Уравнения состояния (соотношения упругости)

Уравнения состояния (соотношения упругости) [c.58]

Равенство (3.24) выполняется как в упругой, так и в пластической области. В соответствии с рассмотренным выше определением моделей пластических тел от всякого пластического состояния можно провести упругий процесс разгрузки, поэтому напряжения в частице в пластическом состоянии, примыкающем к упругому процессу разгрузки, можно определить с помощью уравнения состояния теории упругости. Пользуясь этим, с помощью рассмотрения упругих проп ессов разгрузки, когда 1еу = О, получим, что из равенства (3.24) следуют соотношения (2.9) и (2 10) гл. IX для упругой модели. В связи с этим примем, что в упругой области и в пластической области имеют место соотношения [c.441]

Выбор варианта оправдывается степенью его близости к уравнению состояния линейно упругого тела. Например, заданию э в линейной теории квадратичной формой компонент градиента перемещения Уи с постоянными коэффициентами сопоставляется задание, приводящее к учету в уравнении состояния хотя бы квадратичных по Уи слагаемых. Другой прием основан на удержании величин этого порядка в самих уравнениях состояния, сохраняющих при этом свою инвариантную запись. Еще один критерий состоит в сравнительной доступности последующего математического рассмотрения. Наконец, в отступление от подходов механики сплошной среды привлекают к построению определяющих уравнений статистические представления предложенные соотношения корректируют и дополняют экспериментальной проверкой. [c.150]

Уравнения состояния (2.9) для упругого тела представляют собой соотношения, обобщающие закон Гука на случай учета нелинейных эффектов, влияния температуры и возможного присутствия переменных физических параметров Хк (фазовых плотностей и т. п.). [c.315]

Для расчета абсолютного уровня температурных полей в случае применения степенного закона необходима, по нашему мнению, количественная оценка соотношения вязкой (необратимой, диссипативной) и упругой составляющих энергии, затрачиваемой на деформацию полимера. Это можно выполнить, если исходить из соотношения между средним временем релаксации и временем переработки полимера. Тогда решение системы (2)—(4) с учетом уравнения (6) возможно во всех случаях, кроме тех, когда вязкоупругость полимеров приводит к значительной аномалии гидродинамической обстановки процесса, как это бывает, например, в дисковых и комбинированных экструдерах. Тогда система уравнений (2)—(4) должна решаться совместно с уравнением состояния (7) или ему подобным. [c.99]

То обстоятельство, что привлечение именно уравнения кривой упругости замыкает систему дифференциальных соотношений термодинамики, нуждается в некотором пояснении. Известно, что одни только соотношения феноменологической термодинамики (без уравнений состояния) недостаточны для определения вида калорических функций вещества (см., например, [Л.29]). Двухфазные системы не являются исключением из этого общего правила. [c.9]

Приведенные выше соотношения явились основой вычислительных программ численного решения задач о напряженных, деформированных и предельных состояниях оболочечных конструкций, подверженных длительным статическим и малоцикловым воздействиям в условиях повышенных температур [8, 3, 15]. Разработанная в [15] программа исследования прочности сильфонов основана на линеаризованных уравнениях теории оболочек и уравнениях состояния (8.17). Для учета физической нелинейности материала оболочки используется метод переменных параметров упругости [10]. [c.160]

Физические уравнения (соотношения упругости) для оболочек имеют такую же структуру, как и для пластин, поскольку в технической теории пластин и оболочек рассматривается плоское напряженное состояние. [c.196]

Приходим к нелинейному дифференциальному уравнению второго порядка для функции R(p) , краевые условия ее, формулируемые соотношениями (3.8.3), (3.8.12), также нелинейны. Задача громоздка даже для наиболее простых формулировок закона состояния сжимаемого упругого материала. [c.716]

Полная система уравнений, описывающих безмоментное состояние оболочки, включает дифференциальные уравнения рав-по-весия, зависимости между деформациями и перемещениями срединной поверхности, а также соотношения упругости. Перечисленные три группы уравнений имеют вид [62] [c.106]

