Некоторые численные множители

А — некоторый численный множитель, который будет установлен ниже. [c.253]

Первый член этого выражения описывает фон. За исключением очень малых дифракционных эффектов (порядка а ), он представляет собой геометрическую тень маски, спроектированную на плоскость предмета. Второй член описывает правильно восстановленный предмет. Основное различие заключается в том, что протяженность восстановленного пятна равна + вместо а. Следовательно, Ь имеет смысл предела разрешения (с точностью до некоторого численного множителя, который будет определен позже). Множитель [1 + (6/а)2] перед амплитудой отражает то обстоятельство, что амплитуда уменьшается в том же самом отношении, в каком увеличивается площадь пятна. Уменьшение контраста в изображении очень малых предметов кажется более сильным, чем в случае обычной микроскопии, где амплитуда убывает как корень квадратный из площади, однако результат получается тот же самый, поскольку контраст в передаче интенсивности при наличии сильного когерентного фона является линейной функцией амплитуды. [c.238]

Такой выбор множителя нужен для того, чтобы можно было прямо установить связь с квантовой теорией лазерного поля. Напомним читателю, что амплитуда (i) равна напряженности электрического поля, взятой с некоторым численным множителем. [c.134]

Некоторые численные множители [c.695]

Таким образом, Ньютон сравнивал квадрат каждого коэффициента характеристического полинома с произведениями соседних коэффициентов на некоторый численный множитель, величина которого зависит и от степени полинома, и от порядка расположения коэффициентов а . [c.126]

Разумеется, при выводе соотношения (7.52) было сделано немало сомнительных допуш ений. Например, в реальном процессе вулканизации может возникнуть сетка из цепочек, не находяш ихся в состоянии статистического равновесия. При этом может оказаться необходимым умножить коэффициенты упругости на некоторый численный множитель, например на 2/3 [24]. Некоторые цепочки могут оказаться слишком короткими, чтобы было оправдано распределение Гаусса (7.29). Правда, из математической теории вероятности хорошо известно, что, исключая крылья кривой, распределение Гаусса дает очень хорошее приближение даже для очень малого числа (например, пяти) независимых звеньев. Предположение об однородной деформации в области точек пересечения также может оказаться несостоятельным, если они связаны короткими цепочками такие цепочки, когда материал подвергается давлению, могут охотнее закручиваться, чем растягиваться [19, 25]. Ясно, что расчет подобных эффектов значительно более сложен. Результат зависит от деталей функции распределения длин цепочек и основывается на весьма сомнительных допуш ениях о локальных деформационных характеристиках веш ества. [c.312]

При нормальном падении электромагнитной волны на симметричную решетку (например, одноэлементную) дифрагированное поле симметрично относительно любой плоскости, перпендикулярной плоскости решетки и проходящей через одну из ее осей симметрии. Для математического описания такого поля начало координат удобно выбирать на оси симметрии, так как в этом случае оказываются равными комплексные амплитуды дифракционных волн с одинаковыми по модулю индексами (эти волны назовем парными). Если начало координат выбрано не на оси симметрии, то комплексные амплитуды парных волн, оставаясь равными по модулю, различаются некоторым фазовым множителем. В противоположность этому в поле дифракции плоской волны на несимметричной решетке, комплексные амплитуды парных волн, вообще говоря, различны. Модули этих амплитуд. как показывает численный анализ, в зависимости от параметров системы могут также оказаться неравными. [c.55]

Прежде всего необходимо иметь правило, устанавливающее связь между абстрактными операторами и физическими наблюдаемыми величинами. Это правило основывается на следующем свойстве гильбертовых пространств для каждого оператора (обычно) существует некоторое число злементов гильбертова пространства (или состояний), которые почти не изменяются при действии этого оператора. Точнее, оператор Ь, действующий на такое состояние ), обозначаемое через т), преобразует его в самое себя с точностью до численного множителя Ьт- [c.26]

I. Некоторые физические константы, единицы и численные множители, используемые в спектроскопии и физической химии [c.247]

