Преобразования дифференциальных уравнений характеристик

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ ХАРАКТЕРИСТИК [c.208]

Дифференциальные уравнения характеристик после указанной замены переменных и простых преобразований принимают вид [c.364]

При интегрировании дифференциальных уравнений движения в конкретных задачах эти уравнения подвергаются различным однотипным преобразованиям, зависящим от характера действующих сил. Поэтому целесообразно проделать такие преобразования в общем виде. Общие теоремы динамики точки и представляют собой преобразования дифференциальных уравнений движения, причем в различных теоремах выделены и связаны между собой те илн иные характеристики движений. В результате получаются удобные аа-висимости, широко используемые для решения конкретных задач динамики. [c.289]

Таким образом, фурье-преобразование интересующего нас трехчлена получается из фурье-преобразований координаты просто умножением на те самые множители dj (ii2), которые фигурировали выше при построении частотных характеристик. Поэтому в результате преобразования Фурье система дифференциальных уравнений (55) в случае Qi(t) = Q (i), Q/(i) = 0, (j = = 2,. .., n) переходит в систему линейных алгебраических уравнений относительно фурье-преобразований [c.254]

Прежде чем перейти к построению сетки характеристик, остановимся на некоторых преобразованиях их дифференциальных уравнений. [c.208]

Это и будут уравнения Маджи [ ]. Они вместе с уравнениями (77) с аналитической точки зрения дают в дифференциальной форме полную постановку задачи о движении для системы 5 с двусторонними идеальными (в том числе и неголономными) связями. Действительно, если представим себе, что в уравнения (82) вместо величин q подставлены их выражения (77) через е и и выполнено дифференцирование по t, то будет очевидно, что после выполнения всех преобразований в уравнениях останутся, помимо q, е, t, только v производных ё от е, которые войдут в них линейно. Замечания, совершенно аналогичные тем, которые были сделаны в п. 36, приводят к выводу, что полученные таким образом из системы (82) v уравнений разрешимы относительно этих v производных е, так что мы заключаем, что уравнения (77) и (82) вместе составляют дифференциальную систему уравнений первого порядка, приводимую к нормальному виду относительно я-f-v неизвестных функций времени q VI е. Если конфигурация и состояние движения материальной системы в начальный момент заданы, т. е. заказаны произвольные численные начальные значения q (позиционных координат)и е (кинетических характеристик), то движение неголономной системы будет однозначно определено. [c.326]

В случае нелинейных систем преобразованные цепи будут по-прежнему линейны [уравнение (6)], однако они будут включать в себя переменные параметры — известные функции времени, полученные по определенным правилам [4,5] из соответствующих динамических характеристик нелинейных элементов системы. В сущности преобразованные цепи при их осуществлении представляют собой счетно-решающие системы для решения дифференциальных уравнений коэффициентов влияния [уравнение (6)], построенные на трансформированных исследуемых цепях. [c.84]

Для многоступенчатого зубчатого редуктора определение упруго-инерционных характеристик динамической схемы, описывающей движение в крутильных обобщенных координатах, сопряжено с решением громоздкой системы алгебраических уравнений. В связи с этим последующее изложение основано на использовании аппарата матриц, позволяющего в компактной форме осуществлять операции преобразования громоздких линейных систем алгебраических и дифференциальных уравнений. [c.48]

Этому дифференциальному уравнению соответствует статическая зависимость (1), которая является уравнением равновесия мембранного блока и в преобразованном виде — линеаризованной статической характеристикой (4) пневмореле. [c.112]

При статистическом анализе нелинейных динамических систем обычно возникает задача приближенной замены нелинейных функций, входящих в систему дифференциальных уравнений, более простыми. Так, например, статистическая линеаризация позволяет во многих практиче ских случаях находить линейные эквиваленты для нелинейных преобразований и применять для нелинейных систем хорошо разработанные методы, которые подробно рассмотрены в I главе и в [33, 69, 85]. Если нелинейные функции не могут быть описаны математически, то задача сводится к выбору подходящей аппроксимации совместно с методами статистической линеаризации [29]. Таким образом, может быть решена задача идентификации нелинейных систем. Отличительная черта рассматриваемых приближенных методов состоит в том, что анализируются соотношения между статистическими характеристиками процессов, а не между самими процессами. Это приводит к тому, что 10 147 [c.147]