Здесь нецелесообразно приводить подробное обсуждение вопроса о справедливости и обоснованности сеточной теории полимерных растворов. Однако может быть необходимо отметить как наиболее уязвимые для критики два положения обусловленность напряжения только деформацией сетки (п. 1, 3)) и произвольное допущение о возможности вычислить напряжения путем замены действительной сетки суперпозицией независимых сеток (п. 6). Необоснованность последнего допущения не позволяет надеяться на приемлемое количественное подтверждение теории. Все же на данной стадии исследования можно ожидать, что ценность теории такого типа (поскольку дело идет о растворах и, по-видимому, о расплавах полимеров) состоит скорее в указании на то, что вследствие большого разнообразия возможных реологических уравнений состояния имеет смысл сначала сосредоточиться на уравнениях типа соотношений напряжение — деформация, встречающихся в кинетической теории эластичности и учитывающих зависимость напряжения от истории деформации посредством одного временного интеграла. Кроме того, интерпретация реологического уравнения состояния (6.9) на основе концепции релаксирующей сетки создает практические преимущества при решении некоторых задач, в первую очередь задачи упругого последействия, которая иначе не поддается решению. [c.160]

Во второй части даны приложения полученных соотношений к выводу разрешающих уравнений состояния наиболее характерных классов оболочек оболочек вращения, пологих и цилиндрических оболочек, разработке методов решения краевых задач, возникающих при их расчете. Последняя глава посвящена постановке и решению одного класса нетрадиционных задач о контактном взаимодействии твердых жестких тел с упругими пластинками и оболочками, который характерен тем, что применение классической теории приводит к несоответствиям физической сущности таких задач и служит определенной иллюстрацией возможностей излагаемой в книге теории. [c.4]

Эти уравнения можно сразу написать при помощи соотношений взаимности Максвелла — Бетти для двух различных состояний равновесия упругого тела. Ясно, что, рассматривая сначала только нагрузку г , нормальную поверхности, и взяв в качестве первого такого состояния w, 9j, г, Q, Ф), а в качестве второго аналогичный набор, помеченный звездочкой, получаем [c.319]

Запишем физические уравнения состояния. В зонах и V разгрузки и упругого деформирования справедливы соотношения (2.26), которые в нашем случае запишутся в виде [c.100]

Запишем физические уравнения состояния. В зонах и V разгрузки и упругого деформирования справедливы соотношения [c.106]

Рассмотрим методику решения поставленной краевой задачи. Напомним, что силовые уравнения равновесия (4.11) и граничные условия (4.12) были получены независимо от физических уравнений состояния. Поэтому мы можем воспользоваться ими и в рассматриваемом случае. Если во внутренних силовых факторах (4.8), входящих в уравнения (4.11), выразить напряжения через деформации, используя соотношения (4.47), а затем деформации через три линейно независимые функции и х), ф х), w x) с помош ью формул (4.2) и (4.3), то в результате получим систему нелинейных дифференциальных уравнений. О точном ее решении в данном случае говорить не приходится. Поэтому воспользуемся методом упругих решений Ильюшина (см. 1.7), который распространим на исследуемые слоистые системы. [c.169]

Тензоры напряжений Пиола и Кирхгофа, с одной стороны, являются удобными вспомогательными тензорами, непосредственно не определяю-ш,ими реальное напряженное состояние. Определение последнего всегда требует возвращения к истинному тензору напряжений Коши. С другой стороны, тензоры Пиола и Кирхгофа играют важную роль в нелинейной теории упругости при построении определяющих соотношений, в частности, в представлении уравнений состояния для гиперупругих, т. е. имеющих упругий потенциал, сред, поскольку тензор Пиола сопряжен тензору градиента места, а тензор Кирхгофа — тензору деформации Коши-Грина. [c.20]

