Кинетические уравнения Эйлера

Если внешние силы, приложенные к твердому телу, постоянны либо зависят от положений точек твердого тела, то можно получить первый интеграл динамических уравнений Эйлера, применяя теорему об изменении кинетической энергии системы, материальных то- [c.542]

Удобство применения общих теорем динамики заключается в возможности упростить интегрирование дифференциальных уравнений движения системы. Однако эти общие теоремы могут (как показано выше) применяться только в некоторых случаях. Удобно и то, что в формулировки общих теорем динамики не входят внутренние силы, определение которых обычно связано со значительными трудностями (это замечание о внутренних силах в равной мере относится к дифференциальному уравнению вращения твердого тела вокруг неподвижной оси, дифференциальным уравнениям плоского движения твердого тела и динамическим уравнениям Эйлера). Лишь в формулировку теоремы об изменении кинетической энергии системы материальных точек входят не только внешние, но и внутренние силы (в частном случае неизменяемой материальной системы, например абсолютно твердого тела, и в этой теореме фигурируют только внешние силы). [c.544]

Подстановка главного вектора количеств движения О (1.93) и кинетического момента (1.94), выраженных с помощью кинетической энергии, в равенства (1.85) и (1.86) приводит к уравнениям Эйлера — Лагранжа дня твердою тела [c.41]

Чтобы определить закон движения, систему уравнений, составленную с помощью теорем об изменении количества движения и кинетического момента, необходимо дополнить кинематическими уравнениями. Например, это могут быть уравнения, связывающие радиус-вектор точки Л и ее скорость, и уравнения Эйлера [c.449]

Кинетическая энергия не изменяется. Следовательно, и модуль ш угловой скорости тоже будет постоянным. Уравнения Эйлера примут вид [c.471]

Динамические уравнения Эйлера вращения тела вокруг неподвижной точки под действием сил получают из теоремы об изменении кинетического момента. Согласно этой теореме, [c.477]

Заметим в заключение, что данное уравнение мы получили, пользуясь началом Даламбера, поскольку для вывода его было применено уравнение Эйлера. Ранее, рассматривая установившееся движение (см. 3-12), мы выводили уравнение Бернулли, исходя из теоремы изменения кинетической энергии. Вместе с тем уравнение Бернулли для установившегося движения легко может быть получено и из уравнения (9-15), если в него подставим Ц = 0. [c.343]

Уравнения Эйлера. — Уравнения, о которых идет речь, получаются применением теоремы моментов к движению твердого тела, имеющего неподвижную точку О. Если построить, относительно неподвижной точки, результирующий момент количеств движения, или кинетический момент (ОК), и, с другой стороны, результирующий момент внешних сил (00), то скорость точки К будет геометрически равна вектору (00). Заметим, что момент внешних сил приводится к моменту прямо приложенных сил, так как момент реакции в неподвижной точке относительно той же точки, очевидно, равен нулю. [c.86]

Возможен другой вывод уравнений Эйлера, основанный на теореме о кинетическом моменте, согласно которой [c.180]

Свободное движение твердого тела. Одной из задач, к которой можно применить уравнения Эйлера, является задача о движении твердого тела, не подверженного действию никаких сил. Центр масс такого тела будет находиться в покое или будет двигаться равномерно. Поэтому, не нарушая общности решения, мы можем рассмотреть движение этого тела в системе, связанной с его центром масс. Тогда центр масс этого тела будет неподвижен, и поэтому кинетический момент будет возникать только вследствие вращения вокруг центра масс. Поэтому уравнения Эйлера будут уравнениями движения этой системы, а так как мы рассматриваем случай, когда моменты сил отсутствуют, то эти уравнения примут вид [c.180]

Для решения задачи о движении волчка мы используем не уравнения Эйлера, а уравнения Лагранжа. Так как рассматриваемое тело является симметричным, то его кинетическая энергия может быть записана в виде [c.186]

Если свободное твердое тело не является симметричным, то аналитическое решение уравнений Эйлера не может быть получено с помощью элементарных функций. Показать, что, используя теоремы о сохранении энергии и кинетического момента, можно выразить составляющие вектора (о по подвижным осям через эллиптические интегралы. [c.202]