Эта же формула, но с другим значением численного множителя пе> ред скобкой, справедлива и для неоднородного сфероида при некотором законе распределения его плотности (см. Балк М. Б. гл. I, 3). [c.306]

В этом параграфе, следуя работе Чирикова [70], мы получим весьма эфс )ективный количественный критерий перехода к глобальной стохастичности. Сначала, используя гамильтониан стандартного отображения, мы найдем условие касания сепаратрис целых резонансов, что приведет к простейшему критерию перекрытия /С л /4 2,47. Далее, учтем полуцелый резонанс и найдем более точное критическое значение К 1,46. Это уже гораздо ближе к численному результату [70], но все еще остается завышенным. Наконец, учтем ширину стохастического слоя вблизи сепаратрисы. (Чириков нашел, что резонансы третьей гармоники несущественны )). Для этого исследуем перекрытие вторичных резонансов вблизи сепаратрисы целого резонанса. Это может быть сделано либо путем перехода от сепаратрисного отображения ( 3.5) к новому стандартному отображению, как в п. 4.16 выше, либо путем непосредственного вычисления размера вторичных резонансов вблизи сепаратрисы, как в п. 4.36 ниже. Однако для получения точного условия перекрытия вторичных резонансов необходимо ввести те же поправки, что и для первичных и т. д. Можно ожидать, что такой процесс сходится и дает правильный ответ. Вместо проведения соответствующих довольно утомительных выкладок Чириков замыкает процедуру, вводя в отображение для вторичных резонансов некоторый корректирующий множитель ). Это позволяет согласовать аналитические и численные результаты. [c.257]

Получаемый на основе этого метода динамический коэффициент интенсивности напряжений может быть выражей через статический коэффициент интенсивности напряжений путем умножения на некоторый коэффициент, зависящий от постоянных материала, длины трещины и частоты циклической нагрузки и определяемый из матрицы N-то порядка. С увеличением N этот множитель можно сделать сколь угодно близким к точному значению. Численным расчетом установлено, что хорошую точность можно получить и для небольших значений N. [c.444]

Множитель Ъ, обыкновенно называют коэффициентом или параметром трения качения-, в отличие от коэффициента f трения скольжения он представляет собой не отвлеченное число, а некоторую длину (так как выражается отношением момента силы к самой силе). Поэтому, если дается его численное значение, необходимо указать еще единицы, в которых он выражен естественно, удобно принять ту же самую единицу, к которой отнесен радиус В. [c.132]

Если единица какой-либо величины определяется через единицы величин, характеризующих электрическое или магнитное поле, то размер производной единицы будет зависеть от того, какая именно из величин (индукция или напряженность поля) входит в определение. Поскольку характеристики магнитного поля—напряженность и индукция—численно отличаются в 4л- 10 раз, то единицы некоторых величин (магнитный момент, интенсивность намагничивания, магнитная восприимчивость) в единицах СИ могут иметь два разных размера. Поэтому в литературе для единиц этих величин можно встретить переводные множители из различных систем в СИ, отличающиеся один от другого в 4я 10 раз. [c.90]

Условие однородности формул указывает, что эти прибавочные члены должны быть одинаковой размерности с силами в том же можно убедиться и рассматривая размерности множителей /и и Итак, на эти члены можно смотреть как на некоторые силы, конечно, фиктивные, несуществующие однако введение таких воображаемых сил даст нам большие удобства. Эги силы называются силами инерции. Можно рассматривать или отдельно силы инерции для каждой из координатных осей, или полную силу инерции, т. е. результат геометрического сложения трех частных сил инерции, идущих по осям координат. И в том, и в другом случае сила инерции численно равна произведению массы на ускорение, а знак минус указывает, что [c.83]