Метод частотных характеристик основан на применении интегральных преобразований для решения линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных. Интегральные преобразования Фурье и Лапласа широко используются как для аналитического, так и для численного решения разнообразных теоретических и прикладных нестационарных задач в областях автоматического регулирования, связи, радио- и электротехники, теплофизики и во многих других [Л, 50, 62—65]. [c.98]

Точное аналитическое решение нелинейных задач теплопроводности обычно возможно лишь при определенных сочетаниях зависимостей теплофизических характеристик материала тела от температуры [7, 21]. Оно получается путем подстановок или функциональных преобразований уравнений (см. 2.1), и его целесообразно использовать как контрольное для оценки погрешности, которая получается при том или ином способе линеаризации. Для приближенного аналитического решения нелинейных дифференциальных уравнений разработаны методы последовательных приближений (простой итерации или усреднения функциональных поправок), возмущений (малого параметра), различные асимптотические методы [10]. [c.44]

Исходные дифференциальные уравнения (5-4-1)— (5-4-2) в процессе преобразования приобретают в некотором роде сходство с уравнениями, выражающими два связанных колебания поэтому по Генри физическая интерпретация их решений (5-4-15) заключается в том, что каждая температурная волна сопровождается диффузионной (массовой) волной , идущей с той же скоростью, величина которой пропорциональна температурной волне. Зависимость между этими волнами определяется только свойствами среды. Подобным же образом диффузионная волна сопровождается дополнительной температурной волной . Если даже одно из внешних условий, например потенциал массо-переноса, изменяется, тем не менее будет налицо законченная характеристика из двух массовых и двух температурных волн, хотя некоторые 3 них могут быть незначительными, если взаимодействие слабое. [c.182]

В данной работе сделана попытка представить ГДП звеном в системе автоматического регулирования двигатель — гидротрансформатор— механическая передача — нагрузка и, используя теорию автоматического регулирования, исследовать динамические свойства этой системы. Защитные свойства системы с ГДТ исследуют на базе амплитудно-частотных и амплитудно-фазовых характеристик при синусоидальном изменении момента сопротивления нагрузки и двигателя. Эти характеристики находят из дифференциальных уравнений переходного процесса и передаточных функций данной системы. Возможность такого подхода с использованием преобразований Лапласа описана в ряде работ [4, 5, [c.49]

В ряде случаев вместо них используют неполные динамические характеристики, к числу которых относят отдельные коэффициенты дифференциального уравнения (собственная частота, постоянная времени, демпфирование) амплитудно-частот-иую характеристику, диапазон рабочих частот время установления показаний и т. п. Неполные динамические характеристики позволяют находить динамические погрешности по отдельным параметрам измеряемых величин. Отклонение амплитудно-частотной характеристики от значения статического коэффициента преобразования или от значения на номинальной частоте (для систем, не передающих постоянную составляющую) равно погрешности измерения амплитуды гармонического сигнала время установления показаний, являющееся точкой переходной характеристики на заданном уровне, представляет собой параметр однократного сигнала. [c.297]

Сопряжение генератора и приводного двигателя СЧ осуществляется таким образом, что дифференциальное уравнение этого каскада преобразования энергии без учета свойств первичного источника энергии и замыкающего звена цепи можно рассматривать как линейное. Это справедливо в пределах основного рабочего диапазона изменения координат и Qi( ) названных электрических машин. Поэтому в (7-9) оператор B iip) и коэффициент Ад1 характеризуют свойства не только ПД силовой части, но и электрического генератора как сети ограниченной мощности. Заметим, что все параметры рассматриваемого промежуточного каскада цепи преобразователей энергии характеризуют процессы, происходящие в системе генератор — приводной двигатель, без учета свойств двигателя внутреннего сгорания и силовой части СП. Так же, как и для силовой части СП, (7-9) отвечает неизменяемой части каскада, т. е. не учитывает изменения его динамических характеристик при добавлении обратных связей по напряжению и току генератора для коррекции режима его работы. [c.403]