Полученное равенство можно рассматривать как первый интеграл уравнений Эйлера, справедливый в случае стационарного движения при наличии функции давлений, представляющей потенциал объемного действия поверхностных сил, и потенциала объемных сил. Этот интеграл, выведенный путем скалярного умножения обеих частей уравнения (13) на вектор скорости V, может трактоваться как интеграл живых сил, или интеграл кинетической энергии уравнений движения центра инерции элементарного объема жидкости (интеграл Бернулли). [c.92]

Строго говоря, решение уравнений Эйлера и кинетического уравнения склеить нельзя. [c.426]

Рассмотренные инварианты I и М соответствуют инвариантности уравнений Эйлера относитель[10 пространственных сдвига и поворота. Со свойствами инвариантности уравнений Эйлера относительно времени и инвариантности зеркального отражения связаны два дополнительных инварианта - кинетическая энергия и спиральность. [c.76]

Кинетическая энергия является инвариантом, если несжимаемая жидкость не ограничена или ограничена покоящимися стенками, внешние силы консервативны с однозначным потенциалом П и вязкость равна нулю. Действительно, из уравнений Эйлера (1.10) следует [c.77]

В общем случае, когда существенны корреляции (соударения) между частицами, классическая среда описывается кинетическим уравнением, а уравнения гидродинамики вытекают из них как некоторое приближение. Для баротропной жидкости эти уравнения отличаются от (10) лишь добавлением величины —Vw к правой части уравнения Эйлера, где п) п) — тепловая функция. Для учета вязкости нужно добавить туда же величину [c.236]

Уравнение (2.8) — аналог уравнения Эйлера для изменения кинетического момента твердого тела, вращающегося по инерции. [c.69]

На основании теоремы об изменении кинетического момента в форме (32) можно получить динамические уравнения движения для тела переменной массы, имеющего одну неподвижную точку. Эти уравнения будут естественным обобщением уравнений Эйлера, хорощо известных в динамике твердого тела постоянной массы. Если твердое тело имеет одну закрепленную [c.106]

Полученное равенство можно рассматривать как первый интеграл уравнений Эйлера, справедливый в случае стационарного движения при наличии функции давлений, представляющей потенциал объемного действия поверхностных сил, и потенциала объемных сил. Этот интеграл, выведенный путем скалярного умножения обеих частей уравнений (10) на вектор скорости V, может трактоваться как интеграл живых сил, или интеграл кинетической энергии уравнений движения центра инерции элементарного объема жидкости (интеграл Бернулли). Его не следует отождествлять с законом сохранения полной механической энергии движущейся жидкости, а функцию В трехчлен Бернулли —с отнесенной к единице массы полной механической энергией. [c.116]

А. Уравнение Эйлера. Рассмотрим движение твердого тел вокруг неподвижной точки О. Пусть М — вектор кинетического момента тела относительно О в теле, О — вектор угловой скорости в теле, А — оператор инерции (Лй = М) векторы й, М принадлежат подвижной системе координат К ( 26). Вектор кинетического момента тела относительно О в пространстве ш = = ВМ сохраняется при движении ( 28, Б). [c.127]

Теорема 6. Уравнения Эйлера [для моментов и угловых скоростей) имеют квадратичный первый интеграл, значение которого равно кинетической энергии [c.293]

Динамика твердого тела изучается на основе общих теорем об изменении кинетической энергии, кинетического момента и количества движения, а также с помощью основных понятий геометрии масс. Показывается, что аппарат динамики системы материальных точек применим для описания движения твердого тела и систем твердых тел. Проясняется вычислительная экономность использования уравнений Эйлера. Традиционно анализируются случаи Эйлера-Пуансо, Лагранжа-Пуассона, Ковгияевской [24]. В качест)зе примера методики по.чучения частных случаев интегрируемости приводятся случаи Гесса и Бобылева-Стеклова [6]. С целью демонстрации приложения развитых методов к практике даются основы элементарной теории гироскопов [14, 41], достаточные для качественного анализа действия гироскопических приборов. [c.12]

Таким образом, кинетическое уравнение Больцмана может быть подвергнуто сокращению до уравнения, описывающего только медленный гидродинамический процесс в газе, которое в разных приближениях дается соответственно уравнениями Эйлера, Навье—Стокса, Барнетта и т. д. [c.136]