Этих трех уравнений недостаточно для онределения напряженного состояния в упругом теле (шести независимых компонент тензора напряжений). Дополнительные уравнения можно получить, выразив деформации через напряжения с помош,ью соотношений закона Гука (3.3) и подставив их в уравнения совместности деформаций (3.4). В результате получим систему [c.59]

Соотношения линейной теории упругости. Будем рассматривать упругие тела однородные и изотропные. Для получения замкнутой системы уравнений необходимо записать уравнения состояния, т.е. установить связь между тензорами напряжений и деформаций. Будем рассматривать тела, для которых имеет место линейная связь между тензорами напряжений и деформаций, т.е. обобщённый закон Гука (3.24) [c.238]

Механические свойства жидкостей и твердых тел, не обладающих совершенной упругостью и вязкостью, настолько переплетаются, что для тех и других нередко используются одни и те же соотношения между напряжениями и деформациями, и в этих случаях основные дифференциальные уравнения МСС для них совпадают. Важный пример таких сред представляют полимерные материалы (смолы, каучук,. ..). Технология их производства охватывает область жидкого и твердого состояния, причем упругие и вязкие свойства являются существенными. Поведение металлов в технологических процессах и конструкциях в зависимости от диапазона температур определяется вязкими, вязкопластическими, упругопластическими или упругими свойствами. [c.217]

В механике композиционных материалов (КМ) получили развитие два взаимосвязанных и дополняющих друг друга направления исследований. Первое из них базируется на строгом учете структуры материала, второе — на использовании интегральных диаграмм деформирования, которые могут быть получены экспериментально или расчетным путем. Точные решения задач механики в постановке, соответствующей первому направлению, кроме рассмотренных специфических вопросов [1-4], подтвердили применимость методов второго направления к весьма широкому классу композитов, использующихся для изготовления оболочечных конструкций, в связи с этим при разработке методов решения задач статики и динамики оболочек из КМ структурные особенности последних учитываются только при расчете эффективных характеристик анизотропной сплошной среды, имеющей такие же диаграммы деформирования и прочностные характеристики, что и исходный КМ. Построив в таком приближении уравнения состояния КМ, а также используя уравнения движения и соотношения между перемещениями и деформациями теории упругости анизотропного тела, можно получить решение соответствующих задач, хотя это сопряжено со значительными трудностями. [c.105]

Слабое место теории Кирхгофа — Лява заключается в кажущемся противоречии исходных гипотез (1) при определении деформации по толщине оболочки предполагается, что поперечный сдвиг равен нулю, но в условиях равновесия сохраняются поперечные силы (2) при определении деформации по толщине оболочки предполагается, что длины отрезков на нормали к срединной поверхности в процессе деформации не изменяются, но в соотношениях упругости принимается = 0. В настоящее время эти противоречия научились в большинстве случаев устранять при помощи надлежащей интерпретации. Исключение представляют напряженные состояния с большим показателем изменяемости и напряженные состояния в многослойных оболочках с мягким заполнителем, где учет поперечного сдвига обязателен. Однако, поскольку исключения существуют, оправдан и пересмотр основных уравнений теории оболочек с помощью новых средств научного исследования. Например, численное решение на ЭВМ задач теории упругости, близких к задачам теории оболочек, вполне может выявить новые способы сведения и даже поставить проблему сведения в явной форме. [c.231]

Для неравновесных условий нагружения могут быть выделены нестационарные (неустановившиеся) и стационарные (установившиеся) периоды процесса, в которых соответственно соотношение напряжение а — деформация е зависит от времени нагружения и не зависит от него, что иллюстрируется ниже на примере изотермического нагружения при малых деформациях простейших линейных упруговязких и вязкоупругих систем. Механическое поведение этих систем при однородном растяжении может быть моделировано комбинацией чисто упругих (пружин) и вязких (поршней в вязкой среде) элементов, подчиняющихся законам Гука и Ньютона для одноосного нагружения и представленных на рис. 1.3.1. Более подробные сведения о реакции различных вариантов моделей на внешние условия нагружения можно найти в монографиях [4, 24, 26, 68]. Уравнения состояния таких систем определяются из следующих условий [c.32]