Расчет переходного процесса в системе является заключительным этапом синтеза оптимальной АСР. Целесообразный метод нахождения переходного процесса зависит от особенностей системы, формы представления исходных данных и располагаемых вычислительных возможностей. Если известно дифференциальное уравнение (передаточная функция) системы, реакция АСР на заданное возмущающее воздействие может быть найдена путем непосредственного интегрирования дифференциального уравнения (при его невысоком порядке), численными методами решения дифференциальных уравнений на ЭВМ, частотными методами [27, 35]. В последнем случае реакция системы на единичное ступенчатое воздействие х () = 1(/) (переходная характеристика АСР) рассчитывается по соотношению, следующему из формулы обратного преобразования Фурье [c.539]

Книга может оказаться полезной для студентов технических высших учебных заведений, а также для инже-неров-практиков. При этом предполагается, что читатель знаком с основами математического анализа и теорией линейных дифференциальных уравнений. Кроме того, предполагается, что читатель изучит преобразование Лапласа, так как большинство рассматриваемых в книге уравнений и задач записывается в обозначениях преобразования Лапласа. Преобразование Лапласа рассматривается в гл. 2 приведенные там простейшие правила легко воспринимаются. Используемый в книге математический аппарат делает ее доступной для студентов младших курсов, однако сведения по динамическим характеристикам объектов рассчитаны на студентов, которым уже известны принципы работы химических аппаратов, законы тепло- и массообмена. При обсуждении динамических характеристик теплообменников, дистилляционных колонн и реакторов предполагается, что читатель уже имеет некоторое представление о работе этих агрегатов в установившемся режиме- [c.5]

Частотную характеристику отдельного элемента или системы в целом можно получить непосредственно по передаточной функции, не прибегая к обратному преобразованию и не интегрируя каким-либо иным способом соответствующее дифференциальное уравнение. Если в выражении для передаточной функции вместо переменной 5 подставить /м, то получающееся в результате комплексное число позволяет выделить амплитуду и фазовый сдвиг, соответствующий синусоидальному входному сигналу с частотой, выраженной в радианах в единицу времени. Процедура получения амплитуды и сдвига фаз подробно рассматривается в [Л. 12] и во многих других учебниках цо следящим системам. Здесь не приводится доказательств, а показывается лишь, что этот метод позволяет получить правильные результаты для объекта первого порядка. [c.129]

Линии скольжения как характеристики дифференциальных уравнений теории плоского течения идеально пластичного вещества. Здесь мы займемся некоторыми специальными типами дифференциальных уравнений в частных производных. Мы уже видели в п. 7 настоящей главы, что путем некоторых преобразований независимых и зависимых переменных дифференциальные уравнения — обыкновенные или в частных производных, к которым приводятся задачи, можно выразить в более простой форме, понижая их порядок со второго к первому. Для того чтобы показать существенное различие в характере поведения решений определенных классов дифференциальных уравнений, хорошо известных математикам, мы рассмотрим вкратце три типа линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка от функции z, зависящей от двух прямоугольных координат х, у. [c.616]

Если в соотношениях вдоль характеристик (3.16) для баротропных течений с плоскими волнами принять за определяемые функции л и а независимыми переменными считать г и /, то эти соотношения приведутся к линейным дифференциальным уравнениям в частных производных (это преобразование принадлежит Риману, см. сноску на с. 159) [c.161]

В случае системы двух линейных уравнений с частными производными первого порядка с постоянными коэффициентами для двух независимых функций щ и 2 эту систему можно свести к одному дифференциальному уравнению второго порядка с постоянными коэффициентами для функции щ или 2. Тогда решения краевых задач можно определить в аналитическом виде 24, 62]. В этом случае можно также использовать интегральное преобразование Лапласа (см., например, п. 15). Этот метод, однако, непригоден в некоторых случаях, именно тогда, когда вместе с решением данной системы уравнений необходимо определить границу области, в которой ищется решение, например при определении волны разгрузки для упругопластической среды (с кусочно линейной характеристикой материала). [c.68]