Для изопериметрических условий частного вида было найдено решение для множителей Лагранжа в виде интегралов, не зависящих от исходных данных задачи. Были получены необходимые условия экстремума в задаче о нахождении поверхности тела с минимальным сопротивлением в случае трехмерного обтекания. Здесь в частном случае также удалось найти интегралы для множителей Лагранжа. В результате оказалось возможным выделить класс решений, для которого количество независимых мых переменных в краевой задаче понижается до двух. При решении некоторых двухмерных вариационных задач предложен итерационный процесс численного решения. [c.243]

При решении уравнения (10.149) численным методо его необходимо представить в безразмерной форме, что достигается умножением всех членов уравнения на некоторый постоянный размерный множитель [6]. [c.451]

В этом месте вопрос о порядках величин приобретает некоторые тонкости и в то же время он очень важен. Матричные элементы W в (3.62) следует считать величинами первого порядка. Однако мы замечаем, что второй член содержит множитель нулевого порядка — энергию Ек- Таким образом, различные матричные элементы псевдопотеициала будут отличаться друг от друга на разность энергий нулевого порядка, умноженную на (к-Ьч1 к)- Если мы хотим быть последовательными, мы должны считать матричные элементы проекционного оператора, взятые по плоским волнам, величинами первого порядка. Численно это обычно так и есть, ибо такие матричные элементы оказываются порядка 0,1. Трудности, однако, возникают при определении порядка, которому соответствует проекционный оператор, поскольку квадрат этого оператора равен ему самому = Р. Последнее следует прямо из определения (3.60) [c.340]

Я надеюсь, что использование в книге гауссовой системы единиц не вызовет серьезных затруднений у тех, кто был воспитан на системе СИ (системы единиц в занимательной форме рассмотрены в работе [69]). Хотя мой выбор и связан, несомненно, с моим собственным воспитанием, но можно привести и объективные доводы в его защ чту, поскольку в теории, имеющей дело с магнетизмом, многие соотношения приобретают более простой и осмысленный вид в гауссовой системе кроме того, до последнего времени существовала некоторая неопределенность в определении намагниченности в системе СИ. Те, кто незнаком с гауссовой системой, должны только помнить, что там применяется одна и та же единица, гаусс (Гс), для магнитного поля, магнитной индукции и намагниченности, гаусс имеет ту же величину, что и эрстед (в книге эта единица не применяется), и 10 Гс = 10 кГс = = 1 Тл (тесла). Другие особенности, например использование сантиметров вместо метров и граммов вместо килограммов, не будут, я думаю, серьезным камнем преткновения. Там, где предполагается как-нибудь использовать теоретическую формулу на практике, множители, содержащие мировые константы, обычно даются в численном виде так, чтобы ответ получился в практических единицах, например в вольтах. [c.12]

Множитель ослабления является функцией некоторого безразмерного параметра х, называемого иногда численным расстояние ем и определяемого путем деления действительного расстояния г на так называемый масштаб расстояний 5, который выражается формулой 5 = Кг1/л(г —I), м и в общем случае является комплексной величиной, В практических приложениях обычно пользуются модулем 5 этой величины [c.65]

Отсюда мы заключаем, что математическое ожидание постоянной величины Ь равно самой этой величине Ь-, математическое же ожи- дание статистической величины X, умноженной на некоторый численный множитель а, равно произведению этого множителя а на математическое ожцдание X. [c.54]

Некоторые численные значения множителя т, вычисленные для случая fe=3, приведены в таблице XVII. Эта таблица показывает нам, что величина т мало зависит от положения груза на арке и, напротив, находится в сильной зависимости от пологости и толщины арки. По мере того как эти два фактора уменьшаются, т приближается к единице и приближенная формула (105) дает результаты, все более близкие к точному значению Н. Заметим, что величины, полученные для распора с помощью формулы (106), относящейся к параболическим аркам, мало отличаются от соответствующих величин, полученных с помощью формулы (76), выведенной для круговых арок, когда эти две арки одинаково пологи и имеют одинаковую толщину в ключе. Это позволяет применить иногда формулу [c.516]