Уравнение Эйлера (26а) определяет движение идеальной жидкости. Для получения уравнений гидродинамики реальной (вязкой) жидкости или газа надо искать решение уравнения Больцмана, отличное от локального распределения Максвелла. Мы получим тогда уравнения Навье—Стокса, Барнетта и т. д., в которых коэффициенты вязкости, теплопроводности и диффузии выражаются через молекулярные характеристики. Эти уравнения представляют собой замкнутую систему уравнений термодинамики необратимых процессов. Такой вывод этих уравнений в общем случае выходит за рамки нашего курса. Мы ограничимся здесь только характеристикой методов решения кинетического уравнения Больцмана и рассмотрим ряд частных задач статистической теории неравновесных систем. [c.142]

Определение ориентации твердого тела в абсолютном пространстве для движения Эйлера-Пуансо. После того как в п. 102 величины р, г были определены как функции времени, можно из кинематических уравнений Эйлера (5) найти углы определяющие ориентацию твердого тела относительно неподвижной системы координат OXYZ. Задача сильно упрощается, если, как и в п. 100, ось 0Z направить вдоль неизменного кинетического момента Ко (рис. 96). При таком выборе неподвижной системы координат проекции Ар, Bq Сг вектора Ко на оси связанной с телом системы главных осей инерции Ож, Оу Oz вычисляются, согласно рис. 96, по формулам [c.202]

Известная неполнота наших представлений в кинетической теории выясняется не только из попыток получить точные уравнения движения и тепловото потока для вязкой разреженной среды. Можно показать, что и уравнения Эйлера находятся не совсем в ладах с молекулярнокинетическими толкованиями свойств среды. [c.58]

В статье В. М. Карагодина Некоторые вопросы механики тела переменной массы (1956) и в его монографии Теоретические основы механики тела переменного состава (1963) дано обобщение теоремы Кенига на случай тела переменной массы, центр инерции которого и процессе движения самого тела перемещается с некоторой скоростью по отношению к точкам тела, и сформулирована для этого случая теорема о кинетической энергии тела переменной массы. Там же дано обобщение уравнений Эйлера на случай тела переменной массы с переменными моментами инерции, когда центр масс перемещается внутри тела, а центральная система осей координат вращается по отпошению к телу с определенной угловой скоростью. [c.305]

В предельном случае малых длин пробега мы приходим к задачам, которые могут быть решены в рамках теории сплошной среды или, точнее, с применением уравнений Навье — Стокса. По существу, это задачи обычной газовой динамики. Однако по установившейся традиции некоторые из них изучаются динамикой разреженных газов. В число таких задач входят, например, некоторые задачи о вязких течениях при малых числах Рейнольдса, о течениях с взаимодействием пограничного слоя с невязким потоком, о близких к равновесным течениях с релаксацией возбуждения внутренних степеней свободы, о течениях со скольжением и температурным скачком на стенке и т. д. К решению этих задач могут быть привлечены методы газовой динамики. В то же время эти задачи, решаемые в рамках теории сплошной среды, тесно связаны с кинетической теорией, так как только с помощью кинетической теории, из анализа уравнения Больцмана, можно обоснованно вывести уравнения Эйлера и Навье—Стокса и их аг алоги для рела-ксирующих сред, установить область их применимости и снабдить их правильными начальными и граничными условиями и коэффициентами переноса. [c.5]

Невозмущенное вращение спутника относительно центра масс описывается уравнениями Эйлера — Пу-ансо. Геометрически это движение можно интерпретировать как качение трехосного эллипсоида инерции тела вокруг вектора кинетического момента по неподвижной плоскости, перпендикулярной к этому вектору [1]. [c.175]

Закон кинетических моментов справедлив не только в инерциальной системе отсчета но и в системе xiУiZu поэтому, пользуясь снова леммой о локальной производной, можем написать уравнения Эйлера (10.5) в данном случае (о — это мгновенная угловая скорость тела относительно системы Сх у1хи а следовательно, и относительно системы Ох у г , ибо первая из них движется относительно второй поступательным движением. Эти шесть уравнений полностью решают задачу о движении сво- [c.256]

Гиростатом (по Кельвину) называется система, состоящая из твердого тела с неподвижной точкой и симметричного ротора, который может свободно вращаться вокруг некоторой оси, неподвижной относительно твердого тела. Эта система имеет четыре степени свободы пространством положений является прямое произведение 50(3) х 5 . Кинетический момент ротора как вектор подвижного пространства постоянен обозначим его Л. Полный кинетический момент системы относительно неподвижной точки равен т + X = 1и) + X. Екли на систему не действуют внешние силы, то вектор угловой скорости и) удовлетворяет обобщенному уравнению Эйлера [c.42]