Построение кривой переходного процесса путем аналитического решения дифференциального уравнения, описывающего систему, является частным и редко встречающимся случаем. При более сложных дифференциальных уравнениях используются методики нахождения переходного процесса с помощью преобразований Лапласа или Карсона—Хевисайда, с помощью вещественных частотных характеристик и т. д. При расчетах широко используются вычислительные машины—цифровые или аналоговые [5 ]. [c.85]

Применительно к ЖРД, описываемому в простейшем линейном приближении дифференциальными уравнениями с запаздывающим аргументом, использование z-преобразования и метода логарифмических частных характеристик затруднительно. Поэтому будем пользоваться наиболее точным, а в нашем случае и наиболее простым методом численного интегрирования дифференциальных уравнений. Для расчета используем линейную модель ЖРД с дожиганием окислительного газа, описываемую уравнениями (7.1.5), (7.1.7), (7.1.9) — (7.1.15). В математическую модель ЖРД введем алгоритм управления для цифрового регулятора. При этом будем рассматривать управление только по одному контуру и для упрощения в первом приближении примем, что первичные преобразователи идеальные, шум в измеряемом сигнале отсутствует, обмен информацией между ЭВМ и остальной частью системы происходит мгновенно с постоянным синхронным тактом квантования Т , т. е. в каждый момент йГо ЭВМ принимает сигнал для обработки и одновременно выдает сигналы управления в форме решения по алгоритму по данным измерений параметров ЖРД в предыдущем такте. [c.272]

Для аналитического описания динамики линейных измерительных устройств применяют линейные дифференциальные уравнения. Однако средства измерений, применяемые на теплоэнергетических установках, во многих случаях являются физическими устройствами, содержащими нелинейные элементы [14, 15]. Поэтому в инженерной практике идут на упрощение, которое обычно сводится к линеаризации характеристик средств измерений. Это позволяет использовать для описания характера динамического преобразования сигнала средством измерений линейные дифференциальные уравнения вида [c.45]

В случае, когда температура поверхности асимптотически мала по сравнению с температурой торможения при углах стреловидности крыла меньше критического, в пограничном слое возникают области закритического и докритического течения [2]. Области закритического течения (возмущения в них не распространяются вверх по потоку и реализуется автомодельное решение) располагаются около передних кромок и при обтекании плоских треугольных крыльев их протяженность зависит от угла стреловидности передних кромок [2, 3] и угла скольжения [4]. Причем как функции потока в закритической области, так и координата перехода определяются из решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений на передней кромке. Исследования обтекания неплоских треугольных крыльев [5] показали, что если форма поперечного сечения является степенной функцией с показателем 3/4, то размер области закритического течения такой же, как и при обтекании плоского крыла. Причем для известного параметра % = х/8, характеризующего отношение толщины крыла к толщине пограничного слоя, можно с помощью преобразование подобия [5] определить характеристики течения и в этом случае, зная решение в закритической области на плоском треугольном крыле. [c.178]

Преобразование Лапласа представляет собой математический метод, позволяющий относительно просто решать линейные дифференциальные уравнения. В результате преобразования дифференциальное уравнение (оригинал) приобретает форму алгебраического уравнения (изображение), в котором в качестве независимого переменного вместо времени используется комплексное переменное s. Решение исходного дифференциального уравнения отыскивается посредством применения к решению указанного алгебраического уравнения обратного преобразования Лапласа. Уравнения переходного процесса в системе автоматического регулирования, как правило, решаются этим методом, чему в большой мере способствует наличие достаточно полных таблиц преобразований Лапласа. Другая причина широкого распространения метода преобразования Лапласа состоит в том, что по выражению для передаточной функции системы, которая определяется как отнонтение преобразованного по Лапласу выходного сигнала к входному, также преобразованному по Лапласу, можно непосредственно получить частотные характеристики системы. Любое количественное исследование систе.мы автоматического регулирования начинается с определения передаточных функций каждого элемента структурной схемы системы. [c.29]