Приведенные ниже экспоненциальные оценки были впервые получены еще Пуанкаре [337, п. 226]. Поскольку, однако, при 0 1 эффект экспоненциально мал, возникает очень серьезная и трудная проблема оценки точности этого результата, которая до сих пор обсуждается в литературе (см., например, [197, 483, 484]). По существу вопрос был решен уже в первых работах Мельникова [298], который показал, что все неэкспоненциальные поправки могут быть оттрансформированы с помощью канонической замены переменных (см. также [314], лемма 10.3). Тем не менее в некоторых специальных случаях, например, для стандартного отображения, эффекты высщих приближений приводят к появлению численного множителя порядка единицы, который пока не поддается аналитической оценке (см. [70, 6.1] и [485]).— Прим. ред. [c.240]

Задача 6.6. Эффект Оверхаузера. Предположим, что с помощью соответствующего механического или электрического внешнего устройства можно увеличивать энергию теплового резервуара на ае каждый раз, когд резервуар передает системе квант энергии е. Здесь а—некоторый положительный или отрицательный численный множитель. Показать, что эффективный фактор Больцмана для такой аномальной системы имеет вид [c.91]

Для задач, не допускающих понижения размерности, ТУдерлей и Эрмитейдж [40], а также Сиразетдинов [41] развили метод множителей Лагранжа, реализация которого сводится к численному итерационному процессу. Борисов и Шипилин [42] нашли некоторые интегралы сопряженной задачи. Крайко [43] в рамках этого метода ввел разрывы множителей Лагранжа и тем самым придал ему общность. Систематическое изложение этой темы, а также описание полученных результатов проведены Крайко [39]. Задачам оптимизации формы тел в трехмерных сверхзвуковых потоках посвящены работы Борисова [44] и Михайлова [45], а также последующие работы этих авторов. [c.174]

Некоторые результаты расчета. Расчет был выполнен с теми же - числами М, N, Ni, что и в разд. 8.3 (см. анализ численных резуль-татов разд. 8.3) и параметрами R/ h=lOO l=Lf = 5 1—Ro/Ri— = 0,01 Н=0 (см рис. 8.12). Распределение безразмерного пара- -метра реакции шахты q —qR IP (8.31) в зоне контакта приведено, в та,бл. 8.6. Значение параметра нагрузки (8.30) P = PjEhR дано в табл. 8.7. Этот параметр рассчитывался по формуле (8.50). В ниж-, ней строке табл. 8.7 дан тот же параметр Р, но посчитанный по формуле (8.62). Все результаты, приведенные в табл. 8.6 и 8.7, вы-,-числены для параметра Л=10 . Этот параметр определен формулой (8.61). Следует отметить, что изменение параметра Я от 10" до нуля практически не влияет на характер изменения и величину параметра реакции q в зоне контакта, а также на характер изменения параметра нагрузки Р в зависимости от величины зоны контакта р. Отличие наблюдается лишь в третьей значащей цифре для указанных величин. С другой стороны, параметр % входит линейным множителем в формулу (8.62). Это позволяет произвольно менять параметр X в формуле (8.62) и, таким образом, менять последнюю-строку табл. 8.7, не меняя при этом остальных результатов той же таблицы. По результатам табл. 8.7 построены графики на рис. в.13 — зависимость между параметром Р и величиной зоны контакта р для разных значений расстояния от торца оболочки до кромки шахты о (см. рис. 8.12). Для удобства нанесен логарифм параметра Р. Там же для каждого нанесены точки с параметром IgP, посчитанным по формуле (8.62) для двух значений параметра равных 10 и 10 . Эти резульФаты получены делением [c.352]

