О вращении любой системы тел

О ВРАЩЕНИИ ЛЮБОЙ СИСТЕМЫ ТЕЛ. [c.229]

Это утверждение полезно сравнить с результатом работы [177], где рассмотрен случай, когда Д состоит из тг + 1 векторов Аь. .., а +1, причем любые тг из них линейно независимы. В [177] показано, что критерием алгебраической интегрируемости системы (4.2) является именно выполнение условия (4.7). Следствие 1 утверждает, что в этом случае критерием интегрируемости по Биркгофу также является (4.7). Зга ситуация аналогична имеющей место в классической задаче о вращении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой уравнения движения алгебраически интегрируемы в том и только том случае, когда они имеют полный набор независимых полиномиальных интегралов. [c.388]

Во многих простых случаях о главных осях твердого тела можно судить непосредственно по его виду. Часто, например, встречаются случаи, когда рассматриваемое тело представляет-собой тело вращения, а начало подвижной системы координат лежит на его оси симметрии. Тогда все направления, перпендикулярные к оси симметрии, будут, очевидно, равнозначными, что указывает на наличие двойного корня векового уравнения. Главными осями будут в этом случае ось симметрии и две любые взаимно перпендикулярные оси, лежащие в плоскости, перпендикулярной к оси симметрии. [c.176]

Если, далее, предположить, что неподвижная точка О есть виртуальный полюс вращения, т. е. что связи в любой момент допускают для системы какое угодно бесконечно малое вращение всей системы в целом вокруг точки О (как это имеет место, например, для твердого тела, закрепленного в точке О), то мы придем к заключению, что уравнение (15) должно остаться в силе, как бы ни выбирался вектор Ы это означает, что [c.272]

Упражнение 3. Показать, что а) главная ось инерции остается главной для всех своих точек тогда и только тогда, когда она является главной центральной осью инерции б) если в системе есть ось материальной симметрии, то эта ось является главной центральной осью инерции в) если у системы есть плоскость материальной симметрии, то любая прямая, перпендикулярная этой плоскости, является главной осью инерции системы для точки, в которой эта прямая пересекает плоскость симметрии г) для однородного тела вращения ось вращения и любые две взаимно перпендикулярные и перпендикулярные ей оси образуют систему главных осей инерции. [c.148]

Количество движения К любого тела равно его массе т, умноженной на скорость движения его центра инерции о- Количество движения всего тела не зависит от движения частиц тела относительно подвижной системы координат, совершающей поступательное движение вместе с центром инерции тела. Твердое тело при движении может только вращаться относительно подвижной системы координат. Поэтому количество движения твердого тела не зависит от вращения тела вокруг оси, проходящей через центр инерции тела. [c.196]

Рассмотрим вопрос об уравновешивании динамических нагрузок на стойку и фундамент механизма. Как известно, любая система сил, приложенных к твердому телу, приводится к одной силе, приложенной в произвольно выбранной точке, и к одной паре, причем вектор этой результирующей силы равен главному вектору данной системы сил, а момент пары равен главному моменту данной системы сил относительно выбранного центра приведения. Пусть дан механизм АВС (рис. 489), установленный на фундаменте Ф. Пользуясь принципом отвердевания, мы можем силы инерции всех звеньев механизма также привести к силе и паре. Выбираем какую-либо точку О механизма за центр приведения и за начало координат. Такой точкой удобно выбрать точку, лежащую где-либо на оси вращения ведущего звена /, вращающегося с угловой скоростью ш. Из точки О проводим взаимно перпендикулярные оси Ох, Оу и Ог. Проекции на оси координат главного вектора всех сил инерции механизма [c.385]