Следует подчеркнуть, что выражение для со получено на основании сопоставления следствий из найденных выше уравнений состояния и одного из основных соотношений теории малых упруго-пластических деформаций. [c.88]

Уравнения состояния (соотношени упругости) [c.85]

Соотношение (5.3.4) является уравнением состояния нелинейно-упругого тела, выражающим тензор D через V/ . Из этой, в общем случае, системы девяти уравнений требуется определить тензор V/f. Ее разрешимость требует необращения в нуль гессиана [c.680]

По степени сжимаемости. Природный газ способен значительно изменять свой объём при изменении давления, вода и нефть в довольно значительном диапазоне давлений (приблизительно до 20МПа) практически несжимаемы, а при высоких давлениях обладают упругими свойствами. В связи с указанными факторами различают модели сжимаемой, несжимаемой и упругой среды. Построение каждой из указанной модели требует привлечения эмпирических уравнений состояния - соотношений, связывающих изменение объёма с изменением давления. [c.3]

Более подробный и более общий анализ принадлежит Денну 120], который обсудил ряд результатов предыдущих исследователей. Денн начал с того, что взял уравнение состояния для жидкостей второго порядка, но коэффициенты Т , Ро и 7о он предположил функциями величины модуля D. Не говоря уже о концептуальных трудностях, связанных с применением такого уравнения (эти трудности обсуждались в гл. 6), результаты его анализа не очень обнадеживают. Было получено дифференциальное уравнение для Vx х, у), содержащее неньютоновские члены, множителем в которых был упругий параметр е, определенный соотношением [c.279]

В некоторых случаях многофазная смесь может быть описана в рамках одной из известных классических моделей, в которых неоднородность отражается в значениях модулей, коэффициентов сжимаемости, теплоемкостей и т. д. (заранее определяемых через физические свойства фаз), т. е. только в уравнениях состояния смеси (см. 5 гл. 1). Например, жидкость с пузырями может иногда описываться в рамках идеальной сжимаемой жидкости, а грунт — в рамках упругой или упруго-пластической модели. Но при более интенсивных нагрузках, скоростях движения или в ударных процессах эти классические модели обычно перестают работать и требуется введение новых моделей и новых параметров, в частности, последовательно учитывающих неоднофазность, а именно существенно различное поведение фаз (различие плотностей, скоростей, давлений, температур, деформаций и т. д.) и взаимодействие фаз между собой. При этом проблема математического моделирования без привлечения дополнительных эмпирических или феноменологических соотношений и коэффициентов достаточно строго и обоснованно (например, методом осреднения более элементарных уравнений) может быть решена только для очень частных классов гетерогенных смесей и процессов. Эти случаи тем не менее представляют большое методическое значение, так как соответствующие им уравнения могут рассматриваться в качестве предельных или эталонов, дающих опорные пункты при менее строгом моделировании сложных реальных смесей, с привлечением дополнительных гипотез и феноменологических соотношений. Два таких предельных случая подробно рассмотрены в 5, 6 гл. 3. [c.6]

Напомним, что пьезоэффект возможен только для сред, не обладающих центром -еимметрии, и, следовательно, пьезоэлектрические материалы являются существенно анизотропными. Комплекс постоянных, входящих в уравнения состояния (5.8) для среды с самой низкой симметрией (триклинная система, класс 1), состоит из 21 модуля упругости, 18 пьезоэлектрических и шести диэлектрических постоянных. Учет симметрии кристалла приводит к уменьщению количества постоянных в соотношениях (5.8). Подробный анализ зависимости свойств пьезоэлектрического кристалла от его симметрии представлен в [229]. [c.237]