Плоскость напряжений впервые была введена Р. Зауером [157], который получил дифференциальные уравнения характеристик непосредственно в переменных а и Хху, путем применения преобразования Лежандра к дифференциальным уравнениям пластического равновесия. [c.210]

Традиционным, известным путем минимизации систематических и случайных погрешностей оиределепия 5 и о)о по дифференциальному уравнению является исиользование метода наименьших квадратов для множества отсчетов фазовых переменных в моменты времени /, в общем случае неэквидистантные. В случае известного вида и параметров входного воздействия Хй можно после применения к уравнению (Г) Z-преобразования получить разностную схему для определения динамических характеристик, не требующую измерения X,i для ряда типовых воздействий. Так, например, при [c.8]

Динамические характеристики одномерных систем. Значительная часть средств измерений (например, датчики, согласующие устройства, усилители, фильтры, регистрирующие устройства) представляет собой одномерные линейные стационарные динамические системы. Преобразование сигналов в таких системах удобно характеризовать динамическими характеристиками. К настоящему времени в ГОСТ 8.256—77 ГСИ установлены классификация динамических характеристик (ДХ) средств измерений, основные правила выбора нормируемых динамических характеристик СИ, формы представления ДХ и осиовиые требования к методам нх экспериментального определения. Полными ДХ, янание которых позволяет рассчитать законы изменения выходного сигнала и динамической погрешности при любых законах изменения измеряемой величины, являются дифференциальное уравнение, нмпульсная характеристика, переходная харктеристика, передаточная функция, совокупность амплитудно- и фазо-частотной характеристик (АЧХ и ФЧХ соответственно). [c.99]

Применяя прямое и обратное преобразования, а также теоремы комплексного исчисления и методы решения нелинейных алгебраических уравнений, Г. Е. Пухов решил ряд задач с доведением их до численных результатов. В частности, получены формулы для расчета периодических процессов и процессов установления в электрических машинах постоянного тока с учетом нелинейности дифференциальных уравнений, в магнитных усилителях, в статических утроителях частоты и др. Кроме того, им получены расчетные формулы для определения периода колебаний и амплитуд гармоник лампового генератора, рассчитаны периодический процесс в цепи параметрического генератора и переходные процессы в ряде систем автоматического регулирования. При этом выяснилось, что определение качества переходных процессов проще производить комплексным методом, а не наиболее распространенным методом трапецоидальных частотных характеристик. Если комплексным методом исследовать почти синусоидальные процессы в нелинейных системах, то можно убедиться в том, что в этом случае он будет тождественен методу гармонического баланса Н. М. Крылова и Н. Н. Бого-л1обова. Метод Г. Е. Пухова подробно изложен в его книге [13]. [c.94]

Характеристики дифференциальных уравнений в частных производных плоского течения сжимаемой жидкости широко применялись (после некоторых преобразований, выполненных с уравнениями) Д. Экеретом, А. Бузелга-ном, Т. Карманом, Л. Прандтлем и другими для решения важных задач, связанных с течением сжимаемых жидкостей. В связи с этим см. Л и п м а н Г. и Пакет А., Введение в аэродинамику сжимаемой жидкости, М., 1949. [c.622]

Прямой уклон дна русла ( о>0). В дифференциальном уравнении (XIII. 18) при заданном уклоне дна русла переменными величинами являются геометрические характеристики поперечного сечения потока глубина h, ш ирина по свободной поверхности В, площадь живого сечения со и длина I (рис. XIV.1). Интегрирование дифференциального уравнения с таким большим количеством переменных невозможно. Следует уменьшить число переменных до двух. Понятие о гидравлическом показателе русла позволяет связать расходные характеристики потока с его глубинами [зависимость (Х.65)]. В уравнении (XIII.18) параметр кинетичности Я также необходимо выразить через отношение расходных характеристик, вычисленных по соответствующим глубинам (нормальной ho и переменной h). Для этого в формуле (Х.З) выразим через Ко h и выполним следующие преобразования [c.287]

Предпочтительной формой представления частотных характеристик для средств измерений с дифференциальными уравнениями, содержащими один коэффициент (кроме статического коэффциента преобразования), является аналитическая форма. [c.103]