Рассмотрим вращение твердого тела относительно неподвижной оси, которую мы примем за ось г неподвижной системы отсчета Охуг (рис. 2.11). При вращении твердого тела относительно неподвижной оси Ог все его точки перемещаются по окружностям с центрами, лежащими на оси вращения. Поэтому положение любой точки вращающегося твердого тела можно однозначно определить с помощью угла поворота ф плоскости ОМ ММ" относительно оси г. Следовательно, закон вращения тела относительно неподвижной оси Ог можно задать в виде [c.22]

Первое из этих равенств показывает, что угловая скорость и, с которой в данный момент времени система отсчета К, жестко связанная с твердым телом, вращается относительно инерциальной системы отсчета Ко, не зависит от самой системы К (или от того, в какой точке выбрано начало этой подвижной системы отсчета), так как любые две системы отсчета К с началами в точках С и О вращаются вокруг параллельных осей вращения с одинаковой угловой скоростью. Именно это обстоятельство и дает нам право называть вектор <й угловой скоростью вращения самого твердого тела. Заметим, что вектор У ,, как показывает второе равенство (49.6), такого абсолютного характера не имеет. [c.278]

Заметим в заключение, что регулярная прецессия является сравнительно распространенным видом движения твердых тел. Например, такое движение совершают искусственные спутники Земли относительно гелиоцентрической системы отсчета и многоатомные симметричные молекулы (как твердые тела). Известно также, что благодаря сплющенности Земли ее ось вращения медленно (с периодом около 427 дней) прецессирует относительно полюсов. Наконец, аналогичное движение совершает вектор механического момента любого заряженного тела, состоящего из частиц с одинаковым отношением е/т, относительно внешнего магнитного поля (прецессия Лармора). [c.300]

Б случае (19i) обе функции si, 2 равны в силу (18) нулю при любом t. Это означает (см. 72), что вращение й (i) происходит при любом t вокруг оси инерциальной системы координат. Следовательно, из (1) видно, что все — О при любом t. Другими словами, все тела тп движутся в плоскости ( , ) инерциальной системы координат. Это доказывает утверждение (и) 371 для первого из двух возможных случаев (19i) — (192). [c.356]

Плоское движение, при котором точки тела, по определению, движутся в параллельных плоскостях, можно представить как поступательное движение тела вместе с осью, перпендикулярной этим плоскостям, и вращение относительно этой оси. Как будет показано далее, целесообразно выбрать ось вращения проходящей через центр масс С. Для описания движения тела используем две системы отсчета "неподвижную" инерциальную СО К, в координатной плоскости хОу которой движется центр масс тела, и вторую, связанную с телом СО К, у которой начало координат совпадает с центром масс С тела, а координатные оси Сх , Су. Сг параллельны координатным осям Ох. Оу. Ог неподвижной СО (см.рис, 62, на котором оси Ог и Сг направлены на читателя). Тогда положение тела в любой момент времени определяется заданием положения оси вращения Сг, которое описывается двумя координатами центра масс хДО и > ,(/), и углом характеризующим поворот тела относительно оси Сг. Следовательно, тело, которое может совершать плоское движение, обладает тремя степенями свободы. [c.74]

Особый интерес представляет собой пара вращений (рис. 1.25). Пусть тело вращается относительно системы II с угловой скоростью о>1 (0)1 может быть мгновенной угловой скоростью, т. е. речь может идти о мгновенном распределении скоростей). Система II вращается относительно неподвижной системы III с угловой скоростью 2= — 1 (оси вращения параллельны, но не совпадают). Обратимся к формуле (1.101). Очевидно, что fl = 1 + 2 = 0. Следовательно, скорость любой точки тела относительно неподвижной системы III будет равна скорости точки Oit [c.58]

Любое движение твердого тела, в том числе и движение плоской фигуры в ее плоскости, бесчисленным множеством способов можно разложить на два движения, одно из которых переносное, а другое — относительное. В частности, движение плоской фигуры в ее плоскости относительно системы координат OiX i/i, расположенной в той же плоскости (см. рис. 125), можно разложить на переносное и относительное движения следующим образом. Примем за переносное движение фигуры ее движение вместе с поступательно движущейся системой координат Ох у[, начало которой скреплено сточкой О фигуры, принятой за полюс. Тогда относительное движение фигуры будет по отношению к подвижной системе координат Ох[у[ вращением вокруг подвижной оси, перпендикулярной к плоской фигуре и проходящей через выбранный полюс О. [c.136]