Уравнения Эйлера (9 1) являются гамильтоновыми (см. 2 гл. 1) симплектическая структура задается скобкой Ли — Пуассона /io i,/2a 2 = а гамильтонианом служит кинетическая энергия тела. Однако скобка вырождена квадрат момента F = коммутирует со всеми функциями на алгебре so(3) (такие функции называются еще функциями Казимира). Как отмечалось в 2 гл. 1, вырождение снимается ограничением динамической системы (9.1) на интегральную поверхность F = onst > 0. [c.111]

Мы рассмотрим с помощью уравнений Эйлера — Лагранжа те задачи, для которых ранее в пп. 2.10 и 1.10 были составлены выражения трехиндексных символов, а в п. 4.13 — кинетической энергии. [c.372]

По форме уравнения Аппеля (10), как показывается ниже, ничем не отличаются от уравнений Эйлера—Лагранжа (1.13). Применение тех или иных уравнений— вопрос вычислительного удобства. Пользование уравнениями Эйлера — Лагранжа предполагает предварительное нахождение трехиндексных символов кинетическая энергия должна вычисляться без учета наличия неголономных связей, что усложняет структуру этого выражения само написание уравнений требует внимания в расстановке индексов. При применении уравнений Аппеля основная трудность состоит в вычислении энергии ускорений требуется внимание, чтобы не упустить слагаемых, содержащих квазиускорения. При рассмотрении неголономных систем дело облегчается возможностью учитывать наличие этих связей. Не следует переоценивать значения правил (4.10.4) и (4.10.12) составления энергии ускорений 5 по кинетической энергии Т, так как применение второго из них требует знания трехиндексных символов и выражения Г, вычисленного при отброшенных связях, а применение первого для составления уравнений Аппеля в форме (5.18) воспроизводит выкладки, которые надо проделать при написании уравнений Лагранжа второго рода (если неголономные связи отсутствуют). Важное значение имеют в задачах динамики твердого тела правила составления 5, данные в п. 4.11. Уравнения Аппеля легко запоминаемы, а процесс [c.397]

Обозначим через и со (/—1, 2, 3,...) проекции векторов и to на оси системы Oxyz, связанной с несущим телом. Важно отметить, что в силу выбора параметров, определяющих движение несущего тела, кинетическая энергия системы Т не зависит от его обобщенных координат. Поэтому мы имеем здесь как раз упомянутый в п. 8.1 случай распадения дифференциальных уравнений движения на две группы группу уравнений Эйлера — Лагранжа для квазискоростей %, и группу уравнений Лагранжа, составляемых для координат q . [c.428]

Подставляя ряд (1.4) в уравнение Больцмана и приравнивая коэффициенты при равных степенях получают рекуррентную систему уравнений для определения и т. д. При построении решения методом Знскога — Чепмена /<°) " /о функция выражается через производные от гидродинамических величин п, и и Т и т. д. Зная функции можно выписать любые гидродинамические (макроскопические) величины в частности, это позволяет выразить тензор напряжений и вектор потока тепйа через п, ии Т и их производные. Заменяя в общих уравнениях сохранения тензор напряжений и вектор потока тепла через гидродинамические величины, при оставлении в ряде (1.4) одного члена получим уравнения Эйлера, при двух — уравнения Навье—Стокса, при трех—уравнения Барнетта и т. д. ). Важно отметить, что кинетическая теория позволяет не только найти связи между тензором напряжения и вектором потока тепла и производными от гидродинамических величин, но и выразить входящие в эти связи коэффициенты пропорциональности (коэффициенты переноса) через известные свойства молекул. Этот метод используется для определения коэффициентов вязкости, теплопроводности и других переносных свойств газов и газовых смесей в широком диапазоне давлений и температур, для которых чрезвычайно трудно получить экспериментальные значения. [c.426]

В нашем случае X = Т 6— фазовое пространство тела, У = д — про-с транство кинетических] моментов. Проекция п Т 0 д определяется левыми сдвигами (пМ = В М для М е Т Сд). Далее, есть фазовый поток рассматриваемого тела в 2п-мерном пространстве Г С, а / — фазовый поток уравнения Эйлера в п-мерном пространстве моментов д. [c.291]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...