Нормальные формы. В последнее, время широкое распространение получило рассмотрение так называемых нормальных форм дифференциального уравнения в окрестности особой точки (состояния равновесия). Нормальная форма —это максимально простой вид дифференциального уравнения в окрестности особой точки после надлежащим образом подобранной замены церемен-ных, в котором во-первых, важные для характеристики особой точки величины оказываются выписанными в явном виде (например, ляпуновские величины) и, во-вторых, в некоторых случаях уравнение в окрестности особой точки приводится к интегрируемому виду. Если существует преобразование переменных, при котором система делается линейной, то ее нормальная форма — линейная. Дюлаком были рассмотрены те нормальные формы, к которым могут быть приведены дифференциальные уравнения (с аналитическими правыми частями) в окрестности седла. [c.94]

R. W. Leonard и В. Budiansky [1.236—1.238] (1954—1959) дифференциальные уравнения балки Тимошенко представили в различных формах, включая и такую, в которой уравнения отнесены к характеристикам. Рассматривается распространение разрывов в изгибающем моменте и поперечной силе. В случае, когда скорости распространения этих разрывов равны, получены методом конечных разностей численные решения для бегущих волн, которые сравниваются с решениями по методу преобразования Лапласа. [c.58]

Можно в общем случае решить и уравнение для функции Га. Это решение было получено в работе [123] при исс.ледовании уравнения переноса излучения в малоугловом приближении (2.14). Позднее аналогичное решение исследовалось в работах [110, 124]. Если в (2.14) произвести преобразование Фурье по переменной Л, которая не входит в коэффициенты уравнепия, то мы получим линейное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка, которое легко решается, папример, методом характеристик. Это решение имеет вид [c.266]

Один из них состоит в том, что в процессе расчета разрывы выделяются. При этом на разрывах удовлетворяются условия Ренки-па—Гюгонио, а в области гладкого решения дифференциальные уравнения интегрируются с помощью какой-либо достаточно точной разностной схемы. В случае двух независимых переменных может быть использован классический метод характеристик илн разностный метод в сочетании с преобразованием независимых переменных, выпрямляющим разрывы [86]. Разработаны алгоритмы улавливания скачка, движущегося по сетке (см., например, [123]). Такой подход оправдан для одиночных разрывов. Иногда он диктуется соображениями точности. Метод выделения разрывов усложняется, когда в потоке имеет место интерференция разрывов, хотя имеются методики его использования и в этом случае. Дополнительные трудности возникают в случае возникновения ударных волн внутри потока, прн нерегулярном отражении волны от стенки и т. п. [c.87]

В работе Лакса, опубликованной в 1954 г., сама численная схема гораздо менее важна, чем использованная форма дифференциальных уравнений — консервативная форма. Лаке показал, что преобразованием обычных уравнений гидродинамики, в которых зависимыми переменными являются скорость, плотность и температура, можно получить систему уравнений, в которой в качестве зависимых переменных служат количество движения, плотность и удельная внутренняя энергия торможения. Эта новая система уравнений отражает сущность физических законов сохранения и позволяет сохранять интегральные характеристики течения в конечно-разностной схеме. Такая система уравнений широко используется в настоящее время для расчета распространения ударных волн независимо от применяемых конечно-разностных схем, поскольку скорость плоской ударной волны точно рассчитывается любой устойчивой схемой (см. Лонгли [1960] и Гари [1964]). [c.23]

Дифференциальное уравнение (2.3.25) вместе с гидрофизическими характеристиками — зависимости ф(ш) и й( ф) или к ш)—составляют замкнутую систему, дальнейшее преобразование которой зависит от того, какая из характеристик влагопереноса принимается в качестве расчетной. Наиболее удобно обычно принять в качестве расчетной величины или Я. В этом случае преобразуется правая часть уравнения (2.3.25) дт1д1— —сд- 1д1=сдН дt, где с=—— гидрофизическая (влажностная) емкость, определяемая дифференцированием зависимости ш(г )), следующей из ОГХ. Тогда для -ф уравнение (2.3.25) принимает вид [c.135]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...