Угловая скорость П результирующего вращательного движения равна главному вектору всей системы угловых скоростей, включая угловые скорости, появляющиеся при замене поступательных движений парами вращений. За точку приложения вектора П можно принять любой центр приведения О. Тогда результирующее поступательное движение тела будет и.меть скорость Ъо, равную главному моменту относительно центра О системы векторов, выражающих угловые скорости первоначально данной системы вращений, т. е. [c.199]

Чтобы определить направление вращения (т. е. направление е), мы опять применим правило правой руки когда четыре пальца правой руки охватывают ось в направлении вращения, большой палец показывает направление вектора . Скорость любой фиксированной точки вращающегося твердого тела можно просто выразить через угловую скорость ю. Охарактеризуем положение данной точки твердого тела в лабораторной системе отсчета радиус-вектором г, проведенным из точки О, находящейся на оси вращения. Через малый промежуток времени той же точке из-за вращения тела будет соответствовать другой радиус-вектор, а ее скорость v = г будет иметь следующее абсолютное значение [c.110]

Тело, лежащее на плоскости, имеет три степени свободы, а именно возможность перемещения в направле ниях двух взаимно перпендикулярных осей, лежащих в этой плоскости, и возможность вращения вокруг оси, перпендикулярной этой плоскости. Если к телу приложена плоская система сил и выполнено условие = О, то тело не будет перемещаться в направлении оси X, так как равнодействующая системы не имеет составляющей, параллельной оси х. Если выполнено условие = О, то тело не будет перемещаться и в направлении оси у, так как равнодействующая системы не имеет составляющей, параллельной оси у. Наконец, если выполнено условие Л/(Б)) = 0, т. е. сумма моментов относительно любой точки [c.63]

Для системы материальных точек, которые связаны между собой так, что допускают смещение в любом направлении и вращение вокруг каждой оси, без изменения относительных Компонент, применимы выведенные в 3 и 5 четвертой лекции теорема о движении центра тяжести и теорема площадей. Мы будем рассматривать тело как такую систему материальных точек. [c.97]

Замечание 5. Если два составляющих вращения происходят вокруг одной и той же оси с одинаковыми по модулю, но противоположно направленными угловыми скоростями, то ji + 0 2 = О г/ наличие этих вращений не влияет на скорости точек тела, участвующего в сложном движении. Отсюда, в частности, следует, что l — скользящий вектор, т. е. его начало можно перемещать в любую точку линии его действия и от этого скорости точек тела не изменятся. Действительно, пусть тело вращается вокруг некоторой оси с угловой скоростью v. Вектор L приложен в точке А оси вращения (рис. 39). От точки В оси отложим два вектора vi и такие, что ш = vi = —0 2 и рассмотрим сложное вращение тела вокруг одной оси с тремя угловыми скоростями о , ji, 0 2. Согласно сказанному выше, совокупность двух вращений с угловыми скоростями о г/ 0 2 не влияет на скорости точек тела эти вращения могут быть исключены из системы трех вращений. Таким образом, вектор ш оказался сдвинутым вдоль оси вращения на отрезок АВ без изменения скоростей точек тела. [c.78]

Для решения задачи о симметричном вращении частицы вокруг оси кругового цилиндра, заполненного на конечную глубину вязкой жидкостью, использовались уравнения медленного течения. Тело может занимать любое положение на оси цилиндра, как показано на пояснительном рис. 7.8.1. Тело вращается вокруг продольной оси (оси z) вертикального цилиндрического сосуда радиуса Rq, заполненного жидкостью до конечной глубины h 2Z. Используется система цилиндрических координат iZ, ф, z. Центр тела находится на расстоянии z = с от начала координат О. Свободная поверхность жидкости лежит на вертикальном расстоянии 2 над центром тела. Аналогично, дно цилиндра находится на расстоянии ниже центра тела. [c.405]

