тч И проводит-ся суммирование результатов. После окончания набора обобщенных деформаций в точках вывода можно вычислить деформации в любом слое в системе координат х, у, г к определить деформации в системе координат, связанной со слоем. С использованием соотношений упругости для однонаправленного слоя вычисляются напряжения вдоль, поперек армирования и на сдвиг в плоскости слоя. Средние напряжения поперечного сдвига можно оценить отношением перерезывающей силы к толщине панели. [c.408]

Вывод соотношений, характеризующих излучение продольных и поперечных -волн от сил, приложенных к границе, является довольно сложным. Синтез распределения напряжений в источнике согласно решениям волнового уравнения в выбранной координатной системе, определение интегральных выражений для смещений, интегрирование по частотам с целью построения импульсных сейсмограмм и оценка интегралов в некотором диапазоне перемек-иых — каждый из этих шагов требует математического искусства и изобретательности даже в случае простейшей геометрии границ к источников. В случае же с меньшей симметрией сложность во много раз возрастает. Например, излучения от двух противоположно направленных сосредоточенных сил, действующих на стейку пустой цилиндрической полости, можно было оценить способом Хилена, но отсутствие осевой симметрии усложняет каждый шаг. Если вместо воздействия на свободную границу сосредоточенная сила действовала бы на плоской границе между твердой и жидкой средами, то потенциалы в жидкой среде необходимо было бы учитывать на протяжении всех вычислений. Вывод точных интегральных выражений для смещений и построение приближенных выражений для низких частот и больших расстояний — весьма сложная задача, а для более сложной геометрии какие-то упрощения должны быть сделаны еще раньше. В этом разделе показывается, что простой метод вычисления характеристик излучения различных источников. вытекает из принципа взаимности для упругих волн. Этот метод, в котором излучение источника вычисляется как бы в обратном порядке, приводится ниже, [c.220]

При выводе соотношений взаимности мы считали, что поверхности, расположенные в звуковом поле, являются либо абсолютно мягкими, либо абсолютно жесткими, либо импеданц-ными. В работе [50] показано, что теорема взаимности остается справедливой также при наличии в пространстве упругих тел и оболочек, свойства которых не описываются нормальным локальным импеданцем. В этой же работе принцип взаимности обобщен на случай внешних сил, действующих на поверхность тела, и найдены общие соотношения, связывающие звуковое поле, дифрагированное на упругой поверхности, и звуковое поле, излученное этой поверхностью под действием внешних сил. [c.83]

Хорошо известно, что изотермические упругие характеристики твердого тела определяются из термодинамических соотношений, связывающих изменения его свободной энергии со смещениями, вызванными деформациями макроскопических элементов тела [10]. В случае гетерофазных, например, пористых флюидонасыщенных сред, имеющих твердый каркас, задача осложняется необходимостью учета динамического взаимодействия и относительного движения фаз при деформировании такой системы (например, как в теории Френкеля-Био-Николаевского, см. ЧАСТЬ 1). Примеры статистического вывода динамических упругих характеристик случайно-неоднородных многофазных систем даны в ЧАСТИ 2. Методы статистического расчета физических параметров композитных материалов, в том числе с использованием фрактальных представлений об их структуре, и пористых структур можно найти, например, в монографиях [10, 11]. [c.133]

Впервые эти закономерности были установлены в начале XIX в. Aparo и Френелем. Принципиальное значение этих опытов состояло тогда в том, что они однозначно доказывали строгую поперечность световых волн и отсутствие продольной компоненты. Этот вывод, естественный с точки зрения электромагнитной теории, был сделан в свое время Юнгом и Френелем еще для упругой теории света и приводил к очень серьезным трудностям. Гипотеза о существовании среды, дающей строго поперечные колебания и не допускающей продольных, несовместима с представлением об обычной упругой среде, что заставило для понимания законов отражения и преломления света делать предположения, противоречащие механике обычных сред. В частности, Френель высказал гипотезу о том, что при переходе из одной среды в другую свойства эфира в этих средах изменяются таким образом, что его упругость остается неизменной и, следовательно, плотность меняется прямо пропорционально квадрату показателя преломления среды. Наличие данной гипотезы позволило Френелю решить задачу о соотношении между амплитудами падающей, отраженной и преломленной волн (формулы Френеля). [c.49]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...