Остановимся кратко на некоторых попытках улучшить уравнение Левинсона. На первый взгляд источником проблем является незатухающая память в интеграле столкновений (4.5.14), благодаря которой скорость изменения одночастичной функции распределения в момент времени t зависит от всей предыстории процесса. Поскольку квазичастицы в реальных системах имеют характерное время жизни г ,, ядро в немарковском интеграле столкновений должно затухать за время t — t т . Качественно этот эффект можно учесть, вводя обрезающий множитель ехр — t — t )/т в интеграл столкновений Левинсона [94]. В численных расчетах было обнаружено, что решения улучшенного уравнения Левинсона ведут себя на больших временах более устойчиво (в частности, исчезают отрицательные значения /) и наблюдается переход к марковскому режиму, но, тем не менее, при t оо функция распределения не стремится к равновесной. Дело в том, что введение квазичастичного затухания в интеграл столкновений Левинсона нарушает закон сохранения энергии ). Поэтому с течением времени растут числа заполнения возбужденных состояний, т. е. происходит нефизический перегрев системы. Хаг и Баньян [93] предложили феноменологическое ядро в интеграле столкновений Левинсона для электрон-фононной системы, которое приводит к более разумному поведению функции распределения электронов в марковском пределе. Стационарное решение кинетического уравнения оказалось близким к распределению Ферми, однако точного равенства этих функций достигнуто не было. Впрочем, подбор модельных выражений для ядер в интеграле столкновений Левинсона нельзя рассматривать всерьез как преодоление трудностей немарковской кинетики. Можно показать, что любое улучшение уравнения Левинсона в этом направлении ведет к нарушению закона сохранения энергии, причем стационарное решение не совпадает [c.313]

Для решения уравнений Лагранжа (5) 1.1 сугцествует классическая схема (Голдстейн 1975), суть которой состоит в том, что уравнения связей дважды дифференцируются по времени. В полученные соотношения из уравнений подставляются выражения для ускорений и, в результате, получается система линейных уравнений для определения множителей Лагранжа. Полученная таким образом система дифференциально-алгебраических уравнений может быть решена любым методом численного интегрирования систем ОДУ. Недостатком такой схемы является прежде всего отсутствие консервативности, особенно ярко нро-являюгцееся в задачах типа соударения. В связи с этим возникает естественное желание попытаться построить полностью консервативную схему (ПКС). В ряде работ (Гасилов и др. 1979), (Волкова и др. 1985) строятся такие ПКС, но они требуют доро-гостоягцих итераций но нелинейности для которых, в частности, использовался метод параллельных хорд. Специфика уравнений для несжимаемой жидкости позволяет построить линейную ПКС (Франк 1987), в которой на каждом шаге по времени требуется только один раз обрагцать некоторую симметричную положительно определенную матрицу. [c.22]

Результаты этих вычислений приведены в табл. П7.1 для двух достаточно экстремальнь1Х примеров большой и малой поверхности Ферми, а именно а) гипотетического металла в приближении свободных электронов с электронной плотностью, соответствующей благородным металлам, и б) висмута при ориентации поля вдоль бинарной оси. В случае (а) одно из выбранных фиксированных значений поля составляет 10 Гс, что соответствует максимальному достижимому полю большинства лабораторий, а другое равно Н = 2 X 10" Гс, что типично для наибольшего поля, которое можно получить с помощью обычного электромагнита с железным ярмом. Для случая (б) фиксированное значение поля выбрано равным 5 X 10 Гс, что примерно равно одной трети Р и соответствует приблизительно тому наибольшему значению поля, при котором формулы еще справедливы. Влияние температуры иллюстрируется некоторыми результатами при 5 К для (а) и при 5 и 20 К для (б). Поскольку для ориентации вдоль бинарной оси в висмуте два из трех эллипсоидов дают одинаковые площади экстремальных сечений, все численные значения вдвое превышают результаты формул (третий эллипсоид дает гораздо более высокую частоту, и здесь им можно пренебречь). Все данные табл. П7.1 относятся к величине Мц, а соответствующие значения для величин Л/ /Я или ЛМ АН определяются формулой (2.114), т. е. получаются умножением данных табл. П7.1 на соответствующие значения величины ( /Р) Р/АВ). ПоряДки величины этого множителя анизотропии указаны в табл. П7.2 для некоторых типичных случаев. [c.602]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...