Первостепенную роль в теории колебательных спектров играют свойства симметрии и операции симметрии молекул. Поскольку атомы в молекулах (точнее, ядра атомов) расположены в определенном порядке и образуют вполне определенную конфигурацию, то, очевидно, можно говорить о той или иной симметрии молекул. Характеризуется симметрия молекул так же, как и любое другое геометрическое тело, одним или несколькими элементами симметрии, а именно осью, плоскостью и центром симметрии. Каждому элементу симметрии соответствует операция симметрии — такое перемещение системы (отражение или вращение), которое не приводит к изменению конфигурации и свойств молекулы. Например, молекула воды (рис. 557) имеет две плоскости симметрии одна из них проходит через все три атома молекулы Н,0, а другая перпендикулярна к плоскости молекулы и проходит через биссектрису угла, образованного связями О—Н. Зеркальное отражение всех атомов в этих плоскостях не меняет ни структуры, ни свойств молекулы воды. Операция отражения во второй плоскости меняет местами атомы водорода. Однако вследствие их тождественности никакого изменения в системе не произойдет. По, разумеется, последний элемент симметрии будет отсутствовать, если один из атомов водорода будет заменен на какой-либо другой атом. [c.754]

Иыберем начало неподвижной системы координат в точке О и за ось Oz примем ось вращения 00, а оси Ох и О// направим по любым перпендикулярным направлениям, образующим правую систему координат (рис. 8.2). Поскольку положение твердого тела в пространстве определяется положением трех его точек, не лежащих на одной прямой, то в рассматриваемом движении достаточно он-ределить положение какой-нибудь точки М тела, не лежащей на оси вращения. [c.173]

Для того чтобы найти явное выражение второго слагаемого Т", которое давало бы полную живую силу, если бы точка О, неизменно связанная с твердым телом, была неподвижной, надо найти длину 8,- расстояния PiQi (фиг. 19) любой точки Pi твердого тела от мгновенной оси вращения относительно системы осей с началом в точке О, т. е. от прямой, проходящей через О в направлении w. Так как модуль вектора (I) X OPi равен 8 (0, то, вынося ш как общий Фяг. 19. множитель за скобки, найдем, что [c.230]

Качественное объяснение стремления оси быстрого вращения к параллельности с моментом действующих сил. Чтобы изложить вопрос в наиболее общем виде, возьмем твердое тело какой угодно структуры и рассмотрим любое движение тела вокруг одной из его точек О, предполагаемой неподвижной или совпадающей с центром тяжести. Уравнение моментов количеств движения, отнесенное к инер-.циальной системе осей и написанное в виде [c.75]

Области пространства-времени, где справедлива частная О. т., характеризуются тем, что в них могут быть введены локально инерциальные системы отснёта (и. с. о.), в к-рых свободные от внеш. воздействий точечные тела и импульсы света движутся прямолинейно и равномерно. В реальной Вселенной гравитац. ноля глобально не устранимы и присутствуют всюду. При наличии таких полей условия, требуемые для введения и. с. о., не выполняются, в частности ни точечные тела, ни импульсы света не движутся прямолинейно. Однако в тех областях, где эти поля однородны, можно, в силу эквивалентности принципа, ввести падающие свободно и без вращения системы отсчёта, в к-рых эти поля исчезают. Такие системы отсчёта и являются инерциальны.ми. Любая система отсчёта, движущаяся равномерно и без вращения относительно данной и. с. о., также является инерциальной. В и. с. о. справедлива евклидова геометрия для пространства. Утверждение о равномерности движения предполагает определённый выбор синхронизации часов в разных точках и. с. о. (см. ниже). [c.494]