Соотношения (2.9) — (2.11) называются уравнениями состояния упругого тела. Равенства (2.9) связывают компоненты напряжений с аргументами функций и или Р. Равенства (2.10) служат для вычисления температуры Т (при использовании Щ или энтропии 5 (при использовании Р). Соотношения (2.11) определяют законы изменения параметров Ха эти соотношения аналогичны известным уравнениям Гульдберга — Вааге для описания обратимых химических реакций. В дальнейшем мы рассмотрим наиболее часто встречающийся случай, когда Хз постоянны, и не будем обращаться к уравнениям (2.11). [c.315]

Связанная система уравнений (50) и (51) по своей структуре аналогична системе, описывающей большие прогибы однородных пластин (см. работу Тимошенко и Войновского-Кригера [163] с. 418), включающей в отличие от системы (50), (51) нелинейные операторы, а также основным уравнениям линейной теории пологих оболочек ([163 ], с. 559). В нелинейной теории пластин й в теории пологих оболочек связь между уравнениями осуществляется через коэффициенты, зависящие от кривизны, а в рассматриваемом здесь случае слоистых анизотропных пластин эта связь вызвана неоднородностью материала (она осуществляется с помощью оператора включающего элементы матрицы 5 /, которые зависят, в свою очередь, от элементов матрицы Ац и матрицы Вц, входящих в исходные соотношения упругости). Это означает, что при постановке граничных условий на краях слоистой анизотропной пластины необходимо одновременно рассматривать силовые факторы и перемещения, соответствующие как плоскому, так и изгибному состояниям. При этом на каждом краю следует сформулировать по четыре граничных условия. [c.178]

Рассмотрим теперь вопрос об уравнении состояния упруго деформируемого стержня. Для анализируемого нами случая, когда р = onst и V = onst, уравнение состояния такого стержня в общем виде представляет собой соотношение вида [c.204]

Общие уравнения динамической устойчивости упругих систем. Пусть соотношение между частотами возбуждения и наименьшей собственной частотой в невозмущенном движении таково, что при нахождении невозмущенного напряженно-деформированного состояния допустимо использовать квазистатическое приближение и пренебречь перемещениями в этом состоянии. Тогда уравнения динамической устойчивости каждой конкретной упругой системы могут быть получены из уравнений нейтрального равновесия для задачи статической устойчивости добавлением далам-беровых сил инерции и заменой усилий (напряжений) невозмущенного состояния соответствующими функциями времени. Если необходимо учитывать диссипацию, то в уравнения добавляют также диссипативные силы. [c.248]

Компоненты перемещения, деформации и напряжения истинного равновесного состояния геометрически линейной задачи теории упругости должны удовлетворять всей совокупности вьшисанных вьппе уравнений и соотношений. [c.40]

Остановимся кратко на содержании главы. В разд. 2,2 на основе принципа виртуальных перемещений Лагранжа выведены основные соотношения подкрепленной ребрами криволинейной панели. В разд. 22.3 выделено элементарное решение Сопротивления материалов. Преобразование исходных уравнений для плоской панели к системе разрешающих уравнений содержится в разд. 2.4. Далее в разд. 2.5 изучено напряженно-деформированное состояние симметрично подкрепленной панели. Рассмотрена панель как конечной, так и бесконечной длины. Решение представлено в виде быстросходящихся рядов, даны результаты численных расчетов и программы расчета. В разд. 2.6 изучается эффект подкрепления панели на торце дополнительным ребром, работающим только иа изгиб. В разд. 2.7, как и в разд. 2.5, рассмотрена симметрично подкрепленная панель, но при кососимметрнчиом загруженин ребер парой сил. Решение отличается от полученного в разд. 2.5, так как требуется учитывать изгиб панели в ее плоскости. Решение доведено до числа. В разд. 2.8 рассмотрены панели с двумя ребрами разной жесткости для случа.я, когда поперечное перемещение панелн равно нулю или отлично от нуля. В разд. 2.9 на примере бесконечной пластины с полубесконечным ребром дается оценка погрешности решения путем введения гипотезы отсутствия поперечной деформации пластины. Эта оценка выполнена, путем срав неиня решения на основе упомянутой гипотезы с точным решением, полученным иа основе уравнений плоской теории упругости. Результаты этого раздела опубликованы Э. И. Грнголюком и В. М. Толкачевым [5]. В этой работе дана также общая постановка задач включения на основе гипотезы отсутствия поперечной деформации, рассмотрены задачи для пластины и ребра конечных размеров, для полубесконечной пластины с полубесконечным ребром, а также задача для защемленной по боковым сторонам полубесконечной полосы, нагруженной на торце постоянной распределенной нормальной нагрузкой. [c.68]