Ниже, следуя Нильсену и Синджу ), мы рассматриваем систему аэродинамических сил, действующих на движущийся в покоящемся воздухе вращающийся снаряд. Движение снаряда (по отношению к земле) задается вектором скорости v полюса О и вектором угловой скорости (О. В исследованиях по баллистике за полюс обычно принимают центр инерции снаряда. Такой выбор нелогичен, так как положение центра инерции определяется распределением масс в снаряде, тогда как аэродинамические силы обусловлены геометрической формой поверхности вращения, ограничивающей тело снаряда. Поэтому в дальнейшем за полюс — начало О связанной со снарядом системы осей Oxyz — примем центр тяжести Объема снаряда (центр величины), расположенный на оси снаряда Oz. Впрочем, можно было бы полюсом О считать любую точку на оси снаряда целью последующего является дать такую формулировку зависимостей главного вектора F и главного момента аэродинамических сил от векторов V и (О, которая сохранялась бы независимо от выбора полюса. [c.243]

СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ ЧИСЛО (в мех а-нике) — число независимых между собой во мож-ных перемещений механич. системы. С. с. ч. зависит от числа материальных частиц, образующих систему, и числа и характера наложенных на систему связей механических. Для свободной частицы С ., с. ч. равно 3, для свободного твердого те.па — б, для тела, имеющего неподвижную ось вращения, С. с. ч, равно 1 и т. д. Для любой голопомной системы (системы с геометрич. связями) С. с. ч. равно числу в независимых между собой координат, определяющих положение системы, и дается равенством = Зн — к, где п — число частиц системы, к — число геометрич. связей. Для неголономной систе.иы С. с. ч. мепыне числа координат, определяющих положение системы, на число неинтегрируемых дифференциальных связей. [c.78]

Итак, любое движение свободного твердого тела можно сосгавить из поступательного движения вместе с подвижной системой координат и сферического движения относительно этой системы координат. Для относительного сферического движения можно ввести угловую скорость о) и угловое ускорение Ё, которое является первой производной по времени от (7), как в случае вращения тела вокруг неподвижной точки. [c.320]

Уравнение мгновенной оси вращения. Уравнение мгновенной оси вращения найдем, исходя из того соображения, что скорости точек твердого тела, лежащих на мгновенной оси, в данный момент времени равны нулю. Возьмем две системы координат, имеющих общее начало в неподвижной точке О одну неподвижную (основную) 05т , а другую, Oxyz, подвижную, неизменно скрепленную с телом. Пусть проекции вектора w на неподвижные и подвижные оси будут соответственно / ,, д , и р, д, г, а проекции радиуса-вектора г любой точки М тела на те же оси (т. е. координаты этой точки) — 5, т], и л , у, z. [c.136]

Рассмотрим космический корабль, движущийся только под действием сил тяготения по круговой орбите вокруг Земли. Свяжем с центром масс корабля начало системы прямоугольных координат, направив одну из осей в центр Земли и расположив две другие оси в плоскости орбиты корабля. Такая неинерциаль- ная система отсчета будет вращаться вместе с кораблем вокруг оси, перпендикулярной плоскости его орбиты и направленной к центру Земли. Тогда на тело (корабль) массой т будет действовать центробежная сила инерции Рпи = п1аРг, где О) — угловая скорость вращения корабля и связанной с ним системы координат, г — радиус орбиты корабля, т — масса корабля или любого тела, находящегося в нем или вблизи него. [c.99]

Уравнение анергии. В 46 было показано, что кинетическая энергия любой материальной системы равна сумме кинетической энергии всей массы системы, предполагая, что вся масса сосредоточена в центре масс и движется вместе с этою точкою, и кинетической энергии относительного движения по отношению к центру масс. Следовательно, если обозначить через а, v) скорость центра масс, а через <о — угловую скорость вращения, то кинетическая энергия твердого тела, движущегося в двух измерениях, будет [c.162]

За такую систему, неизменно связанную с телом, возьмем систему осей Gxyz, в которой ось Gz совпадает с главной осью инерции, вначале перпендикулярной к плоскости г. (и ориентированной так же, как Q ), а оси Gx и Gy представляют собой две другие главные оси инерции, проходящие через G (или две любые другие оси, перпендикулярные между собой, если эллипсоид инерции есть эллипсоид вращения относительно Gz), Проекции результирующего момента количеств движения на оси системы Gxyz определяются (гл. IV, п. 16) равенствами [c.26]

ПРАВИЛО (Стокса длина волны фотолюминесценции обычно больше, чем длина волны возбуждающего света фаз Гиббса в гетерогенной системе, находящейся в термодинамическом равновесии, число фаз не может превышать число компонентов больше чем на два ) ПРЕОБРАЗОВАНИЯ [Галилея — уравнения классической механики, связывающие координаты и время движущейся материальной точки в движущихся друг относительно друга инерциальных системах отсчета с малой скоростью калибровочные — зависящие от координат в пространстве — времени преобразования, переводящие одну суперпозицию волновых функций частиц в другую каноническое в уравнениях Гамильтона состоит в их инвариантности по отношению к выбору обобщенных координат Лоренца описывают переход от одной инерци-альной системы отсчета к другой при любых возможных скоростях их относительного движения] ПРЕЦЕССИЯ — движение оси собственного вращения твердого тела, вращающегося около неподвижной точки, при котором эта ось описывает круговую коническую поверхность ПРИВЕДЕНИЕ системы <к двум силам всякая система действующих на абсолютно твердое тело сил, для которой произведение главного вектора на главный момент не равно нулю, приводится к динаме к дниаме (винту) — совокупность силы и пары, лежащей в плоскости, перпендикулярной к силе скользящих векторов (лемма) всякий скользящий вектор, приложенный в точке А, можно, не изменяя его действия, перенести в любую точку В, прибавив при этом пару с моментом, равным моменту вектора, приложенного в точку А скользящего вектора относительно точки В ) ПРИНЦИП (есть утверждение, оправданное практикой и применяемое без доказательства Бабине при фраунгоферовой дифракции на каком-либо экране интенсивность диафрагмированного света в любом направлении должна быть такой, как и на дополнительном экране ) [c.263]

Хотя использование единственного действительного моделирующего тела подлежит указанному ограничению, понятие некоторого теоретического моделирующего тела, обладающего свойством —оо < JAg < +СХ), будет полезным при объяснении примеров, приводимых ниже, и при описании графического метода прослеживания движения оси собственного вращения системы при любых сочетаниях ее параметров. [c.19]

Введение. Твердое тело представляет собой частный случай механической системы точек, когда расстояния между любыми двумя точками системы остаются постоянными во все время движения. Одним из наиболее эффективных методов изу-чершя движения твердого тела под действием приложенных к нему сил является метод, основанный на применении основных теорем динамики системы. Для изучения поступательного движения тела мы будем исходить из теоремы о движении центра масс при изучении вращения твердого тела около неподвижной оси наиболее рационально пользоваться теоремой об изменении кинетического момента. На примерах изучения простейших движений твердого тела под действием приложенных сил весьма отчетливо выявляется значение основных теорем динамики системы, позволяющих исследовать свойства движений систем ма-териальных точек, подчиненных некоторым дополнительным условиям (связям). Основные теоремы динамики системы были исторически первым, наиболее простым и естественным методом изучения движения несвободных механических систем точек, и в частности изучения динамики твердого тела В последующем развитии механики Лагранжем был создан метод обобщенных координат, позволяющий свести составление дифференциальных уравнений движения системы с 5 степенями свободы к ясной, логически безупречной последовательности алгебраических преобразований, однако физическая наглядность рассуждений была в значительной мере утрачена [c.400]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...