Это уравнение аналогично соотношению (3.13). Замечательно, что оно является некоторым конечным интегралом решения (весьма сложной) внутренней задачи и строго справедливо для произвольного контура L и любого нелинейно-упругого вблизи контактной площадки материала. Теория Г-вычетов позволяет аналогично ш>1водить подобные соотношения для любых сингулярньхх задач указанного типа. Эти соотношения дают возможность получать простые оценки работоспособности сингулярных связей в критическом и докритическом состоянии. [c.160]

Опыты Треска в области текучести, выполненные столетие назад, все еще неудовлетворительно объяснены с позиций экспериментатора, мыслящего в терминах количественных соотношений. В последнее время наши знания в области физики больших деформаций существенно пополнились новыми фактами в связи с опытами в таких направлениях, как термопластичность, динамическая пластичность и пластичность монокристаллов. Среди множества обна руженных фундаментальных физических фактов имеется и тот, что пластическая деформация кристаллов неоднородна. Экспериментально установлено, что для полностью отожженных кристаллических тел уравнения состояния должны включать переходы второго порядка при фиксированных углах сдвига, дискретное (квантованное) распределение форм деформаций и эффект Савара — Массона. Раньше или позднее, соответствующее развитие теории континуума для этого класса твердых тел должно включить учет этих явлений. С другой стороны, касаясь эластичности резины при больших деформациях, прогресс был достигнут при сопоставлении нелинейной теории упругости и эксперимента, но свойства этого [c.382]

Это соотношение соответствует разложению (1.6) для уравнения состояния газа или жидкости. Наряду с модулями всестороннего сжатия и сдвига в формулу (2.13) входят еше три константы А, В, С, назьюае-мые модулями треты го порядка, или нелинейными модулями упругости, в связи с тем что они являются коэффициентами при кубичных членах разложения внутренней энергии по инвариантам тенэора деформации. Таким образом, нелинейные деформации изотропного упругого тела в соответствии с формулой (2.13) характеризуются пятью параметрами (пятиконстантная теория). Подставляя (2.13) в (2.11), получим уравнение [c.14]

К описанию механического поведения непрерывной среды применимы все соотношения, рассмотренные в разделах 1.2.1—1.2.4. Вместе с тем реальные среды по-разному реагируют на одно и то же внешнее механическое воздействие. Эта реакция, или механическое поведение среды, определяется ее молекулярной структурой и состоянием при заданных внешних условиях. Обобщенные характеристики конкретных сред носят название уравнений состояния [16] ( onstitutive equations) [7] или определяющих уравнений входящие в них константы являются характеристиками механических свойств среды. Примерами простейших уравнений состояния идеализированных сред служат изотермические линейные законы деформирования упругих твердых тел (закон Гука) и вязких жидкостей (закон Ньютона). [c.23]

В качестве уравнения состояния могут быть использованы соотношения между главными степенями деформации (г = 1, 2, 3) и главными напряжениями О/, следующие из упругого потенциала Муни — Ривлина (3.1.5) и общих соотношений (3.1.9). При этом необходимо иметь в виду, что Я,- являются функциями координат, изменяющимися от точки к точке тела. [c.123]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...